modulo 2 eq da quantidade de mov+ conitnuidade +energia

Módulo 2: Conteúdo programático – Equação da quantidade de
Movimento+ continuidade + energia
Bibliografia: Bunetti, F. Mecânica dos Fluidos , São Paulo, Prentice Hall, 2007.
Na maioria das soluções dos problemas reais é necesário a utlização de várias equações
simultaneamente conform ilustrado nos porblemasx deste módulos.
Relembrando as principais equações da área de fluido são:
Lei de Newton da Viscosidade : τ = µ
dV
.
dy
Lei de Stevin : P = ρgh + P0 ,
d ∫ ρd∀
Equação da Continuidade:
∀
dt
r r
+ ∫ ρVxn dA = 0
A
Equação da Energia: H tootal1 = H total 2 e
Equação da Quantidade de Movimento:
d ∫ vr .ρ .d∀
r
r r
x
∑ Fx − ∫ ρ .d∀.aa =
+ ∫ vr .ρ .v × n.dA
ext.
dt
x
vc
s.c.
1º EXERCÍCIO RESOLVIDO
A água sai de reservatório de grandes dimensões e penetra num conduto de 15 cm de
diâmetro e incide numa placa defletora que o desvia em 90º, conforme a figura.
Sabendo que a força que a placa aplica ao fluido é 1kN e na horizontal, determinar a
potência da turbina considerando o escoamento com o fluido água (massa especifica
1000 kg/m³) e rendimento da turbina 70%.
Da eq da quantidade de movimento para a direção X temos:
− ∫ ρ .d∀.aa =
ext.
x
vc
∑ Fx
d ∫ vr .ρ .d∀
r
r r
x
+ ∫ vr .ρ .v × n.dA
dt
s.c.
A única força externa é a reação da placa ao jato de fluido. Não há aceleração do volume de controle e o
regime é permanente logo:
r r r
− R placa = ∫ Vr ρVr xn dA
A
Na direção X só há um fluxo de entrada no volume de controle e as propriedades são uniformes logo:
− R placa = −Vr ρVr ∫ dA = − ρVr A
2
A
R placa = ρVr A
2
Não conhecemos a velocidade logo da quantidade de movimento escrevemos:
Vr =
R placa
ρA
=
1000.4
m
= 7,2
2
s
1000.π .0,15
Da definição de vazão em volume temos:
Q = VA =
V .π .D 2 7,2.π .0,15 2
m³
=
= 0,127
4
4
s
Pela equação da energia determina-se a carga da turbina assim:
H total 1 = H total 2 + H perdas + H turbina
V02
P1 V12
+
+ z0 = +
+ Z1 + H perdas + H turbina
γ 2g
γ 2g
P0
P0 = P1 = Patm = 0
(H
perdas
= 0)
V0 = 0 (grandes dimensões) Z1 = 0 (PHR) e não há perda de carga
Assim sendo temos:
Z0 =
H turbina = Z 0 −
A potência da turbina é dada por:
V12
+ H turbina
2g
V12
7,2 2
= 30 +
= 32,6m
2g
20
N turbina = γQH trubinaηturbina = 10 4.0,127.32,6.0,85 = 35,2kW
2º
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Pára o esquema abaixo são conhecidos: diâmetro 1 D1 = 10cm ; massa especifica da
kg
água ( ρ = 1000 3 ); perda de carga entre (0) e (1) (H P 01 = 2,8m ) ; perda de carga entre
m
(0) e (e) (H P 0 E = 2,8m ) ; perda de carga entre (5) e (2) (H P 02 = 2,4m ) ; rendimento da
(
)
bomba η bomba = 70% . Determinar:
a) A potencia no eixo da bomba para que o corpo permaneça em equilibro estático
sem atrito
b) A força que o corpo exerce sobre o solo considerando o peso de 250 N
Da equação da energia entre (0) e (1) temos:
H total 0 = H total 1 + H perdas 01
V02
P1 V12
+
+ z0 = +
+ Z1 + H perdas 01
γ 2g
γ 2g
P0
P0 = P1 = Patm = 0
V0 = 0 (grandes dimensões) Z1 = 0 (PHR)
Assim sendo temos:
V1 = 2 g z0 − H perdas 01 = 20 5 − 2,8 =7,5
Da equação da quantidade de movimento:
d ∫ vr .ρ .d∀
r
r r
x
∑ Fx − ∫ ρ .d∀.aa =
+ ∫ vr .ρ .v × n.dA
ext.
dt
x
vc
s.c.
Para a direção x do jato 1-3
m
s
A única força externa é a reação da placa ao jato de fluido. Não há aceleração do volume de controle e o
regime é permanente logo:
r r r
− R placa1 = ∫ Vr ρVr xn dA
A
Na direção X só há um fluxo de entrada (fluxo 1 – negativo) e um fluxo de saída (3) (positivo). As
propriedades são uniformes logo:
− R placa1 = − ∫ Vrx ρVr dA + r ∫ Vrx ρVr dA
A1
A3
Projetando-se as velocidades no eixo x temos:
− R placa1 = − ∫ + Vr ρVr dA + r
∫
A1
A3
+
Vr cos 60 ρVr dA
Como as propriedades são uniformes temos:
− R placa1 = −Vr ρVr ∫ dA + Vr cos 60 ρVr ∫ dA = − ρVr21 A1 + ρVr22 cos 60 A2
A1
A3
Calculando-se a área 1 e 2
A=
πD 2
A1 = A3 =
4
A2 = A4 =
πD22
4
=
π .0,082
4
πD12
4
=
π .0,10 2
4
= 7,9.10 −3 m²
= 5,0.10 −3 m²
Substituindo os valores temos:
− R placa1 = 1000.(−7,52 + 7,52 cos 60).7,9.10 −3 = −222,2 N
Ou
R placa1 = 222,2 N A força que o anteparo aplica ao jato 2-4 tem a mesma intensidade isto é 222,2N
Logo pela Eq da quantidade de movimento temos:
Para a direção x do jato 2-4
A única força externa é a reação da placa ao jato de fluido. Não há aceleração do volume de controle e o
regime é permanente logo:
r r r
− R placa 2 = ∫ Vr ρVr xn dA
A
Na direção X só há um fluxo de entrada (fluxo 2 – negativo) e um fluxo de saída (4) – (positivo). As
propriedades são uniformes logo:
− R placa1 = − ∫ Vrx ρVr dA + r ∫ Vrx ρVr dA
A2
A4
Projetando-se as velocidades no eixo x temos:
− R placa1 = − ∫ 1Vr ρVr dA + r
∫
A2
A3
+
0 ρVr dA
Como as propriedades são uniformes temos:
R placa 2 = Vr ρVr ∫ dA = ρVr22 A2
A2
Ou
Vr 2 =
R placa 2
ρA2
=
m
222,2
= 6,67
−3
s
1000.5.10
Aplicando-se a equação da Energia entre (0) e (2) temos:
H total 0 + H bomba = H tota12 + H perdas 02
P0
γ
P0 = P2 = Patm = 0
+
V02
P V2
+ z0 + H bomba = 2 + 2 + Z 2 + H perdas 02
2g
γ 2g
V0 = 0 (grandes dimensões) Z 2 = 0 (P.H.R.)
Assim sendo temos:

V2 
6,67 2 
H bomba =  z 0 − H perda 02 − 2  = 5 − 2,4 −
= 0,38m
2g  
2.10 

Logo a potência da bomba:
N bomba =
γQH BOMBA 104.6,67.7,9.10 −3.0,38
=
= 0,289 KW
0,70
η BOMBA
1º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNO
O desviador de jato da figura move-se sobre o plano inclinado com velocidade de 1 m/s. Sabendo que seu
peso é 20 N, que sua área de base é 1 m² e que entre o desviador e o plano inclinado existe uma camada
de lubrificante com espessura 0,5 mm e viscosidade absoluta 0,03
Ns
, calcular a vazão do jato
m²
considerando a massa especifica da água como sendo 1000 kg/m³ e a aceleração da gravidade igual a 10
m/s²
2º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNO
O jato de água com massa específica de 1000 kg/m³ e área de 1 cm² atinge a pá solidária ao carro que se
desloca num plano horizontal rebocando um bloco de peso 20 N que sobe um plano inclinado com
velocidade de 1 m/s. . A área de cisalhamento do bloco é 0,01 m² e a viscosidade do lubrificante
colocado entre o plano e o bloco é 0,1 Ns/m². e espessura 0,1 mm. Determinar a velocidade do jato
3º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNO
No esquema da figura a área da seção transversal do jato é 520 cm² e a área do pistão
20 cm². Considerando o peso especifico relativo do mercúrio 13,6 e o da água 10
kN/m³, determinar a vazão em massa para que o equilíbrio estático permaneça.
a
4º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNO
Às vezes utilizamos alguns objetos como, por exemplo, um “jetski” e não
percebemos que se trata da mais pura aplicação de conceitos da Mecânica dos
Fluidos. Na figura abaixo, há uma planta do caminho descrito pela água num
“jetski”. Considerando: vazão de entrada em cada ramal é 30L/s; diâmetro de toda a
tubulação quer seja de entrada quer seja de saída igual a 6cm; rendimento da bomba
80% e potencia perdida 0,5kW, determinar:
A) A altura manométrica dá bomba.
b) a potência associada a cada jato de entrada
C) O consumo horário de combustível, medido em litros, sabendo que o motor que
aciona a bomba é de combustão interna, com rendimento global de 25%, consumo
específico de 200 g/h/cv e a massa específica do combustível é 780 kg/m³ . Dado 1
CV = 735 W
d) considerando que o ângulo interno formado pelos jatos de entrada é 60º,
determinar a força resultante no jet ski
5º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNO
Analise a figura e determine o valor da força F para que o tanque permaneça em
equilíbrio estático . Considera a inexistência de atrito, D2 = 10cm ; P0 = 130kPa;
Perda de carga entre (0) e (2) 5,5m e massa específica da água 1000 kg/m³.
6º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNO
A figura ilustra água deixando um tanque de grandes dimensões aplicando força de 12
800N na direção horizontal e para a direita na pá após passar pela turbina. O diâmetro
na saída do fluido é 12 cm. Desprezando-se a perda de carga pede-se:
a) a velocidade do escoamento
b) A vazão da turbina