Matemática - Estuda Que Passa

Matemática
Conceitos Básicos de Polinômios
Professor Dudan
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Matemática
CONCEITOS BÁSICOS DE POLINÔMIOS
GRAU, COEFICIENTES e CLASSIFICAÇÃO
P(x) =a.xn +b.xn-­‐1 +c.xn-­‐2 + ... +TI
GRAU: O grau de um polinômio é determinado pelo maior expoente de x.
COEFICIENTES: a, b, c, ... , TI (termo independente) são chamados coeficientes.
CLASSIFICAÇÃO: Um polinômio de grau n é classificado como COMPLETO quando há n + 1
termos não nulos ou INCOMPLETO quando há menos de n + 1 termos não nulos.
Exemplos:
M(x) = 3x2 + 5 é incompleto e N(x) = 8x3 – x2 + 7x + 12 é completo de coeficientes 8, – 1, 7 e 12.
O polinômio P(x) = 4x5 – 10x3 + x2 – x + 7 é um polinômio incompleto de grau 5, com coeficientes
a = 4, b = 0, c = 1, d = – 1 e e = 7
Exemplo 1:
O polinômio (m² – 4)x³ + (m – 2)x² – (m + 3) é de grau 2 se, e somente se:
a)
b)
c)
d)
e)
m = – 2
m = 2
m = ±2
m ≠ 2
m≠–2
Valor Polinomial
É o valor que o polinômio assume quando substituímos o x pelo valor indicado.
Se p(x) = 3x2 + 5 , quanto vale p(2)?
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Para isso basta trocar todos os “x” por 2 e calcular.
Assim p(2) = 3(2)2 + 5 = 3.4 + 5 = 12 + 5 = 17 , logo p(2) = 17.
Exemplo Resolvido
Tendo p(x) = 8x³ – x² + 7x + 12, calcule p( – 1).
Para isso temos que substituir o x por ( –1), logo:
p( –1) = 8( –1)3 – ( –1)2 + 7( –1) + 12 = 8. ( –1) – (+1) – 7 + 12 = – 8 – 1 – 7 + 12 = – 16 + 12 = – 4
Operações
As operações entre polinômios serão divididas, pois a divisão polinomial exige muito cuidado.
As demais seguem o mesmo contexto das operações básicas.
Adição
Adicionar x² – 3x – 1 a – 3x² + 8x – 6.
→ (x² – 3x – 1) + ( –3x² + 8x – 6) → eliminar o segundo parênteses através do jogo de sinal.
Assim: x² – 3x – 1 –3x² + 8x – 6 → agregando os termos semelhantes (com mesmo expoente
de x).
X² – 3x² – 3x + 8x – 1 – 6 = – 2x² + 5x – 7
Subtração
Subtraindo – 3x2 + 10x – 6 de 5x2 – 9x – 8.
(5x2 – 9x – 8) – ( – 3x2 + 10x – 6) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.
Assim: 5x2 – 9x – 8 + 3x2 – 10x + 6 → agregando os termos semelhantes (com mesmo expoente
de x).
5x2 + 3x2 – 9x – 10x – 8 + 6 = 8x2 – 19x – 2
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Multiplicação
Para efetuarmos a multiplicação de polinômios devemos utilizar a propriedade distributiva.
Veja o exemplo:
(x – 1) . (x2 + 2x – 6)
x2 . (x – 1) + 2x. (x – 1) – 6 . (x – 1)
(x3 – x2) + (2x2 – 2x) – (6x – 6)
x3 – x2 + 2x2 – 2x – 6x + 6 → agregando os termos semelhantes (com mesmo expoente de x).
x3 + x2 – 8x + 6
Portanto, na multiplicações de polinômios aplicamos a propriedade distributiva da
multiplicação.
Exemplo 2:
Dados os polinômios M(x) = 2x3 – 5x2 + 4, N(x) = x2 + 8x – 3 e P(x) = x3 – 7x, quais desses
polinômios estão na forma completa e quais estão na forma incompleta? Complete os
polinômios que estão na forma incompleta.
Exemplo 3:
Dados os polinômios M(x) = 2x3 – 5x2 + 4, N(x) = x2 + 8x – 3 e P(x) = x3 – 7x qual o grau do
polinômio resultante das operações:
a) M + Nb) M – 2P
c) M . Pd) M( –2).
Gabarito: 1. A 3. a) 2x3 - 4x2 + 8x + 1, grau 3 / b) - 5x2 + 14x + 4 / c) 2x6 - 14x4 - 5x5 +35x3- 4x3- 28x = 2x6 - 5x5 - 14x4 + 39x3 - 28x, grau 6
d) - 4x3 + 10x2 - 8
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