Matemática - Portal do aluno RUMO

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MATEMÁTICA BÁSICA
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- Os números naturais e suas operações:
O conjunto dos números naturais é: ℕ = {0;1;2;3;4;5;...}. Esse é o conjunto/grupo de números que mais
utilizamos no dia-a-dia. Ele nos dá ideia de quantidade, ter ou não ter algo, quanto se tem disso ou daquilo.
Com estes números podemos fazer 4 operações básicas:
→ Soma dos números: 1 + 2 = 3, que nos diz, simplesmente, que se temos 1 “coisa” e alguém nos presenteia com
2 “coisas”, teremos, no final das contas, 3 “coisas”.
→ Subtração: 4 – 2 = 2, essa operação nos leva a pensar em situações de perder ou pagar ou devolver coisas. Se
você tinha 4 “coisas” e alguém ganhou ou recebeu 2 “coisas” de você, no final do dia você terá 2 “coisas” com você.
→ Multiplicação: 2 x 3 = 6
2 + 2 + 2 = 6, na prática, utilizamos a multiplicação para facilitar somas que se
repetem .
→ Divisão: 4 2 = 2 4 = 2 x 2 = 2 + 2, quando seu pai ou responsável ou você mesmo compra uma pizza e vocês
vão comer com alguém, o que vocês fazem?
- Procedimentos de conta:
 Adição para números pequenos é intuitiva:
1 + 1 = 2 3 + 2 = 5 15 + 2 = 17 20 + 12 = 32 52 + 101 = 153.
Mas e com números grandes, como 1404 + 15072? Fazemos assim:
- número com mais casa em cima;
- soma de cima para baixo, da direita para esquerda, se sobrar vai para cima;
1
1
+
2
1 5 0 7 2
+ 1 4 0 4
1 6 4 7 6
1
5
4
0
1
9 8 7
9 7 2
9 5 9
O mesmo vale para a subtração.
PENSE COMIGO!
Suponha dois números naturais quaisquer, chamados de ‘a’ e ‘b’. Se somarmos ‘a’ e ‘b’, obtemos um único
número natural ‘c’.
Essa é a definição de adição para números naturais. Em uma linguagem mais compacta e precisa, temos que:
(lê-se: para todo ( ) a e b pertencentes aos naturais, a soma de a mais b será
igual a c, onde c pertence ao conjunto dos números naturais). Outras propriedades são:
- Comutativa: a + b = b + a = c;
(lê-se: para todo a, b e c pertencentes aos naturais).
- Elemento neutro: a + 0 = a
0+a=a
- Associativa: (a + b) + c = a + (b + c).
a + a = 2a
a + a + a = 3a
então: N x a =
PERGUNTA ESPERTA: ISSO TUDO VALE PARA A SUBTRAÇÃO?
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PENSE COMIGO! Vamos fazer o mesmo raciocínio agora para a subtração:
(lê-se: a menos b é igual a c, para todo a, b e c pertencentes ao conjunto dos números naturais.)
Isso é verdade? Faça algumas contas para descobrir e lembre-se do conjunto dos números naturais ou da reta dos
números naturais: ℕ = {0;1;2;3;4;5;...}
A resposta é não!
Se você disse “não” antes de ver a resposta, somente três coisas devem ter ocorrido:
1. Você ficou com medo e “chutou” a resposta “não”;
2. Você sabe, bem lá no fundo, que não é a resposta, mas não sabe o porquê. Você tem uma intuição!
3. Você pensou em um exemplo óbvio: Se você tem quatro reais, mas deve cinco para o seu amigo, você, na
verdade, ainda deve um real, ou seja:
4 – 5 = -1 resultando o quanto você ainda tem que pagar.
É o quanto você tem que pagar.
É o quanto você tem.
VEJA SÓ! O resultado, -1, não está no conjunto dos números naturais, basta verificar lá em cima.
 A operação de subtração, que nada mais expressa do que situações cotidianas em que perdemos ou pagamos
ou devolvemos alguma “coisa”, nos leva a outro conjunto de números que englobam números positivos E negativos.
Chamando este grupo de conjunto dos números inteiros:
Perceba que o conjunto dos números
ℤ = {...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; ...}
=>
naturais está contido no conjunto dos
↳ Conjunto ℕ.
números inteiros. Dizemos que ℕ é um
SUBCONJUNTO de ℤ (conjunto dos
Como fazemos subtração? Quando números pequenos, fazemos:
inteiros).
4 – 3 = 1; 7 – 5 = 2; 1 – 2 = -1; 17 – 12 = 5; 20 – 10 = 10
Quando números grandes, fazemos:
16 13
1 7 4 13
7 8 5
9 5 8
Observe que quando o número que está em cima é subtraído por um
número embaixo maior que ele (3 – 5, por exemplo), é preciso
“emprestar do vizinho” do número de cima uma unidade, fazendo
com que este número fique com uma unidade a menos.
Este novo conjunto nos permite definir a operação de subtração bem como suas propriedades:
- Definição: a – b = c;
a, b e c є Z (onde c é único).
- Propriedades da subtração:
I) Elemento neutro ou nulo: a – 0 = a ; 0 – a = - a;
II) NÃO É COMUTATIVA: a – b ≠ b – a (lê-se a menos b é diferente de b menos a);
III) NÃO É ASSOCIATIVA: (a – b) – c ≠ a – (b – c);
IV) a – a = 0;
V)
a–b=c
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Estas propriedades de adição e subtração nos levam a algumas regras (intuitivas) sobre os sinais destas
operações:
A
b
c
+ se a > b
se b > a
+ se b > a
se a > b
Em geral, nos problemas que iremos resolver, teremos vários termos e passos para solucionarmos, para melhorar
as resoluções dos exercícios, utilizaremos símbolos que nos indicam qual operação fazer primeiro. Isto ficará claro
quando, lá na frente, você errar uma questão por conta de um sinal. Na Matemática, notação e organização são
importantíssimas! Por isso fazemos antes as contas entre parênteses ( ), depois as entre colchetes [ ] e, por último, as
entre chaves { }.
TENTE ESSA:
Agora vamos falar sobre a multiplicação. Como vimos antes, a multiplicação nos ajuda a fazer somas que se
repetem, como: 6 + 6 + 6 = 18 = 6 x 3 ou 6 . 3 = 18 (para facilitar a notação).
Da mesma forma que a adição e subtração, a multiplicação tem sua definição e suas propriedades. Veremos que a
multiplicação engloba os números naturais e os negativos, logo a multiplicação se aplica aos números inteiros. Assim,
definimos a multiplicação como:
↳ lê-se: para todo a, b e c pertencentes aos inteiros.
b vezes
- Propriedades:
Comutativa:
*Quando usamos letras, geralmente não colocamos o ponto
entre elas, ele pode ficar implícito: a(.)b + a(.)c = ab+ac.
Elemento neutro (1):
Associativa:
Distributiva:
*
Elemento nulo (0):
VERIFIQUE VOCÊ MESMO?
Talvez você não esteja acreditando que estas propriedades são válidas para
todos os números inteiros. Seja curioso: verifique e se convença!
Se você verificou, deve ter usado as regras dos sinais ‘+’ e ‘-’ na multiplicação, certo? Aqui estão elas, para
a x b = c:
a
B
c
É IMPORTANTE SABER AS REGRAS DE SINAIS!
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Lembro-lhe agora que a operação de multiplicação tem preferência sobre as de adição e subtração. Com isso,
fazemos antes as conta entre parênteses ( ), depois as de colchetes [ ] e, então, as entre chaves { }, calculando,
dentro delas, primeiro as operações de multiplicação para depois efetuar os cálculos de adição e subtração.
TENTE ESSA:
Devido às propriedades da multiplicação, bem como sua utilidade em diminuir e facilitar a notação da soma,
os espertos montaram uma tabela que deve ser conhecida por vocês ( pelo menos o nome é): a famosa tabuada!
Assim como os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 formam todos os outros e as somas e subtrações (levando
em conta os sinais), temos que a multiplicação destes números são as multiplicações básicas. Relembrando:
0)
a
0
0
0
b
0
1
2
c
0
0
0
0
9
0
6)
a
6
6
6
b
0
1
2
6 9
1)
a
+0 1
1
↵
↵
1
c
0 +6
6 ↵
12 ↵
b
0
1
2
c
0
1
2
+1
↵
↵
2)
a
2
2
2
3)
b c
a
0 0 +2 3
1 2 ↵ 3
2 4 ↵ 3
3
b
0
1
2
c
0
3
6
4)
a
+3 4
↵ 4
↵ 4
9
4
b
0
1
2
c
0 +5
5 ↵
10 ↵
9
2 9
7)
a
7
7
7
b
0
1
2
8)
c
a b
0 +7 8 0
7 ↵ 8 1
14 ↵ 8 2
9)
c
a b
0 +8 9 0
8 ↵ 9 1
16 ↵ 9 2
13)
c
a
b
0 +9 13 0
9 ↵ 13 1
18 ↵ 13 2
17)
c
a
b
0 +13 17 0
13 ↵
17 1
26 ↵
17 2
7 9
8 9
9 9
13 9
17 9
- O procedimento para fazer multiplicações é o mesmo que para
fazer contas de adição e subtração:
As menores (se você decorar a tabuada) se fazem facilmente:
4 . 3 = 12; 12 . 2 = 24; 14 . 7 = 98; 9 . 7 = 63
5
b
0
1
2
1
AQUI VAI UM CONSELHO: SAIBA-A DE COR E SALTEADO!!!!
9
c
0
4
8
5)
a
+4 5
↵ 5
↵ 5
9
c
0 +17
17 ↵
34 ↵
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Agora, com números grandes:
1
4 1
X
2 2
+
1
1
2
8
2
3
1
0 2
1
0
1
1
0
2
2
0
2
0
0
0
-
1
0
1
-
1
0
3
0
X
2 8 2
-
→ Dica: deixe as colunas organizadas e
cuide dos restos.
2
Se você pensar sobre os números e as operações que estamos estudando, irá notar alguns papéis
importantes do número zero e também deste sistema de contagem com algarismos na forma 0, 1,
2, 3, 4,..., 9. Quando estudarmos a História da Matemática, iremos ver que este sistema foi criado
pelo povo indiano. Temos vários outros sistemas de contagem (maias, egípcios, etc). Além deste
que utilizamos, há ainda outro usado para datas de séculos: é o sistema romano, que possui os
algarismos: I, V, X, L, C, D e M.
Experimente fazer as operações básicas com este sistema! Como fica a multiplicação neste sistema?
Divisão: O processo de divisão é o mais complicado das operações básicas, mas não deixa de ser intuitiva. Iremos
notar que, assim como na operação de subtração, teremos um grupo de números não inteiros, logo não são naturais. Estes
novos números acontecem, por exemplo, quando dividimos algo por alguma coisa maior, como dividir 1 por 2. Mas antes
de explorar estes novos números, vamos aprender o procedimento de conta da divisão.
Temos quatro formas diferentes de expressar uma divisão: 1 % 2 ou 1 : 2 ou 1/2.
De qualquer forma, nós sempre utilizamos o seguinte formato para calcular divisões:
a b
(lê-se: três divididos por dois)
Processos de divisão:
Para o caso em que a é maior que b fazemos:
1) procuramos o número multiplicado por b que nos resulta em um valor MENOR E MAIS DE PRÓXIMO OU IGUAL
À a. Fazemos, então, a tabuada do b. Imagine que a = 3 e b = 2, fazemos então:
2 x 0 = 0; 2 x 1 = 2; 2 x 2 = 4; 2 x 3 = 6; ...
Como 2 x 2 = 4 já ultrapassou 3, temos que o número 1 que multiplicado por 2 nos dá o valor MENOR E MAIS
PRÓXIMO DE 3. Assim, colocamos o valor 1 embaixo do 2 e colocamos o resultado da multiplicação 2 x 1 embaixo do
3. Veja:
3
2
- 2
1
Faz-se agora a subtração entre o que queremos dividir pelo resultado da multiplicação dos fatores que chegaram ao
menor e mais próximo valor inteiro de 3.
3
2
- 2
1
1 o que sobrou chamamos de RESTO.
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Além do RESTO temos ainda o DIVIDENDO, DIVISOR e QUOCIENTE:
Dividendo
3
2
Divisor
- 2
1
Quociente (Resultado)
1
Resto
Este é o resultado, por exemplo, de um problema de dividir igualmente três balas para 2 pessoas: cada pessoa
só ganhará uma bala e ainda restará uma bala. Observe que você sempre estará procurando por um número, que
multiplicado pelo divisor, seja ou dividendo ou o menor e mais próximo número dele.
Entendido o procedimento de conta com 1 algarismo no DIVIDENDO, vamos acrescentar mais um e verificar qual
é o processo: 33 / 2
1) Temos que verificar se o primeiro número do DIVIDENDO é
33 2
MAIOR do que o DIVISOR.
-2 16
2) Se sim, olhamos a tabuada do DIVISOR e procuramos um
13
número que multiplicado por 2 (neste caso) nos dá o resultado
-12
menor e mais próximo do DIVIDENDO (nesse caso, 3). Aqui, esse
1
valor é o número 1 (2 x 1 = 2), logo, ele vai embaixo do DIVISOR.
3) Fazemos a subtração.
4) Abaixamos o próximo número à direita.
5) Olhamos na tabuada do 2 o número que multiplicado por ele nos de 13 ou o menor e mais próximo dele,
colocamos esse valor embaixo do 13 e subtraímos.
6) Como não há mais número para continuar, a conta terminou e o RESTO = 1. O QUOCIENTE, resultado, é 16.
Logo se quiséssemos dividir igualmente 33 balas entre duas pessoas, cada uma irá receber 16 balas e sobrará 1.
MAS E SE NO SEGUNDO PASSO VERIFICARMOS QUE O PRIMEIRO NÚMERO À ESQUERDA É MENOR, O QUE
FAZEMOS?
Voltamos à tabuada do divisor até obtermos o menor e mais próximo ou igual inteiro do dividendo:
2x1=2
13
2
2x2=4
- 12
6 Resultado ou Quociente
2x3=6
1
Resto
2x4=8
2 x 5 = 10
2 x 6 = 12
2 x 7 = 14
Sabemos dividir números com 1 e 2 algarismos, para 3, 4 e assim por diante, o processo é o mesmo.
Ex:
1428 4
→ O 1º algarismo do dividendo (1) é menor
-12 357
do que o divisor (4), logo, juntamos os 2
022
↳ resultado ou quociente
primeiros e vamos à tabuada do 4.
-20
Baixamos o próximo número do dividendo
028
e vamos à tabuada, então trazemos para
-28
baixo o último algarismo do dividendo e
00
vamos aos múltiplos de 4.
Resto
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IMPORTANTE: quando o resto é igual a zero dizemos que o dividendo é divisível pelo divisor. No exemplo acima
então, 1428 é dividido por 4. Depois quando ficamos craques em fazer conta iremos observar certos padrões de
divisibilidade.
Além disso, os componentes de divisão seguem uma regra muito interessante: DIVIDENDO = DIVISOR X
QUOCIENTE + RESTO, então:
.
Se você observar com atenção irá verificar que a multiplicação é à base da divisão. Ao dividir estamos sempre
procurando qual número que multiplicado pelo divisor será o denominador ou o menor e mais próximo dele.
Por isso a importância da tabuada. A adição e subtração, diferentemente da multiplicação e divisão, são mais
intuitivas para a gente. Mas sabendo multiplicar, você saberá dividir!
Vamos exercitar! Faça de acordo com os procedimentos que desenvolvemos até aqui, e o principal: entenda-os.
Verifique, também, a fórmula DE = DI X QUO + RE:
a) 1723/3
b) 426/3
c) 512/6
d) 1024/8
e) 4178/123
Agora que sabemos dividir com vários algarismos no dividendo e um algarismo no divisor, vamos aumentá-lo no
divisor. Ex:
→ Veja que o processo é o mesmo: temos que analisar se os
142
12
primeiros dois números são maiores ou menores que o
-12
11
divisor e fazer a sua tabuada. 14 é maior que 12, logo,
22
↳ Resultado
vamos à tabuada do 12.
-12
10
Resto
=> Note que paramos sempre quando o resto é menor que o divisor.
112
-108
4
12
9
→ Quando os números do dividendo são menores, vamos
“abaixando” algarismos da direita até que ele seja maior que o
divisor. E, depois, vamos à tabuada. Neste caso, queremos
encontrar o número que multiplicado por 12 nos dê 112:
Vamos trabalhar:
a) 1024 20
c) 14716 1138
e) 1092 91
b) 512 101
f) 44567 886
d) 141 7
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Questão d:
141
-14
001
7
20
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=>
Qual número que multiplicado por 7 é menor e mais
próximo ou igual à 1? Vamos à tabuada:
Portanto, é o número zero ← 7x0 =0; 7x1=7....
Agora iniciamos com algumas divisões interessantes. Note que, até agora, fizemos somente procedimentos de
cálculos para divisões com DIVIDENDOS maiores do que os DIVISORES.
Mas o que irá acontecer se fizemos os divisores maiores que os dividendos?
A resposta é que vão surgir os números fracionários ou não inteiros ou decimais, que estarão sendo
acompanhados da vírgula, como por exemplo: 0,5.
O aparecimento destes números irá nos levar a criação de um novo conjunto de números: o conjunto dos
números racionais, que tem esse nome derivado de razões, que nada mais são do que as famosas divisões. A sua
definição será, então, que: Q = {a/b| a e b є Z}
(lê-se: o número a/b tal que ‘a’ e ‘b’ pertençam aos inteiros).
Se você pensar um pouco, perceberá que todos os números inteiros são racionas.
Ex: a = 4 e b = 2
, que é um inteiro.
Logo, assim como o conjunto dos naturais é um subconjunto do conjunto dos números inteiros, os conjuntos dos
números naturais e inteiros serão subconjuntos do conjunto dos números racionais. Entendido isso, vamos aprender
a fazer contas de divisão com o dividendo menor que o divisor.
- O procedimento é quase o mesmo que os anteriores, com um porém: os restos das nossas divisões TERÃO que
ser zero e, para tal, fazermos mais alguns pessoas e usamos a vírgula.
Ex: 10 2
-10 0,5
0
→ Quando o dividendo é menor que o divisor, acrescentamos o zero seguido de vírgula e colocamos um zero
ao denominador, isso porque o zero é o número que multiplicado pelo divisor resultará num número menor e
mais próximo do divisor.
→Depois vamos à tabuada do divisor e verificamos se há um número que multiplicado por ele dará um valor
menor e mais próximo ou igual ao denominador.
Ex:
4x0=0
4x1=4
4x2=8
4 x 3 = 12
4 x 4 = 16
4 x 5 = 20
10 4
-8 0,25
20
20
0
→ Diferentemente de antes, queremos que o resto
SEJA igual à zero, logo, acrescentamos um zero no
resto e vamos de novo à tabuada do divisor.
→
Podemos utilizar destes procedimentos para calcular as divisões de antes que não tinham o resto igual à zero.
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Ex:
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3 2
-2 1,5
10
→ Note que SEMPRE que acrescentamos o primeiro zero, seja no denominador ou no resto, isso irá acarretar no
aparecimento da vírgula no quociente. Se precisarmos de mais um zero no resto, isto não traz nenhuma mudança.
Veja:
30 4
-28 0,75
20
-20
0
Agora se precisarmos de mais de um zero teremos que acrescentar os
zeros no quociente. Ex:
100 100
1000 1000
-100 0,01
-1000 0,001
000
0000
Temos alguns casos em que não conseguimos zerar o resto.
Ex: = 10
3
→ Dizemos então que lá no infinito, o resto vai zerar e que
-9 0,333..
10
-9
1
↳ indica que se entende até o infinito.
Esses resultados dessas divisões são chamados de DÍZIMAS e, devido a elas se repetirem com um
determinado padrão, dizemos que são dízimas periódicas. Outro exemplo é:
220 101
... Dizemos que este valor é o período. É ele que
-202 0,217821782...
sempre se repete na dízima.
0180
-101
0790
-707
0830
-808
0220
-202
0180
-101
0790
-707
0830
-808
022
É BOM SABER! É possível determinar a fração que dá origem a uma dízima
periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima. Para as dízimas
simples, como 0,333..., a geratriz será o período no numerador e tantos noves
quantos forem os algarismos do período. Veja:
Para 0,333... → o período é 3, então temos que 0,333.. =
Para 0, 777... → o período é 7, então 0,777... =
Para 0,2323...→ o período é 23, então 0,2323... =
Para dízimas periódicas compostas (0,125252525...), colocamos no numerador a
parte não periódica, seguida do período, menos a parte não periódica; e no
denominador fazemos tantos noves quanto o período e tantos zeros quantos
forem os algarismos da parte não periódica. Observe:
0, 125252525 → A parte não periódica seguida pelo período é: 125;
O período é: 25; e o não período é: 1.
Assim: 0,1252525... =
e 0,04747... =
.
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Observe:
10000 1001
-9009 0,000999000999...
09910
↳ Período: 000999.
-9009
09010
-9009
00010000
→ 0 – este zero não mudou nada
Agora vimos todos os procedimentos para dividirmos os números inteiros. Com isso, vamos praticar:
a) 1024 14
b) 171 32
c) 4 10
d) 1 1001*
e) 47 22
f) 4478 56
g) 9876 54321
h) 10001 102 i) 7 5
j) 18 17
Dica: vai ter vezes em que você não achará o resto igual a zero, assim como na dízima periódica. Faça, nestes
casos, no mínimo 5 casas depois da vírgula.
k) 512 17
l) 763 48
o) 1092 78
p) 17 1048
m) 7769 105
n) 17964 3317
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É BOM SABER!
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE: Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que
permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade.
Divisibilidade por 2: Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja,
quando ele é par.
Exemplos:
1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.
2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.
Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for
divisível por 3. Exemplo: 234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível
por 3, então 234 é divisível por 3.
Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois
últimos algarismos da direita for divisível por 4. Exemplo:
1800 é divisível por 4, pois termina em 00.
4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.
1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.
3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.
Divisibilidade por 5: Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.
Exemplos:
1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.
2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0.
3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.
Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
Exemplos:
1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).
2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12).
3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3).
4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).
Divisibilidade por 7: Um número é divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do último algarismo e o
número formado pelos demais algarismos resulta um número divisível por 7. Exemplo: 41909 é divisível por 7
conforme podemos conferir: 9+9=18 4190-18=4172 2+2=4 417-4=413 3+3=6 41-6=35 que dividido por 7 é igual a 5!
Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos
três últimos algarismos da direita for divisível por 8.
Exemplos:
1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000.
2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.
3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.
4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA BÁSICA
Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for
divisível por 9. Exemplo: 2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é
divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.
Divisibilidade por 10: Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0. Exemplos:
1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0.
2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.
Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos
algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11. O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das
dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.
Exemplos:
1) 87549
Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22
Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11
Si-Sp = 22-11 = 11
Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.
2) 439087
Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10
Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21
Si-Sp = 10-21
Como a subtração não pode ser realizada acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao
minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0.
Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11.
Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4. Exemplos:
1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20).
2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4).
3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3).
Divisibilidade por 15: Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5. Exemplos:
1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5).
2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5).
3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3).
Divisibilidade por 25: Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75.
Exemplos: 200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25.
Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.
Exemplos:
1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.
2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.
3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA BÁSICA
Observações:
=> 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.
=> 2 é o único número primo que é par.
Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.
Exemplo: 15 têm mais de dois divisores => 15 é um número composto.
Reconhecimento de um número primo
Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até
que tenhamos:
=> ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo,
=> ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero.
Neste caso o número é primo.
Exemplos:
1) O número 161:
não é par, portanto não é divisível por 2;
1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;
não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo.
2) O número 113:
não é par, portanto não é divisível por 2;
1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;
não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).
por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e, além disso, o resto é diferente
de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.
Decomposição em fatores primos
Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores.
Decomposição do número 24 num produto:
24 = 4 x 6
24 = 2 x 2 x 6
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3
No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos.
Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é
23 x 3.
De um modo geral, chamamos de fatoração de um número
natural, maior que 1, a sua decomposição num produto de
fatores primos.
As propriedades da divisão
- A divisão é comutativa? Ou seja, ‘a’ dividido por ‘b’ é igual a ‘b’ dividido por ‘a’?
A resposta é não!
- A divisão possui algum elemento neutro?
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
A resposta é sim:
MATEMÁTICA BÁSICA
, logo 1 é o elemento neutro.
- A divisão é associativa? (a b) c = a
A resposta é não!
(b c)?
- A divisão é distributiva? a (b c) = a
A resposta é sim!
b + a c?
Uma propriedade importante é que: 0 a = 0, o que é óbvio se você pensar que se você tem nada e
vai dividir com os seus ‘a’ amigos, seus amigo não ganham nada!
E como ficarão as regras de sinal ‘+’ e ‘-’ na divisão?
a
b
c
IGUAL À TABELA DE SINAIS DA MULTIPLICAÇÃO!
E para fazermos as contas em que ambas, multiplicação e divisão, aparecem, e que possuem o mesmo peso e
devem ser feitas antes da adição e da subtração. Agora temos que: primeiro, fazemos as contas entre parênteses ( ),
depois as de colchetes [ ] e então as { }, calculando, dentro delas, multiplicações e divisões (não importa qual das
duas), para então efetuar as operações de adição e subtração.
TENTE FAZER ESTA:
E ISSO, QUANDO É?
Vamos, então, praticar o que aprendemos!
148
276
1048
+46
+73
+402
7042
+6451
12345
+7890
14048
+7723
771
+66
51
+32
1418
+810
98735
+4621
934
-73
111
-23
1010
-482
512
-91
1408
-202
144
-275
172
-282
548
-1057
3030
-6060
11111
-72634
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA BÁSICA
144
x72
708
x43
772
x56
987
x123
1044
x7020
2020
x7139
13
x19
111
x11
1576
x489
2578
x493
18043
x9072
1736
x 5
144 3
1404 42
1237 2
47 3
1771 13
216 20
14487 51
131
x19
2020 11
171
x18
9575
x489
44582 71
2522
x453
101 2
19943
x9006
1736
x 65
Se estiver cansado de fazer contas, descanse um pouco, porque as contas ainda não acabaram. Vamos aprender
agora como fazermos as 4 operações com os números racionais na forma decimal (ex: 0,25).
A adição e a subtração são simples, mas só lembre sempre de não perder a vírgula:
0,75
1,73
17,3
73,48
0,36
+0,45
+4,20
+4
+3,22
+0,64
1,20
5,93
21,3
76,70
1,00
0,75
-0,25
0,50
0,45
-0,85
-0,40
7,41
-8,89
-1,48
2123,1112
- 19,78
03,34
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA BÁSICA
A multiplicação também é simples, mas não perca a vírgula!
1
0,75
45,7
141,11248
x0,01
x8
x 0,023
0,75
37,6
423,444
0,00282,2960,075
000,000-000,000--003,246404
A vírgula “anda” conforme as casas da multiplicação. Na última casa, temos a vírgula do resultado que é a soma
de todas as casas. Mas o que você tem que entender é que a vírgula é só um indicador das casas numéricas. Isto se
dá devido à nossa forma posicional de formar os números, com isso, cada casa tem seu peso.
Agora na divisão, você deve seguir as nossas regras e procedimentos aprendidos, e prestar muita atenção na
vírgula.
→ Se o dividendo foi menor que o divisor, colocamos o zero
0,0,1 0,1
seguido de vírgula no quociente e a vírgula “anda” uma casa para
- 0,1 0,1
a direita no dividendo.
0,00
Isto pode parecer estranho a você, mas é só pensar que quando colocamos o zero no dividendo, estamos
aumentando uma casa decimal. Para aumentar uma casa de um número com vírgula, muda-se a vírgula em uma
casa. => 0,01 00,1 = 0,1 você deu uma unidade para este número, que é o que a gente fazia antes, na divisão
com números inteiros. A seguir, dois exemplos:
16,7 6,2
17,6 5,3
-12,4 2,693
-15,9 3,32075
4,3
* Afeta o quociente, é o
01,7
↳ 43,0
mesmo que por dois
↳ 17,0
37,2
zeros.
-15,9
5,8
1,1
↳ 58,0
↳ 11,0
55,8
-10,6
2,2
0,4
e assim vai...
↳ 4,0*
↳ 40,0*
e assim vai...
VAMOS PRATICAR?
a) 17,8 23,7
b) 118 0,1
c)155,2 76,4
d) 1024 2,2
e) 2,045
f) 4,75 0,73
0,022
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA BÁSICA
Vamos às frações agora. Por favor, preste atenção, pois esta é a melhor maneira de se fazer contas, utilizando
as divisões ou os números decimais na forma de fração.
A fração é a divisão entre o numerador e o denominador na forma
. Ex:
.
Como lemos frações:
Se for maior que 10, no denominador, lemos:
Se for maior que 10, no
denominador, lemos:
Três treze avos.
Como multiplicamos frações?
.
Simples! Multiplicamos em linha reta:
Denominador
2
3
4
5
6
7
8
9
10
100
Lê-se
Meio
Terço
Quarto
Quinto
Sexto
Sétimo
Oitavo
Nono
Décimo
Centésimo
E como dividimos frações?
.
Basta multiplicar em forma de ‘x’.
Isto se chama simplificar e vamos utilizar sempre quando fizermos operações com frações.
→ A notação em fração facilita a multiplicação e divisão de números racionais! Mas a adição e subtração mudam
um pouco, temos que fazer o famoso M.M.C (Mínimo Múltiplo Comum). Para fazê-lo precisamos saber os fatores de
dois ou mais números e, para isso, só é preciso dividi-los pelos seus múltiplos. Ex: os múltiplos de 6 são 1, 2 e 3, pois
6 é divisível por eles.
Na verdade, todo número é divisível por 1 e ele mesmo; e os números que são divisíveis somente por 1 e eles
mesmo são chamados números primos, todos os números são formados por um produto de números primos ou
são primos.
Para achar os múltiplos de um número fazendo o processo chamado de fatoração.
Exemplo: FATORANDO 8 E 15.
8,
15,
→ que é o M.M.C de 8 e 15.
4,
15,
Há alguns passos para a fatoração dos números:
15,
1) Na coluna da direita (onde estão os fatores), você só pode 2,
5,
usar os números primos e sempre seguir a ordem crescente deles, 1,
1
1
ou seja, não é possível fatorar um número por 5 para então
fatorá-lo por 3;
2) A fatoração termina após os números terem chegado a 1;
3) E se um número não foi divisível pelo fator, você repete na linha
abaixo até poder dividi-lo (Neste caso, observe o 15: por não ser divisível
por 2, ele foi repetido até chegar ao 3, um de seus múltiplos).
2
2
2
3
5
2x2x2x3x5 = 120
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA BÁSICA
Vamos praticar para entender melhor o M.M.C:
a) O M.M.C de 4, 12 e 21;
1 – Colocamos na forma →
2 – Achamos o menor múltiplo entre
os fatores e os dividimos até encontrarmos o ‘1’.
4,
12,
21
2*
2,
6,
21
2
1,
3,
21
3**
1,
1,
7
7***
1
1
1
2x2x2x3x7 = o
mmc é 84
* É o menor múltiplo de 4 e 12, mas não de 21;
** É o menor múltiplo de 3 e 21; *** É o menor
múltiplo de 7.
→ Observe como saber multiplicar e dividir, ou seja, saber a tabuada
fatoração facilmente!
5,
16,
30,
100
5,
8,
15,
50
5,
4,
15,
25
b) M.M.C de 5, 16, 30 e 100
5,
2,
15,
25
1 – Colocamos na forma →
5,
1,
15,
25
5,
1,
5,
25
2 – Fazemos a divisão dos
1,
1,
1,
5
fatorandos sempre com o menor
1,
1,
1,
1
múltiplo dentre eles.
muito bem, nos ajuda a fazer a
2*
2
2
2
3**
5***
5
2x2x2x2x3x5x5 = O
mmc é 1200
* É o menor múltiplo de 16, 30 e 100, mas não de 5; ** É o
menor de 15; *** É o menor de 5 e 25.
Agora, faça você sozinho:
a) 16, 46, 49 b) 17, 13
f) 75, 25, 21
c) 18, 100, 102
g) 45, 23, 24
d) 121, 74, 12
h) 15, 28, 36
e)20, 40, 100
i) 405, 1002
→ Você percebeu alguns números primos nestes exercícios? Diga quais e ache mais alguns que não estão aí.
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA BÁSICA
- Além do Mínimo Múltiplo Comum, temos o Máximo Divisor Comum (M.D.C), que é a multiplicação dos
diferentes múltiplos dos fatorandos. Veja:
M.D.C entre 36 e 90.
→ Para calcular o mdc, deve-se fatorar os
90
2
dois valores e então ver quais os múltiplos
36
2
em comum aos dois. No caso:
45 3
18
2
36 = 2 x 2 x 3 x 3 e 90 = 2 x 3 x 3 x 5
15 3
9
3
Os múltiplos em comum são: 2 x 3 x 3.
5 5
3
3
Assim, basta multiplicá-los e terá o mdc. ( 2 x
1
2x2x3x3
1 2x3x3x5
3 x 3 = 18, portanto o mdc entre 36 e 90 é
18).
Já que aprendemos à fatorar e achar o M.M.C, vamos agora somar e subtrair frações. Para começar, nas contas
de ‘+’ e ‘-’, os denominadores das frações tem que ser iguais. Veja:
→ Quando os denominadores são diferentes, deve-se
calcular o mmc (neste caso, 4) e colocá-lo como o
denominador nas duas frações.
.
→ Depois, fazemos o conhecido “dividir pelo número de
baixo, multiplicar pelo número de cima”.
→ Só assim podemos somar (ou subtrair) frações.
Em decimal temos que: 0,5 + 0,25 = 0,75.
→ VEJA QUE INTERESSANTE! A soma e subtração são mais simples quando na forma decimal, já a multiplicação e
divisão são mais fáceis na forma de frações!
Veja mais alguns exemplos:
21,
21,
7,
1,
6
3
1
1
2
3
7
7x3x2=42
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA BÁSICA
Observe que você não precisa pensar na divisão do mmc com o denominador, você já fez isso ao fatorá-lo.
Consegue explicar e exemplificar isto? O cálculo de subtração fica igual.
Aprendemos a fazer as 4 operações com frações, vamos entender agora como simplificá-las:
Por exemplo:
O que fizemos aqui nada mais foi do que encontrar os múltiplos comuns do
numerador e denominador fatorando-os:
16,
24
2
8,
12
2
4,
6
2
2,
3
2
Esse múltiplo afetou só o 16.
1,
3
3
Esse múltiplo afetou somente o 24.
1,
1
Esse múltiplo afetou os dois fatorandos
Ao fatorarmos um número, descobrimos como ele é composto através da multiplicação de seus múltiplos. Assim,
16 = 2 x 2 x 2 x 2 e 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
SE O NÚMERO NÃO FOR PRIMO, ELE SERÁ UM COMPOSTO DE MÚLTIPLOS PRIMOS.
Isso nos ajuda a fazer uma divisão. Observe com atenção:
→ Como podemos fazer a divisão antes da multiplicação, nós podemos
cortar os fatores iguais.
Você vai observar que, se o número não for primo, ele sempre será composto por números primos.
E os principais números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73,79,
83, 89, 97, 101, 103...
Então podemos compor todos os outros números através da multiplicação de primos. Exemplos:
4 = 2 x 2; 6 = 2 x 3; 12 = 2 x 3 x 3; 15 = 3 x 5; 21 = 3 x 7; 33 = 3 x 11, e por aí vai.
Observe como fica a divisão de números decimais (com vírgula) utilizando a forma de fração:
Todo número decimal (racional) pode ser escrito em termos de frações na base 10 (ou seja: 10, 100, 100 e assim
por diante).
Exemplo: 7,4
0,1 =
0,01 =
0,745 =
.
- Isto é uma consequência da nossa notação que depende da posição dos números.
Logo podemos fazer:
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA BÁSICA
A multiplicação fica fácil também:
0,01 x 4,2 =
7,2 x 1,02 =
72 = 2x2x2x3x3;
102 = 2x3x17;
10 = 2x5;
100 = 2x2x5x5
72,
36,
18,
9,
3,
1,
1,
1,
102,
51,
51,
51,
17,
17,
17,
17,
10,
5,
5,
5,
5,
5,
1,
1,
100
50
25
25
25
25
5
1
1,
1,
1,
1
2
2
2
3
3
5
5
17
7,2 x 1,02 =
VAMOS EXERCITAR?
a)
b)
g)
h)
c)
i)
d)
j)
e)
k) 0,25 0,04
f)
l)
m)
s) Fatore 137, 178, 1049, 1090 t) 14,2x1041,2 – 151,5/18,09 u) 10,91x181,1/21,8 – 192,78/90,01*2,2
v) 19,21+5/3-8/19+15,4.1,6
x) MMC e MDC de 98,144,248,921
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA BÁSICA
SE VOCÊ AINDA ESTIVER COM DÚVIDA EM FATORAÇÃO, MMC E MDS LEIA ESTE MATERIAL QUE COMPLEMENTA O
APRESENTADO ANTERIORMENTE!
Observe um pouco mais as regras práticas para a fatoração, M.M.C. e o M.D.C:
Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhem, no exemplo, os passos para montar
esse dispositivo:
1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;
2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor
divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até
obter o quociente 1.
A figura ao lado mostra a fatoração do número 630.
Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.
630 = 2 x 32 x 5 x 7.
Determinação dos divisores de um número:
Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos.
Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90:
1º) decompomos o número em fatores primos;
2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque
ele é divisor de qualquer número;
3º) multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos
divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado
de cada fator primo;
4º) os divisores já obtidos não precisam ser repetidos.
Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
Máximo Divisor Comum: Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns
de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e
indicamos m.d.c.(12,18) = 6.
O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum
desses números. Usamos a abreviação m.d.c.
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA BÁSICA
CÁLCULO DO M.D.C.: Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses
números em fatores primos:
1) decompomos os números em fatores primos;
2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.
Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:
36 = 2 x 2 x 3 x 3
90 =
2x3x3x5
O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3
Portanto m.d.c.(36,90) = 18.
Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:
36 = 22 x 32
90 = 2 x 32 x5
Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18.
O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada
um elevado ao menor expoente.
Mínimo Múltiplo Comum: Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3. 24 também é múltiplo de 1, 2, 3,
4, 6, 8, 12 e 24.
Se um número é divisível por
dizemos que ele é múltiplo desse outro.
outro,
diferente
de
zero,
então
Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais.
Exemplo: os múltiplos de 7 são:
7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...
Observações importantes:
1) Um número tem infinitos múltiplos
2) Zero é múltiplo de qualquer número natural
Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:
Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,...
Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...
Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,...
Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo
comum de 4 e 6.
O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo
múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c.
CÁLCULO DO M.M.C.: Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o
cálculo do m.m.c. de 12 e 30:
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1º) decompomos os números em fatores primos
2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não comuns:
12 = 2 x 2 x 3
30 =
2 x 3 x 5
m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5
Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos:
12 = 22 x 3
30 = 2 x 3 x 5
m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5
O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores
comuns e não comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.
PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA: Neste processo
decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo
como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que
obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado
vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60)
Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120
PROPRIEDADE DO M.M.C.
Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o
m.m.c.(3,6,30). Observe:
m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30
Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então
ele é o m.m.c. dos números dados.
Considerando os números 4 e 15, que são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto
de 4 por 15. Observe:
m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60
Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números.
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Vamos agora a uma nova operação, chamada POTENCIAÇÃO, que nada mais é uma multiplicação de vários fatores iguais.
4
Exemplo: 2x2x2x2 = 2 (lê-se: 2 elevado à quarta (potência)).
b
Na potenciação a , chamamos o número a de base e o número 4b de expoente.
Nada de mais, não é? Essa operação irá nos ajudar a trabalhar com a próxima operação: a radiciação (a nossa tão conhecida
raiz). Mas, antes, algumas propriedades da potenciação:
3 2
(2 ) = 2
2
3
3x2
6
=2 →
2+3
2 x2 = 2
5
=2 →
→
Temos, ainda, que:
, e, por fim:
Usaremos muito as potências na base 10, como 101, 102, 10-3. Observe que 101 = 10 e 102 = 100, 10-1 =
= 0,1 e
assim vai.
Importante: 8 = 2x2x2 = 23, ou seja, 8 = 23 (o número 8 pode ser expresso com um múltiplo ao cubo). Você
conhece mais algum?
- RADICIAÇÃO:
A operação de radiciação nos leva ao termo “raiz quadrada (√)”. Ela nos informa se o número pode ser expresso
em um múltiplo ou um produto ou potência de múltiplos.
Exemplos:
Mas como fazemos as contas?
É só pensar que a raiz é um expoente! A raiz quadrada possui expoente , a raiz cúbica, , e assim vai. Com isso
em mente, utilizamos a fatoração e as regras da potenciação:
O interessante da operação de radiciação é que ela nos resulta em alguns grupos de números que não são
naturais ou inteiros ou racionais. Um dos novos grupos desses números forma o conjunto dos números irracionais
que são os números que não podem ser expressos por uma razão, um exemplo é a :
→ Esses números são dízimas não periódicas.
A definição do conjunto dos números irracionais é:
*}
Pergunta: Como nós lemos isto?
O outro grupo de números que a radiciação nos leva a encontrar é ao pensarmos que:
pois (2)2 = 4 e (-2)2 = 4 (por isso acrescentamos ± à raiz).
Mas e
: quanto é? É 2? É -2?
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Não há um número natural ou inteiro ou racional ou irracional que resolva esta
negativos). Para acharmos a raiz de números negativos define-se que
(raízes de números
, de modo que
:
Observe que i2 = -1.
Este grupo de números gera um novo conjunto, o conjunto dos números imaginários. Cria-se, então, um conjunto
que engloba todos os grupos dos números naturais, inteiros, racionais e irracionais chamando-o de conjunto dos
números reais (IR). (Na verdade, como o conjunto dos números racionais engloba os naturais e inteiros, temos que:
IR = Q U I  (lê-se: o conjunto dos reais é igual a união (U) dos conjuntos numéricos racionais e irracionais)
Iremos estudar depois certos números que são reais e imaginários (ex: 2 + 2j ->
parte imaginária), com isso fazemos um conjunto que engloba todos os números:
o conjunto dos números complexos (C), que contempla os reais e os imaginários.
- Conjuntos Numéricos: os números como conhecemos hoje são divididos em 5 (cinco) grupos – conjuntos. São
eles:
 Conjunto dos números NATURAIS ℕ = {0;1;2;3;4;5;6;...}
 Conjunto dos números INTEIROS
ℤ = {...; -3; -2;-1;0;1;2;3;...}
 Conjunto dos números RACIONAIS
 Conjunto dos números IRRACIONAIS
ℚ={ |a
Z e b Є Z*}*
ⅈ = {x ≠ | a
Zeb
Z*}
*Lê-se: um número qualquer, ‘a’, dividido por outro número qualquer, ‘b’, tal que (|) que ‘a’ pertença ( ) aos
inteiros (Z) e b pertença aos inteiros sem o zero (Z*).
Vimos neste material básico uma introdução à teoria dos números e os procedimentos de cálculos para
operações com os números reais. Vamos exercitar nossos conhecimentos adquiridos.
a) 412 + 7201
b) 74765 – 88932
c) 74 x 23
d) 101 7
e) 102 x 144
f) 404023 22
g) 0,045 : 4,7
h) 0,3 x 81,6
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)mmc e mdc de 27, 48, 333,100
r)
t)
u)
v)
y)
z)
s)
x)
w)
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Até agora, nós aprendemos a fazer soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação com o
conjunto dos ℝeais (que engloba os naturais, os inteiros, os racionais e irracionais).
Saber fazer estas operações sobre esse conjunto de números é à base de nossa matemática, com isso, não se
preocupe se ficou com muitas dúvidas, trabalharemos nas primeiras aulas fazendo muitas contas para você aprender
bem todas. Você vai passar a notar que precisaremos de todos os conhecimentos que adquirimos até agora e ainda
entender o que o problema matemático está pedindo. Mas, agora, vamos seguindo com os próximos assuntos de
nossa revisão de matemática básica.
Primeiro, definiremos certos aspectos que nos ajudarão na notação e cálculo mais para frente.
Números proporcionais:
Nós já sabemos que (onde
*) é uma razão entre dois números quaisquer que estão no
conjunto dos reais (Ex: 0, 1, 2,
mais razões
para d.
, , - 2, - 4; 0,25; - 0, 4). Então, definimos: proporção, a igualdade entre duas ou
é uma proporção e podemos ler que a está para b assim (ou na mesma proporção) como c está
Lembre-se que
* (que é o conjunto dos reais sem o número zero, pois, como falamos
antes, divisão por zero não existe, dizemos que é indeterminada).
Propriedades da Proporção:
1)
2)
3)
Preste atenção agora: dizemos que duas ou mais grandezas são diretamente proporcionais quando ao
aumentarmos ou diminuirmos alguma das grandezas, as outras aumentam ou diminuem na mesma proporção.
Mas o que são grandezas? Uma grandeza está associada às “coisas” do nosso mundo que podemos medir
mensurar, contar, enfim, expressar em termos de números. Exemplos: área, velocidade, tempo, dinheiro, etc.
Se você corre 10 metros em 5 segundos, quando tiver 10 segundos, correrá 20 metros (o dobro). Dizemos que
as grandezas de tempo e quantidade de espaço que você corre são diretamente proporcionais, pois se você
aumentar alguma, a outra também aumenta. Se você diminuir, a outra também diminui.
Agora considere este exemplo: Você está em casa em seu computador, vendo o seu Facebook, e seu amigo lhe
manda três links de vídeos. Você abre os três ao mesmo tempo e logo vê que sua internet fica lenta, ou seja, quanto
mais links você acessa simultaneamente, mais a internet ficará lenta. Assim, a quantidade de links e a velocidade de
sua internet são INVERSAMENTE PROPORCIONAIS.
Podemos tirar os seguintes raciocínios:
Considere
Se
PROPORCIONAIS. Mas se
(lê-se: a grandeza ‘a’ aumenta) e
e
, as grandezas ‘a’ e ‘b’ são DIRETAMENTE
, as grandezas são INVERSAMENTE PROPORCIONAIS.
Olhe que interessante: do exemplo anterior, em que você corria 10 metros em 5 segundos, temos que se você
tiver 10 segundos, atravessará 20 metros. Considere agora que o tempo que você tem é representado pela letra ‘b’ e
a quantidade de metros percorridos, ‘a’. Matematicamente, temos:
Mas se você tiver b = 10, o a = 20; logo, sempre
, teremos a RAZÃO DE DUAS GRANDEZAS
DIRETAMENTE PROPORCIONAIS. Ou seja, se você triplicar o tempo, você percorrerá o triplo da distância. E assim por
diante. E com as grandezas inversamente proporcionais, o que acontece?
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Voltemos ao exemplo da internet. Supomos que sua internet seja de 24MB e cada link que você acessa irá ter
custar 2MB. Seja, então, a = 24MB e b = 2MB, temos que
, mas se você acessar mais um link terá que
. Acessam-se três:
, e assim por diante até que você acesse 12 links e
O resultado
da razão é a sua nova velocidade de internet disponível. Perceba que a razão não é constante, mas sim o produto
entre a sua nova velocidade pela quantidade de links acessados, neste caso, no resultado constante de 24MB, a
velocidade total da internet.
Entendido as grandezas direta e inversamente proporcionais, passamos para a famosa regra de três, que nada
mais é do que uma ferramenta que nos permite obter uma grandeza desconhecida em uma proporção. Para isso,
fazemos o seguinte procedimento:
1) Reunimos em uma mesma coluna as grandezas de igual espécie e de mesma unidade de medida;
2) Verificamos se as grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais;
3) Escrevemos a proporção correspondente e resolvemos.
Exemplo: João participou de uma promoção onde ganharia R$ 0,10 a cada cinco amigos que curtissem seu link
no Facebook. Se João ganhou, no total, R$ 12,00 quantos amigos curtiram o link?
Passo 1 – Unidades de medida iguais numa mesma coluna:
Reais
Amigos
0,10
5
12,00
x
→ Neste problema temos as grandezas que
envolvem dinheiro e quantidade de amigos. O
que queremos saber fica com a letra ‘x’, a
quantidade final de amigos que curtiram o link da
promoção.
Passo 2 – Grandezas diretamente ou inversamente proporcionais:
Reais
Amigos
0,10
5
12,00
x
→ Se a quantidade de amigos aumenta a quantidade
de dinheiro ganho por João, logo as grandezas são
diretamente proporcionais (representado,
graficamente, pelas flechas no mesmo sentido, da
grandeza menor para a maior).
Passo 3 – Montar a expressão e resolver:
→ Montamos a proporção e multiplicamos em
forma de ‘x’, assim como a propriedade 1 das
proporções. Isolamos o x e calculamos.
Vamos agora a outro exemplo: Imagine um trem que se desloca a 200 km/h e faz um percurso de uma
cidade à outra em 3 horas. Se a velocidade do trem fosse de 250 km/h, em quanto tempo se faria o mesmo
percurso?
1º passo: arranjamos as grandezas na forma de tabela:
Velocidade
Tempo
(km/h)
(s)
200
3
250
x
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2º passo: verificamos se as grandezas são inversa ou diretamente proporcionais:
Velocidade
Tempo
→ Se a velocidade aumenta, o tempo
(km/h)
(s)
em que o trem percorre o caminho
200
3
diminui: logo grandezas inversas,
flechas contrárias.
250
x
3º passo: montamos a equação e resolvemos:
Velocidade
Tempo
(km/h)
(s)
3
200
250
x
LEMBRE-SE: QUANDO SÃO GRANDEZAS INVERSAS, MULTIPLICA-SE EM LINHA RETA (NUMERADOR COM
NUMERADOR, DENOMINADOR COM DENOMINADOR); JÁ COM AS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS, MULTIPLICASE EM FORMA DE X.
Vamos exercitar:
1) Se trabalhando 8 horas por dia, uma equipe termina um trabalho em 10 dias, em quantos dia dias este trabalho
seria feito se a equipe trabalhasse apenas 6 horas por dia?
2) Você comprou 3 chocolates de R$ 3, quanto você gastaria se comprasse 7 chocolates?
3) O trem bala no Japão anda a 400 km/h e faz um percurso em 4 horas. Se a velocidade fosse de 360 km/h
quanto tempo este trem levará para fazer o mesmo percurso?
4) Um avião faz, em uma hora, 700 km, em quantas horas ele faria um percurso de 1200 km?
Regra de três composta: é como a regra de três normal, só que com uma grandeza a mais. Agora analisamos 3
grandezas. O segredo aqui é organizar em forma de tabela, depois analisarmos separadamente cada grupo de
grandezas com o grupo que tem a incógnita (o ‘x’). Vemos se elas são inversas ou diretamente proporcionais e
fazemos as contas.
Exemplo: 12 homens fazem 4 produtos em 6 dias. Em quantos dias, 10 homens fariam
6 produtos?
1 – tabela:
Homens
Dias
Produtos
→ DICA: Deixe a grandeza com a
12
6
4
10
x
6
2 – analise separada das grandezas:
Homens
Dias
12
6
10
x
incógnita no meio.
→ Se 12 homens fazem tantos produtos em 6 dias, 10 homens
irão fazer tantos produtos em mais dias, pois estão em menor
número de trabalhadores, logo, as grandezas são INVERSAS (=)
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Dias
Produtos
6
4
x
6
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→ Se tantos homens em 6 dias fazem 4 produtos, para
fazer 6 produtos, tantos homens precisarão de mais dias,
portanto: grandezas diretamente proporcionais (x).
3 – Fazemos os cálculos:
Outro exemplo: Se 4 pedreiros levam 3 dias para construir um muro com 2 metros de altura, quantos
dias serão necessários para 6 pedreiros fazerem um muro com 5 metros?
1º passo: tabela.
Pedreiros
Dias
Metros
4
3
2
6
x
5
2º passo: análise das grandezas. Se 4 pedreiros fazem um muro em 3 dias, 6 pedreiros irão fazer um muro em
menos dias, logo, grandezas inversas (=).
para
Pedreiros
4
Dias
3
6
x
Dias
Metros
3
2
x
5
Se em 3 dias alguns pedreiros fazem um muro de 2 metros,
fazer um muro de 5 metros, demorariam mais dias, portanto,
grandezas diretamente proporcionais (x).
3º passo: contas.
Vamos praticar:
1) Se 5 torneiras enchem uma banheira em 30 minutos, quantas torneiras serão necessárias para encher 3
banheiras em 45 minutos?
2) 7 homens descarregam 1020 telhas em 2 horas. Quantas telhas 9 homens em 5 horas conseguem descarregar?
3) Se são necessários 30 homens trabalhando durante 7 dias para construir 15 km de estrada asfaltada, quantos
homens são necessários para fazer 35 km durante 9 dias?
Usualmente, quando vamos às compras, ouvimos expressões do tipo: “Toda loja com 25% (vinte e cinco por cento
) de desconto.” Chamamos o símbolo % de por cento, pois ele indica uma divisão por cem, ou seja: 25% = 25 /100.
Esta linguagem é usada pelos lojistas e contadores, ela informa geralmente o quanto se desconta ou ganha de um
todo que neste caso é o 100%, Veja que 100% = 100/100 = 1, ou seja, o todo vale 1 o que simplifica as contas.
Vejamos um exemplo: “Uma camisa da Seleção Brasileira custa R$200,00, mas devido à uma promoção, quem
compra lá ganha 12% de desconto.” Como fazemos a conta de quanto iremos pagar pela camisa?
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RESPOSTA: fazemos uma regra de três simples!Dizemos que o preço da camisa, R$200,00, é 100% e o desconto é
12%, nossa incógnita é quanto em reias vale 12%.
REAIS
%
200
100
X
12
200.12=100.x => x=24
Ou seja, 12% de desconto na camisa equivale à menos R$24,00 do preço total, R$200,00. Logo você pagará pela
camisa R$200,00 – R$40,00 = R$176,00!
VAMOS PRATICAR:
1) Se em uma loja temos 15% de desconto em tudo, quanto você pagará de uma calça que custa R$125,00?
2) Uma empresa ao contratar um empregado deve pagar 17% do salário dele para o governo. Se um engenheiro
contratado ganha R$3.500,00 quanto à empresa gasta para ter um engenheiro?
3) Todo ano quem ganha mais de uma quantia por mês deve pagar o imposto de renda que para um salário de R$
12.000,00 a taxa é de 22% ao ano. Quanto que uma pessoa que ganha que ganha este salário paga de imposto de
renda?
4) Uma pessoa vai em média 4 vezes ao banheiro por dia e demora em média 5 minutos. Quanto tempo ela levou
indo ao banheiro em uma vida de 78 anos? Quantos por cento?
Vamos praticar tudo o que aprendemos:
Exercícios de operações básicas:
a) 14.723 + 974.310 – 4/25 . { 1.725 . 4 – 3 [25/19 + 14/27]}
b) 14.080 ÷ 172
c)
.
d)
- 24.077 + 22.728 . (
-
)
7,896 X 23.785
e)
-
+
. (0,47 – 28,72)
f)
g)
.
h) -
–
{
-
. +
.[
-
.(-
+
)] - }
Exercícios de fatoração, MDC e MMC, potenciação e raiz:
1)
a)
b)
c)
d)
e)
Fatores e encontre o MDC e o MMC de:
17, 248, 373
208, 1.024, 375
12.472, 487
625, 256, 1.296
773, 244, 892
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2) Calcule
a)
-
b)
+2
–
c)
.
d)
+
+
+
+
+
-
-
+
Exercícios de razão, proporção, porcentagem e de regra de 3:
Se 20 pessoas desperdiçam 52 kg de comida em 12 dias, em quantos dias 15 pessoas desperdiçariam 12 Kg?
Teus pais fizeram uma poupança para você que rende 0,06% ao mês. Se seus pais colocam R$75,00 por mês
quanto que você terá no final de 5 anos? Suponha que você irá tirar este dinheiro mais deverá pagar um imposto por
isso de 2,4%. Quanto você irá tirar? Quanto de dinheiro você ganhou com os juros da poupança de 0,06% ao mês e
quanto você perdeu com o imposto de 2,4%?
Se em 4 meses 13 pessoas consomem 320 carteiras de cigarro em quantos meses, 18 pessoas consumiriam 470?
Imagine que uma carteira de cigarro custa R$2,75 e que o imposto sobre ele é de 53%, quanto que as 18 pessoas
pagariam de imposto? E as outras 13 pessoas?
Em média uma família de 4 pessoas gasta por mês em mercadorias R$800,00. Quantos meses, uma família de 8
pessoas gastará em média R$2400,00. Em média os juros com mercadorias são de 16%. Quanto que uma família de 4
pessoas paga para o governo em 1 ano? E a de 8 pessoas?
Se (3, x, 14, ...) e (6, 8, y, ...) forem grandezas diretamente proporcionais, então o valor de x + y
é:
a) 20 b) 22 c) 24 d) 28 e) 32
Calcular x e y sabendo-se que (1, 2, x, ...) e (12, y, 4, ...) são grandezas inversamente proporcionais.
Dividir o número 160 em três partes diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5.
Repartir uma herança de R$ 495.000,00 entre três pessoas na razão direta do número de filhos e na razão inversa
das idades de cada uma delas. Sabe-se que a 1ª pessoa tem 30 anos e 2 filhos, a 2ª pessoa tem 36 anos e 3 filhos e a
3ª pessoa 48 anos e 6 filhos.
·.
Dois números estão na razão de 2 para 3. Acrescentando-se 2 a cada um, as somas estão na razão de 3 para 5.
Então, o produto dos dois números é: a) 90 b) 96 c) 180 d) 72 e) -124
Se (2; 3; x; ...) e (8; y; 4; ...) forem duas sucessões de números diretamente proporcionais, então:
a) x = 1 e y = 6 b) x = 2 e y = 12 c) x = 1 e y = 12 d) x = 4 e y = 2 e) x = 8 e y = 12
Sabe-se que y é diretamente proporcional a x e que y = 10 quando x = 5. De acordo com estes dados, qual:
a) a sentença que relaciona y com x? b) o gráfico da função f: [-2; 3] definida pela sentença anterior?
c) o valor de y quando x = 2?
São dados três números reais, a < b < c. Sabe-se que o maior deles é a soma dos outros dois e o menor é um
quarto do maior. Então a, b e c são, respectivamente, proporcionais a:
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a) 1, 2 e 3 b) 1, 2 e 5 c) 1, 3 e 4 d) 1, 3 e 6 e) 1, 5 e 12
Dividindo-se 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5, a soma entre a menor e a maior parte é:
a) 35 b) 49 c) 56 d) 42 e) 28
Três pessoas montam uma sociedade, na qual cada uma delas aplica, respectivamente, R$ 20.000,00, R$
30.000,00 e R$ 50.000,00. O balanço anual da firma acusou um lucro de R$ 40.000,00. Supondo-se que o lucro seja
dividido em partes diretamente proporcionais ao capital aplicado, cada sócio receberá, respectivamente:
a) R$ 5.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 25.000,00 b) R$ 7.000,00; R$ 11.000,00 e R$ 22.000,00
c) R$ 8.000,00; R$ 12.000,00 e R$ 20.000,00 d) R$ 10.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 20.000,00
e) R$ 12.000,00; R$ 13.000,00 e R$ 15.000,00.
Uma gravura de forma retangular, medindo 20 cm de largura por 35 cm de comprimento, deve ser ampliada para
1,2m de largura. O comprimento correspondente será:
a) 0,685m b) 1,35m c) 2,1m d) 6,85 e) 18m
Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100m² em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em
quanto tempo limpará uma área de 11900m²?
a) 7 horas b) 5 horas c) 9 horas d) 4 horas e) 6h e 30min
Num acampamento avançado, 30 soldados dispõem de víveres para 60 dias. Se mais 90 soldados chegam ao
acampamento, então, por quanto tempo o acampamento estará abastecido?
Um alfaiate pagou R$ 960,00 por uma peça de fazenda e R$ 768,00 por outra de mesma qualidade. Qual o
comprimento de cada uma das peças, sabendo-se que a primeira tem 12m a mais do que a segunda?
De duas fontes, a primeira jorra 18l por hora e a segunda 80l. Qual é o tempo necessário para a segunda jorrar
a mesma quantidade de água que a primeira jorra em 25 minutos?
Uma impressora a laser, funcionando 6 horas por dia, durante 30 dias, produz 150 000 impressões. Em
quantos dias 3 dessas mesmas impressoras, funcionando 8 horas por dia, produzirão 100 000 impressões?
a) 20 b) 15 c) 12 d) 10 e) 5
Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiência, são capazes de produzir 500 peças em 5 dias, se operarem 5
horas por dia. Se 10 máquinas iguais as primeiras operassem 10 horas por dia, durante 10 dias, o número de peças
produzidas seria de:
a) 1000 b) 2000 c) 4000 d) 5000 e) 8000
Empregaram-se 27,4kg de lã para fabricar 24m de tecido de 60 cm de largura. Qual será o comprimento do
tecido que se poderia fabricar com 3,425 toneladas de lã para se obter uma largura de 0,90m?
Uma destilaria abastece 35 bares, dando a cada um deles 12 litros por dia, durante 30 dias. Se os bares fossem
20 e se cada um deles recebesse 15 litros, durante quantos dias a destilaria poderia abastecê-los?
Uma família composta de 6 pessoas consome, em 2 dias, 3 kg de pão. Quantos quilos serão necessários para
alimentá-los durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?
a) 3 b) 2 c) 4 d) 6 e) 5
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA BÁSICA
Vamos agora a uma área importante da matemática que se chama ÁLGEBRA. Nela iremos usar todo nosso
conhecimento com as operações com números usando letras. Se você acha que isto só complica as coias e é inútil
está totalmente enganado. O que você DEVE ter em mente é que as letras representam um número em um
problema aonde você não sabe qual número é. Nós já fizemos isto colocando “x” na regra de três, onde tínhamos a
incógnita (o número que faltava) do problema, e o x era a solução do problema.
Mas agora iremos fazer mais que isto, iremos aprender como as operações se comportam na álgebra fazendo elas
com letras que irão representar todos os números do conjunto dos reais. Isto mesmo uma letra será todos os
números que até agora trabalhamos e aí é que esta a maravilha: sabendo o resultado de uma operação com letras
sabemos o resultado para todos os números. Vamos então para os cálculos algébricos:
Vamos primeiro à nomenclatura: exemplo é o 3b que nada mais é do que 3 vezes um número qualquer b.
Dizemos que o número 3 é uma constante, pois ele é sempre 3. Já o número b diz que ele é uma variável, pois ele
pode ser -2, -10, 0, 4, 5 dependendo do que quisermos. Logo b muda conforme o problema, com isso dizemos que
ele é uma variável.
Então, para somarmos números em forma de letras fazemos:
Ex: a+a = 2a; a+a+d=2a +d; a+b+c =a+b+c.
Veja que embora todas as letras possam representar todos os números ao dizermos que a letra “a” é um número
assim como “b” então não sabemos quais são os números a e b logo não podemos somá-los dizendo que a+b=2a ou
a+b=26 ou a+b=a.b, mas a+a = 2a, pois a letra “a” representa o mesmo número nesta operação e 2+2=2.2=4, mas
4+3=7 e não 4+3=2.4 ou 2+3=2.3 ou 4+3=4.7 é só você conferir a lógica colocando certos números nas letras.
a+0 = 0+a=a
E a subtração como fica?
Ex: a-a = -2a;
a-b=a-b
e
a-a-b=-2a-b;
a-a=-a.
Observe como o sinal se comporta e jogue números para ver se isto está certo.
A multiplicação como fica? Observe com atenção:
Ex: a.a=a2; a.b = a.b e a.a.b = a2b
E a divisão como fica? Observe com atenção:
Ex: = 1;
=
;
=
= b = -1 ;
=
=0
Note como utilizamos a notação de potência e também várias outras formas de representações aprendidas
antes. Apesar dos exemplos serem aqui a forma de explicar as operações com letras lembrem-se que lá no começo
quando definimos as propriedades das operações nós as fazíamos com letras, pois elas nos mostram os casos gerais
e com isso as propriedades. Esses exemplos são as propriedades das operações assim como para a potenciação e
radiciação temos:
=a
=
=
=
=
=1
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA BÁSICA
Entendido as propriedades iremos começar a fazer contas algébricas e aqui iremos sempre utilizar um processo
chamado simplificação que não tem uma regra geral você terá que aprender através da experiência, ou seja, m
fazendo exercícios. Na verdade nós já falamos sobre simplificar equações quando fatoramos, ao invés de usar o
número 28 nós escreveríamos ele através da multiplicação dos seus fatores ou divisores 2 e 7, ou seja, usamos a
igualdade 28=2.2.7.
Como isso facilita (simplifica) uma conta de dividir? Exemplo:
=
=
=4
Fatoramos aqui dois números e vimos que são expoente com base 2 logo escrevemos em forma de potência e
fizemos as contas. Você pode pensar assim “mas e como eu vou saber isso?” eu te respondo “Fazendo exercícios!”. É
assim que você aprende matemática. Outro exemplo de simplificação é:
.
=
.
=4
Fatorando 256, 49, 112 e 14 e escrevendo em termos dos seus múltiplos podemos simplificar a expressão, pois
tanto podemos multiplicar como dividir em qualquer ordem neste caso. Iremos ver que com as letras também
podemos simplificar as expressões de modo a chegarmos em um resultado simples. Observe:
=
=
=
=
=
Viu como simplificou?
Se falássemos que a=0,1 e b=0,4 e você somente tivesse a expressão do lado esquerdo você teria que fazer mais
conta do que se você simplificasse a expressão e obtivesse o lado direito e calculasse através dele.
Para definirmos melhor essa álgebra vamos ao conceito de monômios: Os monômios são expressões algébricas
representando o produto de constantes e variáveis. Ex: 2ab2 (2 é constante, a e b variáveis)
Dizemos que os monômios são semelhantes quando a parte das variáveis é idêntica. Ex: 2ab2 e 5ab2.
Verificações de alguns exemplos: a) 3ab = 3ab2? b) ab2c = 2cab2? c) 4a2b3 = 3ab3?
Somamos e subtraímos monômios mantendo a parte variável e fazendo as operações nas constantes (que são as
que conhecemos). Ex: a) 4ab – 7ab = -3ab; b) 5bc2 + 18bc2 = 23bc2
Multiplicamos monômios simplesmente fazendo a multiplicação das constantes e somando os expoentes das
variáveis idênticas entre os monômios. Ex: 4ab2c.6ab4c2 = 24a2b6c3.
Dividimos monômios fazendo a divisão das constantes e diminuindo os expoentes das variáveis idênticas. Ex:
22b2cd6.2b2c3d = 11b4c4d7.
Fazemos a potenciação de monômios utilizando as regras: (a.b)n = an.bn e (an)m = an.m.
Ex: a) (a.b)3 = a3.b3; b) (b2)4 = b6.
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA BÁSICA
Chamamos de polinômios uma expressão algébrica expressada por soma ou subtração de monômios.
Ex: 2b2cd6 + 2b2c3d (eles não são iguais logo não podemos somá-los).
Chamamos de grau do monômio ou polinômio o expoente que ele possui. Ex: 4b 2d é um monômio de segundo
grau (grau 2). 22x3+2x é um polinômio de terceiro grau. Chamamos de binômio quando tem dois termos e polinômio
quando tem mais de 3 termos.
As operações de soma e subtração de polinômios são da mesma forma que de monômios, soma-se ou subtrai-se
as constantes dos monômios idênticos. Ex: 5bc2 + 18bc2 + 2ab = 23bc2 + 2ab
Já as operações de divisão e multiplicação devem ser feitas termo a termo. Observe:
2ab2.(2abc+3a2b2) = 4a2b3c+6a3b4 ; (2abc2+3a2b2).(7ab2c-5a2b2) = 14a2b3c3-10a3b3c2 + 21a3b4c – 15a4b4
(2abc2+6a2b2):2b = ac2+3a2b ; (7ab2cd-5a2b2c + ab2cd):abcd = 7b – 5abd-1+b
Através destas operações de polinômios introduzimos relações chamadas de produtos notáveis, pois são muito
utilizadas na álgebra.
Produtos notáveis
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a-b)2 = a2-2ab+b2
(a+b)(a-b) = a2-b2
(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3
(a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3
(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3
Vamos praticar:
1) Desenvolva:
a) (3x+y)2
b) ((1/2)+x2)2
c) ((2x/3)+4y3)2
d) (2x+3y)3
e) (x4+(1/x2))3
f) ((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5))
2) Efetue as multiplicações:
a) (x-2)(x-3)
b) (x+5)(x-4)
3) Simplifique as expressões:
a) (x+y)2–x2-y2
b) (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3)
c) (2x-y)2-4x(x-y)
Exemplos
(x+3)2 = x2+6x+9
(x-3)2 = x2-6x+9
(x+3)(x-3) = x2-9
(x+2)(x+3) = x2+5x+6
(x+2)3 = x3+6x2+12x+8
(x-2)3 = x3-6x2+12x-8
(x+2)(x2-2x+4) = x3+8
(x-2)(x2+2x+4) = x3-8
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA BÁSICA
Mas isto não é a “maior” aplicação do uso de letras na matemática. Ela se dá no uso das funções aonde as
variáveis são representadas por letras (a famosa letra x), devido a elas poderem representar qualquer número em
que está definida uma função! Mas antes de estudar as funções vamos começar a entender a álgebra por trás das
equações com uma e duas variáveis e também introduzir os importantes produtos notáveis!
Equações de uma e duas variáveis: Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de
igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0
Não são equações:
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)
x - 5 < 3 (Não é igualdade)
(não é sentença aberta, nem igualdade)
A equação geral do primeiro grau (ou afim) com uma variável:
ax+b = 0
Equações de primeiro grau com duas variáveis:
Considere a equação: 2x - 6 = 5 - 3y
Trata-se de uma equação com duas variáveis, x e y, pode ser transformada numa equação equivalente
mais simples. Assim:
2x + 3y = 5 + 6
2x + 3y = 11 ==> Equação do 1º grau (com duas variáveis) na forma ax + by = c.
Solução de uma equação de 1º grau com duas variáveis
Quais os valores de x e y que tornam a sentença x - 2y = 4 verdadeira?
Observe os pares abaixo:
x = 6, y = 1
x = 8, y = 2
x - 2y = 4
x - 2y = 4
6-2.1=4
8-2.2=4
6-2=4
8-4=4
4 = 4 (V)
4 = 4 (V)
x = -2, y = -3
x - 2y = 4
-2 - 2 . (-3) = 4
-2 + 6 = 4
4 = 4 (V)
Verificamos que todos esses pares são soluções da equação x - 2y = 4.
Assim, os pares (6, 1); (8, 2); (-2, -3) são algumas das soluções dessa equação.
Uma equações do 1º grau com duas variáveis tem infinitas soluções, infinitos (x, y), sendo, portanto, seu
conjunto universo
.
Podemos determinar essas soluções, atribuindo-se valores quaisquer para uma das variáveis, calculando a
seguir o valor da outra.
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA BÁSICA
Exemplo:
Determine uma solução para a equação 3x - y = 8.
Atribuímos para o x o valor 1, e calculamos o valor de y. Assim:
3x - y = 8 => 3 . (1) - y = 8 => 3 - y = 8 => -y = 5 ==> Multiplicamos por -1 => y = -5
O par (1, -5) é uma das soluções dessa equação. V = {(1, -5)}
Resumindo:
Um par ordenado (r, s) é solução de uma equação ax + by = c
(a e b não nulos simultaneamente), se para x = r e y = s a sentença é verdadeira.
Gráfico de uma equação de 1º grau com duas variáveis
Sabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções.
Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x, y).
Dispondo de dois pares ordenados de uma equação, podemos representá-los graficamente num plano
cartesiano, determinando, através da reta que os une, o conjunto das soluções dessa equação. Exemplo:
Construir um gráfico da equação x + y = 4.
Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam essa equação.
1º par: A (4, 0)
2º par: B (0, 4)
A seguir, representamos esses pontos num plano x
4
cartesiano.
0
y
0
4
Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta r, que
contém todos os pontos soluções da equação.
A reta r é chamada reta suporte do gráfico da equação.
EQUAÇÕES IRRACIONAIS
Considere as seguintes equações:
Observe que todas elas apresentam variáveis ou incógnitas no radicando. Essas equações são irracionais.
Ou seja: Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando.
RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO IRRACIONAL
A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-la inicialmente numa
equação racional, obtida ao elevarmos ambos os membros da equação a uma potência conveniente.
Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se as raízes da equação
racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equação irracional dada ( verificar a igualdade).
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA BÁSICA
É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação a uma potência, podem
aparecer na equação obtida raízes estranhas (raiz de números negativos) à equação dada.
Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais. Solução:
Logo, V= {58}.
Solução:
Logo, V= { -3}; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.
Solução
Logo, V= { 7 }; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.
Solução =>
Logo, V={9}; note que 9/4 é uma raiz
estranha a essa equação irracional.
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
VAMOS PRATICAR:
MATEMÁTICA BÁSICA
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA BÁSICA
Sistemas de Equações
Considere o seguinte problema:
Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 25
arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou?
Podemos traduzir essa situação através de duas equações, a saber:
x + y = 25
(total de arremessos certo)
2x + 3y = 55
(total de pontos obtidos)
Essas equações contém um sistema de equações.
Costuma-se indicar o sistema usando chave.
O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é chamado solução do sistema. Um sistema
de duas equações com duas variáveis possui uma única solução.
Resolução de Sistemas
A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um par ordenado que
torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações.
Estudaremos a seguir alguns métodos:
Método de substituição
Solução: determinamos o valor de x na 1ª equação.
x=4-y
Substituímos esse valor na 2ª equação.
2 . (4 - y) -3y = 3
Resolvemos a equação formada.
8 - 2y -3y = 3
8 - 2y -3y = 3
-5y = -5 => Multiplicamos por -1 => 5y = 5 => y = 5/5 = 1
Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x.
x + 1 = 4 => x = 4 – 1 => x = 3
A solução do sistema é o par ordenado (3, 1). V = {(3, 1)}
Método da adição: Sendo U =
adição.
, observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método da
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA BÁSICA
Resolva o sistema abaixo:
Solução: Adicionamos membros a membros as equações:
2x = 16 => x = 16/2 = 8
Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinado y:
8 + y = 10 => y = 10 – 8 => y = 2
A solução do sistema é o par ordenado (8, 2). V = {(8, 2)}
Inequações de primeiro grau:
Denominamos inequação como toda sentença matemática aberta por uma desigualdade.
As inequações do 1º grau com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas:
,
,
,
, como a e b reais
. Exemplos:
Representação gráfica de uma inequação do 1º grau com duas variáveis
Método prático: Substituímos a desigualdade por uma igualdade. Traçamos a reta no plano cartesiano.
Escolhemos um ponto auxiliar, de preferência o ponto (0, 0) e verificamos se o mesmo satisfaz ou não a
desigualdade inicial.
Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar.
Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao semiplano oposto aquele ao qual pertence o
ponto auxiliar. Exemplos:
Representamos graficamente a inequação
Tabe
x
y
(x, y)
0
4
(0, 4)
2
0
(2, 0)
Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequação
Verificamos:
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA BÁSICA
(Afirmativa positiva, o ponto auxiliar satisfaz a inequação)
A solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0).
EXERCÍCIOS:
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA BÁSICA
VAMOS APRENDER UM POUCO DE GEOMETRIA:
Área das figuras planas (é bom saber de cabeça)
Quadrado
Retângulo
Triângulo
Paralelogramo
Losango
Trapézio
EXERCÍCIOS SOBRE ÁREAS:
1) Determine a área das seguintes figuras (em cm):
b)
a)
d)
c)
e)
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA BÁSICA
VAMOS APRENDER UM POUCO DE TRIGONOMETRIA:
Razões trigonométricas:
Catetos e Hipotenusa
Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes de catetos.
Observe a figura:
Hipotenusa:
Catetos:
e
Seno, Cosseno e Tangente:
Considere um triângulo retângulo BAC:
Hipotenusa:
Catetos:
, m(
, m(
) = a.
) = b.
, m(
) = c.
Ângulos:
, e .
Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razões trigonométricas:
Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
Assim:
Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da
hipotenusa.
Assim:
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA BÁSICA
Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a
esse ângulo.
Assim:
Exemplo:
Observações:
1. A tangente de um ângulo agudo pode ser definida como a razão entre seno deste ângulo e o seu cosseno.
Assim:
2. A tangente de um ângulo agudo é um número real positivo.
3. O seno e o cosseno de um ângulo agudo são sempre números reais positivos menores
qualquer cateto é sempre menor que a hipotenusa.
que 1, pois
As razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º: Considere as figuras:
Quadrado de lado l e diagonal
Triângulo equilátero de
altura
lado I e
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA BÁSICA
Seno, cosseno e tangente de 30º:
Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para os ângulos de 30º, temos:
Seno, cosseno e tangente de 45º:
Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 45º, temos:
Seno, cosseno e tangente de 60º:
Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 60º, temos:
Resumindo:
x
30º
45º
60º
sen x cos x tg x
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA BÁSICA
EXERCÍCIOS:
a) No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas de x e y
indicadas (Use: sen 65° = 0,91; cos 65° = 0,42 ; tg 65° = 2,14)
b) Considerando o triângulo retângulo ABC da figura, determine as medidas a e b indicadas.
(Sen 60° = 0,866)
c) Sabe-se que, em um triângulo retângulo isósceles, cada lado congruente mede
30 cm. Determine a medida da hipotenusa desse triângulo.
Nos triângulos das figuras abaixo, calcule tg Â, sem Â, cos Â, sen Ê, cos Ê, tg Ê, sen Ô, cos Ô e tg Ô:
d)
e)
g) Sabendo que o triângulo retângulo da figura abaixo é isósceles, quais são os valores
de tg  e tg Ê?
h) Encontre a medida RA sabendo que tg  = 3.
Encontre x e y:
APOSTILA PREPARADA PELO VOLUNTÁRIO NILTON SPAGNOL TRENTO.
f)