Capítulo 5 – APLICAÇÕES LINEARES (continuação) Atenção

Capítulo 5 – APLICAÇÕES LINEARES
(continuação)
Atenção: Neste capítulo E, E ′ e E ′′
são e.v.’s sobre o mesmo K.
Capı́tulo 5 - 24a Aula, 10/Dez/2008 – p. 1/10
Ilustração do Teorema
da Extensão Linear
: Consideremos a aplicação linear
f : R3 → R2 tal que
E XERC ÍCIO
f (1, 0, 0) = (1, 0)
f (0, 1, 0) = (1, 0)
f (0, 0, 1) = (0, 2).
– Sendo (x, y, z) ∈ R3 , determine f (x, y, z).
(...) Vimos que f (x, y, z)
= (x + y, 2z).
Capı́tulo 5 - 24a Aula, 10/Dez/2008 – p. 2/10
Matriz de uma aplicação linear
Sejam f : E → E ′ aplicação linear, B =
(e1 , . . . , en ) base de E e B ′ = (e′1 , . . . , e′m ) base de E ′ .
Designa-se por matriz de f em relação às bases B e B ′ ,
e representa-se por
D EFINIÇ ÃO:
M(f ; B, B ′ ),
a matriz A = [aij ] ∈ Mm×n (K) cuja coluna j, j = 1, . . . , n,
é a sequência das coordenadas de f (ej ) na base B ′ , i.e.,
f (ej ) = a1j e′1 + · · · + amj e′m .
Capı́tulo 5 - 24a Aula, 10/Dez/2008 – p. 3/10
Exemplos/Exercı́cios
Consideremos a aplicação linear f : R3 → R2 tal
que
∀(x,y,z)∈R3
f (x, y, z) = (x + y, 2z).
Consideremos
a base B = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) de R3 e
a base B ′ = (1, 0), (0, 1) de R2 .
– Determine M(f ; B, B ′ ).
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Matriz de uma aplicação linear
Proposição: Sejam f : E → E ′ aplicação linear,
B = (e1 , . . . , en ) base de E e B ′ = (e′1 , . . . , e′m ) base de E ′ .
Se (α1 , . . . , αn ) é a sequência das coordenadas de um
vector u ∈ E na base B então a sequência das
coordenadas de f (u) na base B ′ é (β1 , . . . , βm ) tal que



α
β
 1 
 1
. 
 .
M(f ; B, B ′ )
 ..  =  ..



αn
βm



.

Capı́tulo 5 - 24a Aula, 10/Dez/2008 – p. 5/10
Exemplos/Exercı́cios
Consideremos
a base B = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) de R3 e
a base B ′ = (1, 0), (0, 1) de R2 .
Seja f : R3 → R2 a aplicação
linear tal que

′
M(f ; B, B ) =

1
1 0
0
0 2
.
– Sendo (x, y, z) ∈ R3 , determine f (x, y, z).
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Matriz de mudança de base
Sejam B e B ′ bases de E. Chamamos
matriz de mudança de base (B, B ′ ) à matriz
M(idE ; B, B ′ ).
D EFINIÇ ÃO:
Capı́tulo 5 - 24a Aula, 10/Dez/2008 – p. 7/10
Matriz de mudança de base
Proposição: Sejam B e B ′ bases de E e seja
u ∈ E. Se (α1 , . . . , αn ) é a sequência das
coordenadas de u na base B então (β1 , . . . , βn ) é
a sequência das coordenadas de u na base B ′ ,
com




α
 1 
M(idE ; B, B ′ ) ... 
αn
=
β
 1 
 .. 
 . .


βn
Capı́tulo 5 - 24a Aula, 10/Dez/2008 – p. 8/10
Exemplos/Exercı́cios
Em R2 , consideremos as bases
B1 = (1, 0), (0, 1) e B2 = (1, 1), (0, 1) . Como
I LUSTRAÇ ÃO:
idR2 (1, 0) = (1, 0) = 1(1, 1) − 1(0, 1)
idR2 (0, 1) = (0, 1) = 0(1, 1) + 1(0, 1)
concluímos que M(id
R2

; B1 , B2 ) = 
1
0
−1 1

.
• Por exemplo, o vector u = (3, 2) tem sequência de
coordenadas
(3, 2)na base
B1 . Como

 


1
−1
0
1
3

2
=
3
−1
 concluímos que o vector u
tem sequência de coordenadas (3, −1) na base B2 .
Capı́tulo 5 - 24a Aula, 10/Dez/2008 – p. 9/10
Exemplos/Exercı́cios
Exercícios Propostos: 5.18, 5.20, 5.23, 5.25,
5.41, 5.45, 5.47, 5.48.
Capı́tulo 5 - 24a Aula, 10/Dez/2008 – p. 10/10