ONDAS ll 17.1 Introdução As ondas sonoras são a base de

Cap 17: Ondas II - Prof. Wladimir
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ONDAS ll
17.1 Introdução
As ondas sonoras são a base de incontáveis estudos
científicos em muitas áreas: fisiologia da fonação e audição,
tratamento acústico de ambientes, ondas de choque na
aviação, ruídos produzidos pelo corpo humano pode indicar
problemas no funcionamento de órgãos, localização da
fonte de emissão sonora.
17.2 Ondas Sonoras
São ondas longitudinais, que se propagam num meio
material. Podem ser utilizadas em prospecção sísmica
(localização de poços de petróleo), em localização por
sonar (navios, submarinos), na exploração de partes moles
do corpo humano (ultra-som), etc.
A figura ao lado mostra uma
onda sonora se propagando a
partir de uma fonte pontual.
As frentes de onda formam
esferas centradas em S; os
raios são radiais partindo de
S. As setas duplas pequenas
indicam que os elementos do
meio oscilam paralelamente
aos raios. Nas proximidades
de uma fonte pontual, as
frentes de ondas são esféricas e se espalham nas três
dimensões.
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17.3 A Velocidade do Som
A velocidade de qualquer onda mecânica depende tanto
das propriedades inerciais do meio quanto das suas
propriedades elásticas. De acordo com o que foi visto para
a corda,
v



prop. elástica
prop. inercial .
Quando uma onda sonora se propaga através do ar, a
propriedade que determina o quanto um elemento de um
meio modifica seu volume quando a pressão sobre ele
varia, é o módulo de elasticidade volumétrica B.
B
p
V / V
A unidade de B também é Pascal (Pa). O sinal (-) foi
incluído de modo que B seja
sempre positivo. Substituindo A Velocidade do Som
Meio
Velocidade
 por B e  por  , obtemos:
(m/s)
v
B

Velocidade do som.
Bé
Onde
a
elasticidade
volumétrica e  é a densidade do
meio.
Esta equação pode ser deduzida
aplicando-se as leis de Newton.
Gases
Ar(00C)
Ar (200C)
Hélio
Hidrogênio
Líquidos
Água (00C)
Água (200C)
Água do mar
(200C sal. 3,5%)
Sólidos
Alumínio
Aço
Granito
331
343
965
1284
1402
1482
1522
6420
5941
6000
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Considere um único pulso de compressão de ar se
propagando (da direita para a esquerda) num tubo longo
cheio de ar. O sistema de referência da figura abaixo é
escolhido de modo que o pulso permaneça em repouso e o
ar se mova da esquerda para a direita. (a) Um elemento de
ar de largura x se move em direção ao pulso com
velocidade v . Em (b) a face dianteira do elemento penetra
no pulso. São mostradas as forças atuantes nas faces
dianteira e traseira (devidas à pressão do ar).
Seja p a pressão do ar não perturbado e p  p a pressão
no interior do pulso, onde p é positivo devido a
compressão. Enquanto o elemento de ar penetra o pulso,
ele sofre uma redução em sua velocidade dada por v  v ,
onde v é negativo. O intervalo de tempo para que isto
aconteça é:
t 
x
v
Aplicando a 2ª lei de Newton neste intervalo de tempo,
encontramos a força resultante:
F  pA  ( p  p ) A   pA
O sinal (-) indica que a força no elemento de ar é para a
esquerda.
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O volume do elemento é Ax ; e assim, podemos escrever
sua massa como:
m  V  A x
x
Usando t  v , podemos reescrever a equação acima
como
m  Avt
A aceleração média do elemento durante o intervalo t é:
a
v
t
De acordo com a 2ª lei ( F  ma ) e as equações acima,
podemos escrever:
F  ma
 pA  ( Avt )
v
t
v
v
v   p  v 2
v
v
p
v 2  
v v
 p  v
O ar que ocupa um volume V ( Avt ) fora do pulso sofre uma
redução de volume V ( Avt ) quando penetra no pulso.
Logo,
 V A  v t  v


V
Avt
v
Substituindo na equação anterior, temos:
p
v  
B
V / V
2
assim, resolvendo para
v , temos:
v
B

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17.4 Ondas Sonoras Progressivas
A figura abaixo mostra (a) uma onda sonora se propagando
com velocidade v através de um tubo longo cheio de ar,
produzindo um padrão periódico de expansões e
compressões do ar.
(b) Uma vista expandida horizontalmente de uma pequena
porção do tubo, observa-se um elemento de ar de
espessura x que oscila para a esquerda e para a direita
em mhs em torno de sua posição de equilíbrio.
Os deslocamentos do elemento de ar pode ser descrito pela
função:
S ( x, t )  s m cos(kx  t )
Quando uma onda se move, a pressão do ar em qualquer
posição x varia senoidalmente,
p ( x, t )  pm sen(kx  t )
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A amplitude de pressão p m
está relacionada com a
amplitude de deslocamento
S m por:
pm  (v ) sm
Na figura ao lado, pode-se
notar que o deslocamento e a
variação de pressão estão
defasados de  / 2rad  90 0 .
Assim,
por
exemplo,
a
variação de pressão p será
nula quando houver um
máximo do deslocamento.
Exercício:
A amplitude máxima de pressão p m que o ouvido humano
pode suportar em sons altos é cerca de 28Pa (que é muito
menor que a pressão normal do ar de aproximadamente
105Pa). Qual é a amplitude de deslocamento S m para tal
som no ar de densidade   1,21kg / m 3 , com uma freqüência
de 1000Hz e uma velocidade de 343m/s? (resp. 1,1x10 m  11m )
5
17.5 Interferência
Considere duas fontes pontuais
S1 e S2 que estão em fase e têm o
mesmo comprimento de onda  .
Assim, dizemos que as próprias
fontes estão em fase; ou seja,
quando as ondas emergem das
fontes, seus deslocamentos são
sempre idênticos.
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A diferença de percurso até o ponto P é dada por:
L  L2  L1
A diferença de fase  no ponto P se relaciona com a
diferença de percurso pela relação:

L

2
 de onde

L

2
A interferência será completamente construtiva quando:
  m( 2 )
 0,1,2,3,... (INTERFERÊNCIA COMP. CONSTRUTIVA)
L
 0,1,2,...  L   , 2 , 3
Isto ocorre quando:
para m

Para interferência completamente destrutiva   ( 2m  1) ,
para m  0,1,2,3,...
L
Isto ocorre quando:   0,5, 1,5,...  L  0,5 , 1,5 ,...
Exercício:
A figura ao lado mostra
duas fontes pontuais
S1 e S2 , que estão em
fase e separadas pela
D  1,5 ,
distância
emitem ondas sonoras
idênticas
de
comprimento de onda
 . (a) Qual é a diferença de percurso das ondas S1 e S2 no
ponto P1 , que se situa sobre a perpendicular que passa
pelo ponto médio da distância D , a uma distância maior
que do que D das fontes? Que tipo de interferência ocorre
em P1 ? (b) Quais são a diferença de percurso e o tipo da
interferência no ponto P2 ?
(resp . L  0 e L  1,5 )
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17.6 Intensidade e Nível Sonoro
Intensidade I de uma onda sonora em uma superfície é a
taxa média, por unidade de área, com que a energia é
transferida pela onda através da superfície, que
matematicamente será escrita por:
I
P
A
Onde P é a taxa temporal de transferência da energia
(Potência) da onda sonora e A é a área da superfície que
intercepta o som. A intensidade I está relacionada à
amplitude do deslocamento s m da onda sonora por:
I
1
v 2 sm2
2
Variação da Intensidade com a Distância
A forma como a intensidade varia com a distância a partir
de uma fonte sonora real é normalmente complexa. Em
algumas situações, podemos ignorar ecos e supor que a
fonte sonora é pontual que emite o som isotropicamente –
isto é, com a mesma intensidade em todas as direções.
Supondo que a energia
mecânica
das
ondas
sonoras seja conservada
enquanto elas se espalham
a partir desta fonte e que
uma esfera imaginária de
raio r seja centrada na fonte,
conforme a figura ao lado.
Deste modo, a taxa temporal
com que a energia é emitida
pela fonte, deve ser igual a
taxa temporal com que a energia atravessa a esfera.
I
onde 4r 2 é a área da esfera.
Ps
4r 2
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Exercício:
Uma centelha elétrica salta ao longo de uma linha reta de
comprimento L=10m, emitindo um pulso sonoro que se propaga
radialmente para fora a partir da centelha (chamada de fonte linear
de som). A potência de emissão é
Ps  1,6 x10 4 W . (a) Qual é a intensidade
I do som quando ele alcança uma
distância r  12m a partir da centelha? (b)
com que taxa temporal Pd a energia sonora
é interceptada por um detector acústico de
2
área Ad  2,0cm , dirigido para a centelha
e localizado a uma distância r  12m da
centelha?
Resp. 21,2W / m 2 ;4,2mW
Escala Decibel
O ouvido humano capta sons com amplitudes de
deslocamentos que variam de 10-5m (mais forte) até cerca
de 10-11m (mais fraco). A razão entre estes dois limites é de
1012. Por ser um intervalo tão grande, utiliza-se a escala
logarítmica.
Considere a relação y  log x , com x e y variáveis. Se
multiplicarmos x por 10, y aumenta de 1 unidade.
Visualizando,
y ,  log10 x  log10  log x  1  y
Analogamente, se multiplicarmos x por 1012, y aumentará
de 12 unidades.
Desta forma, em vez de falarmos da intensidade I da onda
sonora, é muito mais conveniente
Alguns Níveis Sonoros
(dB)
falarmos de seu nível sonoro  ,
Limite da audição 0
definido como:
Roçar das folhas 10
  (10dB ) log
I
I0
dB  decibel e I 0  10 12 W / m 2
Conversação
Cons. de Rock
Limiar da dor
Motor a jato
60
110
120
130
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Exercício:
Muitos roqueiros veteranos sofrem de perda aguda da
audição por causa dos altos níveis sonoros que eles
suportam durante anos tocando música próximo ao altofalantes ou ouvindo música em fones de ouvido. Alguns,
com Ted Nugent, não conseguem mais escutar por um
ouvido lesionado. Outros, como Peter Townshend do The
Who, possuem uma sensação de ruído contínuo (tinido).
Recentemente, vários roqueiros, como Lars Ulrich da
Banda MetalicaI, começaram a usar proteções especiais
nos ouvidos durante as apresentações. Se um protetor de
ouvido diminui o nível sonoro das ondas por 20dB, qual é a
razão entre a intensidade final
If
e a intensidade inicial I i ?
Resp. 0,010.
17.7 Fontes de Sons Musicais
Cordas vibrantes (violão, piano, violino);
Membranas (timbale, tambor, repique, cuíca);
Colunas de ar (flauta, oboé, tubo de órgão, cornetas);
Blocos de madeira ou barras de aço (marimba, xilofone).
A maioria dos instrumentos envolve mais do que uma parte
oscilante (violão= cordas e caixa de ressonância).
Quando a onda produzida numa corda ou tubo coincidir
com o comprimento da corda ou do tubo, ocorre
ressonância e é produzida uma
onda estacionária na corda ou
tubo.
O padrão de onda estacionária
mais simples num tubo com as
duas extremidades abertas é
mostrado na figura ao lado,
chamado de modo fundamental
ou primeiro harmônico.
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De um modo mais geral, as freqüências de ressonância
para um tubo de comprimento L com as duas extremidades
abertas correspondem aos comprimentos de onda,

2L
n  1,2,3,4,...
n para
né
chamado
nº
de
harmônico
As
freqüências
de
ressonância este tubo são:
f 
v


nv
2L
(TUBO COM AS DUAS EXTREMIDADES ABERTAS)
com n  1,2,3,4,...
Para um tubo com uma das
extremidades abertas e a
outra fechada teremos:

4L
n  1,3,5,7...
n para
com freqüências de ressonância:
f 
v


nv
4 L com
n  1,3,5,7...
(TUBO COM UMA EXTREMIDADE ABERTA)
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O comprimento
de
um
instrumento
musical reflete
a
faixa
de
freqüências
sobre a qual o
instrumento é
projetado para
funcionar.
Diferentes
instrumentos
produzem diferentes ondas
resultantes, mesmo que
toquem a mesma nota
musical, como por exemplo,
a figura ao lado: (a) flauta e
(b) oboé.
Exercício:
Ruídos de fundo de baixa intensidade em uma sala
produzem ondas estacionárias em um tubo de papelão de
comprimento L=67,0cm com as duas extremidades abertas.
Suponha que a velocidade do som no ar dentro do tubo
seja 343m/s. (a) Qual a freqüência do som proveniente do
tubo que você ouve? (b) Se você encostar seu ouvido
contra uma das extremidades do tubo, que freqüência
fundamental você escutará vinda do tubo? Resp. f  256Hz ;
f  128Hz
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17.8 Batimentos
Se escutarmos, com uma diferença de alguns minutos, dois
sons cujas freqüências são 552 e 564 Hz, possivelmente
são conseguiremos distinguir um do outro. No entanto, se
os dois sons alcançarem os nossos ouvidos
simultaneamente, o que iremos escutar será um som cuja
freqüência é de 558 Hz, que é a média das duas
freqüências. Escutaremos também uma variação na
intensidade deste som – um batimento - lento e periódico
que se repete a uma freqüência de 12Hz, ou seja, a
diferença entre as duas freqüência originais.
Vamos supor que as variações temporais
deslocamentos das duas ondas sejam:
s1  s m cos 1t e s2  sm cos 2t onde 1  2
Pelo princípio da superposição:
s  s1  s2  sm (cos 1t  cos 2t )
De acordo com a identidade trigonométrica,
dos
1

1

cos   cos   2 cos      cos     
2

2

Podemos escrever o deslocamento resultante como:
1

1

s  2 sm cos  1  2 t  cos  1  2 t 
2

2

1
1
Se definirmos  ,  1   2  e   1   2 
2
2
Teremos:
s (t )  [2sm cos  ,t ] cos t
Com freqüência de batimento dada por
f bat  f1  f 2
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14
Exercício:
A maioria dos pássaros vocaliza usando apenas um dos
dois lados dos seus órgãos vocais, chamado siringe. Os
pingüins imperadores, entretanto, vocalizam usando os dois
lados simultaneamente. Cada lado produz ondas acústicas
estacionárias na garganta e na boca do pássaro, como em
um tubo com as duas extremidades abertas. Suponha que
a freqüência do primeiro harmônico produzido pela
extremidade A seja f A1  432Hz e que a freqüência do
primeiro harmônico produzido pela extremidade B seja
f B1  371Hz . Qual é a freqüência de batimento entre estas
duas freqüências de primeiro harmônico e entre as duas
frequencias de segundo harmônico? Resp. 61Hz e 122Hz.
17.9 Efeito Doppler
Efeito em que se observam variações de freqüência quando
a fonte e/ou o detector estão em movimento. Ocorre
também em ondas eletromagnéticas. Neste estudo,
consideraremos apenas as ondas sonoras e tomaremos
como sistema de referência a massa de ar através da qual
as ondas se propagam.
Se o detector ou a fonte estiver se movendo, ou se ambos
estiverem em movimento, a freqüência emitida f e a
freqüência detectada f ' são relacionadas por
f' f
v  vD
v  vS (efeito Doppler geral)
v é a velocidade do som no ar;
v D é a velocidade do detector em relação ao ar;
vS é a velocidade da fonte em relação ao ar.
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Os sinais –
 Se o detector se move em direção à fonte, o sinal é
positivo no numerador (aumento na freqüência);
 Se o detector se afasta da fonte, o sinal é negativo
no numerador (redução na freqüência);
 Se o detector estiver estacionário vD  0 ;
 Se a fonte se mover em direção ao detector, o sinal é
negativo no denominador (aumento na freqüência);
 Se a fonte se afasta do detector, o sinal é positivo no
denominador (redução na freqüência);
 Se a fonte estiver estacionária vS  0 .
Resumindo:
Aproximação- significa aumento de freqüência;
Afastamento- significa decréscimo na freqüência;
Detector
em
movimento
e
fonte
estacionária:
f' f
v  vD
v
Se o detector é estacionário, não há
efeito Doppler.
Cap 17: Ondas II - Prof. Wladimir
16
Se o detector se aproxima da
fonte(a):
f' f
v  vD
v
Se o detector se afasta da fonte
(b):
f' f
v  vD
v
Fonte em Movimento, Detector Estacionário - Neste
caso, a equação assume a forma:
f' f
v
v  vS
Quando a fonte se
aproxima do detector:
f' f
v
v  vS
Quando a fonte se
afasta do detector:
f' f
v
v  vS
Exercício:
Um foguete se move com
uma velocidade de 242m/s
(através do ar em repouso)
diretamente em direção a um poste estacionário enquanto emite ondas
sonoras de freqüência f  1250 Hz . (a) Qual a freqüência f medida por
um detector preso ao poste? (b) Parte do som que atinge o poste é refletida
'
''
de volta ao foguete como um eco. Qual a freqüência f detectada por um
detector no foguete para esse eco? Resp. 4245Hz e 7240Hz
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17
Lista de exercícios do capítulo 17:
Nos problemas onde for necessário, utilize: Velocidade do som no ar =
343m/s ; Densidade do ar = 1,21kg/m3
1) Uma coluna de soldados, marchando a 120 passos por minuto,
mantém o passo com a batida de um tambor que é tocado na
frente da coluna. Observa-se que os soldados na extremidade
traseira da coluna estão marchando para frente com o pé
esquerdo quando o soldado que toca o tambor avança com o
pé direito. Qual é, aproximadamente o comprimento da coluna?
3) Dois espectadores em uma partida de futebol no Montjuic
Stadium vêem e, um momento depois, escutam a bola sendo
chutada no campo de futebol. O tempo de atraso para o
espectador A é de 0,23s e para o espectador B é de 0,12s. As
linhas de visada a partir dos dois espectadores até o jogador
que chuta a bola formam um ângulo de 90o. A que distância do
jogador estão (a) o espectador A e (b) o espectador B? (c) Qual
a separação entre os dois espectadores?
5) Uma pedra é solta em um poço. A batida da pedra na água e
ouvida 3,0s depois. Qual é a profundidade do poço?
7) Terremotos geram ondas sonoras no interior da Terra.
Diferente de um gás, a Terra pode experimentar tanto ondas
sonoras transversais (S) como ondas sonoras longitudinais (P).
Tipicamente, a velocidade das ondas S é cerca de 4,5km/s e a
das ondas P de 8,0km/s. Um sismógrafo registra as ondas P e
S de um terremoto. A primeira onda P chega 3,0min antes da
primeira onda S. Se as ondas se propagam em linha reta, a que
distância ocorreu o terremoto?
8)
A pressão em uma onda sonora progressiva é dada pela
1
1
equação P  (1,5Pa) sen  [(0,900m ) x  (315s )t ] . Encontre (a) a
amplitude da pressão, (b) a freqüência, (c) o comprimento de
onda e (d) a velocidade da onda.
9)
Ultra-som para diagnóstico na freqüência 4,50MHz é usado
para examinar tumores em tecidos moles. (a) Qual é o
comprimento de onda no ar dessa onda sonora? (b) Se a
Cap 17: Ondas II - Prof. Wladimir
18
velocidade do som no tecido é de 1500m/s, qual é o
comprimento de onda desta onda no tecido?
13) A figura ao lado mostra a leitura de
um monitor de pressão montado em
um ponto ao longo da direção de
propagação de u a onda sonora de
uma só freqüência, propagando-se a
343m/s através do ar de densidade
uniforme de 1,21kg/m3. Se a função
deslocamento da onda é escrita
como s( x, t ) sm cos(kx  t ) , quais são (a)
, (b) k , (c)  ? O ar é então resfriado de modo que a sua
densidade passa a ser 1,35kg/m3 e a velocidade da onda
sonora através dele é de 320m/s. A fonte de som novamente
emite a onda sonora coma a mesma freqüência e mesma
sm
amplitude da pressão. Quais são agora (d) sm , (e)
k , (f)  ?
14) Duas ondas sonoras, provenientes de duas fontes diferentes
com a mesma freqüência, 540Hz, propagam-se no mesmo
sentido a 330m/s. As fontes estão em fase. Qual é a diferença
de fase das ondas em um ponto que está a 4,40m de uma fonte
e a 4,00m da outra?
15) A figura abaixo mostra duas fontes sonoras pontuais
isotrópicas, S1 e S 2 . As fontes emitem ondas em fase com
comprimento de onda 0,50m; elas estão separadas por
D  1,75m . Se movermos um detector de som ao longo de um
grande circulo centrado no ponto médio entre as fontes, em
quantos pontos as ondas chegam
ao detector (a) exatamente em fase
e (b) exatamente fora de fase?
21) Uma fonte emite ondas sonoras isotropicamente. A intensidade
4
2
das ondas a 2,50m da fonte é 1,91x10 W / m . Supondo que a
energia da onda é conservada, encontre a potência da fonte.
Cap 17: Ondas II - Prof. Wladimir
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23) Uma onda sonora de freqüência 300Hz possui uma
2
intensidade de 1,00W / m . Supondo que a energia da onda é
conservada, encontre a potência da fonte.
27) Suponha que o nível sonoro de uma
conversação, inicialmente acalorada,
está em 70dB e depois, ao tornar-se
calma, cai para 50dB (figura ao lado).
Supondo que a freqüência do som é
de 500Hz, determine as intensidades
sonoras (a) inicial e (b) final e as
amplitudes das ondas sonoras (c)
inicial e (d) final.
33) No tubo A, a razão entre a freqüência de um harmônico
particular e a freqüência do harmônico mais baixo seguinte é
1,2. No tubo B, a razão entre a freqüência de um harmônico
particular e a freqüência do harmônico mais baixo é 1,4.
Quantas extremidades abertas existem no (a) tubo a e (b) tubo
B?
35) Uma corda de violino de 15cm de comprimento com as duas
extremidades fixas oscila no seu modo n  1 . A velocidade das
ondas na corda é 250m/s, e a velocidade do som no ar é igual
a 348m/s. Quais são (a) a freqüência e (b) o comprimento de
onda da onda sonora emitida?
37) (a) Encontre a velocidade das ondas numa corda de violino de
massa 800mg e comprimento 22,0cm se a freqüência
fundamental é 920Hz. (b) Qual é a tensão na corda? Para o
modo fundamental, qual é o comprimento de onda (c) das
ondas na corda e (d) das ondas sonoras emitidas pela corda?
39) Na figura ao lado, S é um pequeno alto-falante
alimentado por um oscilador de áudio com uma
freqüência que é variada de 1000 a 2000Hz e D é
um tubo cilíndrico com comprimento de 45,7cm e
com as duas extremidades abertas. A velocidade
do som no ar contido no tubo é de 344m/s. (a) Em
Cap 17: Ondas II - Prof. Wladimir
20
quantas freqüências o som do alto-falante produz ressonância
no tubo? Quais são (b) a mais baixa e (c) a segunda mais baixa
freqüências nas quais ocorre ressonância?
41)
Um poço com laterais verticais e com água no fundo ressoa
em 7,00Hz e em nenhuma outra freqüência mais baixa. (A
porção do poço cheia de ar atua como um tubo com uma
extremidade fechada e uma extremidade aberta). O ar no poço
possui uma densidade 1,10kg/m3 e um módulo de elasticidade
volumétrica de 1,33x105 Pa. A que profundidade se encontra a
superfície da água?
45)
Um diapasão de freqüência desconhecida produz 3,00
batimentos com um segundo diapasão padrão de freqüência
384Hz. A freqüência de batimento diminui quando um pequeno
pedaço de cera é colocado em um dos dentes do primeiro
diapasão. Qual a freqüência deste diapasão?
47)
Duas cordas de piano idênticas possuem uma freqüência
fundamental de 600Hz quando mantidas a uma mesma tensão.
Que aumento relativo na tensão de uma das cordas produzirá a
ocorrência de 6,0 batimentos por segundo quando elas
oscilarem simultaneamente?
49)
Um apito de freqüência 540Hz se desloca em um círculo de
raio 60,0 cm com uma velocidade angular de 15,0rad/s. Quais
são as freqüências (a) mais baixa e (b) mais alta escutadas por
um ouvinte distante, em repouso em relação ao centro do
círculo?
51)
Uma ambulância com uma sirene emitindo um som de
freqüência 1600Hz alcança e ultrapassa um ciclista pedalando
uma bicicleta a 2,44m/s. Após ser ultrapassado, o ciclista
escuta uma freqüência de 1590Hz. Qual é a velocidade da
ambulância?