Função Exponencial

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Função Exponencial
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
Função Exponencial
1.Definição
2.Propriedades
3.Imagem
4.Gráfico
5.Equações exponenciais
6.Inequações exponenciais
1. Definição
Dado um número real a, tal que 0 < a ≠ 1,
chamamos função exponencial de base a a função f
de ℝ em ℝ que associa a cada x real o número ax.
Em símbolos: f : ℝ → ℝ
x → ax
Exemplos de funções exponenciais em ℝ
a ) f ( x ) = 2x
 1
b) g ( x ) =  
2
c ) h( x ) = 3 x
d ) p( x ) = 10 x
x
e) r ( x ) =
( 2)
x
3
2. Propriedades
1a) Na função exponencial f(x) = ax, temos:
x = 0 ⇒ f(0) = a0 = 1
isto é, o par ordenado (0, 1) pertence à função
para todo a ∈ ℝ *+ − {1} . Isto significa que o gráfico
cartesiano de toda função exponencial corta o eixo
y no ponto de ordenada 1.
4
2. Propriedades
2a) A função exponencial f(x) = ax é crescente
(decrescente) se, e somente se, a > 1 (0 < a < 1).
Portanto, dados os reais x1 e x2, temos:
I) quando a > 1:
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
II) quando 0 < a < 1:
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)
5
2. Propriedades
3a) A função exponencial f(x) = ax, com 0 < a ≠ 1, é
injetora pois, dados x1 e x2 tais que x1 ≠ x2 (por
exemplo x1 < x2), vem:
se a > 1, temos: f(x1) < f(x2)
se 0 < a < 1, temos: f(x1) > f(x2)
e, portanto, nos dois casos, f(x1) ≠ f(x2).
6
3. Imagem
Vimos anteriormente, no estudo de
potências de expoente real, que se a ∈ ℝ *+ , então
ax > 0 para todo x real.
Afirmamos, então, que a imagem da função
exponencial é:
Im = ℝ *+
7
4. Gráfico
Com relação ao gráfico cartesiano da função
f(x) = ax, podemos dizer:
1o) a curva representativa está toda acima do eixo
dos x, pois y = ax > 0 para todo x ∈ ℝ .
2o) corta o eixo y no ponto de ordenada 1.
3o) se a > 1 é o de uma função crescente e se
0 < a < 1 é o de uma função decrescente.
8
4. Gráfico
y
y
y = ax
(a > 1)
y = ax
(0 < a < 1)
(0, 1)
(0, 1)
x
x
9
4. Gráfico
Exemplos
1o) Construir o gráfico da função exponencial de
base 2, f(x) = 2x.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y = 2x
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
10
4. Gráfico
10
8
6
4
2
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-2
-4
11
4. Gráfico
Exemplos
2o) Construir o gráfico da função exponencial de
base 1/2, f(x) = (1/2)x.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y = (1/2)x
8
4
2
1
1/2
1/4
1/8
12
4. Gráfico
10
8
6
4
2
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-2
-4
13
4. Gráfico
Exemplos
3o) Construir o gráfico da função exponencial de
base e, f(x) = ex.
Um número irracional muito importante para
a análise matemática é indicado pela letra e e é
definido pela relação:
1
x
e = lim (1 + x ) , x ∈ ℝ
x →0
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4. Gráfico
A demonstração da existência desse limite
será feita quando fizermos o estudo de limites. A
tabela abaixo sugere uma valor para e (com quatro
casas decimais): e ≅ 2,7183.
x
1
0,1
0,01
0,001
0,0001
0,00001
(1+x)1/x
(1+1)1=2
(1+0,1)10=2,594
(1+0,01)100=2,705
2,717
2,7182
2,7183
15
4. Gráfico
25
20
15
10
5
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-5
16
5. Equações exponenciais
Definição
Equações exponenciais são equações com
incógnita no expoente.
Exemplos
2 = 64,
x
( 3)
x
= 3 81,
4 x − 2x = 2
Existem dois métodos fundamentais para
resolução das equações exponenciais.
Faremos a apresentação do primeiro
método, sendo que o segundo será apresentado
quando do estudo de logaritmos.
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5. Equações exponenciais
Método da redução a uma base comum
Este método, como o próprio nome já diz,
será aplicado quando ambos os membros da
equação, com as transformações convenientes
baseadas nas propriedades de potências, forem
redutíveis a potências de mesma base a (0 < a ≠ 1).
Pelo fato de a função exponencial f(x) = ax ser
injetora, podemos concluir que potências iguais e
de mesma base têm os expoentes iguais, isto é:
ab = ac ⇔ b = c
(0 < a ≠ 1)
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5. Equações exponenciais
Exemplo 1:
exponenciais:
Resolva
as
seguintes
equações
a) 2x = 64 ⇒ 2x = 26 ⇒ x = 6 ⇒ S = {6}
( )
1
b) 8 =
⇒ 23
32
1
−5
3x
2
2
⇒
=
⇒
5
2
5
 5
⇒ 3 x = −5 ⇒ x = −
⇒ S = − 
3
 3
x
x
=
x
4
x

c) 3 = 3 81 ⇒   = 3 34 ⇒ 3 2 = 3 3
 
 
x 4
8
8 
⇒ = ⇒x=
⇒ S= 
2 3
3
3 
( )
x
 1
32
19
5. Equações exponenciais
Exemplo 2: Resolva as equações exponenciais
abaixo:
( )
a) 2
x
x −1
=4⇒2
x2 −x
= 22 ⇒ x 2 − x = 2 ⇒ x 2 − x − 2 = 0 ⇒
x1 = 2 ou x2 = −1 ⇒ S = {2, − 1}
b) 3
2 x −1
⋅9
3x +4
= 27
x +1
⇒3
2 x −1
( )
⋅ 3
2
3x +4
( )
= 3
3
x +1
⇒
⇒ 32 x −1 ⋅ 36 x +8 = 33 x + 3 ⇒ 2 x − 1 + 6 x + 8 = 3 x + 3 ⇒
4
⇒ 2 x + 6 x − 3 x = 3 + 1 − 8 ⇒ 5 x = −4 ⇒ x = −
5
 4
⇒ S = − 
 5
20
5. Equações exponenciais
Exemplo 2: Resolva as equações exponenciais
abaixo:
c) 5 x −2 ⋅ x 252 x −5 = 2 x 53 x −2 ⇒
x −2
5 2
4 x −10
⋅5 x
x −2
5 2
⋅
2 x −5
52 x
( )
=
3 x −2
5 2x
⇒
3 x −2
5 2x
x − 2 4 x − 10 3 x − 2
⇒
=
⇒
+
=
⇒
2
x
2x
⇒ x 2 − 2 x + 8 x − 20 = 3 x − 2 ⇒ x 2 + 3 x − 18 = 0 ⇒
⇒ x1 = 3 ou x2 = −6 (não serve, pois x > 0) ⇒
⇒ S = {3}
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6. Inequações exponenciais
Definição
Inequações exponenciais são as inequações
com incógnita no expoente.
Exemplos
2 > 32,
x
( 5)
x
> 3 25,
4 x − 2 > 2x
Assim como em equações exponenciais,
existem dois métodos fundamentais para resolução
das inequações exponenciais. Analogamente ao
estudo de equações exponenciais, faremos a
apresentação do primeiro método, com o segundo
sendo visto quando do estudo de logaritmos.
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6. Ineuações exponenciais
Método da redução a uma base comum
Este método será aplicado quando ambos os
membros da inequação puderem ser representados
como potências de mesma base a (0 < a ≠ 1).
Lembremos que a função exponencial
f(x) = ax é crescente, se a > 1, ou decrescente, se
0 < a < 1; portanto:
Se b e c são números reais, então:
para a > 1 tem-se a b > a c ⇔ b > c
para 0 < a < 1 tem-se a b > ac ⇔ b < c
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6. Inequações exponenciais
Exemplo 3: Resolva as seguintes inequações
exponenciais:
a) 2x > 128 ⇒ 2 x > 27
Como a base é maior que 1, temos x > 7
S = { x ∈ ℝ / x > 7}
x
x
3
x
−3
125
3
3
5
3
3
b)   ≥
⇒  ≥  ⇒  ≥ 
27
5
5
3
5
5
Como a base está compreendida entre 0 e 1, temos x ≤ −3
S = { x ∈ ℝ / x ≤ −3}
24
6. Inequações exponenciais
Exemplo 3: Resolva as seguintes inequações
exponenciais:
c)
( 2)
3
x
<48⇒
x
23
<
3
24
Como a base é maior que 1, temos
x 3
9
< ⇒x<
3 4
4
9

S = x ∈ ℝ / x < 
4

25
6. Inequações exponenciais
Exemplo 4: Resolva as seguintes inequações
exponenciais:
( )
2 x −7
1
2 x 2 −7 x
a) 3
>
⇒3
> 3−3 ⇒ 2 x 2 − 7 x > −3 ⇒
27
1
⇒ 2x 2 − 7x + 3 > 0 ⇒ x <
ou x > 3
2
1


S = x ∈ ℝ / x <
ou x > 3 
2


x
26
6. Inequações exponenciais
Exemplo 4: Resolva as seguintes inequações
exponenciais:
 1 
b)  x 
2 
3 x +1
 1 
⇒  
 2 
 1
⇒ 
2
x
⋅ 41+ 2 x − x



3 x +1
3 x2 + x
2
 1
≥ 
8
 1 
⋅  
 2 
 1
⋅ 
2
−2



x −1
⇒
1+ 2 x − x 2
−2 − 4 x + 2 x 2
  1 3 
≥   
 2  
 1
≥ 
2
x −1
⇒
3 x −3
⇒
27
6. Inequações exponenciais
Exemplo 4: Resolva as seguintes inequações
exponenciais:
 1
⇒ 
2
5 x 2 −3 x −2
 1
≥ 
2
3 x −3
⇒ 5x2 − 3x − 2 ≤ 3x − 3 ⇒
1
⇒ 5x − 6x + 1 ≤ 0 ⇒ ≤ x ≤ 1
5
2
1


S =  x ∈ ℝ / ≤ x ≤ 1
5


28