Introdução ao Magnetismo Alberto Passos Guimarães Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas IV Escola Brasileira de Magnetismo São Carlos, 24/11/2003 [email protected] 1-1 Roteiro Parte I 1. O fenômeno do magnetismo 2. Momento angular e magnetização 3. Momentos magnéticos localizados Parte II 4. 5. 6. 7. 8. Magnetismo em metais A curva de magnetização Mecânica estatística e magnetismo Magnetismo e dimensionalidade Unidades 1-2 Parte I 1-3 Jornal Nacional 21/11/2003 Cientistas dizem que fim de semana será de muitas alterações na atmosfera Meteorologistas finlandeses anunciaram que a Terra foi atingida ontem à noite por novas tempestades solares. O fenômeno confundiu satélites e provocou auroras boreais até o sul dos Estados Unidos. A previsão dos cientistas é de que o fim de semana será de muitas alterações na atmosfera. As tempestades solares são causadas pelo encontro de partículas eletricamente carregadas do sol com o campo magnético da Terra. Suspeita-se que, em outubro, elas teriam sido responsáveis por um blecaute que prejudicou 50 mil pessoas na Suécia. 1-4 Manchas solares e campos magnéticos Imagens do Sol em 20/11/03: 1) Imagem com 612 nm, 2) Campos magnéticos 1-5 Escalas dos fenômenos magnéticos Sistemas físicos com dimensões muito diferentes apresentam propriedades magnéticas Elétron Galáxia M51: as barras indicam direção e intensidade do campo 1-6 magnético Os campos magnéticos observados no Universo variam numa ampla escala -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 estrelas de nêutrons campo no núcleo do Fe maior campo experimental ímãs permanentes Terra coração galáxia cérebro Escala dos campos magnéticos 4 6 8 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 Campo magnético (T) 1-7 Magnetismo e corrente elétrica Linhas de força do campo devido a fios transportando corrente, visualizadas com limalha de ferro (M. Faraday (Phil. Trans. 1-8 (1852)) Gravação magnética A gravação magnética é uma das mais importantes aplicações práticas do magnetismo Densidade dobrou a cada 2 anos desde os 1950s! 1-9 Magnetismo e seres vivos Bactérias magnetotáticas apresentam pequenos cristais magnéticos Tipos de cristais encontrados em bactérias 1-10 Portadores e interação no magnetismo •O magnetismo da matéria surge essencialmente dos elétrons, que contribuem com dois termos: orbital e de spin. •Os sistemas relevantes para o magnetismo são aqueles nos quais existem a) átomos com camadas eletrônicas incompletas, b) elétrons de condução. •A ordem magnética surge da interação de troca (ou intercâmbio), interação de origem eletrostática. 1-11 1. O fenômeno do magnetismo Um campo magnético existe quando um objeto com carga elétrica q e velocidade v sofre a ação de uma força (Força de Lorentz) dada por: F = qv × B A Lei de Ampère relaciona a densidade total de correntes Jt com o campo B: rot B = µ 0 J t Uma corrente i que circula num circuito de área A produz um dipolo magnético de momento m: m = iAnˆ n é o vetor unitário da direção perpendicular à área 1-12 A. A magnetização M é dada pela soma de momentos de dipolo, dividida pelo volume V: M = ∑ mi / V i O momento de um elemento de volume é dm = M dx dy dz Podemos associar uma corrente i’ a m m = i' A ; dm = Mdv dm = i'dxdy → i' = Mdz A corrente i’ (figura) por unidade de área: i' i' M = = J' = dydz dA' dy1-13 A componente x da densidade de corrente fica M1 M 2 + J' x = − dy dy Como M 1 = M ( y ); M 2 = M ( y + dy ) M ( y ) M ( y + dy ) + J' x = − dy dy Repetindo o procedimento para a componente My obtemos outro termo: ∂M ∂M z = J' x = ∂y ∂y ∂M z ∂M y − J' x = ∂y ∂z 1-14 Juntando as componentes x, y, z, resulta J ' = rot M O campo B resulta das correntes usuais i e das correntes i’ (amperianas) Aplicando a Lei de Ampère: Eliminando J’ rot B = µ 0 ( J + J ' ) B J = rot − M µ0 Finalmente, a relação entre B, H e M B = µ 0 (H + M ) (µ0 = 4π×10-7 H m-1)1-15 Se M é proporcional a H num dado meio, B = µH e µ é a permeabilidade do meio. A permeabilidade relativa µr é definida em relação à permeabilidade do vácuo µ0 µr = µ / µ0 A suscetibilidade é definida por χ=M /H Com µ=B/ H µr = 1 + χ 1-16 Campo de desmagnetização É o campo que surge da descontinuidade de M. O campo H total é H = H0 − H d = H0 − Nd M Direção Nd Plano z 1 Plano 2 0 Cilindro(l/d=1) 2 0,27 Cilindro(l/d=5) 2 0,04 Cilindro longo 2 0 Esfera - 1/3 Forma No caso geral, Hd varia de ponto a ponto e Nd é um tensor. No caso de amostra elipsoidal e isotrópica, Nd é o fator de desmagnetização 1-17 2. Momento angular e magnetização Uma carga –e percorrendo um círculo com freqüência angular ω tem momento magnético µ: 2 2 − e ωπ r − e ω r µ = Iπr 2 = = 2π 2 O momento angular (nesse caso, orbital) é L = r × me v A relação entre momento angular e magnético é portanto −e µ= L 2me 1-18 Se escrevermos o momento em função do momento angular total J=L+S, teremos µ = γhJ (γ - razão giromagnética) γ = −e / 2me momento angular orbital puro ou fator g = γh / µ B = 1 γ = −e / me momento angular de spin puro eh µB = 2me ou fator g = γh / µ B = 2 µ B = 9 ,27 ×10 −24 J T -1 (magneton de Bohr) Um elétron que só tenha momento angular de spin (γ=-e/me ) tem um momento magnético igual a 1 magneton de Bohr 1-19 Classificação geral dos materiais quanto ao magnetismo •Diamagnéticos: repelidos por uma região de campo mais intenso •Paramagnéticos: atraídos por uma região de campo mais intenso •Ferromagnéticos: fortemente atraídos por uma região de campo mais intenso Diamagnéticos: χ< 0: tipicamente χ ~ -10-6 µ r<1 Paramagnéticos: χ > 0: tipicamente χ ~ 10-5 µ r>1 Ferromagnéticos:χ>> 0: tipicamente χ ~ 104 µ r >>1 1-20 Um elétron num campo magnético tem energia dada por EM = − µ ⋅ B = gµ B ms B ms = ±1 / 2 A hamiltoniana de um átomo com Z elétrons é dada por pi2 H 0 = ∑ + Vi i =1 2me Z Na presença de um campo B [ pi2 + eA ] 2 H = ∑ + Vi + gµ B S ⋅ B 2me i =1 Z 1-21 Com o campo B ligado ao potencial vetor A por B×r B = rot A; A = 2 Usando Z Z ∑ p ⋅B×r = ∑B⋅r × p i i i i i i = B ⋅ hL Resulta pi2 e2 + Vi + µ B ( gS + L ) ⋅ B + H = ∑ 8me i =1 2me Z Z 2 ∑ (B × r ) i 1-22 3. Momentos magnéticos localizados Diamagnetismo O diamagnetismo é um efeito observado em qualquer amostra. Nos casos em que não há paramagnetismo ou ferromagnetismo, ele é predominante. O diamagnetismo pode ser ilustrado classicamente empregando a Lei de Lenz, mas de fato é um efeito quântico. O diamagnetismo resulta do último termo da hamiltoniana acima. Com o campo B paralelo a z, (B x r)=B(-y, x, 0) ( B × r )2 = B 2 ( xi2 + yi2 ) A variação da energia com a presença do campo é e2 B 2 ∆E = 8me Z 2 2 0 < | ( x + y ∑ i i )| 0 > i 1-23 e2 B 2 ∆E = 12me Z 2 0 < | r ∑ i |0 > i A magnetização pode ser calculada da energia livre F (vide Parte II) ∂F N ∂∆E Ne 2 B Z 2 M =− =− =− < r ∑ i > ∂B V ∂B 6me i A suscetibilidade diamagnética fica portanto Ne 2µ 0 χ=M /H =− 6me Z 2 < r ∑ i > i 1-24 Diamagnetismo: exemplo Diamagnetismo: levitação de uma rã (Geim 1996) 1-25 Momento atômico total Dois termos do momento magnético µ L = −µ BL z z m’ µ S = −2 µ B S mJ m Como os fatores g são diferentes, o momento magnético total não tem a direção do momento angular total µ, que pode ser escrito: mS mL µ = µ J + µ' L A parte paralela a J é escrita µ J = − gµ B J J S 1-26 Da figura, pode se obter L⋅J S⋅J | µ J |= − µ B − 2µ B |J| |J| Usando 1 2 L ⋅ J = ( J + L2 − S 2 ) 2 Resulta e 1 2 S ⋅ J = ( J + S 2 − L2 ) 2 µ J = − gµ B J Com J ( J + 1) + S ( S + 1) − L( L + 1) g = 1+ 2 J ( J + 1) g - fator de Landé e | µ J |= gµ B J ( J + 1) 1-27 Paramagnetismo A interação de um momento µJ com um campo B é dada por H = − µJ ⋅ B Com energias EM = gµ B M J B As probabilidades de ocupação dos estados rotulados por J são P( M J ) = exp( − EM J / kT ) ∑ exp( − E MJ MJ / kT ) 1-28 Para o caso J=1/2, as energias são E2 = +µ B B E1 = −µ B B As frações de elétrons com spin -1/2 e +1/2 são N1 eµ B B / kT = µ B B / kT N e + e −µ B B / kT N2 e − µ B B / kT = µ B B / kT N e + e −µ B B / kT N = N1 + N 2 A magnetização é 1 1 M = ( N1µ B − N 2µ B ) = µ B ( N1 − N 2 ) V V Ou, substituindo x: x = µ B B / kT 1 eµ B B / kT − e − µ B B / kT 1 e x − e− x = µB N x −x M = µ B N µ B B / kT −µ B B / kT V e +e V e +e 1-29 µB B M = nµ B tgh( x ) = nµ B tgh kT No caso geral, para J qualquer, a magnetização é M = ngµ B JBJ ( x ) Onde BJ(x) é a função de Brillouin: BJ ( x ) = ( 1 + 1 1 1 1 ) cot gh[( 1 + )x ] − cot gh( x) 2J 2J 2J 2J Como x para J qualquer é igual a x = gµ B JB / kT Nas situações em que gµ B JB << 1 x= kT 1-30 ou seja, alta temperatura ou baixo campo, pode se aproximar 1 x cot gh( x ) = + + ... x 3 BJ ( x ) ≈ J +1 x 3J A magnetização fica ng 2µ 2B J ( J + 1 )B de M = n < µ >≈ 3kT z J < µ zJ >= gµ B JBJ ( x ) E a suscetibilidade χ= Com C dado por ∂M ∂M C = = µ0 ∂B T ∂H C = µ 0 ng 2µ 2B J ( J + 1 ) C é constante de Curie 1-31 Paramagnetismo: exemplo Momento magnético de sais de Gd, Fe e Cr, em função de B/T α x. 1-32 Ferromagnetismo Paramagnetismo: < µ zJ >= gµ B JBJ ( x ) x = gµ B JB / kT M = n < µ zJ > Ferromagnetismo: além do campo aplicado B, temos um campo médio Bm devido aos outros momentos magnéticos. No caso mais simples (campo molecular) Bm é proporcional à magnetização. x' = gµ B J ( B + Bm ) / kT Bm = λM = λn < µ zJ >= λngµ B JBJ ( x' ) Para B=0, x’ fica: x' = gµ B Jλn < µ zJ > / kT Eq. 2-1 Eq. 2-2 1-33 Da Eq. 2-1 < µ zJ >= gµ B JBJ ( x' ) Da Eq. 2-2 x' < µ >= gµ B Jλn < µ zJ > / kT z J Eq. 2-3 Para se obter a curva de momento versus campo é necessário resolver o sistema de equações acima. 1-34 Podemos calcular a temperatura para a qual a magnetização se anula – a temperatura de Curie. Para pequenos valores de x’ J +1 BJ ( x' ) ≈ x' 3J com x' = gµ B Jλn < µ zJ > / kT Substituindo na expressão do momento magnético J +1 < µ >= gµ B J BJ ( x' ) ≈ gµ B J x' 3J z J Usando a Eq. 2-3 J +1 x' gµ B J x' = gµ B Jλn / kT 3J Resolvendo para T: g 2µ 2B nλJ ( J + 1 ) TC = 3k TC é a temperatura de Curie 1-35 Ferromagnetismo: exemplo Magnetização e 1/suscetibilidade do Gd metálico 1-36 Resumo – Parte I 1. O magnetismo está presente em todas as escalas de tamanho e em muitos fenômenos naturais 2. Os materiais devem suas propriedades magnéticas essencialmente aos momentos orbital e de spin dos elétrons. A ordem magnética se deve a uma interação eletrostática (troca). 3. O campo B é devido à soma dos efeitos de H e de M B = µ 0 (H + M ) 4. A classificação mais ampla de materiais é: diamagnéticos, paramagnéticos e ferromagnéticos 5. O paramagnetismo pode ser descrito de forma semi-clássica (Brillouin) e o ferromagnetismo pode ser descrito com modelo de campo molecular (Weiss) 2-37 Parte II 2-38 4. Magnetismo em metais Os momentos magnéticos nos metais não são dados por números inteiros de magnetons de Bohr Fe Co Ni Momento total 2.216 1.715 0.616 Momento 3d 2.39 1.99 0.620 Momento 4s -0.21 -0.28 -0.105 (Wohlfarth 1980) 2-39 Formação de bandas ou faixas Energias disponíveis para os elétrons do Fe metálico versus separação entre átomos. 2-40 Paramagnetismo do gás de elétrons livres Densidade N(E) para B=0 e B≠0 Elétrons livres contidos num volume V têm estados disponíveis de energia E dados pela densidade de estados N(E): 3 2 1 2 m N ( E ) = 4πV 2 e E 2 h 2-41 Integrando sobre todos os estados ocupados até a energia máxima (EF) achamos o número total de elétrons N: N =∫ EF 0 3 2 8πV 2me 3 / 2 N ( E )dE = 4πV 2 EF 3 h Número de elétrons por unidade de volume n = N /V Número de elétrons com spin para cima e para baixo 1 EF 1 EF +µ B B n↑ = ∫ n( E + µ B B )dE = ∫ n( E )dE 2 −µ B B 2 0 1 EF 1 E F −µ B B n↓ = ∫ n( E − µ B B )dE = ∫ n( E )dE µ B 0 2 B 2 2-42 Magnetização do gás de elétrons Magnetização: M = µ B ( n↑ − n↓ ) 1 M = µ B ( n↑ − n↓ ) = µ B { 2 ∫ EF +µ B B 0 n( E )dE + ∫ 0 E F −µ B B n( E )dE } EF +µ B B 1 = µB ∫ n( E )dE E − µ B F B 2 Para µBB/ EF pequeno a integral é igual ao integrando no ponto EF vezes 2 µBB, e M fica M = µ 2B B n( EF ) 2-43 O critério de Stoner Interação entre a magnetização do gás e o campo molecular: 1 2 1 1 E = − M ⋅ Bm = − µ B ( n↑ − n↓ ) λµ B ( n↑ − n↓ ) = − λµ B ( n↑ − n↓ )2 2 2 2 1 2 2 = − λµ B ( n − 4n↑ n↓ ) 2 O termo que envolve n↑n↓ é E = 2Un↑ n↓ com U = λµ 2B 2-44 Variação da energia magnética de B=0 para B≠0 1 2 1 ∆Em = 2Un↑ n↓ − 2U n = − U ( n↑ − n↓ )2 4 2 Variação da energia cinética 1 ∆Ek = ( n↑ − n↓ )δE 2 Variação total da energia 1 1 2 ∆ET = ∆Em + ∆Ek = − U ( n↑ − n↓ ) + ( n↑ − n↓ )δE 2 2 2-45 Usando n( EF )δE = ( n↑ − n↓ ) Obtemos 2 − ( n n ) 1 1 2 ] = ↑ ↓ [ 1 − Un( EF )] ∆ET = − ( n↑ − n↓ ) U [1 − 2 Un( EF ) 2Un( EF ) Donde Se [ 1 − Un( EF )] > 0 → ∆ET é mínimo para M = 0 Se [ 1 − Un( EF )] < 0 → ∆ET é mínimo para M ≠ 0 Finalmente 1 − Un( EF ) < 0 Critério de Stoner 2-46 Modelo Stoner Campo total agindo sobre os elétrons (hipótese de campo molecular) B↑ = B↓ = Bext + λM Com Bext=0 B↑ = B↓ = λM = λµ B ( n↑ − n↓ ) kθ' ( n↑ − n↓ ) B↑ = B↓ − nµ B λnµ 2B θ' = k As energias das sub-bandas no campo molecular são kθ' ( n↑ − n↓ ) E↑ = Ek − n e kθ' ( n↑ − n↓ ) E↓ = Ek + n 2-47 Introduzindo a função de Fermi-Dirac f(E) para dar conta da variação da ocupação dos estados com T, 1 f(E)= exp[( E − µ ) / kT ] + 1 os números de elétrons com spin para cima e para baixo ficam 1 ∞ n↑ = ∫ n( E ) f ( E − µ B B0 − kθ' ( n↑ − n↓ ) / n )dE 2 0 1 ∞ n↓ = ∫ n( E ) f ( E + µ B B0 − kθ' ( n↑ − n↓ ) / n )dE 2 0 Escrevendo ζ = ( n↑ − n↓ ) / n = M / nµ B Obtemos para o número total de elétrons 3 kT n = 4 EF 3/ 2 kθ' ζ + µ − kθ' ζ + µ F kT + F kT 2-48 Finalmente, a partir do número de elétrons com spin para cima e para baixo, obtemos a magnetização no modelo Stoner kT 3 M = nµ B 4 EF 3/ 2 kθ' ζ + µ − kθ' ζ + µ F kT − F kT Curvas de M(T/TC) calculadas numericamente para diferentes valores do parâmetro de campo molecular λ (ou θ’). 2-49 5. A Curva de Magnetização O registro da magnetização M fazendo variar H de +Hmax até -Hmax e de volta até +Hmax, é chamado ciclo de histerese. Grandeza SI CGS Coercividade HC (força coerciva) OE Am-1 Oe Retentividade (remanência) OD Am-1 G Mr 2-50 O processo de magnetização Curva de magnetização virgem: três regiões, caracterizadas por diferentes mecanismos físicos: 1) aumento da magnetização por deslocamento reversível de paredes de domínios, 2) magnetização por deslocamentos irreversíveis das paredes, e 3) rotação da magnetização (reversível e irreversível). 2-51 Materiais Magnéticos de Uso Prático Materiais Magnéticos Materiais Magnéticos Macios aços baixo carbono ligas ferro-silício ligas ferro-cobalto ligas níquel-ferro amorfos nanocristalinos ferritas macias Hc<103 Am-1 Materiais Magnéticos Intermediários γ-Fe2O3 CrO2 Co-γ-Fe2O3 ferrita de bário Materiais Magnéticos Duros alnico SmCo5 Sm(CoCuFeZr)7 Nd2Fe14B R2Fe17N3 ferritas duras Hc>104 Am-1 2-52 Coercividade e anisotropia de alguns materiais 2-53 6. Mecânica Estatística e Magnetismo Energia de um spin ½ no campo B E2 = +µ B B = + Emag E1 = −µ B B = − Emag A energia total do sistema de N spins é N E = ∑ Ei = N1 Emag − ( N − N1 )Emag = ( 1 − p )Emag i p = N1 / N O número total de arranjos dos N spins é dado pelo peso estatístico N! Ω( N1 ) = N1 ! ( N − N1 )! 2-54 Podemos definir o grau de desordem de um sistema pela entropia S S = k ln Ω Substituindo a expressão de Ω, obtemos para a entropia S N! S ( N1 ) = k ln N1 ! ( N − N1 )! A temperatura é definida pela derivada (E é a energia) 1 ∂S = ∂E V T Podemos expandir o fatorial usando a fórmula de Stirling ln N ! ≈ N ln N − N 2-55 A entropia S fica então S ( N1 ) = k [ N ln N − N1 ln N1 − ( N − N1 ) ln( N − N1 )] Usando a definição de temperatura 1 ∂S ( N1 ) ∂N1 N − N1 − 1 = = k ln T ∂N1 ∂E N1 2 Emag Depois de uma manipulação algébrica, obtemos a fração de elétrons com spin para cima, o mesmo resultado obtido na Seção 3, usando a função de Boltzmann N1 ex p= = x −x N e +e 2-56 O denominador é a função de partição Z Z = e x + e− x Cuja forma mais geral é Z = ∑e − Em / kT m = ∑e − βEm m com β = 1 / kT A energia livre F pode ser definida a partir de Z F = −kT ln Z Para um sistema cuja magnetização tem valores Mm, interagindo com um campo B, a função de partição Z é Z = ∑ e − β( − M m B ) m 2-57 A soma é feita sobre os estados m. A magnetização M (média térmica) é calculada usando Z: 1 M= Z ∑M m e m −β( − M m B ) 1 ∂Z ∂ ln Z = = kt βZ ∂B ∂B Substituindo a expressão S = −kT ln Z Chegamos ao resultado da média térmica de M: ∂S M =− ∂B 2-58 7. Magnetismo e Dimensionalidade As propriedades magnéticas das amostras dependem da sua dimensionalidade, isto é, se estas se apresentam como um sólido de três dimensões, ou se, ex., apresentam-se como um filme fino (bidimensional). Nas amostras não volumosas, uma ou mais das suas dimensões podem ter grandeza mesoscópica ou nanoscópica. A dependência com dimensionalidade é especialmente importante quando as dimensões menores se aproximam das dimensões dos domínios, ou mais além, quando são da ordem das dimensões atômicas. Segundo a dimensionalidade, as amostras são a) granulares (quase zero-dimensionais); b) nanofios (unidimensionais); c) filmes finos (bidimensionais); d) volumosas ou massivas (tridimensionais). 2-59 Momentos magnéticos e dimensionalidade Momentos magnéticos de Ni e Fe em µB: D Ni Fe Zero 2,0 4,0 Um 1,1 3,3 Dois 0,68 2,96 Três 0,56 2,27 Momentos magnéticos de Ni e Fe em µB para diferentes dimensões: zero (átomo livre), um (cadeia de átomos), dois (filme) e três (volume) (Song e Ketterson 1992). 2-60 TC de filmes ultra-finos Razão entre as temperaturas de ordenamento magnético (TC) de filmes ultra-finos e TC dos correspondentes materiais massivos, em função da espessura, medida em número de monocamadas atômicas. (Gradman 1993). 2-61 8. Unidades Unidades de base: metro (m), quilograma (kg), segundo (s), ampère (A), kelvin (K), mol (mol) e candela (cd). O ampère é a unidade básica de corrente elétrica. É a corrente que ao percorrer dois condutores paralelos de comprimento infinito e seção reta desprezível, separados por uma distância de 1 m no vácuo, produz entre eles uma força de 2×10-7 N por metro de comprimento. Unidades derivadas de interesse, que têm um nome especial: weber (Wb): fluxo magnético henry (H): indutância (equivalente a Wb A-1) tesla (T): densidade de fluxo magnético (equiv. a Wb m-2) 2-62 O campo H (intensidade de campo magnético) não tem uma unidade com nome específico; é medido em ampères por metro (A m-1). A indução magnética ou densidade de fluxo magnético B (ou simplesmente `campo B’) é medida em tesla (T). No vácuo, B (tesla) e H (ampère por metro) se relacionam por um fator µ0=4π×10-7 H m-1 (permeabilidade magnética do vácuo): B = µ0 H 2-63 Relação entre SI e CGS Relação entre algumas grandezas nos dois sistemas: µ r = 1 + χSI µ r = 1 + 4πχCGS B = µ0 ( H + M ) B = H + 4πM χSI = 4πχCGS (SI) (CGS) Relação entre algumas unidades 1G = 10-4 T 103 1 Oe = A m -1 ≈ 80 A m -1 4π 1 emu g -1 = 1 J T -1 kg -1 2-64 Resumo – Parte II 1. O magnetismo dos metais pode ser descrito por um modelo de elétrons itinerantes; no ferromagnetismo o modelo de Stoner usa um campo molecular 2. O critério de Stoner dá a condição para existir ferromagnetismo 1 − Un( EF ) < 0 3. A forma da curva de histerese reflete a ação de processos reversíveis e irreversíveis. Dessa curva se extraem a coercividade e a retentividade 4. Da expressão da entropia de um sistema podemos extrair sua magnetização ∂S M =− ∂B 5. A dimensionalidade das amostras afeta seu magnetismo 2-65 Grupos de Magnetismo no Brasil Grupo de Magnetismo do CBPF (LABMAG) Armando Y. Takeuchi Elis Sinnecker Flavio Garcia Geraldo Cernicchiaro Ivan S. Oliveira Luiz C. Sampaio Roberto Sarthour Alberto P. Guimarães www.cbpf.br/~labmag (Baseado em S.M. Rezende (2000))2-66 Fim Bibliografia S. Blundell, Magnetism in Condensed Matter, Oxford (2001). A.P. Guimarães, Magnetism and Magnetic Resonance in Solids, Wiley (1998). 2-67