Raciocínio Lógico p/ TRT-MG (todos os cargos)

Aula 01
Raciocínio Lógico p/ TRT-MG (todos os cargos) - Com Videoaulas
Professor: Arthur Lima
!∀#
AULA 01: Tópicos de matemática básica
SUMÁRIO
PÁGINA
1. Teoria
01
2. Resolução de questões
38
3. Questões apresentadas na aula
107
4. Gabarito
135
Caro aluno, em nossa primeira aula trabalharemos os seguintes tópicos de
matemática básica:
Números inteiros e racionais: operações (adição, subtração, multiplicação, divisão,
potenciação); expressões numéricas; múltiplos e divisores de números naturais;
problemas. Frações e operações com frações. Porcentagem e problemas.
Tenha uma boa aula!
1. TEORIA
1.1 Números inteiros e racionais: operações (adição, subtração,
multiplicação, divisão, potenciação)
Chamamos de conjuntos numéricos as principais classificações dos números
conhecidos. Será preciso conhecer bem os conjuntos numéricos para que você
efetivamente entenda os conceitos aqui abordados.
NÚMEROS NATURAIS
Os números naturais têm esse nome por serem aqueles mais intuitivos, de
“contagem natural”. Isto é, são aqueles construídos com os algarismos de 0 a 9. O
símbolo desse conjunto é a letra N, e podemos escrever os seus elementos entre
chaves:
!∀#
As reticências indicam que este conjunto não tem fim, ou seja, existem
infinitos números naturais.
Apesar de incluído neste conjunto, o zero não é um número natural
propriamente dito (pois não é um número de “contagem natural”). Por isso, utiliza-se
o símbolo N* para designar os números naturais positivos, isto é, excluindo o zero.
Vejam: N* = {1, 2, 3, 4…}
Alguns conceitos básicos relacionados aos números naturais:
a) Sucessor: é o próximo número natural. Isto é, o sucessor de 2 é 3, e o
sucessor de 21 é 22. E o sucessor do número “n” é o número “n+1”.
b) Antecessor: é o número natural anterior. Isto é, o antecessor de 2 é 1, e o
antecessor de 21 é 20. E o antecessor do número “n” é o número “n-1”.
Observe que o número natural zero não possui antecessor, pois é o primeiro
número desse conjunto.
c) Números consecutivos: são números em sequência. Assim, {2,3,4} são
números consecutivos, porém {2, 5,4} não são. E {n-1, n e n+1} são números
consecutivos.
d) Números naturais pares: {0, 2, 4...}. Número par é aquele que, ao ser dividido
por 2, não deixa resto. Por isso o zero também é par.
e) Números naturais ímpares: {1, 3, 5...}. Ao serem divididos por 2, deixam
resto 1.
Sobre pares e ímpares, vale a pena perceber que:
- a soma ou subtração de dois números pares tem resultado par. Ex.: 12 + 6 = 18;
12 – 6 = 6.
- a soma ou subtração de dois números ímpares tem resultado par. Ex.: 13 + 5 = 18;
13 – 5 = 8.
!∀#
- a soma ou subtração de um número par com outro ímpar tem resultado ímpar. Ex.:
12 + 5 = 17; 12 – 5 = 7.
- a multiplicação de números pares tem resultado par: 4 x 6 = 24.
- a multiplicação de números ímpares tem resultado ímpar: 3 x 5 = 15.
- a multiplicação de um número par por um número ímpar tem resultado par: 2 x 3 =
6.
NÚMEROS INTEIROS
Os números inteiros são os números naturais e seus respectivos opostos
(negativos). Isto é,
Z = {...-12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
12...}
Observem que todos os números Naturais são também Inteiros, mas nem
todos os números inteiros são naturais. Assim, podemos dizer que o conjunto de
números naturais está contido no conjunto de números inteiros, isto é, N Z, ou
ainda que N é um subconjunto de Z. O diagrama abaixo explicita esta relação entre
N e Z:
Dentro deste conjunto, podemos destacar alguns subconjuntos de números.
Vejam que os nomes dos subconjuntos são auto-explicativos:
a) Números Inteiros não negativos = {0,1,2,3...}. Veja que são os números naturais.
b) Números Inteiros não positivos = {… -3, -2, -1, 0}. Veja que o zero também faz
parte deste conjunto, pois ele não é positivo nem negativo.
c) Números inteiros negativos = { … -3, -2, -1}. O zero não faz parte.
!∀#
d) Números inteiros positivos = {1, 2, 3...}. Novamente, o zero não faz parte.
NÚMEROS RACIONAIS
Os números racionais são aqueles que podem ser representados na forma
da divisão de dois números inteiros. Isto é, são aqueles números que podem ser
escritos na forma
(A dividido por B), onde A e B são números inteiros. Exemplos:
é Racional, pois é a divisão do número inteiro 5 pelo número inteiro 4.
é Racional, pois é a divisão do número inteiro -15 pelo número inteiro 9,
ou a divisão de 15 por -9.
73 e -195 são Racionais, pois são a divisão dos números 73 e -195 pelo
número 1.
Observe este último exemplo. Já tínhamos visto que qualquer número natural
é também inteiro. E agora vemos que todo número inteiro é também racional! Isto
porque qualquer número inteiro é o resultado da divisão dele mesmo por 1, podendo
ser representado na forma
(A dividido por 1, onde A é um número inteiro
qualquer). Veja se este novo diagrama, contendo os números Naturais, Inteiros e
Racionais, faz sentido para você:
O zero também faz parte dos Números Racionais (pode ser escrito na forma
, concorda?). Porém, quando escrevemos um número racional na forma
, o
!∀#
denominador (isto é, o número B) nunca é zero. Isto porque a divisão de um número
por zero é impossível (exceto
0
, cujo valor é indeterminado).
0
No conjunto dos Números Racionais, temos basicamente 3 tipos de números:
a) Frações. Ex.: , ,
etc.
b) Números decimais. Ex.: 1,25
Veja que este número decimal tem escrita finita, isto é, um número
definido de casas após a vírgula. Por isso, ele também poderia ser escrito na
forma
. Neste caso, poderíamos representá-lo como
, ou mesmo
simplificá-lo para .
c) Dízimas periódicas. Ex.: 0,33333... ou simplesmente
(a barra indica que o
algarismo 3 repete-se indefinidamente).
As dízimas periódicas são consideradas racionais porque também
podem ser escritas na forma
. O número deste exemplo poderia ser escrito
na forma . Existem métodos que nos permitem encontrar qual fração
é
equivalente a uma determinada dízima periódica. Outro exemplo de dízima
periódica: 1,352525252... ou
.
Antes de prosseguirmos, vejamos como obter as frações que dão origem a
dízimas periódicas. Por exemplo, ao dividir 1 por 3 você obterá 0,333... , ou
simplesmente 0,3 . Assim, dizemos que a “fração geratriz” da dízima 0,3 é igual a
1
. Existem métodos que nos permitem, a partir de uma dízima periódica, chegar até
3
a fração que deu origem a ela.
Em alguns casos, a parte que se repete já começa logo após a vírgula. Isto é
o caso em:
0,333...
0,353535...
0,215215215...
!∀#
Em outros casos, existem alguns números entre a vírgula e o início da
repetição. Veja esses números sublinhados nas dízimas abaixo:
0,1333...
0,04353535...
0,327215215215...
Vamos começar trabalhando com os casos onde a repetição começa logo
após a vírgula, para a seguir estender o método aos casos onde existem números
entre a vírgula e o início da repetição.
Casos onde a repetição começa logo após a vírgula:
Vamos trabalhar com a dízima 0,333... . Chamemos de X a fração que dá
origem a esta dízima. Ou seja,
X = 0,333...
Como a repetição é formada por um único número (3), se multiplicarmos esta
dízima por 10 conseguimos passar, para o outro lado da vírgula, o primeiro número
da repetição:
10X = 10 x 0,333... = 3,333...
Observe que 10X = 3 + 0,333... . Veja ainda a seguinte subtração:
10X – X = 3,333... – 0,333...
Os dois números à direita da igualdade acima possuem infinitas casas
decimais idênticas. Portanto, o resultado desta subtração é:
9X = 3
X=
3 1
=
9 3
1
Assim, descobrimos que a fração geratriz da dízima 0,333... é X = .
3
Vejamos um segundo exemplo: vamos buscar a fração geratriz da dízima
0,216216216... . Repare que temos a repetição de 216, e não há nenhuma casa
!∀#
separando a vírgula e o início da repetição. Chamando de X a fração geratriz da
dízima, temos:
X = 0,216216216...
Para passar a primeira repetição (216) para a esquerda da vírgula,
precisamos multiplicar X por 1000:
1000X = 216,216216216...
Efetuando a subtração 1000X – X podemos obter a fração geratriz:
1000X – X = 216,216216216... – 0,216216216...
999X = 216
X=
216 24
=
999 111
Assim, a geratriz de 0, 216 é a fração
24
.
111
Casos onde existem números entre a vírgula e o início da repetição:
Vejamos como obter a fração geratriz da dízima 1,327215215215... . Veja
que, neste caso, temos a repetição do termo 215. Entre a vírgula e o início da
repetição temos 3 números (327). Deste modo, chamando de X a fração geratriz,
temos:
X = 1,327215215215...
Multiplicando X por 1000 conseguimos deixar, à direita da vírgula, apenas os
termos que se repetem:
1000X = 1327,215215215...
E multiplicando X por 1000000 conseguimos passar a primeira repetição
“215” para o lado esquerdo da vírgula:
1000000X = 1327215,215215215...
Assim, podemos efetuar a seguinte subtração:
1000000X – 1000X = 1327215,215215215... - 1327,215215215...
!∀#
999000X = 1327215 – 1327
999000X = 1325888
X=
1325888
999000
Temos, portanto, a fração geratriz da dízima 1,327215215215... . Poderíamos
ainda simplificá-la, se quiséssemos.
OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS E RACIONAIS
As quatro operações básicas que podemos efetuar com estes números são:
adição, subtração, multiplicação e divisão. Vejamos em detalhes cada uma delas.
a) Adição:
A adição de dois números é dada pela soma destes dois números. Isto é, a
adição de 15 e 6 é:
15 + 6 = 21
Você se lembra do método para se efetuar a soma de dois números? Vamos
exercitar efetuando a soma 728 + 46. Primeiramente, você deve posicionar estes
números um abaixo do outro, alinhados pela direita (casa das unidades):
728
+46
A seguir devemos começar a efetuar a soma pela direita. Somando 8 + 6
obtemos 14. Com isto, devemos colocar o algarismo das unidades (4) no resultado
e transportar o algarismo das dezenas (1) para a próxima soma:
1
728
+46
4
Agora, devemos somar os dois próximos números (2 + 4), e adicionar
também o número que veio da soma anterior (1). Assim, obtemos 7. Devemos
colocar este número no resultado:
728
+46
!∀#
74
Temos ainda o algarismo 7 na casa das centenas do número 728. Como o
segundo número (46) não possui casa das unidades, podemos simplesmente levar
este 7 para o resultado, obtendo:
728
+46
774
Chegamos ao nosso resultado final. Antes de conhecermos a próxima
operação, vejamos as principais propriedades da operação de adição.
- propriedade comutativa: dizemos que a adição de números inteiros ou racionais
possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números não altera a soma. Isto
é, 728 + 46 é igual a 46 + 728.
- propriedade associativa: ao adicionar 3 ou mais números, podemos primeiramente
somar 2 deles, e a seguir somar o outro, em qualquer ordem, que obteremos o
mesmo resultado. Logo, esta propriedade está presente na adição. Ex.:
2 + 5 + 7 = (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) = 14.
- elemento neutro: dizemos que o zero é o elemento neutro da adição, pois qualquer
número somado a zero é igual a ele mesmo. Ex.: 2 + 0 = 2; 45 + 0 = 45.
- propriedade do fechamento: esta propriedade nos diz que a soma de dois números
racionais SEMPRE gera outro número racional, e a soma de dois números inteiros
SEMPRE gera outro número inteiro. Ex: a soma dos números inteiros e racionais 2
e 5 gera o número inteiro e racional 7 (2 + 5 = 7).
b) Subtração: efetuar a subtração de dois números significa diminuir, de um deles,
o valor do outro. Isto é, subtrair 5 de 9 significa retirar 5 unidades de 9, restando 4
unidades:
9–5=4
!∀#
Acompanhe a subtração abaixo para relembrar o método para a subtração de
números. Vamos efetuar a operação 365 – 97:
365
- 97
Observe que o primeiro passo é posicionar um número abaixo do outro,
alinhando as casas das unidades. Começamos a efetuar a subtração a partir da
casa das unidades. Como 5 é menor do que 7, não podemos subtrair 5 – 7.
Devemos, portanto, “pegar” uma unidade da casa das dezenas de 365. Levando
este valor para a casa das unidades, temos 10 unidades, que somadas a 5 chegam
a 15 unidades. Agora sim podemos subtrair 15 – 7 = 8, e anotar este resultado:
365
- 97
8
Devemos agora subtrair as casas das dezenas. Devemos subtrair 5 – 9, e
não 6 – 9, pois já utilizamos uma unidade na primeira subtração acima. Como 5 é
menor que 9, devemos novamente “pegar” uma unidade da casa das centenas de
365, e somar ao 5. Assim, teremos 15 – 9 = 6. Vamos anotar este resultado:
365
- 97
68
Agora devemos subtrair a casa das centenas. Veja que não temos mais um 3
na casa das centenas de 365, e sim 2, pois já usamos uma unidade na operação
anterior. Como 97 não tem casa das centenas, basta levarmos este 2 para o
resultado:
365
- 97
268
E se quiséssemos efetuar a subtração 97 – 365? Neste caso, como 97 é
menor que 365, devemos:
!∀#
- subtrair o menor número do maior, isto é, efetuar a operação 365 – 97;
- colocar o sinal negativo (-) no resultado.
Desta forma, 97 – 365 = -268. Vejamos as principais propriedades da
operação de subtração.
- propriedade comutativa: dizemos que a subtração de números NÃO possui a
propriedade comutativa, pois a ordem dos números ALTERA o resultado. Como
vimos acima, 365 – 97 = 268, já 97 – 365 = -268.
- propriedade associativa: a subtração NÃO possui essa propriedade, pois (A – B) –
C pode ser diferente de (C – B) – A
- elemento neutro: o zero é o elemento neutro da subtração, pois, ao subtrair zero
de qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 2 – 0 = 2.
- propriedade do fechamento: a subtração de números inteiros ou racionais possui
essa propriedade, pois a subtração de dois números racionais SEMPRE gera outro
número racional, e a subtração de dois números inteiros SEMPRE gera outro
número inteiro.
- elemento oposto: para todo número A, existe também o seu oposto, com sinal
contrário, isto é, -A. Exemplos de números opostos: 5 e -5, 29 e -29 etc. Também
podemos dizer que o elemento oposto de A é aquele número que, somado a A,
resulta em zero:
A + (-A) = 0
c) Multiplicação: a multiplicação nada mais é que uma repetição de adições. Por
exemplo, a multiplicação 15 x 3 é igual à soma do número 15 três vezes (15 + 15 +
15), ou à soma do número 3 quinze vezes (3 + 3 + 3 + ... + 3). Vejamos como
efetuar uma multiplicação:
57
x 13
!∀#
Novamente alinhamos os números pela direita. Começamos multiplicando os
números das unidades: 3 x 7 = 21. Deixamos o algarismo das unidades (1) no
resultado, e levamos o algarismo das dezenas (2) para a próxima operação:
2
57
x 13
1
Agora devemos multiplicar os número das unidades do segundo número (3)
pelo número das dezenas do primeiro número: 3 x 5 = 15. Antes de colocar este
valor no resultado, devemos adicionar o 2 que veio da operação anterior: 15 + 2 =
17. Assim, temos:
57
x 13
171
Agora devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número (1)
pelo algarismo das unidades do primeiro número (7): 1 x 7 = 7. Devemos levar este
número para o resultado, entretanto devemos colocá-lo logo abaixo do algarismo
das dezenas do segundo número (1). Veja:
57
x 13
171
7
A seguir, devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número
(1) pelo algarismo das dezenas do primeiro número (5): 1 x 5 = 5. Assim, temos:
57
x 13
171
57
Por fim, devemos somar as duas linhas de resultado, obtendo:
57
!∀#
x 13
171
570
741
Veja que antes de efetuar a soma, colocamos um zero à direita do 57,
transformando-o em 570. Fazemos isto porque este resultado (57) surgiu da
multiplicação do algarismo das dezenas do multiplicador (13). Se fosse do algarismo
das centenas do multiplicador, colocaríamos 2 zeros, e assim por diante.
É importante relembrar as regras de sinais na multiplicação de números.
Você deve se lembrar que:
- a multiplicação de números de mesmo sinal tem resultado positivo.
Ex.: 5 x 5 = 25, e (-5)x(-5) = 25.
- a multiplicação de números de sinais diferentes tem resultado negativo.
Ex.: 5x(-5) = -25.
Portanto, se tivéssemos multiplicado (-57) x 13, ou então 57 x (-13),
deveríamos obter -741. E se tivéssemos multiplicado (-57) x (-13) deveríamos obter
741.
Vejamos as principais propriedades da operação de multiplicação:
- propriedade comutativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois A x B é
igual a B x A, isto é, a ordem não altera o resultado (ex.: 3 x 5 = 5 x 3 = 15).
- propriedade associativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois (A x B) x C
é igual a (C x B) x A, que é igual a (A x C) x B etc. Ex.: (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = (4 x
3) x 2 = 24.
- elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação, pois ao
multiplicar 1 por qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 5 x 1 =
5.
!∀#
- propriedade do fechamento: a multiplicação possui essa propriedade, pois a
multiplicação de números racionais SEMPRE gera um número racional, e a
multiplicação de números inteiros SEMPRE gera outro número inteiro (ex.: 5 x 7 =
35).
- propriedade distributiva: apenas a multiplicação possui essa propriedade. Esta
propriedade nos permite dizer que:
Ax(B+C) = (AxB) + (AxC)
Exemplificando:
5x(3+7) = 5x(10) = 50
ou, usando a propriedade:
5x(3+7) = 5x3 + 5x7 = 15+35 = 50
d) Divisão: quando dividimos A por B, queremos repartir a quantidade A em partes
de mesmo valor, sendo um total de B partes. Ex.: Ao dividirmos 10 por 2, queremos
dividir 10 em 2 partes de mesmo valor. No caso, 10 ÷ 2 = 5 . Vamos relembrar como
efetuar divisões com o caso abaixo, onde dividimos 715 por 18:
715 |18
Neste caso, chamamos o 715 de dividendo (número a ser dividido) e o 18 de
divisor (número que está dividindo o 715). Como o divisor possui 2 casas (18),
devemos tentar dividir as primeiras duas casas da esquerda do dividendo (71). Veja
que 18x4 = 72 (que já é mais que 71). Já 18x3 = 54. Assim, temos:
715 |18
3
Devemos multiplicar 3 por 18 e anotar o resultado abaixo de 71, e a seguir
efetuar a subtração:
715 |18
-54
3
17
!∀#
Agora devemos “pegar” o próximo algarismo do dividendo (5):
715 |18
-54
3
175
Dividindo 175 por 18, temos o resultado 9. Devemos anotar o 9 no resultado,
à direita, e anotar o resultado da multiplicação 9 x 18 abaixo do 175, para
efetuarmos a subtração:
715 |18
-54
39
175
-162
13
Agora temos o número 13, que é inferior ao divisor (18). Portanto,
encerramos a divisão. Obtivemos o quociente (resultado) 39 e o resto igual a 13.
Dizemos que esta divisão não foi exata, pois ela deixou um resto.
Observe que o dividendo (715) é igual à multiplicação do divisor (18) pelo
quociente (39), adicionada do resto (13). Isto é:
715 = 18 x 39 + 13
Como regra, podemos dizer que:
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto
As regras de sinais na divisão são as mesmas da multiplicação:
- a divisão de números de mesmo sinal tem resultado positivo.
- a divisão de números de sinais diferentes tem resultado negativo.
Portanto, se tivéssemos dividido
(-10)
por 2, ou então 10 por (-2),
deveríamos obter -5. E se tivéssemos dividido (-10) por (-2) deveríamos obter 5.
Vejamos as principais propriedades da operação de divisão:
!∀#
- propriedade comutativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois A / B pode
ser diferente de B / A. Ex.: 2 / 5 = 0,4; e 5 / 2 = 2,5.
- propriedade associativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois (A / B) / C
pode ser diferente de (C / B) / A. Ex.: (2/5)/3 é diferente de (3/5)/2.
- elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da divisão, pois ao dividir
qualquer número por 1, o resultado será o próprio número. Ex.: 5 / 1 = 5.
- propriedade do fechamento: aqui está a grande diferença entre números inteiros e
números racionais. A divisão de números racionais possui a propriedade do
fechamento, pois ela SEMPRE gera um número racional (ex.: 2 / 100 = 0,02; que é
racional). Já a divisão de números inteiros NÃO POSSUI essa propriedade, pois ao
dividir números inteiros podemos obter resultados fracionários ou decimais (como
no exemplo 2 / 100 = 0,02), que não pertencem ao conjunto dos números inteiros.
OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS
Os números decimais são, em regra, aqueles que resultam da divisão nãoexata de dois números inteiros. São os números que possuem “casas após a
vírgula”. A manipulação deles é essencial para a resolução de diversas questões,
motivo pelo qual você precisa saber somá-los, subtraí-los, multiplicá-los, dividi-los,
elevá-los a potências e extrair raízes dos mesmos. Vejamos cada uma dessas
operações em detalhes.
a) Adição de números decimais:
A adição de dois números decimais segue a mesma lógica da adição comum.
Isto é:
- os números devem ser posicionados um embaixo do outro, com a vírgula logo
abaixo da vírgula do outro, e as casas correspondentes uma embaixo da outra
- as casas correspondentes devem ser somadas, começando da direita para a
esquerda.
- à medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser transferidas para a
próxima adição (das casas logo à esquerda).
!∀#
Vamos aplicar estes passos na adição de 13,47 e 2,9. Colocando os números
um embaixo do outro, com a vírgula uma embaixo da outra, temos todas as casas
correspondentes em uma mesma vertical:
13,47
+
2,9
Veja que a casa das unidades do primeiro número (3) está logo acima da
casa das unidades do segundo número (2). A primeira casa decimal do primeiro
número (4) está logo acima da primeira casa decimal do segundo (1). E assim por
diante. Como não há casa decimal abaixo do 7, podemos considerá-la igual a 0.
Agora, basta começar a somar as casas correspondentes, começando pelas da
direita, anotando o resultado. Quando houver a formação de dezenas (ex.: 4 + 9 =
13), a dezena (1) deve ser transferida para a próxima operação (3 + 2). Com isso,
temos:
13,47
+
2,9
16,37
b) Subtração de números decimais:
Aqui também devemos posicionar os números um abaixo do outro, com a
vírgula do primeiro na mesma vertical da vírgula do segundo número. A seguir
devemos subtrair as casas correspondentes, da direita para a esquerda. Vejamos:
13,47
-
2,9
10,57
Repare, neste exemplo, que no momento de efetuar a subtração 4 – 9 foi
preciso pegar uma unidade da casa à esquerda do 4 (no caso, o 3) e “transformá-la”
em uma dezena, somando-a ao 4. Assim, subtraimos 14 – 9, obtendo o resultado 5.
A seguir, ao invés de subtrair 3 – 2, tivemos que subtrair 2 – 2 pois uma unidade do
“3” já havia sido utilizada.
c) Multiplicação de números decimais:
!∀#
Aqui aplicamos o mesmo procedimento da multiplicação comum, com duas
observações:
- devemos posicionar os números assim como fizemos na adição e na subtração,
isto é, com a vírgula de um logo abaixo da vírgula do outro.
- o número de casas decimais do resultado será igual à soma do número de casas
decimais dos dois números sendo multiplicados. Assim você saberá posicionar a
vírgula.
Vejamos o nosso exemplo:
13,47
x
2,9
12123
+
26940
39,063
Repare que a primeira linha abaixo do 2,9 refere-se à multiplicação de 13,47
por 9. Já a segunda linha refere-se à multiplicação de 13,47 por 2. Nesta linha há
um 0 à direita porque o 2 está uma casa decimal à frente do 9. Efetuando a soma
das duas linhas, obtém-se 39063. E, lembrando que existem 3 casas decimais nos
números sendo multiplicados (duas em 13,47 e uma em 2,9), devemos ter 3 casas
decimais no resultado, o que leva ao número 39,063.
d) Divisão de números decimais:
Para efetuar a divisão de números decimais, devemos inicialmente multiplicar
ambos os números (divisor e dividendo) por uma potência de 10 (10, 100, 1000,
10000 etc.) de modo a retirar todas as casas decimais presentes. Após isso, é só
efetuar a operação normalmente.
Para exemplificar, vamos dividir 3,5 por 0,25. Observe que o número que
possui mais casas decimais é o divisor (0,25), possuindo 2 casas decimais. Assim,
devemos multiplicar ambos os números por 100, de modo a retirar ambas as casas
decimais:
3,5 x 100 = 350
0,25 x 100 = 25
!∀#
Agora, basta efetuar a divisão de 350 por 25, que você sabe fazer, tendo
como resultado o número 14.
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO – NÚMEROS DECIMAIS) Para fixar o que foi visto aqui,
efetue as seguintes operações, cujo gabarito é fornecido em seguida.
a) 2,25 + 1,7
b) 2,25 – 1,7
c) 2,25 x 1,7
d) 2,25 / 1,5
e) 0,898 + 1,12
f) 0,898 – 1,12
g) 0,898 x 1,12
h) 0,898 / 0,01
Respostas:
a) 3,95
b) 0,55
c) 3,825
d) 1,5
e) 2,018
f) -0,222
g) 1,00576
h) 89,8
1.1.1 Números primos e fatoração
Dizemos que um número é primo quando ele só pode ser dividido, sem
deixar resto, por 1 e por si mesmo. Veja, por exemplo, o número 7. Como qualquer
número, ele pode ser dividido por um, tendo como resultado 7 e não deixando resto
algum. Entretanto, experimente dividi-lo por 2, 3, 4, 5 ou 6, e verá que sempre há
um resto diferente de zero. Apenas ao dividi-lo por 7 é que não encontraremos resto
novamente. Portanto, 7 é um número primo, pois só é divisível por 1 e por ele
mesmo. Diversos outros números possuem essa propriedade, como os listados
abaixo:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...}
!∀#
A título de curiosidade, repare que o 2 é o único número primo par. Todos os
demais são ímpares.
Qualquer número natural pode ser representado como uma multiplicação de
números primos. Por exemplo, 6 pode ser representado por 2 x 3. Este processo de
transformar um número qualquer em um produto de números primos é chamado de
fatoração.
Vamos fatorar o número 24. Devemos começar tentando dividi-lo por 2, que é
o menor número primo (muitos autores não consideram que o 1 seja um número
primo). Esta divisão é exata (não possui resto), e o resultado é 12. Podemos dividir
novamente por 2, tendo resultado 6, e dividir o 6 outra vez por 2, tendo resultado 3.
Agora não é mais possível dividir por 2. Assim, devemos partir para o próximo
número primo, que é o 3. Dividindo 3 por 3 temos resultado 1. Repare que para
chegar no resultado 1 foi preciso dividir 24 por 2 em 3 etapas, e a seguir dividir por 3
em uma etapa. Portanto, 24 = 2 x 2 x 2 x 3, ou simplesmente 24 = 23 x 3. Visualize
este processo abaixo:
Número Fator primo
24 2
12 2
6 2
3 3
1 Logo, 24 = 23 x 3
Para praticar, vejamos a fatoração do número 450:
Número Fator primo
450 2
225 3
75 3
25 5
5 5
1 Logo, 450 = 2 x 32 x 52
Vejamos ainda a fatoração do número 1001. Observe que ele não é divisível
(ou seja, deixa resto) por 2, 3 ou 5. Apenas ao chegar o fator primo 7 é que
conseguimos dividi-lo. Acompanhe abaixo:
!∀#
Número Fator primo
1001 7
143 11
13 13
1 Logo, 1001 = 7 x 11 x 13
A fatoração será muito útil na obtenção do Mínimo Múltiplo Comum e Máximo
Divisor Comum entre dois números, como veremos a seguir.
1.1.2 Múltiplos e divisores de números naturais
Para a resolução de diversas questões que podem cair em sua prova, vale a
pena você desenvolver a rapidez na obtenção de múltiplos e divisores de um dado
número, calcular o mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum entre dois
números, e conhecer regras práticas para saber se um número é ou não divisível
por outro (critérios de divisibilidade).
Os múltiplos de um número X são aqueles números que podem ser obtidos
multiplicando X por outro número natural. Por exemplo, os múltiplos de 3 são: 3, 6,
9, 12, 15 etc. Repare que esses números podem ser obtidos multiplicando 3 por 1,
2, 3, 4 e 5, respectivamente. Quando temos 2 números X e Y, e listamos os
múltiplos de cada um deles, podemos ter múltiplos em comum entre os dois.
Exemplificando, vamos listar alguns múltiplos de 8 e de 12:
Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 etc.
Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 etc.
Observe que os seguintes números são múltiplos de 8 e também de 12: 24,
48, 72. Isto é, são múltiplos em comum desses 2 números. O menor deles, neste
caso o 24, é chamado de mínimo múltiplo comum (MMC) entre 8 e 12. O cálculo do
MMC se mostra útil na resolução de diversos exercícios, como veremos adiante.
Um método simples de se calcular o MMC entre 2 números é dado pelos
seguintes passos:
1. Decompor cada número em uma multiplicação de fatores primos;
2. O MMC será formado pela multiplicação dos fatores comuns e não comuns dos
dois números, de maior expoente.
!∀#
Decompondo 8 em fatores primos, temos que 8 = 2x2x2 = 23. E decompondo
12 em fatores primos, temos que 12 = 2x2x3 = 22x3.
Assim, o MMC será formado pelos fatores comuns (2) e não comuns (3) de
maior expoente (isto é, MMC = 23 x 3 = 24).
A título de exercício, vamos calcular o MMC entre 15 e 9. Veja que 15 = 3x5,
e 9 = 32. Portanto, MMC = 32x5 = 45.
Para você entender como o MMC pode ser útil na resolução de questões,
imagine o seguinte caso: dois colegas de trabalho, João e José, gostam de realizar
festas em suas casas periodicamente. João costuma realizar festas de 9 em 9 dias,
enquanto José costuma realizar festas de 15 em 15 dias. Sabendo que hoje houve
festa na casa de ambos, daqui a quanto tempo as datas das festas de ambos
coincidirão novamente?
Ora, se João dá festas de 9 em 9 dias, sua próxima festa será daqui a 9 dias,
a seguinte daqui a 18, a outra daqui a 27, e assim por diante. Já a próxima festa de
José será daqui a 15 dias, depois daqui a 30, depois 45 etc. Observe que os dias
em que ambos darão festas devem ser um múltiplos de 9 e também de 15, isto é,
múltiplos comuns de 9 e 15. A próxima festa ocorrerá no menor desses múltiplos,
isto é, no mínimo múltiplo comum entre 9 e 15. Como calculamos acima, MMC (9,
15) = 45. Portanto, a próxima vez em que as festas coincidirão ocorrerá daqui a 45
dias.
Dizemos que um número é divisível por outro quando esta divisão é exata,
não deixando resto nem casas decimais. Para saber se um número é divisível por
outro, basta efetuar a divisão e verificar se existe resto. Ex.: 25 ÷ 5 = 5 , portanto 25 é
divisível por 5. O problema surge quando queremos julgar, por exemplo, se o
número 1765830275 é divisível por 5. Efetuar esta divisão à mão consome muito
tempo. Para identificarmos rapidamente essa divisibilidade, existem os critérios de
divisibilidade. Os principais deles encontram-se na tabela abaixo:
!∀#
Principais critérios de divisibilidade
Divisor*
Critério
Exemplos
1
Todos os números
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...
2
3
4
Números pares (isto é, terminados
Números cuja soma dos algarismos
27 (2+7=9), 51 (5+1=6), 915
(9+1+5=15) etc.
Se o número formado pelos 2
0, 4, 8, 12, 16, 912, 1816 etc.
últimos dígitos for divisível por 4
Números terminados em 0 ou 5
6
Números divisíveis por 2 e por 3
10
0, 3, 6, 9, 12 (1+2=3), 15 (1+5 = 6),
é divisível por 3
5
9
0, 2,4, 28, 490, 522 etc.
em um algarismo par)
0, 5, 10, 65, 120, 1345 etc.
0, 6, 12, 924 (é par, e 9+2+4=15)
etc.
Números cuja soma dos algarismos
0, 9, 18, 27, 126 (1+2+6 = 9), 7155
é divisível por 9
(7+1+5+5=18) etc.
Números terminados em 0
0, 10, 20, 150, 270, 1580 etc.
*7 e 8 foram omitidos intencionalmente, pois possuem critérios muito difíceis, motivo
pelo qual praticamente não são cobrados.
Chamamos de máximo divisor comum (MDC) entre dois números A e B o
maior número pelo qual tanto A quanto B podem ser divididos de maneira exata, isto
é, sem deixar resto.
Podemos calcular o máximo divisor comum entre 2 números listando os
divisores de cada um deles. Exemplificando, vamos listar os divisores de 32 e 40:
- 32 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
- 40 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.
- Divisores comuns entre 32 e 40: 1, 2, 4, 8.
Vejam que 8 é o máximo divisor comum (MDC) entre 32 e 40.
Para calcular o MDC sem precisar listar todos os divisores de cada número
(como fizemos acima), basta seguir 2 passos:
1. Decompor cada um dos números em fatores primos (ex.: 32 = 25; 40 = 23 × 5)
!∀#
2. O MDC será formado pela multiplicação dos fatores comuns de menor
expoente (neste caso, apenas o 2 é comum, e seu menor expoente é 3.
Logo, MDC = 23 = 8);
Para você visualizar uma aplicação prática do MDC, imagine o seguinte caso:
temos um conjunto de 20 cães e 30 gatos. Queremos criar grupos de gatos e
grupos de cães, sem misturá-los, porém todos os grupos devem ter o mesmo
número de integrantes. Qual o menor número de grupos possível?
Para obter o menor número de grupos possível, precisamos dividir 20 e 30
pelo maior número possível. Este maior número que divide tanto 20 quanto 30, sem
deixar resto, é justamente o MDC entre 20 e 30.
Decompondo 20 em fatores primos, temos que 20 = 22x5. Temos também
que 30 = 2x3x5. Portanto, MDC(20,30) = 2x5 = 10. Portanto, devemos formar
grupos de 10 elementos. Isto é, 2 grupos com 10 cães em cada, e 3 grupos com 10
gatos em cada. Assim, o menor número de grupos possível é 5.
Podemos ainda calcular o MMC e o MDC mais rapidamente, fatorando os
números simultaneamente. Vejamos como fazer isso com exemplos:
a) Cálculo do MMC entre 30 e 40:
Inicialmente escrevemos os dois números, um em cada coluna. Na terceira
coluna vamos escrever os fatores primos que dividem os números. Devemos
começar pelos menores fatores primos (2, 3, 5...), em ordem crescente. Nosso
objetivo é dividir os números até ambos ficarem iguais a 1. Veja:
30
40
Fator primo
30/2 = 15
40/2 = 20
2
15 (não dá p/ dividir por 2)
20 / 2 = 10
2
15 (não dá p/ dividir por 2)
10 / 2 = 5
2
15 / 3 = 5
5 (não dá p/ dividir por 3)
3
5/5=1
5/5=1
5
MMC = 23 x 3 x 5 = 120
!∀#
b) Cálculo do MDC entre 30 e 40:
Inicialmente escrevemos os dois números, um em cada coluna. Na terceira
coluna vamos escrever os fatores primos que dividem os números. Devemos
começar pelos menores fatores primos (2, 3, 5...), em ordem crescente. Aqui o
nosso objetivo é dividir os números apenas pelos fatores que sejam capazes de
dividir ambos os números simultaneamente:
30
40
Fator primo
15
20
2
3
4
5
MDC = 2 x 5 = 10
1.1.3 Frações e operações com frações
Ao trabalhar com números racionais, recorrentemente estaremos lidando com
2
frações, que nada mais são que operações de divisão. Escrever 5 é equivalente a
escrever 2 ÷ 5 . As frações estão constantemente presentes na resolução de
exercícios, motivo pelo qual é essencial lembrar como efetuamos cada operação
com elas: soma, subtração, multiplicação e divisão.
a) Para somar ou subtrair frações, é preciso antes escrevê-las com o mesmo
denominador, isto é, com um denominador comum. Este denominador é,
simplesmente, um múltiplo comum entre os denominadores das frações originais.
Falaremos sobre múltiplos adiante, de modo que aqui veremos apenas o básico.
Vamos entender isto com o exemplo abaixo:
1 3
+
6 8
Veja o número 24 é um múltiplo de 6 (pois 6x4 = 24) e de 8 (pois 8x3 = 24).
Para trocar o denominador da fração
1
para 24, é preciso multiplicar o
6
denominador 6 por 4. Assim, também devemos multiplicar o numerador 1 por 4,
para manter a fração. Portanto,
1 4
=
6 24
!∀#
3
Já para trocar o denominador da fração para 24, é preciso multiplicar o
8
denominador 8 por 3. Assim, também devemos multiplicar o numerador 3 por 3,
para manter a fração. Portanto,
3 9
=
8 24
Agora sim podemos efetuar a soma:
1 3 4
9 4 + 9 13
+ =
+
=
=
6 8 24 24
24
24
b) Para multiplicar frações, basta multiplicar o numerador de uma pelo numerador
da outra, e o denominador de uma pelo denominador da outra. Veja nosso exemplo:
1 3 1× 3 3
× =
=
6 8 6 × 8 48
c) Para dividir frações, basta multiplicar a primeira pelo INVERSO da segunda. Veja
isso em nosso exemplo:
1
6 = 1 ÷3 = 1×8 = 8
3 6 8 6 3 18
8
*** Dica importantíssima: trabalhando com frações, normalmente podemos
substituir a expressão “de” pela multiplicação. Veja como:
- quanto é um terço de 1000? Ora, simplesmente
- e quanto é dois sétimos de 25? A resposta é
1
× 1000 !
3
2
× 25 7
- quanto vale um quarto da soma do número de homens (700) e de mulheres (600)
presentes em um evento? Simplesmente
1
× (700 + 600) .
4
- por fim, quanto vale 5/9 da diferença entre os números X e Y? Aqui, a resposta é
dada pela expressão
5
×(X −Y ) .
9
Certifique-se de que você entendeu isso. Usaremos bastante ao longo dos
exercícios!
!∀#
1.1.4 Potenciação
Já tivemos que trabalhar com potências nesta aula, ao abordar a fatoração,
mas nesta seção veremos mais detalhes sobre esta operação matemática. Observe
o exemplo abaixo:
53 = 5 × 5 × 5 = 125
(lê-se: “cinco elevado à terceira potência é igual a cinco vezes cinco vezes cinco”)
Pelo exemplo dado, você pode perceber que elevar um número X a uma
determinada potência “n” é simplesmente multiplicar X por ele mesmo, “n” vezes.
Outro exemplo, para não deixar dúvida:
24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
(“dois elevado à quarta potência é igual ao dois multiplicado por ele mesmo 4 vezes”)
Resumindo, quando tratamos sobre potências temos sempre uma base
(número X) elevada a um expoente (“n”). Entendido o conceito básico, podemos
analisar algumas propriedades das potências. Essas propriedades facilitarão
bastante o manuseio de equações que envolvam potências:
a) Qualquer número elevado a zero é igual a 1.
Trata-se de uma convenção, isto é, uma definição. Assim, podemos dizer
que:
50 = 1
( −25)0 = 1
0,30 = 1
b) Zero elevado a qualquer número é igual a zero.
Isso é bem lógico, pois zero elevado a “n” significa zero multiplicado por ele
mesmo, “n” vezes. Ex.:
03 = 0 × 0 × 0 = 0
c) Multiplicação de potências de mesma base (X):
A questão aqui é como multiplicar 42 × 43 . Normalmente você faria assim:
42 × 43 = (4 × 4) × (4 × 4 × 4) = 1024
Veja que basta somar os expoentes (“n”), uma vez que as duas potências
têm a mesma base 4:
42 × 43 = 42+3 = 45 = 1024
!∀#
d) Divisão de potências de mesma base (X):
Como você faria a divisão
45
? Provavelmente seria assim:
43
45 4 × 4 × 4 × 4 × 4
=
= 4 × 4 = 16
43
4× 4× 4
Entretanto, observe que basta subtrair os expoentes (“n”), pois o numerador e
denominador da divisão tem a base 4. Veja:
45
= 45 −3 = 42 = 16
3
4
Analogamente, observe que
1
= 4−3 . Isto porque:
43
1 40
= 3 = 40−3 = 4 −3
3
4
4
O que vimos acima nos permitirá levar uma potência do numerador para o
denominador de uma divisão, ou vice-versa, simplesmente trocando o sinal da
potência. Exemplificando, vamos resolver a expressão 4 −3 × 45 . Temos duas formas:
Usar a propriedade de multiplicação de potências de mesma base, somando
os expoentes:
4 −3 × 45 = 4( −3)+5 = 42 = 16
Usar a propriedade que acabamos de ver, levando 4 −3 para o denominador e,
a seguir, fazendo a divisão de potências de mesma base:
45
4 × 4 = 3 = 45−3 = 42 = 16
4
−3
5
e) Potência de potência:
A questão agora é resolver (22 )3 . Você poderia inicialmente elevar 2 à
segunda potência (isto é, ao quadrado), e a seguir elevar o resultado à terceira
potência (ao cubo):
(22 )3 = (4)3 = 64
Entretanto, veja que basta você elevar 2 ao resultado da multiplicação entre
os dois expoentes:
(22 )3 = 22×3 = 26 = 64
!∀#
f) Raiz de potência:
Quando estudarmos radiciação (próximo tópico), veremos que trata-se de
uma operação inversa à potenciação. Assim, obter a raiz quadrada de um número é
equivalente a elevá-lo a
1
1
, obter a raiz cúbica é equivalente a elevá-lo a , e assim
2
3
por diante.
26 . Veja que poderíamos fazer
Visto isso, vamos obter o valor de:
simplesmente assim:
26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64 = 8
Entretanto, como obter a raiz quadrada é igual a elevar a
( )
2 6 = 26
1
2
=2
6×
1
2
1
, podemos fazer:
2
= 23 = 8
Note que utilizamos a propriedade anterior (potência de potência) para
resolver este caso.
g) Potência de produto:
Se tivermos que resolver uma expressão como (2 × 3)2 , podemos fazer de
algumas formas:
(2 × 3)2 = (6)2 = 36
(2 × 3)2 = (2 × 3) × (2 × 3) = 36
(2 × 3)2 = 22 × 32 = 4 × 9 = 36
Veja a última forma. Ela nos diz que um produto A × B elevado à uma
potência “n” é igual ao produto das potências An e B n .
h) Potência de base 10:
Quando a base da potência for 10 e o expoente for um número natural “n”,
fica bem fácil resolver. O resultado será formado pelo número 1 seguido de “n”
zeros:
103 = 1000
106 = 1000000
!∀#
Da mesma forma, se o expoente for um número inteiro negativo, basta usar
as propriedades que vimos acima. Veja exemplos:
1
1
=
= 0,001
3
10
1000
1
1
= 6 =
= 0,000001
10
1000000
10 −3 =
10 −6
i) Potência de base negativa:
Quando a base da potência é um número negativo, devemos analisar qual
será o sinal do resultado. Por ex.: (-2)3 = 8 ou -8 ?
Para isso, fica aqui uma regra: se o expoente for par, o resultado é positivo.
Se o expoente for ímpar, o resultado será negativo. Neste caso, como 3 é ímpar, o
resultado correto é -8. Você pode visualizar isso melhor fazendo a conta em etapas:
(-2)3 = (-2) × (-2) × (-2) = (4) × (-2) = −8
Veja um exemplo com expoente par:
(-2)4 = (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = (4) × (4) = 16
j) Fração elevada a um expoente:
Uma fração elevada a um expoente é igual a outra fração onde numerador e
denominador estão elevados àquele expoente. Veja:
3
23
2
= 3
3
3
Isto pode ser visto fazendo a conta em etapas:
3
2 2 2 2 × 2 × 2 23
8
2
= 3 =
= × × =
3 3 3 3×3×3 3
27
3
1.1.5 Radiciação
Como já disse acima, a radiciação é uma operação inversa à potenciação.
Quando dizemos que a raiz quadrada de 9 é 3, isso significa que 3 elevado ao
quadrado será igual a 9. A operação de radiciação pode ser escrita usando-se o
símbolo
n
ou elevando o número em questão ao expoente
1
. Veja alguns
n
exemplos:
1
3
27 = 27 3 = 3 , pois 33 = 27
!∀#
2
1
2
16 = 16 = 4 , pois 42 = 16
Veja que, quando se trata de raiz quadrada, podemos usar o símbolo
simplesmente
2
ou
.
As principais propriedades da radiciação são:
a) Qualquer raiz de zero é igual a zero:
Isto é,
n
0 = 0 . Isto porque zero elevado a qualquer número também resulta
em zero.
b) Qualquer raiz de 1 é igual a 1:
Ou seja,
n
1 = 1. Isto porque 1 elevado a qualquer número também resulta em
1.
a
c)
b
xa = x b
Essa
é
uma
propriedade
muito
importante.
Exemplificando,
6
3
46 = 4 3 = 42 = 16 .
d) Raiz “n” de produto é igual ao produto das raízes “n”:
Isto é, a raiz “n” de A x B é igual a raiz “n” de A x raiz “n” de B:
n
A×B = n A × n B
Veja que essa propriedade só vale se ambas as raízes tiverem o mesmo
radical “n”. Ilustrando, temos que:
25 × 16 = 25 × 16 = 5 × 4 = 20
e) Raiz da divisão é igual à divisão das raízes:
A raiz de A/B é igual à raiz de A dividida pela raiz de B:
n
A
=
B
n
A
n
B
Veja esse exemplo:
!∀#
25
25 5
=
=
16
16 4
f) Raiz de raiz:
Por essa propriedade, temos que
3
nm
A = n×m A . Exemplificando:
2 = 3×2 2 = 6 2
Isso pode ser visto usando-se as propriedades de potência:
1
3
1 1
1
×
1 3
2 = 2 = 22 = 22 3 = 26 = 6 2
3
1
2
Vamos estudar um método para extrair a raiz de um número. Ele consiste em
2 passos:
1. Decomposição do número em fatores primos
a
2. Aplicação da propriedade
b
xa = x b
A título de exemplo, vamos calcular
3
216 . Lembre-se que os números
primos são aqueles divisíveis apenas por 1 e por si mesmos, ou seja: 2, 3, 5, 7, 11,
13, 17, 19, 23 etc. Assim, iremos começar dividindo 216 pelo menor número primo
(2) e, quando não mais for possível, passamos para o número primo seguinte (3), e
assim sucessivamente. Teremos:
Número Fator primo
216 2
108 2
54 2
27 3 (pois não é mais possível usar o 2)
9 3
3 3
1 Logo, 216 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 23 x 33
Feito isso, podemos aplicar a propriedade da radiciação da seguinte forma:
1
3
3×
216 = 3 (23 × 33 ) = (23 × 33 )3 = 2
1
3
×3
3×
1
3
= 21 × 31 = 6
!∀#
Se você ficou em dúvida, talvez precise voltar na seção de Potenciação e
revisar as propriedades que estudamos.
Vamos resolver mais um caso:
7056 . Decompondo 7056 em fatores
primos, temos:
Número
Fator primo
7056
2
3528
2
1764
2
882
2
441
3
147
3
49
7
7
7
1
Logo, 7056 = 24 × 32 × 72
Portanto:
7056 = 24 × 32 × 72 = 2
4×
1
2
×3
2×
1
2
×7
2×
1
2
= 22 × 3 × 7 = 84
Várias vezes você irá se deparar com números que não possuem raiz exata.
Apesar disso, é possível simplificar o resultado. Vamos calcular, por exemplo, a raiz
quadrada de 32.
Fazendo a decomposição em fatores primos, temos que:
32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25
Assim,
32 = 25
Podemos simplificar esta expressão lembrando-se que 25 = 24 × 2 :
32 = 25 = 24 × 2 = 24 × 2 = 4 × 2 ou, simplesmente, 4 2
Finalizando, é bom lembrar que no conjunto dos números racionais não
existe raiz par de números negativos (ex.: não existe
2
−16 ), mas existe raiz ímpar
( 3 −27 = −3, pois ( − 3)3 = −27 ).
!∀#
1.2 Expressões numéricas
Uma expressão numérica é uma sequência de números dispostos de acordo
com sinais matemáticos, que indicam as operações a serem efetuadas. Veja um
exemplo:
{(
}
25 + 2) × (9 − 3) − 7 ÷ 4 =
A resolução desse tipo de expressão é muito simples, desde que você se
lembre das seguintes regras:
1. Primeiro resolver o que está dentro dos parênteses, depois o que está entre
colchetes, e a seguir o que está entre chaves.
2. Primeiro resolver operações de radiciação ou potenciação, a seguir multiplicação
ou divisão, e a seguir resolver operações de soma ou subtração.
Utilizando o nosso exemplo, veja que devemos inicialmente resolver as duas
operações que encontram-se entre parênteses. Dentro desses parênteses, veja que
há uma operação de radiciação ( 25 ), que é a primeira a ser resolvida:
{[(5 + 2) × (9 − 3)] − 7} ÷ 4 =
A seguir, resolvemos as demais operações dentro dos parênteses, obtendo:
{[7 × 6] − 7} ÷ 4 =
Agora devemos resolver a multiplicação dentro dos colchetes:
{42 − 7} ÷ 4 =
Em seguida resolvemos a subtração dentro das chaves:
35 ÷ 4 =
Por fim, resolvemos a divisão que se encontrava fora das chaves, obtendo:
35 ÷ 4 = 8, 75
Vale a pena lembrar aqui que uma fração é uma operação de divisão como
outra qualquer, e se houver uma fração em sua expressão numérica, basta resolvêla no momento que você resolveria aquela operação de divisão.
1.3 Porcentagem e problemas
A porcentagem nada mais é do que uma divisão onde o denominador é o
número 100. Você certamente deve estar bem habituado a ver porcentagens nas
!∀#
notícias da imprensa. Dizer que 12% (leia “cinco por cento”) dos brasileiros são
desempregados é igual a dizer que 12 a cada grupo de 100 brasileiros não tem
emprego. Veja outros exemplos:
- “11% do seu salário deve ser pago a título de contribuição previdenciária”: de cada
100 reais que você recebe como salário, 11 devem ser pagos para a previdência.
- “a taxa de analfabetismo de adultos no Brasil é de 20%”: de cada 100 adultos no
Brasil, 20 são analfabetos.
- “o número de adolescentes grávidas cresceu 10% em 2011, em relação ao ano
anterior”: para cada 100 adolescentes grávidas que existiam em 2010, passaram a
existir 10 a mais em 2011, isto é, 110 adolescentes grávidas.
- “o número de fumantes hoje é 5%menor que aquele do início da década”: para
cada 100 fumantes existentes no início da década, hoje temos 100 – 5, isto é, 95
fumantes.
Para calcular qual a porcentagem que uma certa quantia representa de um
todo, basta efetuar a seguinte divisão:
Porcentagem =
quantia de interesse
× 100%
total
Por exemplo, se queremos saber qual o percentual que 3 crianças
representam em um total de 4 crianças, temos:
Porcentagem =
quantia de interesse
3
× 100% = × 100% = 0,75 × 100% = 75%
total
4
Podemos transformar um número porcentual (ex.: 75%) em um número
decimal (ex.: 0,75), e vice-versa, lembrando que o símbolo % significa “dividido por
100”. Isto é, 75% é igual a 75 dividido por 100, que é igual a 0,75:
75% =
!∀#
75
= 0,75
100
Da mesma forma, se temos um número decimal (ex.: 0,025) e queremos
saber o valor percentual correspondente, basta multiplicá-lo por 100%:
0,025 = 0,025 ×
100
= 0,025 × 100% = 2,5%
100
Por fim, se Porcentagem =
quantia de interesse
× 100% , então também
total
podemos dizer que:
quantia de interesse = porcentagem × total
(Obs.: veja que omiti o 100% desta última fórmula, afinal
100% =
100
= 1)
100
Esta fórmula acima nos diz que, se queremos saber quanto é 20% de 300,
basta multiplicar 20% por 300:
20% de 300 = 20% x 300 = 0,2 x 300 = 60
Isto é, 60 pessoas correspondem a 20% de um total de 300 pessoas.
Portanto, grave isso: em matemática, o “de” equivale à multiplicação. Portanto, 20%
de 300 é igual a 20% x 300, e assim por diante.
Ainda no tema porcentagens, se queremos reduzir um preço de 100 reais em
12% devemos subtrair 12% de 100, ou seja:
Preço final = 100 – 12% x 100
Preço final = 100 – 12
Preço final = 88 reais
!∀#
Assim, observe que uma redução de 12% corresponde a multiplicar o valor
inicial por 0,88, ou seja, por 88%. Da mesma forma, um aumento de 25% levaria os
100 reais a:
Preço final = 100 + 25% x 100 = 125 reais
Ou seja, aumentar em 25% corresponde a multiplicar o valor inicial por 1,25.
Em
termos gerais:
- para aumentar um valor em x%, basta multiplicá-lo por (1 + x%);
- para reduzir um valor em x%, basta multiplicá-lo por (1 – x%).
Exemplificando, imagine uma blusa que custa 250 reais. Se na semana
anterior à Black Friday elevarmos o preço em 25%, o novo preço será:
250 x (1 + 25%) = 250 x 1,25 = 312,50 reais
Se na Black Friday dermos um “mega desconto” de 30%, chegamos a:
312,50 x (1 – 30%) = 312,50 x 0,70 = 218,75 reais
(veja que podemos anunciar: de R$312,50 por R$218,75!!)
Veja que poderíamos ter feito as duas operações de uma vez, para chegar
diretamente no preço final, assim:
250 x (1,25) x (0,70) = 250 x 0,875 = 218,75 reais
Repare que, no fim das contas, vendemos por 0,875 vezes o preço inicial, ou
87,5% do preço inicial. Assim, o desconto real foi de apenas 12,5%.
Vamos exercitar um pouco?
!∀#
2. RESOLUÇÃO DE QUESTÕES
1. FCC – MPE/RS – 2010) Devido a uma promoção, um televisor está sendo
vendido com 12% de desconto sobre o preço normal. Cláudio, funcionário da loja,
está interessado em comprar o televisor. Sabendo que, como funcionário da loja, ele
tem direito a 25% de desconto sobre o preço promocional, o desconto que Cláudio
terá sobre o preço normal do televisor, caso decida adquiri-lo, será de
a) 37%
b) 36%
c) 35%
d) 34%
e) 33%
RESOLUÇÃO:
Se o preço normal do televisor é T, com o desconto de 12% ela está sendo
vendida pelo preço promocional abaixo:
Preço Promocional = T – 12%T = T – 0,12T = 0,88T
Como Cláudio tem desconto de 25% sobre o preço promocional, ele deve
pagar:
Preço para Cláudio = Preço Promocional – 25% do Preço Promocional
Preço para Cláudio = 0,88T – 25% x 0,88T
Preço para Cláudio = 0,88T – 0,25 x 0,88T = 0,66T
Isto é, Cláudio pagará apenas 66% do preço normal da televisão, tendo um
desconto de 100% - 66% = 34%.
Resposta: D
2. FGV – CAERN – 2010) Analise as afirmativas a seguir:
I–
6 é maior do que
5
2
II – 0,555... é um número racional
III – Todo número inteiro tem um antecessor
Assinale:
!∀#
a) Se somente as afirmativas I e III estiverem corretas
b) Se somente a afirmativa II estiver correta
c) Se somente as afirmativas I e II estiverem corretas
d) Se somente a afirmativa I estiver correta
e) Se somente as afirmativas II e III estiverem corretas
RESOLUÇÃO:
Vamos comentar cada alternativa:
I–
6 é maior do que
5
2
Vamos assumir que essa afirmativa é verdadeira e testá-la. Se
6>
5
,
2
então, elevando os dois lados ao quadrado:
( )
6
2
6>
5
> 2
2
25
4
6 × 4 > 25
24 > 25
Veja que 24 > 25 é um absurdo. Portanto, só se pode concluir uma coisa:
6<
5
, ou seja, a alternativa I é falsa.
2
II – 0,555... é um número racional
0,555... ou 0,5 é uma dízima periódica. Como vimos, as dízimas periódicas
também são números racionais, pois podem ser escritos na forma
A
, onde A e B
B
são números inteiros. Essa alternativa está correta.
III – Todo número inteiro tem um antecessor
De fato, todo número inteiro tem um antecessor. Basta visualizar a reta
numérica, e veremos que para cada número inteiro n, existe um número inteiro n-1,
que é o seu antecessor:
!∀#
Assim, essa alternativa também está correta.
Resposta: E.
3. CEPERJ – PREFEITURA DE ITABORAÍ – 2011) Considere a expressão
x + 15
,
x +5
onde x > 0. O número máximo de valores inteiros de x que tornam a expressão dada
também um número inteiro é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
RESOLUÇÃO:
Chamemos de z um dos números inteiros dados pela expressão do
enunciado. Portanto, sabemos que:
z=
x + 15
x+5
Como queremos saber quantas possibilidades existem para x, vamos isolar
essa variável. Acompanhe a manipulação algébrica abaixo:
z × ( x + 5) = x + 15
zx + 5 z = x + 15
zx − x = 15 − 5 z
x × ( z − 1) = 15 − 5 z
x=
15 − 5z
z −1
Sendo assim, vamos testar alguns valores de z, lembrando que z deve ser
um número inteiro, e x deve ser inteiro e positivo.
- Se z = 0, x =
!∀#
15 − 5 × 0 15
=
= −15 . Como x não pode ser negativo, essa não é
0 −1
−1
uma possibilidade válida.
- Se z = 1, x =
(exceto
10
. Entretanto a divisão de um número inteiro por zero é impossível
0
0
, que é um valor indeterminado). Logo, x = 1 não nos serve.
0
- Se z = 2, x = 5, o que é uma possibilidade válida.
- Se z = 3, x = 0, o que não vale, pois x deve ser maior que zero.
- Se z = 4 ou mais, veja que x será negativo, pois 15-5z será negativo e z-1 será
positivo.
Faltou testar valores negativos para z (lembre-se que apenas x precisa ser
>0). Entretanto, veja que se z for negativo, x será também negativo (o que não é
válido). Isso porque o numerador (15-5z) será um valor positivo, e divisor (z-1) será
negativo, o que resulta em um número negativo. Para ilustrar, vamos testar z = -2:
x=
15 − 5 × ( −2) 25
=
−2 − 1
−3
Assim, temos apenas 1 possibilidade válida para x, que é 5.
Resposta: B.
4. CEPERJ – PREFEITURA DE BELFORD ROXO – 2011) Os números x e y são
tais que 10 ≤ x ≤ 30 e 40 ≤ y ≤ 60 . O maior valor possível da expressão
a)
1
2
b)
3
4
c)
1
4
d)
2
3
x
é:
y
e)
!∀#
1
6
RESOLUÇÃO:
O maior valor possível para
x
é obtido quando o numerador (x) é o maior
y
valor possível e o denominador (y) é o menor valor possível. Como 10 ≤ x ≤ 30 , o
maior valor possível de x é 30. E, sendo 40 ≤ y ≤ 60 , o menor valor possível para y
é 40. Logo, temos:
x 30 3
=
=
y 40 4
Resposta: B.
5. FCC – TRT/4ª – 2011) Considere o número inteiro X1Y, em que X e Y
representam os algarismos das centenas e das unidades, respectivamente.
Sabendo que 31692 : (X1Y) = 76, a soma X+Y é um número:
a) Quadrado perfeito
b) Menor que 10
c) Primo
d) Divisível por 6
e) Múltiplo de 4
RESOLUÇÃO:
Ora, se
31692
31692
= 76 , então
= X 1Y . Fazendo a divisão, temos:
X 1Y
76
417 = X 1Y
Portanto, X = 4 e Y = 7. Assim, X+Y = 11, que é um número primo.
Alternativa C.
Resposta: C.
6. FCC – TRT/24ª – 2011) Nicanor deveria efetuar a divisão de um número inteiro e
positivo N, de três algarismos, por 63; entretanto, ao copiar N, ele enganou-se,
!∀#
invertendo as posições dos dígitos extremos e mantendo o seu dígito central. Assim,
ao efetuar a divisão do número obtido por 63, obteve quociente 14 e resto 24.
Nessas condições, se q e r são, respectivamente, o quociente e o resto da divisão
de N por 63, então:
a) q + r = 50.
b) r < 40.
c) q < 9.
d) r é múltiplo de 4.
e) q é um quadrado perfeito.
RESOLUÇÃO:
Se um número N, dividido por D, deixa quociente q e resto r, podemos dizer
que N = D*q + r. Ex: 7 dividido por 2 tem quociente 3 e resto 1. Logo, 7 = 2*3 + 1,
concorda?
Vamos chamar de M o número que foi utilizado por engano, isto é, o número
N com os dígitos extremos trocados. Sabemos que M dividido por 63 tem quociente
14 e resto 24. Logo,
M = 63*14 + 24
M = 882 + 24 = 906
Se M = 906, N deve ser 609 (basta trocar os algarismos das extremidades).
Dividindo N por 63, temos:
609 63
42 9
Isto é, q = 9 e r = 42. Das respostas possíveis, vemos que apenas a letra E
está correta, pois sabemos que 9 é um quadrado perfeito (isto é, a raiz quadrada de
9 é um número inteiro, neste caso 3).
Resposta: E.
7. FCC – TRT/1ª – 2011) Em uma campanha de doação de livros, x pessoas
receberam 4 livros, e y pessoas receberam 3 livros, sendo x e y números inteiros e
positivos. Se foram distribuídos 100 livros, então, as possibilidades diferentes para x
+ y são em número de:
a) 6
b) 7
!∀#
c) 8
d) 9
e) 10
RESOLUÇÃO:
Como foram distribuídos 100 livros no total, temos que:
4 x + 3 y = 100
Para facilitar a análise, podemos isolar uma das variáveis (por ex.: y) dessa
equação da seguinte forma:
4 x + 3 y = 100
3 y = 100 − 4 x
100 − 4 x
25 − x
y=
= 4×
3
3
Como y deve ser um número inteiro, isso significa que 25-x deve ser divisível
por 3. Como x e y devem ser números naturais (pois representam quantidades de
pessoas), podemos ir variando o valor de x de modo que 25-x seja divisível por 3
(ou seja, 25-x deve ser igual a 24, 21, 18, 15 etc.).
Por exemplo, para que 25-x seja igual a 24, x deve ser igual a 1. E,
substituindo x = 1 na expressão acima, y = 4 x 24/3 = 4x8 = 32. Veja os demais
casos na tabela abaixo:
25 – x
x
y
x+y
24
1
32
33
21
4
28
32
18
7
24
31
15
10
20
30
12
13
16
29
9
16
12
28
6
19
8
27
3
22
4
26
0
25
!∀#
0
26
Veja, na coluna da direita da tabela acima, que temos 9 possibilidades para
x+y. Entretanto, devemos excluir a última (x = 25 e y = 0), pois o enunciado disse
que tanto x quanto y devem ser números inteiros positivos (e o zero não é
considerado um número natural positivo, lembra-se?).
Assim, ficam 8 possibilidades válidas.
Resposta: C.
8. FCC – TRT/1ª – 2011) Sejam x e y números naturais, e ∆ e símbolos com os
seguintes significados:
- x ∆ y é igual ao maior número dentre x e y, com x ≠ y ;
- x y é igual ao menor número dentre x e y, com x ≠ y ;
De acordo com essas regras, o valor da expressão [64 (78 ∆ 64)] {92∆[(43 21)∆ 21]}
é:
a) 92
b) 78
c) 64
d) 43
e) 21
RESOLUÇÃO:
Devemos lembrar aquela regra básica para resolução de equações
matemáticas: primeiro resolvemos o que está entre parênteses (), depois entre
colchetes [], e por fim o que está entre chaves {}. Assim, efetuando as operações ∆
e como definidas no enunciado, veja os passos abaixo:
!∀#
[64(78∆64)] {92∆[(43 21)∆21]} =
[64 78] {92∆[21∆21]} =
64 {92∆21} =
64 92 =
64
Resposta: C.
9. FCC – TRF/2ª – 2012) Ao consultar o livro de registro de entrada e saída de
pessoas às dependências de uma empresa, um funcionário observou que: 5/8 do
total das pessoas que lá estiveram ao longo de certa semana eram do sexo
masculino e que, destas, 2/7 tinham menos de 35 anos de idade. Com base nessas
informações, pode-se concluir corretamente que o total de pessoas que visitaram tal
empresa naquela semana NÃO poderia ser igual a
(A) 56.
(B) 112.
(C) 144.
(D) 168.
(E) 280.
RESOLUÇÃO:
Seja P o número de pessoas que visitaram a empresa. Como 5/8 eram do
sexo masculino, então é preciso que
5
P seja um número inteiro. E como 2/7 tinham
8
menos de 35 anos de idade, então é preciso também que
2
P seja inteiro.
7
Assim, é preciso que o número de pessoas seja divisível por 8 e por 7. O
MMC(8,7) é 56. Também são múltiplos comuns de 8 e 7 os múltiplos de 56, ou seja:
112, 168, 224, 280 etc.
Repare que apenas o número 144 (letra C) não é múltiplo de 56.
Resposta: C
10. CEPERJ – RIO PREVIDÊNCIA – 2010) A soma dos algarimos de 1010 − 3 é:
a) 88
b) 89
c) 91
!∀#
d) 95
e) 97
RESOLUÇÃO:
Lembrando da propriedade de potências de base 10, sabemos que 1010 é o
número formado pelo algarismo 1 seguido de 10 algarismos zero, isto é:
1010 = 10000000000
Assim, é fácil efetuar a subtração:
1010 − 3
10000000000 − 3 = 9999999997
Somando os algarismos de 9999999997 temos:
9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 7 = 9 × 9 + 7 = 88
RESPOSTA: A.
11. FCC – TRT/15ª – 2009) Do total de projetos que estavam em um arquivo, sabese que:
2
4
deveriam ser analisados e
referiam-se ao atendimento ao público
5
7
interno. Com essa informação, é correto concluir que o total de projetos existentes
nesse arquivo NUNCA poderia ser um número compreendido entre
a) 10 e 50
b) 60 e 100
c) 110 e 160
d) 150 e 170
e) 180 e 220
RESOLUÇÃO:
Observe que se o total de projetos for um número divisível por 5 e por 7 ao
mesmo tempo, será possível calcular
2
4
e
dos projetos, isto é, eles serão
5
7
números inteiros. Quais números são divisíveis por 5 e 7 ao mesmo tempo? Os
múltiplos comuns entre 5 e 7.
O mínimo múltiplo comum entre eles é 35.
Portanto, se o número de projetos for múltiplo de 35, será um número divisível
!∀#
por 5 e 7. As outras possibilidades para o número de projetos são os demais
múltiplos comuns entre 5 e 7. Você pode encontrá-los simplesmente buscando
os múltiplos de 35, que é o MMC (5,7). Portanto:
Nº de projetos = 35, 70, 105, 140, 175, 210, 245...
Dado que em todos os intervalos existe um múltiplo comum entre 5 e 7,
exceto naquele entre 150 e 170 (letra D), somente nesse intervalo é que o
número de projetos NUNCA poderia estar.
Resposta: D
12. FCC – BANESE – 2012) O departamento de informática de um banco dividiu as
agências de um município em grupos de três, de modo que cada técnico ficasse
responsável por dar suporte às agências de um desses grupos. Nessa divisão,
porém, sobrou uma agência, tendo um dos técnicos de ficar responsável por quatro
agências. Já o setor de apoio ao crédito, que dividiu as mesmas agências em
grupos de cinco para designar um assessor que atendesse as agências de cada
grupo, não teve esse problema: não sobraram agências na divisão. Dentre os
números abaixo, o único que pode representar o total de agências desse município
é
(A) 15.
(B) 19.
(C) 20.
(D) 24.
(E) 25.
RESOLUÇÃO:
O número de agências deve ser tal que:
- seja múltiplo de 5 (pois não deixa resto ao ser dividido por 5);
- dividido por 3, tenha resto 1.
Os múltiplos de 5 encerram em 0 ou 5. Portanto, podemos eliminar as
alternativas B e D. Analisando as demais alternativas, veja que 15 é divisível por 3
(não deixa resto), e 20 dividido por 3 deixa resto 2. Já 25 dividido por 3 deixa resto
1, sendo este o nosso gabarito.
!∀#
Resposta: E
13. FCC – BANESE – 2012) A abertura da Copa do Mundo de 2014 está prevista
para ocorrer na cidade de São Paulo, no dia 12 de junho daquele ano. 785 dias
depois, em 5 de agosto de 2016, uma sexta-feira, deve ocorrer a abertura das
Olimpíadas do Rio de Janeiro. Com esses dados, é possível concluir que a abertura
da Copa de 2014 ocorrerá em
(A) uma quarta-feira.
(B) uma quinta-feira.
(C) uma sexta-feira.
(D) um sábado.
(E) um domingo.
RESOLUÇÃO:
Observe que 785 dias separam os 2 eventos. Como cada semana tem 7 dias,
podemos dividir 785 por 7 para sabermos quantas semanas existem entre as duas
datas.
Efetuando esta divisão, temos resultado (quociente) igual a 112 e resto igual
a 1. Portanto, entre as duas datas temos 112 semanas completas e mais 1 dia. Se
tivéssemos exatas 112 semanas, poderíamos afirmar que o dia 12 de junho de 2014
(abertura da Copa) seria uma sexta-feira, pois o dia 5 de agosto de 2016 é este.
Entretanto, como temos mais 1 dia entre as duas datas, isto significa que a abertura
da Copa ocorrerá um dia da semana antes, ou seja, em uma quinta-feira.
Resposta: B
14. FCC – TCE/AP – 2012) Um número inteiro será chamado de tricíclico se, e
somente se, for formado por uma sequência de dois ou mais dígitos aparecendo
exatamente três vezes. Por exemplo, os números 858 585, 107 107 107 e 292 129
212 921 são tricíclicos. O menor número positivo que deve ser somado a 198 891
para que se obtenha como resultado um número tricíclico é
(A) 1 109.
(B) 3 129.
(C) 6 972.
(D) 13 230.
(E) 23 331.
!∀#
RESOLUÇÃO:
O número 198 891 possui 6 dígitos. Precisamos que 2 dígitos apareçam
exatamente 3 vezes. Vejamos o que acontece ao adicionarmos 1109 (alternativa A):
198891 + 1109 = 200000 não temos um número tricíclico
Agora vejamos o que acontece ao adicionarmos 3129 (alternativa B):
198891 + 3129 = 202020 temos dois dígitos (2 e 0) aparecendo 3 vezes cada
um, ou seja, obtivemos um número tricíclico.
Esta é a resposta.
Resposta: B
15. FCC – SPPREV – 2012) Um fornecedor vende lápis em diferentes embalagens,
conforme mostra a tabela:
Nessas condições, é correto afirmar que a economia na compra de uma caixa tipo
(A) III em relação à compra de três caixas tipo I é de R$ 150,00.
(B) V em relação à compra de seis caixas tipo I é de R$ 450,00.
(C) IV em relação à compra de quatro caixas tipo I é de R$ 250,00.
(D) V em relação à compra de duas caixas tipo III é de R$ 200,00.
(E) IV em relação à compra de duas caixas tipo II é de R$ 160,00.
RESOLUÇÃO:
Multiplicando a quantidade de lápis pelo preço unitário do lápis em cada
caixa, obtemos o preço total da caixa. Vejamos:
Caixa I = 400 x 0,75 = 300
Caixa II = 800 x 0,70 = 560
Caixa III = 1200 x 0,65 = 780
Caixa IV = 1600 x 0,60 = 960
Caixa V = 2400 x 0,55 = 1320
!∀#
Com isso em mãos, vamos fazer as comparações do enunciado:
(A) III em relação à compra de três caixas tipo I é de R$ 150,00.
A caixa III custa 780 reais, e três caixas I custam 3x300 = 900 reais. Assim, a
economia é de 900 – 780 = 120 reais, e não 150. ERRADO.
(B) V em relação à compra de seis caixas tipo I é de R$ 450,00.
A caixa V custa 1320 reais, e seis caixas I custam 6x300 = 1800 reais. Assim,
a economia é de 1800 – 1320 = 480 reais, e não 450. ERRADO.
(C) IV em relação à compra de quatro caixas tipo I é de R$ 250,00.
A caixa IV custa 960 reais, e quatro caixas I custam 4x300 = 1200 reais.
Assim, a economia é de 1200 – 960 = 240 reais, e não 250. ERRADO.
(D) V em relação à compra de duas caixas tipo III é de R$ 200,00.
A caixa V custa 1320 reais, e duas caixas III custam 2x780 = 1560 reais.
Assim, a economia é de 1560 – 1320 = 240 reais, e não 200. ERRADO.
(E) IV em relação à compra de duas caixas tipo II é de R$ 160,00.
A caixa IV custa 960 reais, e duas caixas II custam 2x560 = 1120 reais.
Assim, a economia é de 1120 – 960 = 160 reais, como dito nesta alternativa.
CORRETO.
Resposta: E
16. FCC – SPPREV – 2012) Dona Arminda é mãe de 4 filhos. Cada um de seus
filhos teve 3 filhos. Cada um de seus netos teve 2 filhos. Considerando que todos
estão vivos, o número de descendentes que dona Arminda possui é
(A) 9.
(B) 16.
(C) 24.
(D) 36.
(E) 40.
RESOLUÇÃO:
!∀#
Cada um de seus 4 filhos de Dona Arminda teve 3 filhos, de modo que ela
possui 4 x 3 = 12 netos. Cada um dos 12 netos teve 2 filhos, de modo que ela teve 9
x 2 = 24 bisnetos.
Portanto, Dona Arminda tem 4 filhos, 12 netos e 24 bisnetos, totalizando 40
descendentes.
Resposta: E
17. FCC – SPPREV – 2012) Pensei em um número e dele
− subtraí 3 unidades;
− multipliquei o resultado por 5;
− somei 9 unidades;
− obtive 24 como resultado.
É correto afirmar que o quadrado desse número é
(A) 1.
(B) 4.
(C) 16.
(D) 25.
(E) 36.
RESOLUÇÃO:
Seja N o número pensado. Façamos as operações:
− subtraí 3 unidades:
Com isso, temos N – 3.
− multipliquei o resultado por 5;
Até aqui temos 5 x (N – 3).
− somei 9 unidades;
Chegamos a 5 x (N – 3) + 9.
− obtive 24 como resultado.
Portanto,
24 = 5 x (N – 3) + 9
24 – 9 = 5N – 15
30 = 5N
!∀#
N=6
Logo, o quadrado deste número é 62 = 36.
Resposta: E
18. FCC – MPE/PE – 2012) Para realizar uma determinada tarefa, uma empresa
contrata quatro funcionários e aluga um equipamento cujo valor do aluguel é
determinado por lotes de tempo de sua utilização. Não há possibilidade de se pagar
fração de lotes. Por exemplo: se o equipamento for utilizado durante 3 lotes e um
terço de lote será cobrado o equivalente a 4 lotes de tempo de utilização. Sendo
assim, os funcionários resolveram trabalhar em turnos contínuos, um indivíduo
imediatamente após o outro. O primeiro funcionário trabalhou o equivalente a quatro
terços de um lote; o segundo funcionário trabalhou três quartos do tempo que o
primeiro havia trabalhado; o terceiro funcionário ficou em ação três meios do tempo
que o segundo havia ficado e o quarto funcionário terminou a tarefa gastando a
terça parte do tempo que o terceiro havia gasto. A empresa contratante do serviço
destinou a quantia de R$ 19.500,00 para pagamento dos funcionários que
realizassem a tarefa. O pagamento foi feito proporcionalmente ao tempo despendido
em serviço pelos quatro funcionários individualmente.
O número de lotes que serão cobrados pelo uso desse equipamento é:
(A) 4.
(B) 5.
(C) 6.
(D) 7.
(E) 8.
RESOLUÇÃO:
Seja L o símbolo de um lote. Segundo o enunciado, o primeiro funcionário
trabalhou o equivalente a quatro terços de um lote, isto é,
4
L.
3
O segundo funcionário trabalhou três quartos do tempo que o primeiro havia
trabalhado, ou seja,
3 4
× L = L
4 3
!∀#
O terceiro funcionário ficou em ação três meios do tempo que o segundo
3
havia ficado: × L 2
O quarto funcionário terminou a tarefa gastando a terça parte do tempo que o
terceiro havia gasto:
1 3
1
× L= L
3 2
2
Somando os gastos de cada funcionário, temos:
4
3
1
L+L+ L+ L =
3
2
2
8+6+9+3
L=
6
26
13
L = L = 4, 333L
6
3
Como não é possível pagar por uma fração de lote, será preciso pagar por 5
lotes.
Resposta: B
19. FCC – Banco do Brasil – 2011) Se x e y são números inteiros tais que x é par e
y é ímpar, considere as seguintes afirmações:
I. x + y é ímpar.
II. x − 2y é ímpar.
III. (3x) . (5y) é impar.
É correto afirmar que
(A) I, II e III são verdadeiras.
(B) I, II e III são falsas.
(C) apenas I é verdadeira.
(D) apenas I e II são verdadeiras.
(E) apenas II e III são verdadeiras.
RESOLUÇÃO:
Se x é par e y é ímpar:
I. x + y é ímpar verdade, pois ao somar um número par com outro ímpar temos
um resultado ímpar. Ex.: 4 + 3 = 7.
!∀#
II. x − 2y é ímpar falso. Imagine que x = 6 e y = 1. Logo, x – 2y = 4, que é par.
III. (3x) . (5y) é impar falso. Como x é par, 3x também é par. E como y é ímpar, 5y
também é ímpar (basta você usar exemplos para x e y e verá que isto é verdade).
Multiplicando um número par (3x) por um número ímpar (5y) temos um resultado
par. Imaginando x = 2 e y = 3, temos (3.2).(5.3) = 6.15 = 90, que é par.
Resposta: C
20. FCC – Banco do Brasil – 2011) Qual das expressões seguintes NÃO é
equivalente a 0,0000000625?
a)
5
× 10 −6
16
b)
5
× 10 −7
8
c)
25
×10 −8
4
d)
125
× 10−9
2
e) 625 ×10 −10
RESOLUÇÃO:
Veja que para passar o número 625 para o outro lado da vírgula é preciso
mudar a posição da vírgula em 10 vezes. Portanto,
0, 0000000625 =
625
= 625 × 10-10
10
10
Com isto já vemos que a letra E está correta. Observe ainda que:
625 × 10-10 = 62, 5 ×10-9 =
125
× 10-9
2
Aqui já vemos que a alternativa D também está correta. Veja também que:
625 × 10-10 = 6, 25 × 10−8 =
25
×10-8
4
!∀#
Logo, a alternativa C também está correta. Veja também que:
5
625 × 10-10 = 0, 625 × 10−7 = × 10-7
8
A alternativa B também está correta. Resta apenas a alternativa A, que é o
gabarito. De fato, veja que:
5
× 10−6 = 0,3125 × 10 −6
16
Resposta: A
21. FCC – Banco do Brasil – 2011) O valor da expressão
A2 − B 3
, para A = 2 e
AB + B A
B = −1, é um número compreendido entre
(A) −2 e 1.
(B) 1 e 4.
(C) 4 e 7.
(D) 7 e 9.
(E) 9 e 10.
RESOLUÇÃO:
Substituindo A por 2 e B por -1 na expressão, temos:
A2 − B 3
=
AB + B A
22 − (−1)3
=
2−1 + (−1) 2
4 − (−1)
=
1
+1
2
5
2 10
= 5× =
= 3, 333...
3
3 3
2
Resposta: B
22. FCC – Banco do Brasil – 2011) Suponha que 60 funcionários do Banco do
Brasil − 60% dos quais lotados em certa Agência de Florianópolis e, os demais, em
determinada Agência de Chapecó − serão divididos em grupos, a fim de participar
!∀#
de um curso sobre Desenvolvimento Pessoal. Considerando que todos os grupos
deverão conter a mesma quantidade de funcionários e que todos os funcionários de
cada grupo deverão pertencer à mesma Agência, então a menor quantidade de
grupos que poderão ser formados é um número
(A) menor que 4.
(B) primo.
(C) divisível por 3.
(D) par.
(E) maior que 8.
RESOLUÇÃO:
Veja que 60% de 60 é igual a 60% x 60 = 0,6 x 60 = 36 funcionários.
Portanto, temos 36 funcionários de Florianópolis e 24 (60 – 36) de Chapecó. Se
queremos dividir os funcionários de cada agência em grupos de mesmo tamanho,
precisamos de um divisor comum entre 36 e 24. E se esses grupos devem ser a
menor quantidade possível, eles devem ter o máximo de pessoas possível. Ou seja,
precisamos do máximo divisor comum entre 36 e 24.
Decompondo cada um desses números em fatores primos, temos:
24 = 23 x 3
36 = 22 x 32
O MDC (24,36) é formado pelos fatores comuns de menor expoente, ou seja:
MDC (24, 36) = 22 x 3 = 12
Portanto, devemos formar grupos de 12 pessoas. Assim, os 24 funcionários
de Chapecó serão divididos em 2 grupos, e os 36 de Florianópolis em 3 grupos,
totalizando 5 grupos.
Como 5 é um número primo, temos a alternativa B.
Resposta: B
!∀#
23. FCC – Banco do Brasil – 2011) Gertrudes e Rubem − funcionários de uma
Agência do Banco do Brasil − receberam, cada um, uma mesma quantidade de
folhetos para a divulgação de serviços e produtos oferecidos pelo Banco. Sabendo
que, se Gertrudes repassar a terça parte de seu total de folhetos para Rubem, então
ele terá que distribuir 64 folhetos a mais do que ela. É correto concluir que o total de
folhetos que cada um recebeu inicialmente é um número compreendido entre
(A) 10 e 25.
(B) 25 e 50.
(C) 50 e 75.
(D) 75 e 100.
(E) 100 e 125.
RESOLUÇÃO:
Imagine que Gertrudes e Rubem receberam inicialmente F folhetos cada um.
Se Gertrudes repassar F/3 folhetos para Rubem (terça parte do seu total), cada um
terá que distribuir as seguintes quantidades:
Rubem: F + F/3 = 4F/3
Gertrudes: F – F/3 = 2F/3
Com isso, o enunciado diz que o número de folhetos de Rubem é 64
unidades maior que o de Gertrudes. Portanto:
4F 2F
−
= 64
3
3
2F
= 64
3
F = 64 × 3 / 2 = 96
Assim, o total de folhetos que cada um recebeu inicialmente é um número
entre 75 e 100.
Resposta: D
!∀#
24. FCC – TRT/4ª – 2011) Relativamente aos 75 funcionários de uma Unidade do
Tribunal Regional do Trabalho, que participaram certo dia de um seminário sobre
Primeiros Socorros, sabe-se que:
- no período da manhã, 48% do total de participantes eram do sexo feminino;
- todas as mulheres participaram do início ao fim do seminário;
- no período da tarde foi notada a ausência de alguns funcionários do sexo
masculino e, assim, a quantidade destes passou a ser igual a 3/7 do total de
participantes na ocasião.
Nessas condições, o número de homens que se ausentaram no período da tarde é:
a) 6
b) 7
c) 9
d) 10
e) 12
RESOLUÇÃO:
Aqui, o total de funcionários é 75, e o percentual de mulheres no período da
manhã era 48%. Portanto, a quantidade de mulheres (quantia de interesse) pode
ser calculada lembrando que:
quantia de interesse = porcentagem × total
mulheres = 48% × 75 = 0,48 × 75 = 36
Se haviam 36 mulheres no total de 75 funcionários, o restante eram homens:
75 – 36 = 39 homens
Assim, pela manhã haviam 39 homens presentes, que representavam 52%
(100% - 48%) do total de funcionários.
Com a saída de H homens à tarde, os homens passaram a ser 3/7 do total.
Os homens que restaram eram 39 – H, e as mulheres que restaram eram 36. Assim:
!∀#
quantia de interesse
Porcentagem =
× 100%
total
3
39 − H
=
7
(39 − H ) + 36
3 × [(39 − H ) + 36] = 7 × (39 − H )
3 × [75 − H ] = 273 − 7H
225 − 3H = 273 − 7H
4H = 48
H = 12
Portanto, o número de homens que se ausentaram no período da tarde é H =
12.
Resposta: E
25. FCC – TRF/1ª – 2011) Na compra de um computador, um Técnico recebeu um
desconto de 10% sobre o preço de M reais. Após certo tempo, comprou um novo
computador por R$ 2 370,00 e, para fazer o pagamento, deu o primeiro computador
como entrada, com prejuízo de 10% sobre a quantia que havia pago, e mais três
parcelas sem juros de R$ 250,00 cada. Nessas condições, M é igual a
a) 2000
b) 2050
c) 2100
d) 2105
e) 2110
RESOLUÇÃO:
Se o técnico recebeu desconto de 10% sobre o preço M do primeiro
computador, ele pagou:
M – 10% de M = M – 10%M = M – 0,1M = 0,9M
Para comprar o segundo computador, foi dado de entrada o primeiro, com
prejuízo de 10% em relação ao valor pago. Isto é, o primeiro computador foi
entregue pelo preço P abaixo:
!∀#
P = 0,9M – 10% x 0,9M = 0,9M – 0,09M = 0,81M
Para pagar os 2370 reais do segundo computador, foi entregue o primeiro
computador (pelo valor 0,81M) e mais 3 parcelas de 250 reais. Portanto:
2370 = 0,81M + 3 x 250
0,81M = 1620
M = 2000
Resposta: A
26. FCC – Banco do Brasil – 2011) Em dezembro de 2007, um investidor comprou
um lote de ações de uma empresa por R$ 8000,00. Sabe-se que: em 2008 as ações
dessa empresa sofreram uma valorização de 20%; em 2009, sofreram uma
desvalorização de 20%, em relação ao seu valor no ano anterior; em 2010, se
valorizaram em 20%, em relação ao seu valor em 2009. De acordo com essas
informações, é verdade que, nesses três anos, o rendimento percentual do
investimento foi de:
(A) 20%.
(B) 18,4%.
(C) 18%.
(D) 15,2%.
(E) 15%.
RESOLUÇÃO:
Se em 2008 as ações sofreram valorização de 20%, o seu valor ao final deste
ano foi:
P2008 = 8000 + 20%x8000 = 9600
Já em 2009 essas ações sofreram desvalorização de 20% em relação ao
valor do ano anterior, isto é, em relação a 9600. Assim, o valor no final de 2009 foi:
P2009 = 9600 - 20%x9600 = 7680
Em 2010, voltaram a valorizar 20% em relação ao ano anterior:
P2010 = 7680 + 20%x7680 = 9216
!∀#
Assim, ao longo desses três anos as ações foram de 8000 para 9216 reais. A
valorização percentual, em relação ao valor inicial (8000), foi de:
9216
− 1 = 0,152 = 15,2%
8000
Resposta: D
27. FCC – Banco do Brasil – 2010) As estatísticas da Campanha Nacional de
Prevenção ao Câncer de Pele, organizada há 11 anos pela Sociedade Brasileira de
Dermatologia, revelam que o brasileiro não se protege adequadamente do sol: 70%
dos entrevistados afirmaram não usar qualquer tipo de proteção solar, nem mesmo
quando vão à praia (adaptado de www.sbd.org.br). Se foram entrevistadas 34 430
pessoas, o número delas que usam protetor solar é
(A) 24 101
(B) 15 307
(C) 13 725
(D) 12 483
(E) 10 329
RESOLUÇÃO:
Se 70% não usam proteção solar, então 30% usam. Como o total de
entrevistados é de 34430 pessoas, então:
Usam proteção = 30% de 34430 pessoas
Usam proteção = 30% x 34430
Usam proteção = 0,30 x 34430 = 10329 pessoas
Resposta: E
28. FCC – Banco do Brasil – 2011) Certo mês, um comerciante promoveu uma
liquidação em que todos os artigos de sua loja tiveram os preços rebaixados em
20%. Se, ao encerrar a liquidação o comerciante pretende voltar a vender os artigos
pelos preços anteriores aos dela, então os preços oferecidos na liquidação devem
ser aumentados em
!∀#
(A) 18,5%.
(B) 20%.
(C) 22,5%.
(D) 25%.
(E) 27,5%.
RESOLUÇÃO:
Seja P o preço inicial do produto. Retirando 20%, ficamos com:
P – 0,20 x P = 0,80P
Queremos multiplicar o preço com desconto (0,80P) por um fator F tal que
este preço retorne ao valor original (P). Isto é:
F x (0,80P) = P
F x 0,80 = 1
F = 1 / 0,80 = 1,25
Assim, para retornar o preço ao valor original é preciso multiplicar por 1,25,
isto é, promover um aumento de 25%.
Resposta: D
29. VUNESP – Pref. São José dos Campos – 2012) Um produto de beleza é
vendido em 3 tipos de frascos: 20 mL, 100 mL e 250 mL. Em três dias, foram
vendidos um total de 45 frascos, totalizando 5 400 mL. Alguns dados dessa venda
estão registrados na tabela seguinte:
!∀#
Os números que faltam nessa tabela, em relação aos frascos de 100 mL e 250 mL,
respectivamente, são
(A) 6 e 6.
(B) 5 e 7.
(C) 4 e 8.
(D) 3 e 9.
(E) 2 e 10.
RESOLUÇÃO:
Sejam X o número de frascos de 100mL vendidos na quarta-feira, e Y o
número de frascos de 250mL vendidos na segunda-feira.
Considerando apenas os números apresentados na tabela, sabemos que
foram vendidos 5+5+5 = 15 frascos de 20mL, 10+2 = 12 frascos de 100mL e 4+2 =
6 frascos de 250mL.
Assim, ao todo temos:
15 + 12 + 6 = 33 frascos
Como o total é de 45 frascos, então faltam 12 frascos. Logo,
X + Y = 12 frascos
ou seja,
Y = 12 – X
O volume total dos frascos que aparecem na tabela é dado pela multiplicação
das quantidades (15, 12 e 6 frascos) pelos volumes de cada tipo de frasco (20, 100
e 250mL). Assim,
Volume total = 15 x 20 + 12 x 100 + 6 x 250 = 3000mL
Como o total vendido foi de 5400mL, faltam 2400mL. Logo, o volume dos
frascos X e Y somam 2400mL:
2400 = X x 100 + Y x 250
Como Y é igual a 12 – X, podemos efetuar esta substituição na equação
acima:
2400 = 100X + 250Y
2400 = 100X + 250 x (12 – X)
!∀#
2400 = 100X + 3000 – 250X
250X – 100X = 3000 – 2400
150X = 600
X = 600 / 150 = 4 frascos
Portanto, Y = 12 – X = 12 – 4 = 8 frascos.
Resposta: C
30. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Trinta e uma moedas, algumas de 50
centavos e as outras de 25 centavos somam juntas R$ 12,00. A diferença entre o
número de moedas de 50 centavos e de 25 centavos é
(A) 0.
(B) 1.
(C) 2.
(D) 3.
(E) 4.
RESOLUÇÃO:
Seja G o número de moedas grandes (50 centavos) e P o número de moedas
pequenas (25 centavos). Ao todo temos 31 moedas:
31 = P + G
P = 31 – G
O valor dessas moedas soma 12 reais:
12 = 0,50 x G + 0,25 x P
Multiplicando os membros da última equação por 4:
48 = 2G + P
48 = 2G + (31 – G)
G = 17 moedas
Assim,
P = 31 – 17 = 14 moedas
Portanto, temos 3 moedas de 50 centavos a mais do que de 25 centavos.
!∀#
Resposta: D
31. FCC – TRT/9ª – 2013)
Em uma loja de bijuterias, todos os produtos são
vendidos por um dentre os seguintes preços: R$ 5,00, R$ 7,00 ou R$ 10,00. Márcia
gastou R$ 65,00 nessa loja, tendo adquirido pelo menos um produto de cada preço.
Considerando apenas essas informações, o número mínimo e o número máximo de
produtos que Márcia pode ter comprado são, respectivamente, iguais a
(A) 9 e 10.
(B) 8 e 11.
(C) 8 e 10.
(D) 9 e 13.
(E) 7 e 13.
RESOLUÇÃO:
Como é necessário comprar pelo menos 1 produto de cada preço, temos que
gastar 5 + 7 + 10 = 22 reais adquirindo 3 produtos, restando ainda 43 reais.
Para calcular o número máximo de produtos que podem ser adquiridos com
43 reais, devemos priorizar os mais baratos, ou seja, os de 5 reais. Assim, seria
possível adquirir 8 itens de 5 reais cada, totalizando 40 reais – porém assim há uma
sobra de 3 reais. Para não haver sobra, dado que foram gastos exatamente 65 reais
na loja, devemos combinar produtos de diferentes preços. Assim, podemos buscar
uma combinação de N produtos de 5 reais e M produtos de 7 reais que totalize 43
reais, isto é, que obedeça à equação:
N x 5 + M x 7 = 43
Você verá que, para N = 3, temos M = 4, totalizando 3 + 4 = 7 produtos.
Assim, além dos 3 produtos comprados inicialmente (para cumprir a regra de 1
produto de cada tipo), podemos comprar mais 7, totalizando 10 produtos, e
gastando exatamente 65 reais. Este é o número máximo.
Para o mínimo, devemos priorizar os produtos mais caros. Assim, após
gastar 22 reais comprando um produto de cada tipo, devemos distribuir os 43 reais
restantes priorizando os produtos mais caros. Em relação ao caso anterior, onde
usamos os 43 reais para comprar 3 produtos de 5 reais e 4 de 7 reais, podemos, no
máximo, substituir 2 produtos de 5 reais por 1 de 10 reais. Assim, o número mínimo
de produtos comprados cai para 9, sendo: 2 de 5 reais, 5 de 7 reais e 2 de 10 reais.
!∀#
Resposta: A
32. FCC – TRT/9ª – 2013) Atendendo ao pedido de um cliente, um perfumista
preparou 200 mL da fragrância X. Para isso, ele misturou 20% da essência A, 25%
da essência B e 55% de veículo. Ao conferir a fórmula da fragrância X que fora
encomendada, porém, o perfumista verificou que havia se enganado, pois ela
deveria conter 36% da essência A, 20% da essência B e 44% de veículo. A
quantidade de essência A, em mL, que o perfumista deve acrescentar aos 200 mL
já preparados, para que o perfume fique conforme a especificação da fórmula é
igual a
(A) 32.
(B) 36.
(C) 40.
(D) 45.
(E) 50.
RESOLUÇÃO:
No perfume montado inicialmente, temos 40mL de A (20% de 200mL), 50mL
de B (25%) e 110mL de veículo (55%). Seja Q a quantidade da essência A que
devemos inserir para que o perfume fique com 36% de A. Assim, a quantidade de A
na mistura final passa a ser de 40mL + Q, e o volume total da mistura final passa a
ser 200mL + Q. Ou seja:
36% = (40 + Q) / (200 + Q)
0,36 x (200 + Q) = 40 + Q
72 + 0,36Q = 40 + Q
32 = 0,64Q
Q = 50mL
Resposta: E
33. FCC – TRT/9ª – 2013) Em uma disciplina de um curso superior, 7/9 dos alunos
matriculados foram aprovados em novembro, logo após as provas finais. Todos os
demais alunos fizeram em dezembro uma prova de recuperação. Como 3/5 desses
alunos conseguiram aprovação após a prova de recuperação, o total de aprovados
na disciplina ficou igual a 123. O total de alunos matriculados nessa disciplina é
igual a
!∀#
(A) 136.
(B) 127.
(C) 130.
(D) 135.
(E) 126.
RESOLUÇÃO:
Seja A o total de alunos matriculados. Como 7/9 foram aprovados em
novembro, ficaram de recuperação 2/9. Destes 2/9, sabemos que 3/5 foram
aprovados também.
O total de aprovados (123) é dado pela soma entre os 7/9 de A que foram
aprovados em novembro com mais 3/5 de 2/9 de A, que foram aprovados após a
recuperação. Isto é,
123 =
7
3 2
A+ × A
9
5 9
123 =
35
6
A+
A
45
45
123 =
41
A
45
A = 135alunos
Resposta: D
34. FCC – TRT/9ª – 2013) Em uma repartição pública em que 64% dos funcionários
têm salário superior a R$ 7.000,00, 60% dos funcionários têm curso superior e 40%
possuem apenas formação de ensino médio. Dentre os servidores com nível
superior, 80% ganham mais do que R$ 7.000,00. Dessa forma, dentre os
funcionários que têm somente formação de Ensino Médio, aqueles que recebem
salário maior do que R$ 7.000,00 correspondem a
(A) 48%
(B) 44%
(C) 40%
(D) 50%
(E) 56%
RESOLUÇÃO:
!∀#
Imagine um total de 100 funcionários. Destes, 64 teriam salário superior a
7000 reais, 60 teriam nível superior e 40 teriam nível médio.
80% dos 60 com nível superior, isto é, 48 funcionários, ganham mais que
7000 reais. Portanto, daquele total de 64 funcionários que ganham mais que 7000
reais, sabemos que 48 tem nível superior. Assim, o restante tem nível médio:
64 – 48 = 16
Assim, 16 dos 40 funcionários com nível médio ganha mais que 7000 reais.
Percentualmente, eles correspondem a 16 / 40 = 40%.
Resposta: C
35. FCC – TRT/1ª – 2013) Somando-se um mesmo número ao numerador e ao
denominador da fração
3
, obtém-se uma nova fração, cujo valor é 50% maior do
5
que o valor da fração original. Esse número está entre
(A) 1 e 4.
(B) 5 e 8.
(C) 9 e 12.
(D) 13 e 16.
(E) 17 e 20.
RESOLUÇÃO:
Seja N o número somado ao numerador e denominador da fração. Assim,
temos:
3+ N
3
= 1,5 × 5+ N
5
3+ N 3 3
= × 5+ N 2 5
3+ N 9
= 5 + N 10
30 + 10N = 45 + 9N
N = 15
Resposta: D
!∀#
36. FCC – TRT/1ª – 2013) Em uma escola privada, 22% dos alunos têm bolsa de
estudo, sendo os demais pagantes. Se 2 em cada 13 alunos pagantes ganharem
bolsa de estudo, a escola passará a contar com 2.210 alunos bolsistas. Dessa
forma, o número atual de alunos bolsistas é igual a
(A) 1.430.
(B) 340.
(C) 910.
(D) 1.210.
(E) 315.
RESOLUÇÃO:
Seja N o total de alunos. Assim, sabemos que 0,22N são bolsistas e 0,78N
são pagantes. Se 2/13 dos 0,78N pagantes ganharem bolsa, o total de bolsistas
passará a ser de:
Bolsistas = 0,22N + (2/13) x 0,78N
2210 = 0,22N + 0,12N
2210 = 0,34N
N = 6500 alunos
O número atual de bolsistas é:
0,22N = 0,22 x 6500 = 1430 alunos
Resposta: A
37. FCC – TRT/1ª – 2013) A etiqueta de um produto indica que seu preço é R$ 160.
No sistema da loja, porém, um de seus três dígitos foi registrado errado, gerando
um valor x% maior do que o da etiqueta. Apenas com essas informações, conclui-se
que x pode valer, no máximo,
(A) 5.
(B) 6.
(C) 19.
(D) 500.
(E) 600.
RESOLUÇÃO:
!∀#
Se trocarmos o algarismo 1 por 9, teríamos que o preço registrado no
sistema é de R$960. Vejamos quão superior é este número em relação a R$160,
em termos percentuais:
960 / 160 – 1 = 5 = 500%
Portanto, é possível que x seja igual a 500. Repare que, no cálculo acima,
precisamos subtrair 1 unidade (ou 100%) pois queríamos calcular apenas a
diferença, ou seja, quão superior 960 é em relação a 160.
Resposta: D
38. FCC – TRT/1ª – 2013) Uma pesquisa realizada pelo Diretório Acadêmico de
uma faculdade mostrou que 65% dos alunos são a favor da construção de uma
nova quadra poliesportiva. Dentre os alunos homens, 11 em cada 16 manifestaramse a favor da nova quadra e, dentre as mulheres, 3 em cada 5. Nessa faculdade, a
razão entre o número de alunos homens e mulheres, nessa ordem, é igual a
(A)
4
3
(B)
5
6
(C)
4
7
(D)
5
7
(E)
9
7
RESOLUÇÃO:
Seja H o número de homens e M o número de mulheres. Assim, o total de
alunos é H + M, e os favoráveis à construção da quadra são 0,65 x (H + M). Este
grupo de alunos favoráveis é formado por 11H/16 e por 3M/5. Isto é,
Favoráveis = 0,65 x (H + M) = 11H/16 + 3M/5
0,65 x (H + M) = 55H/80 + 48M/80
0,65 x (H + M) = (55H + 48M) / 80
80 x 0,65 x (H + M) = (55H + 48M)
!∀#
52H + 52M = 55H + 48M
4M = 3H
H/M = 4/3
Resposta: A
39. FCC – TRT/1ª – 2013) Um investidor comprou um apartamento X e revendeu-o
em seguida, conseguindo lucro nessa transação. Com a totalidade do dinheiro
obtido, comprou um apartamento Y e revendeu-o por um valor 40% maior do que o
que havia comprado. Considerando o dinheiro investido no apartamento X e o valor
pelo qual foi vendido o apartamento Y, o investidor obteve 61% de lucro. Dessa
forma, o lucro obtido na venda do apartamento X foi de
(A) 10%.
(B) 12%.
(C) 15%.
(D) 18%.
(E) 21%.
RESOLUÇÃO:
Seja x o preço de compra do apartamento X e y o preço de compra do
apartamento Y. Após vender o apartamento Y, o investidou ficou com 1,4y, devido
ao ganho de 40% nesta transação.
Foi dito ainda que 1,4y (valor de venda do apto. Y) corresponde a 1,61x (ou
seja, um lucro de 61% em relação ao valor inicial x da primeira transação). Assim:
1,4y = 1,61x
y = 1,15x
Portanto, na primeira transação o investidor adquiriu o apartamento X pelo
valor x e o revendeu por y, isto é, por 1,15x. Assim, obteve um lucro de 15% nesta
primeira transação.
Resposta: C
40. FCC – TRT/1ª – 2013) Considere a sequência de operações mentais descrita
abaixo.
I. Escolha um número positivo N.
II. Some N com a sua metade.
!∀#
Uma pessoa realizou essa sequência seis vezes, de modo que, a partir da segunda,
ela sempre escolhia como número N o valor obtido na operação II da vez anterior.
Se ao terminar a sequência pela sexta vez essa pessoa obteve, na operação II,
soma igual a
81
, então o número N pensado da primeira vez é igual a
8
(A) 3.
(B) 2.
(C)
4
3
(D)
4
9
(E)
8
9
RESOLUÇÃO:
Sendo N o primeiro número escolhido, após somar sua metade temos:
N + N/2 = 3N/2
Isto é, após cada ciclo (operação I e II), temos um número igual a 3/2 do
escolhido inicialmente. Após 6 ciclos, teremos:
(3/2)6 x N
Como este número equivale a 81/8, temos:
81/8 = (3/2)6 x N
81/8 = (729/64) x N
N = (81 x 64) / (8 x 729)
N = (81 x 8) / (1 x 729)
N = (9 x 8) / (1 x 81)
N = (1 x 8) / (1 x 9)
N = 8/9
Resposta: E
41. FCC – TRT/1ª – 2013) Um professor dá aulas para três turmas do período da
manhã, cada uma com x alunos, e duas turmas do período da tarde, cada uma com
!∀#
2x
alunos. Até o momento, ele corrigiu apenas as provas finais de todos os alunos
3
de uma turma da manhã e uma da tarde. Uma vez que todos os seus alunos fizeram
a prova final, a quantidade de provas que ainda falta ser corrigida por esse
professor representa, em relação ao total,
(A)
8
13
(B)
10
13
(C)
3
5
(D)
5
8
(E)
7
8
RESOLUÇÃO:
O professor aplicou a prova para o seguinte total de alunos:
Total = x + x + x + 2x/3 + 2x/3 = 3x + 4x/3 = 9x/3 + 4x/3 = 13x/3
Deste total, falta corrigir duas turmas com x alunos cada (turmas da manhã) e
uma turma com 2x/3 alunos (turma da tarde), totalizando:
Falta corrigir = x + x + 2x/3 = 8x/3
. Em relação ao total, isto representa:
8x
3 = 8x × 3 = 8
13 x 3 13 x 13
3
Resposta: A
42. FCC – TRT/12ª – 2013) O século XIX é o período que se estende de 1801 até
1900. Alberto nasceu no século XIX. Em 1872, ao comemorar seu aniversário,
Alberto notou que sua idade coincidia com os dois últimos algarismos do ano em
que nasceu. Nessas condições, Alberto completou 5 anos de idade em
(A) 1853.
!∀#
(B) 1836.
(C) 1825.
(D) 1841.
(E) 1848.
RESOLUÇÃO:
Seja AB o número formado pelos dois últimos dígitos do ano de nascimento
de Alberto. Por exemplo, se Alberto nasceu em 1850, então AB = 50.
A idade de Alberto em 1872 é igual ao número formado pelos dois dígitos do
ano em que nasceu, ou seja, em 1872 Alberto completa AB anos.
Por outro lado, a idade é dada pela subtração entre o ano de 1872 e o ano de
nascimento, que pode ser escrito como 1800 + AB. Assim,
Idade = 1872 – Ano de nascimento
AB = 1872 – (1800 + AB)
AB = 1872 – 1800 – AB
2 x AB = 72
AB = 72 / 2
AB = 36
Portanto, Alberto nasceu em 1836, de modo que fez 5 anos em 1841.
Resposta: D
43. FCC – TRT/18ª – 2013) Para montar um tipo de enfeite de mesa para festas de
casamento, uma empresa de eventos utiliza um pequeno vaso, quatro flores
artificiais e uma vela colorida. Cada vaso custa R$ 0,80, cada flor R$ 0,25 e cada
vela R$ 1,20. O custo de produzir 70 desses enfeites para uma festa de casamento,
em reais, é igual a
(A) 140,00.
(B) 157,50.
(C) 175,00.
(D) 192,50.
(E) 210,00.
RESOLUÇÃO:
Um enfeito é composto por 1 vaso, 4 flores e 1 vela. Cada vaso custa R$
0,80, cada flor R$ 0,25 e cada vela R$ 1,20. Logo, o custo de um enfeite é:
!∀#
Enfeite = 1 x 0,80 + 4 x 0,25 + 1 x 1,20 = 3,00 reais
Assim, o custo de produzir 70 desses enfeites para uma festa de casamento
é igual a 3,00 x 70 = 210 reais.
Resposta: E
44. FCC – TRT/18ª – 2013) Em dado instante, o marcador de combustível de um
carro indicava que o tanque estava com 5/8 de sua capacidade. A partir desse
instante, foram consumidos 25,5 litros de combustível, passando o marcador a
indicar ¼ da capacidade do tanque. A capacidade do tanque desse carro, em litros,
é igual a
(A) 60.
(B) 64.
(C) 66.
(D) 68.
(E) 72.
RESOLUÇÃO:
Seja C a capacidade do tanque. Sabemos que a diferença entre as
marcações 5/8 e ¼ foi de 25,5 litros, ou seja,
5
1
C − C = 25,5 8
4
5
2
C − C = 25,5 8
8
3
C = 25,5 8
8
C = 25,5 × = 68litros
3
Resposta: D
45. FCC – TRT/18ª – 2013) A audiência do Sr. José estava marcada para uma
segunda-feira. Como ele deixou de apresentar ao tribunal uma série de
documentos, o juiz determinou que ela fosse remarcada para exatos 100 dias após
a data original. A nova data da audiência do Sr. José cairá em uma
(A) quinta-feira.
!∀#
(B) terça-feira.
(C) sexta-feira.
(D) quarta-feira.
(E) segunda-feira.
RESOLUÇÃO:
Veja que 100 dividido por 7 leva ao quociente 14 e resto 2. Isto significa que
os 100 dias corrrespondem a 14 semanas inteiras e mais 2 dias.
Cada uma das 14 semanas começa em uma terça-feira, dia seguinte ao que
estava marcado o julgamento, e terminam na próxima segunda-feira. Após essas 14
semanas, chegamos a uma segunda-feira, e precisamos ainda contabilizar os 2 dias
que faltam para totalizar 100. Assim, chegamos a uma quarta-feira.
Resposta: D
46. FCC – TRT/6ª – 2012) Quando o usuário digita na tela um número positivo n,
um programa de computador executa a seguinte sequência de operações:
I. Soma 0,71 ao número n.
II. Extrai a raiz quadrada do resultado obtido em (I).
III. Multiplica o resultado obtido em (II) por 7,2.
IV. Escreve na tela o resultado obtido em (III).
Após digitar na tela o número positivo, um usuário observou que esse programa
escreveu na tela o número 15,12. O número digitado por esse usuário foi
(A) 3,3.
(B) 3,4.
(C) 3,5.
(D) 3,6.
(E) 3,7.
RESOLUÇÃO:
Após a etapa I, teremos n + 0,71. Após a etapa II, teremos
n + 0, 71 . Com a
etapa III, obtemos 7, 2 × n + 0, 71 .
Assim, o número escrito na tela (15,12) é igual ao resultado da operação
7, 2 × n + 0, 71 . Ou seja:
!∀#
7, 2 × n + 0, 71 = 15,12 n + 0, 71 =
15,12
7, 2
n + 0, 71 = 2,1 (
n + 0, 71
)
2
= 2,12 n + 0, 71 = 4, 41 n = 4, 41 − 0, 71 = 3, 7
Resposta: E
47. FCC – TRT/6ª – 2012 ) Em um determinado ano, o mês de abril, que possui um
total de 30 dias, teve mais domingos do que sábados. Nesse ano, o feriado de 1o de
maio ocorreu numa
(A) segunda-feira.
(B) terça-feira.
(C) quarta-feira.
(D) quinta-feira.
(E) sexta-feira.
RESOLUÇÃO:
A FCC gosta bastante de questões onde você precisa entender o
funcionamento do calendário mensal e anual. Por isso, certifique-se de que
entendeu essa questão!
Sabemos que uma semana tem 7 dias. Dividindo 30 dias por 7, saberemos
quantas semanas temos neste mês. Veja que essa divisão possui resultado
(quociente) igual a 4 e resto igual a 2. Isto significa que, em Abril, temos 4 conjuntos
de 7 dias (ou seja, 4 semanas completas), e restam 2 dias.
Desta forma, teremos pelo menos 4 segundas-feiras, 4 terças-feiras, e assim
por diante. O resto encontrado nos indica que teremos mais uma repetição de dois
dias da semana, que passarão a aparecer 5 vezes no mês de Abril.
Para que tenhamos mais domingos do que sábados, é preciso que o
domingo se repita 5 vezes e o sábado apenas 4. Isto só é possível se o mês
começar no domingo. Visualize isso abaixo:
1ª semana: Domingo, Segunda, Terça..., Sábado ( 7 dias até aqui)
!∀#
2ª semana: Domingo, Segunda, Terça..., Sábado (14 dias até aqui)
3ª semana: Domingo, Segunda, Terça..., Sábado (21 dias até aqui)
4ª semana: Domingo, Segunda, Terça..., Sábado (28 dias até aqui)
5ª semana: Domingo, Segunda
(30 dias – final do mês)
Portanto, o último dia de Abril é uma segunda-feira, de modo que o 1º dia de
Maio será uma terça-feira.
Resposta: B
48. FCC – TRF/2ª – 2012) Uma operação λ é definida por: wλ = 1 − 6 w , para todo
inteiro w. Com base nessa definição, é correto afirmar que a soma 2λ + (1λ ) é igual
λ
a:
a) -20
b) -15
c) -12
d) 15
e) 20
RESOLUÇÃO:
Utilizando a definição dada no enunciado ( wλ = 1 − 6 w ), temos que:
2λ = 1 − 6 × 2 = −11 1λ = 1 − 6 × 1 = −5 (1 ) = ( −5)
λ λ
λ
= 1 − 6 × (−5) = 31
Portanto, 2λ + (1λ ) = −11 + 31 = 20 λ
Resposta: E
49. FCC – TRF/2ª – 2012) Ao conferir o livro de registro da entrada e saída das
pessoas q visitaram uma Unidade do Tribunal Regional Federal, ao longo dos cinco
dias úteis de certa semana, um Técnico Judiciário observou que:
- o número de pessoas que lá estiveram na segunda-feira correspondia a terça parte
do total de visitantes da semana inteira;
!∀#
- em cada um dos três dias subsequentes, o número de pessoas registradas
correspondia a ¾ do número daquelas registradas no dia anterior.
Considerando que na sexta-feira foi registrada a presença de 68 visitantes, é correto
afirmar que o número de pessoas que visitaram essa Unidade.
(A) na segunda-feira foi 250.
(B) na terça-feira foi 190.
(C) na quarta-feira foi 140.
(D) na quinta-feira foi 108.
(E) ao longo dos cinco dias foi 798.
RESOLUÇÃO:
Seja V o número total de visitantes da semana. Na segunda-feira, um terço
do total compareceu, ou seja, V/3. Na terça-feira, ¾ do total presente na segunda
compareceu, isto é, ¾ x (V/3) = V/4. Na quarta-feira, ¾ do total presente na terça
compareceu, ou seja, 3V/16. Na quinta-feira, ¾ do total presente na quarta
compareceu, totalizando 9V/64. Por fim, 68 estiveram presentes na sexta. Assim, o
total V pode ser dado pela soma dos presentes em cada dia:
V = segunda + terça + quarta + quinta + sexta
V = V/3 + V/4 + 3V/16 + 9V/64 + 68
Para colocar as frações em um denominador comum, podemos usar o
denominador 192. Assim, temos:
192
64
48
36
27
V=
V+
V+
V+
V + 68 192
192
192
192
192
192
64
48
36
27
V−
V−
V−
V−
V = 68 192
192
192
192
192
17
V = 68 192
V = 68 ×
192
= 768
17
Assim, o total de presentes na segunda foi V/3 = 256, na terça foi V/4 = 192,
na quarta foi 3V/16 = 144 e na quinta foi 9V/64 = 108. Temos essa última
informação na alternativa D.
Resposta: D
!∀#
50.FCC – TRF/2ª – 2012) Suponha que, no dia 15 de janeiro de 2011, um sábado,
Raul recebeu o seguinte e-mail de um amigo:
“Este é um mês especial, pois tem 5 sábados, 5 domingos e 5 segundas-feiras e
isso só ocorrera novamente daqui a 823 anos. Repasse esta mensagem para mais
10 pessoas e, dentro de alguns dias, você receberá uma boa notícia.”
Tendo em vista que é aficionado em Matemática, Raul não repassou tal mensagem
pois, após alguns cálculos, constatou que a afirmação feita na mensagem era falsa.
Assim sendo, lembrando que anos bissextos são números múltiplos de 4, Raul pode
concluir corretamente que o próximo ano em que ocorrência de 5 sábados, 5
domingos e 5 segundas-feiras acontecerá no mês de janeiro será:
(A) 2022.
(B) 2021.
(C) 2020.
(D) 2018.
(E) 2017.
RESOLUÇÃO:
Janeiro tem 31 dias. Dividindo por 7, temos quociente 4 e resto 3. Isto é,
temos 4 semanas inteiras e mais 3 dias. Portanto, cada dia da semana se repetirá 4
vezes, e, além disso, teremos mais 1 repetição de 3 dias da semana, totalizando 5
repetições para estes últimos. Para termos a 5ª repetição do sábado, domingo e
segunda, é preciso que o mês comece em um sábado. Por que? Pois iniciando
neste dia, nos primeiros 28 dias do mês teremos 4 semanas completas, iniciando
em sábados e terminando em sextas-feiras. Nos 3 últimos dias, teremos mais um
sábado, mais um domingo e mais uma segunda, totalizando as 5 repetições de cada
um desses dias.
Portanto, basta que janeiro comece em um sábado para que o mês seja
“especial”, como disse o enunciado. Como foi dito, isto ocorreu em 2011. Em que
dia da semana começará o mês de janeiro do ano seguinte (2012)? Ora, 2011 não é
bissexto, tendo 365 dias. Dividindo por 7, temos quociente 52 e resto 1, o que nos
indica que temos 52 semanas completas e mais 1 dia. Como janeiro de 2011
começou em um sábado, teremos 52 semanas começando em sábados e
terminando em sextas-feiras, e mais 1 dia – um sábado – de modo que o ano de
2012 começará em um domingo. Ou seja, de um ano para o outro, tivemos o
!∀#
“avanço” de 1 dia da semana. Em que dia começará 2013? Uma segunda-feira?
Não, pois 2012 é bissexto (veja que 2012 é múltiplo de 4). Assim, 2012 tem 366
dias, ou seja, 52 semanas e mais 2 dias. Portanto, como este ano começou em um
domingo, teremos 52 semanas começando em domingos e terminando em sábados
e mais dois dias – um domingo e uma segunda – de modo que 2013 começará em
uma terça-feira. Prosseguindo, temos:
- 2014: começará em uma quarta-feira (avançamos 1 dia, pois 2013 não é bissexto)
- 2015: começará em uma quinta-feira (avançamos 1 dia, pois 2014 não é bissexto)
- 2016: começará em uma sexta-feira (avançamos 1 dia, pois 2015 não é bissexto)
- 2017: começará em um domingo (avançamos 2 dias, pois 2016 é bissexto!!!)
- 2018: começará em uma segunda-feira (avançamos 1 dia, pois 2017 não é
bissexto)
- 2019: começará em uma terça-feira (avançamos 1 dia, pois 2018 não é bissexto)
- 2020: começará em uma quarta-feira (avançamos 1 dia, pois 2019 não é bissexto)
- 2021: começará em uma sexta-feira (avançamos 2 dias, pois 2020 é bissexto!!!)
- 2022: começará em um sábado (avançamos 1 dia, pois 2021 não é bissexto)
Portanto, veja que 2022 começará em um sábado, de modo que o mês de
janeiro terá 5 sábados, 5 domingos e 5 segundas.
Resposta: A
51. FCC – BANESE – 2012) Uma pesquisa feita no início de 2011 revelou que 2 em
cada 3 sócios de um clube são a favor das escolinhas de esportes oferecidas às
crianças. Ao longo de 2011, o clube não perdeu nenhum associado e ainda
aumentou o total de sócios em 50%. Dentre os novos sócios, que ingressaram no
clube em 2011, 5 em cada 6 são a favor das escolinhas de esportes. Considerando
que nenhum associado antigo mudou de opinião, eram a favor das escolinhas de
esportes ao final de 2011
(A) 3 em cada 4 sócios.
(B) 4 em cada 5 sócios.
(C) 7 em cada 10 sócios.
(D) 11 em cada 16 sócios.
(E) 13 em cada 18 sócios.
RESOLUÇÃO:
!∀#
Seja “3S” o número de sócios que o clube tinha inicialmente. 2 em cada 3 são
a favor das escolinhas, ou seja, 2S sócios são a favor da escolinha, de modo que os
S restantes são contrários. O número de sócios aumentou em 50%, ou seja, houve
um aumento de 1,5S. Destes, 5/6 são a favor das escolinhas, isto é,
5
×1,5S = 1, 25S 6
são a favor, ficando os 0,25S restantes contra.
Deste modo, os sócios favoráveis passaram a somar 2S + 1,25S = 3,25S. E
os sócios contrários passaram a somar S + 0,25S = 1,25S. O total de sócios passou
a ser 3,25S + 1,25S = 4,5S.
Portanto, a razão entre os sócios favoráveis (3,25S) e o total (4,5S) passou a
ser de:
3, 25S 3, 25 13
=
=
4,5S
4,5 18
Assim, 13 em cada 18 sócios são favoráveis.
Resposta: E
52. FCC – TJ/PE – 2012) Eram 22 horas e em uma festa estavam 243 mulheres e
448 homens. Verificou-se que, continuadamente a cada nove minutos, metade dos
homens ainda presentes na festa ia embora. Também se verificou que,
continuadamente a cada 15 minutos, a terça parte das mulheres ainda presentes na
festa ia embora. Desta forma, após a debandada das 22 horas e 45 minutos, a
diferença entre o número de mulheres e do número de homens é
(A) 14.
(B) 28.
(C) 36.
(D) 44.
(E) 58.
RESOLUÇÃO:
Entre 22h e 22:45h temos 5 intervalos de 9 minutos. Como a cada intervalo o
número de homens cai pela metade – ou seja, é multiplicado por ½ – temos que o
número de homens ao final passou a ser de:
1 1 1 1 1 448 448
448 × × × × × = 5 =
= 14 2 2 2 2 2 2
32
!∀#
Neste mesmo período, temos 3 intervalos de 15 minutos. Como a cada
intervalo 1/3 das mulheres saem, sobram 2/3 das mulheres, ou seja, o número de
mulheres é multiplicado por 2/3. Assim, o número de mulheres passou a ser:
2 2 2 243 × 23 243 × 8
243 × × × =
=
= 72 3 3 3
33
27
A diferença entre homens e mulheres passou a ser 72 – 14 = 58.
Resposta: E
53. FCC – METRÔ/SP – 2012) Relativamente a um lote de tijolos, usado por quatro
operários na construção de um muro, sabe-se que:
− coube a Amilcar assentar a oitava parte e a Benício a décima parte do total de
tijolos;
− coube a Galileu assentar o dobro da soma das quantidades que Amilcar e Benício
assentaram;
− Dante assentou os restantes 468 tijolos.
Nessas condições, o total de tijolos do lote é um número compreendido entre
(A) 1 250 e 1 500.
(B) 1 500 e 1 750.
(C) 1 750 e 2 000.
(D) 2 000 e 2 250.
(E) 2 250 e 2 500.
RESOLUÇÃO:
Seja T o total de tijolos. Amilcar ficou com um oitavo, isto é, T/8. Benício ficou
com um décimo, isto é, T/10. Galileu ficou com o dobro da soma entre Amilcar e
Benício, ou seja, com 2 x (T/8 + T/10). Por fim, Dante ficou com 468. O total de
tijolos é dado pela soma da quantidade que ficou com cada pedreiro:
Total = Amilcar + Benício + Galileu + Dante
T = T/8 + T/10 + 2 x (T/8 + T/10) + 468
T=
T T 2T 2T
+ +
+
+ 468 8 10 8 10
80T 10T 8T 20T 16T
=
+
+
+
+ 468 80
80 80 80
80
!∀#
26T
= 468 80
T = 468 ×
80
= 1440
26
Assim, o total de tijolos é de 1440, número que se encontra no intervalo da
alternativa A.
Resposta: A
54. FCC – METRÔ/SP – 2012) Ana tem em um cofrinho exatamente: 7 moedas de 1
real, 48 de 50 centavos, 53 de 25 centavos e 29 de 10 centavos. Se Ana pretende
totalizar a quantia de 50 reais e, para tal, adicionar quaisquer tipos de moedas às
que já tem, então a quantidade mínima de moedas que deverá usar é
(A) 4.
(B) 5.
(C) 6.
(D) 7.
(E) 8.
RESOLUÇÃO:
O valor total que Ana possui é:
7 x 1,00 + 48 x 0,50 + 53 x 0,25 + 29 x 0,10 = 47,15 reais
Para chegar a 50 reais, faltam 50 – 47,15 = 2,85 reais. Essa quantia pode ser
obtida com 2 moedas de 1 real, 1 moeda de 50 centavos, 1 moeda de 25 centavos e
1 moeda de 10 centavos, totalizando 5 moedas.
Resposta: B
55. FCC – METRÔ/SP – 2012) Certo dia, Alan, chefe de seção de uma empresa,
deu certa quantia em dinheiro a dois funcionários − Josemir e Neuza − solicitando
que fossem lhe comprar um lanche e ressaltando que poderiam ficar com o troco.
Sabe-se que, na compra do lanche eles gastaram 75% da quantia dada pelo chefe e
que, do troco recebido, Josemir ficou com 40%, enquanto que Neuza ficou com os
R$3,75 restantes. Nessas condições, o valor pago pelo lanche comprado foi
(A) R$ 15,00.
!∀#
(B) R$ 15,75.
(C) R$ 18,50.
(D) R$ 18,75.
(E) R$ 25,00.
RESOLUÇÃO:
Seja Q a quantia dada por Alan. Como eles gastaram 75% com o lanche,
sobraram 25%, ou seja, 0,25Q. Josemir ficou com 40% deste valor, sobrando 60%
deste valor para Neuza, ou melhor, 60% x 0,25Q = 0,6 x 0,25Q = 0,15Q. Essa
quantia de Neuza corresponde a 3,75 reais, o que nos permite obter Q:
0,15Q = 3,75
Q = 3,75 / 0,15 = 25 reais
Portanto, o valor do lanche foi 75% x 25 = 0,75 x 25 = 18,75 reais.
Resposta: D
56. FCC – METRÔ/SP – 2012) O parágrafo seguinte apresenta parte da fala de
Benê dirigida a seus amigos Carlão e Dito.
− Hoje, tenho 23 anos de idade, Carlão tem 32 e Dito tem 44, mas, futuramente,
quando a minha idade for igual à terça parte da soma das idades de vocês, ...
Um complemento correto para a fala de Benê é
(A) as nossas idades somarão 120 anos.
(B) Carlão terá 36 anos.
(C) Dito terá 58 anos.
(D) Carlão terá 38 anos.
(E) Dito terá 54 anos.
RESOLUÇÃO:
Imagine que daqui a N anos a idade de Benê será a terça parte da soma das
idades dos demais. Nesta data, a idade de Benê será 23 + N (afinal, passaram-se N
anos em relação à data presente), a idade de Carlão será 32 + N e a idade de Dito
será 44 + N. Como a idade de Benê será a terça parte da soma, então:
23 + N = (32 + N + 44 + N) / 3
3 x (23 + N) = 32 + N + 44 + N
69 + 3N = 76 + 2N
N = 7 anos
!∀#
Assim, nesta data Benê terá 23 + 7 = 30 anos, Carlão terá 32 + 7 = 39 anos,
e Dito terá 44 + 7 = 51 anos. A soma das idades será 30 + 39 + 51 = 120.
Resposta: A
57. FCC – METRÔ/SP – 2012) Um trem metropolitano partiu de um terminal da
Linha 1 − Estação Tucuruvi −, com X passageiros e, após passar sucessivamente
pelas Estações Parada Inglesa e Jardim São Paulo, chegou à Estação Santana com
X passageiros. Sobre o trânsito de passageiros ao longo desse trajeto, sabe-se que:
− na Estação Parada Inglesa desceram exatamente 18 passageiros e o número dos
que embarcaram era igual a 1/6 de X;
− na Estação Jardim São Paulo desceram exatamente 106 passageiros e o número
dos que embarcaram era igual a 1/3 do número de passageiros que partiu da
estação anterior.
Nessas condições, é correto afirmar que X é um número
(A) ímpar.
(B) divisível por 9.
(C) múltiplo de 4.
(D) menor que 200.
(E) maior que 400.
RESOLUÇÃO:
Vamos seguir pelas estações:
− na Estação Parada Inglesa desceram exatamente 18 passageiros e o número dos
que embarcaram era igual a 1/6 de X;
Após passar por essa estação, restam a bordo X – 18 + X/6 passageiros, ou
melhor, 7X/6 – 18.
− na Estação Jardim São Paulo desceram exatamente 106 passageiros e o número
dos que embarcaram era igual a 1/3 do número de passageiros que partiu da
estação anterior.
Após passar por esta estação, restam a bordo:
7X/6 – 18 – 106 + (7X/6 – 18) / 3
Como chegaram à Estação Santana X passageiros, podemos afirmar que:
!∀#
7X/6 – 18 – 106 + (7X/6 – 18) / 3 = X
7X
7X
− 124 +
−6 = X 6
18
21X 7 X 18 X
+
−
= 124 + 6 18
18
18
10 X
= 130 18
Observe que 234 é divisível por 9, afinal 234 / 9 = 26.
Resposta: B
58. FCC – SPPREV – 2012) O dono de um armazém adquiriu 82 kg de feijão
embalados em pacotes de 2 kg e 3 kg, totalizando 30 pacotes. É correto afirmar que
o número de pacotes de 3 kg é
(A) 22.
(B) 20.
(C) 18.
(D) 15.
(E) 12.
RESOLUÇÃO:
Seja M o número de pacotes maiores (3kg) e m o número de pacotes
menores (2kg). O total de pacotes é 30:
M + m = 30 logo, m = 30 – M
O peso total de feijão é de 82kg, ou seja,
3M + 2m = 82
3M + 2 x (30 – M) = 82
3M + 60 – 2M = 82
M = 22 pacotes de 3kg.
Resposta: A
59. FCC – MPE/PE – 2012) Existem três caixas idênticas e separadas umas das
outras. Dentro de cada uma dessas caixas existem duas caixas menores, e dentro
!∀#
de cada uma dessas caixas menores outras seis caixas menores ainda. Separando-
se todas essas caixas, tem-se um total de caixas igual a:
(A) 108.
(B) 45.
(C) 39.
(D) 36.
(E) 72.
RESOLUÇÃO:
Temos 3 caixas grandes, com 2 caixas menores em cada, ou seja, 3 x 2 = 6
caixas menores. Dentro de cada uma dessas 6 caixas menores, temos 6 caixas
menores ainda, totalizando 6 x 6 = 36 caixas menores ainda.
Portanto, ao todo temos 3 caixas grandes, 6 caixas menores e 36 caixas
menores ainda, totalizando 45 caixas.
Resposta: B
60. FCC – MPE/PE – 2012) Quando volta a energia elétrica depois de um período
sem
energia, um rádio relógio elétrico reinicia a marcação do horário das 12:00. Plínio
esteve ausente de sua casa por 10 horas e, ao retornar, notou que seu rádio relógio
marcava 16:35, quando o horário correto deveria ser 19:40. Sabendo que a
diferença de horário se deve à falta de luz em um intervalo de tempo do período em
que Plínio esteve fora de casa, o horário em que se deu o início da falta de energia
elétrica foi:
(A) 16:05.
(B) 15:05.
(C) 14:05.
(D) 16:35.
(E) 18:35.
RESOLUÇÃO:
Como o relógio marcada 16:35, isto significa que a luz havia faltado
exatamente 4 horas e 35 minutos antes de Plínio retornar para casa. Como o
horário correto era 19:40, então “voltando” 4 horas e 35 minutos temos 15:05, que
foi o horário onde houve a falta de energia.
Resposta: B
!∀#
61. FCC – MPE/AP – 2012) Do salário mensal de Miguel, 10% são gastos com
impostos, 15% com moradia, 25% com transporte e alimentação e 10% com seu
plano de saúde. Daquilo que resta, 3/8 são usados para pagar a mensalidade de
sua faculdade, sobrando ainda R$ 900,00 para o seu lazer e outras despesas. O
gasto mensal de Miguel com moradia, em reais, é igual a
(A) 210,00
(B) 360,00
(C) 450,00
(D) 540,00
(E) 720,00
RESOLUÇÃO:
Seja S o salário de Miguel. Os impostos correspondem a 0,10S, a moradia a
0,15S, o transporte e alimentação a 0,25S, e o plano de saúde a 0,10S. Retirando
essas parcelas do salário, resta:
Restante = S – 0,10S – 0,15S – 0,25S – 0,10S = 0,40S
Deste restante, 3/8, ou seja, (3/8) x 0,40S = 0,15S, são usados para a
mensalidade da faculdade, sobrando 0,40S – 0,15S = 0,25S. Este valor corresponde
à sobra de 900 reais:
0,25S = 900
S = 900 / 0,25 = 3600 reais
Como o salário é de 3600 reais, então o gasto mensal de Miguel com
moradia, em reais, é igual a:
0,15S = 0,15 x 3600 = 540 reais
Resposta: D
62. FCC – TCE/SP – 2010) Suponha que certo medicamento seja obtido
adicionando- se uma substância A a uma mistura homogênea W, composta de
apenas duas substâncias X e Y. Sabe-se que:
- o teor de X em W é de 60%;
!∀#
- se pode obter tal medicamento retirando-se 15 de 50 litros de W e substituindo-os
por 5 litros de A e 10 litros de Y, resultando em nova mistura homogênea.
Nessas condições, o teor de Y no medicamento assim obtido é de
a) 52%
b) 48%
c) 45%
d) 44%
e) 42%
RESOLUÇÃO:
Se a mistura W contém apenas as substâncias X e Y, sendo 60% de X,
temos então 100% - 60% = 40% de Y.
Retirando 15 litros de W, sobram 35 litros dessa mistura. Sabemos que X é
60% de W, portanto, temos:
Volume de X = 60% do Volume de W = 60% x 35 litros = 0,6 x 35 = 21 litros
Se ao todo temos 35 litros, o volume de Y será:
Volume de Y = Volume de W – Volume de X = 35 – 21 = 14 litros
(você também poderia ter feito 40% x 35 litros = 14 litros)
Veja que ainda devemos adicionar 5 litros de A e 10 litros de Y. Ficamos, ao
todo, com 21 litros de X, 14 + 10 = 24 litros de Y e 5 litros de A, totalizando 21 + 24
+ 5 = 50 litros.
Deste total de 50 litros, temos 24 litros de Y, que representam a
porcentagem:
Porcentagem =
Porcentagem =
quantia de interesse
× 100%
total
24
× 100% = 0,48 × 100% = 48%
50
Resposta: B
!∀#
63. FCC – TRT/22ª – 2010) Seja P o produto de um número inteiro e positivo N por
9. Se N tem apenas três dígitos e P tem os algarismos das unidades, dezenas e
centenas iguais a 4, 6 e 3, respectivamente, então P + N é igual a:
a) 6480
b) 6686
c) 6840
d) 5584
e) 5960
RESOLUÇÃO:
Quero mostrar-lhes 3 formas de resolver essa questão, todas relativamente
simples. Recomendo entender as 3, pois pode ser que em outra questão parecida
seja possível usar apenas 1 dos métodos. Vamos começar entendendo a questão e
estruturando o problema.
Sabemos que N possui três dígitos, portanto vamos representá-lo como
sendo o número xyz, onde x, y e z são os dígitos que representam as centenas,
dezenas e unidades, respectivamente. Sabemos ainda que o número P termina com
364.
Assim, temos que
N*9 = P,
ou seja,
xyz * 9 = w364
(w representa o algarismo da casa dos milhares do número P)
Você reparou que eu assumi que P possui 4 dígitos? Fiz isso porque um
número de 3 dígitos multiplicado por 9 não pode dar um número maior que 4 dígitos.
Afinal, mesmo o maior número de 3 dígitos (999) multiplicado por 9 tem 4 digítos.
Ah, e pode ser que a gente descubra que w é igual a zero, isto é, que P tem apenas
3 dígitos.
Primeira forma de resolver:
Sabemos que N*9 = P, portanto podemos dizer que N = P/9. Se N é igual a P
dividido por 9, isso significa que P deve ser divisível por 9 (caso contrário N não
seria um número inteiro, ou seja, teria casas decimais).
!∀#
Qual o critério de divisibilidade por 9? Um número é divisível por 9 se a soma
dos seus algarismos também é divisível por 9. A soma dos algarismos de P é w + 3
+ 6 + 4 = w + 13. Qual o único algarismo que, somado a 13, chega a um número
divisível por 9? Ora, w = 5, pois sabemos que 18 é divisível por 9, e 5 + 13 = 18.
Portanto, P = 5364. Basta dividir 5364/9 que chegaremos no valor de N, neste caso,
596. Logo, N + P = 5960.
Segunda forma de resolver: (“solução braçal”)
Digamos que você entendeu que P deve ser divisível por 9, mas não se recordou
de critério de divisibilidade algum. Ora, não existem muitas opções para w (ele só
pode ir de 0 a 9). Logo, você pode substituir w por cada algarismo e tentar dividir P
por 9. Quando conseguir, terá encontrado P e N (ex.: ao substituir w por 5, verá que
5364/9 = 596, encontrando simultaneamente P = 5364 e N = 596).
Terceira forma de resolver:
Nesta resolução vamos detalhar cada passo da multiplicação de xyz*9=w364.
Você sabe que nós devemos começar multiplicando a casa das unidades de xyz por
9. Fazendo isso, vemos que z multiplicado por 9 resulta em um número terminado
em 4. Ou seja, só há uma possibilidade para z: ele deve ser o algarismo 6, pois
sabemos que 6 x 9 = 54. Nenhum outro algarismo, quando multiplicado por 9,
resulta em um número terminado em 4. Substituindo o valor de z na equação acima,
temos:
xy6 * 9 = w364
Vamos agora analisar o número y. Veja que y multiplicado por 9, e somado 5
(que vieram da multiplicação vista no parágrafo acima), resulta em um número
terminado em 6. Subtraindo os 5 que vieram da multiplicação anterior, temos um
número terminado em 1. O único algarismo que, multiplicado por 9, resulta em um
número terminado em 1, é próprio 9 (9*9 = 81). Logo, y é 9. Até aqui, temos:
x96 * 9 = w364
Por fim, temos que o algarismo x multiplicado por 9 resulta em um número
com final tal que, somado com os 8 que vieram da multiplicação anterior, resulta em
um número terminado em 3. Portanto, x deve ser 5, pois 5*9 = 45, e 45 + 8 = 53:
596 * 9 = w364
!∀#
Assim, vemos que w deve ser o algarismo 5, que veio da multiplicação
mostrada no parágrafo anterior. De fato, é verdade que:
596 * 9 = 5364
Assim, N é 596 e P é 5364, e a soma N+P = 5960
Resposta: E.
64. FCC – TRT/01ª – 2011) Se X é um número inteiro positivo tal que
E=
1 1 1 1
+ + + seja um número inteiro, então:
2 3 7 x
a) Existem infinitas possibilidades distintas para x
b) X é múltiplo de 12
c) X é maior que 84
d) X tem oito divisores
e) E pode ser maior que 2
RESOLUÇÃO:
Inicialmente, para somar as frações que compõem o número E, é preciso
escrevê-las com o mesmo denominador. A multiplicação dos denominadores
(2 × 3 × 7 × x, ou 42 × x) é sempre uma possibilidade de denominador comum.
Portanto, vamos utilizar esse denominador. Assim, teríamos:
21x 14 x 6 x
42
+
+
+
42 x 42 x 42 x 42 x
21x + 14 x + 6 x + 42
E=
42 x
41x + 42
E=
42 x
E=
Feito isso, podemos manipular a equação acima para isolar a variável x:
E × 42 x = 41x + 42
x (42E − 41) = 42
42
x=
42E − 41
Lembra que tanto x quanto E devem ser números inteiros? Veja que se E for
igual a 1, x também será inteiro:
!∀#
42
42
x=
=
= 42
42 × 1 − 41 1
Veja ainda que se E for maior que 1, o denominador será maior que o
numerador (portanto não obteremos nenhum número inteiro). Por exemplo, se E =
2, temos:
x=
42
42
=
42 × 2 − 41 43
Ou seja, se E > 1, não é possível que x seja um número inteiro. Ainda, se
E=0, x também não será inteiro:
x=
42
42
=
42 × 0 − 41 −41
E também sabemos que E não pode ser menor que zero, pois o enunciado
disse que ele é inteiro positivo. Dessa forma, a única possibilidade é E = 1 e x = 42.
Como 42 tem 8 divisores (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 e 42), a alternativa correta é a letra D.
Resposta: D.
65. FCC – TRT/22ª – 2010) Em julho de 2010, dois Analistas Judiciários receberam
um lote com X licitações para emitir pareceres. No mês seguinte, indagados sobre
quantos pareceres de tal lote haviam emitido em julho, eles responderam:
Anabela: “6/11 do total das licitações receberam meu parecer”
Benivaldo: “A quantidade de licitações em que dei meu parecer corresponde a 3/5
do número de pareceres emitidos por Anabela”.
Sabendo que cada licitação recebeu o parecer de apenas um desses Analistas e
que a soma das quantidades que cada um emitiu era um número compreendido
entre 100 e 150, então:
a) X < 50
b) 50 < X < 100
c) 100 < X < 150
!∀#
d) 150 < X < 200
e) X > 200
RESOLUÇÃO:
Sabemos que Anabela deu parecer em 6/11 do total de licitações (X), ou
seja, o número de licitações em que ela deu parecer é
6
X . Já a quantidade de
11
licitações com parecer de Benivaldo é 3/5 do total de Anabela, ou seja,
3 6 18
× X =
X.
5 11 55
Sabemos que tanto o número de licitações com parecer de Anabela quanto
de Benivaldo devem ser números inteiros. Isto é,
6
18
X e
X devem ser números
11
55
inteiros.
Somando os pareceres dados por Anabela e por Benivaldo, temos:
6
18
X+
X=
11
55
30
18
X+
X=
55
55
48
X
55
Sabemos que a soma dos pareceres dados por ambos deve ser um número
inteiro. E este número deve estar entre 100 e 150. Ou seja,
100 <
48
X<150
55
Repare que não há como simplificar a fração
48
, ou seja, 48 e 55 são primos
55
entre si (não possuem um divisor em comum, além do número 1). Assim, não
existem muitas opções de X que atendem a condição acima. X deve
necessariamente ser divisível por 55, pois 48 não o é. Logo, devemos testar para X
valores que sejam múltiplos de 55. Veja que, se X = 55, então
(inferior a 100). Já, caso X = 2 × 55 = 110, então
48
48
X=
× 55 = 48
55
55
48
X = 96 (ainda inferior a 100).
55
Porém, se X = 3 × 55 = 165, então
!∀#
48
X = 144 , que está dentro do intervalo
55
procurado. Veja que caso X seja maior (por ex., X = 210),
48
X será maior que 150.
55
Portanto, como X = 165 é o total de licitações a serem analisadas, a letra D é
a correta.
Resposta: D.
66. FCC – TRT/9ª – 2010) Para estabelecer uma relação entre os números de
funcionários de uma unidade do Tribunal Regional do Trabalho, que participaram de
um curso sobre Controle e Prevenção de Doenças, foi usada a expressão:
em que h e m representam as quantidades de homens e de mulheres,
respectivamente. Sabendo que o total de participantes do curso era um número
compreendido entre 100 e 200, é correto afirmar que:
a) h+m = 158
b) h-m = 68
c) 70 < h < 100
d) 50 < m < 70
e) m.h < 4000
RESOLUÇÃO:
Devemos começar simplificando a expressão dada. Acompanhe os passos
abaixo:
h
1
=3−
1
m
3−
3−
!∀#
1
3
h
1
1
1
=3−
=3−
=3−
1
1
3
m
3−
3−
3 − 1×
9 −1
8
8
3
3
h
1
1
1
=3−
=3−
=3−
3
24 − 3
21
m
3−
8
8
8
h
8
8 63 − 8 55
= 3 − 1×
=3−
=
=
m
21
21
21
21
Como
h 55
55
, podemos escrever que h =
=
m . E como o exercício diz que
m 21
21
o total de participantes está entre 100 e 200 pessoas, temos que:
100 < h + m < 200
55
m + m < 200
21
76
m < 200
100 <
21
100 <
Veja que não é possível simplificar a fração 76/21. Assim, para que
76
m
21
seja um número inteiro, m deve ser um múltiplo de 21 (ex.: 21, 42, 63 etc.). Veja que
se m = 21, então
76
76
m = 76 (abaixo de 100). Já se m = 2x21 = 42, então
m = 152
21
21
(que está entre 100 e 200). Observe que se m = 63,
76
m será maior que 200.
21
Portanto, m = 42 e h = 152 – 42 = 110.
Assim, h – m = 68, sendo B a alternativa correta.
Resposta: B.
67. FCC – TRF/2ª – 2012) Considere as seguintes afirmações:
!∀#
Relativamente a essas afirmações, é certo que
(A) I, II e III são verdadeiras.
(B) apenas I e II são verdadeiras.
(C) apenas II e III são verdadeiras.
(D) apenas uma é verdadeira.
(E) I, II e III são falsas.
RESOLUÇÃO:
Vamos trabalhar com a expressão
4 x −1 + 4 x + 4 x +1
= 16,8 :
4 x − 2 + 4 x −1
4 x −1 + 4 x + 4 x +1
=
4 x − 2 + 4 x −1
4 x × 4 −1 + 4 x + 4 x × 4
=
4 x × 4 −2 + 4 x × 4 −1
4 −1 + 1 + 4
=
4 −2 + 4 −1
1
+1+ 4
4
=
1 1
+
16 4
1 4 16
+ +
4 4 4 =
1 4
+
16 16
21
4 =
5
16
!∀#
21 16
× =
4 5
21 4
× =
1 5
16,8
1
11
Vejamos agora a expressão 8 3 + 0, 4444... :
= 30 . Devemos começar
135
encontrando a fração geratriz da dízima 0,4444... Chamando esta fração de X,
temos:
X = 0,4444...
10X = 4,444...
Logo,
10X – X = 4,444... – 0,4444...
9X = 4
X = 4/9
Assim,
13
11
=
8 + 0, 4444... :
135
3 13 4 11
=
(2 ) + :
9
135
4 11
=
2+ :
9 135
18 4 11
=
+ :
9 9 135
22 11
=
:
9 135
22 135
=
×
9 11
2 135
=
×
9 1
270
=
9
!∀#
30
Quanto à expressão III, temos:
(
4
4
) ( 6−2 5 ) =
(6 + 2 5 ) × ( 6 − 2 5 ) = 4
6+2 5 ×
4
4
(
6 2 + 6 × (−2 5) + (2 5) × 6 − 2 5
4
(
62 − 2 5
4
)
2
)
2
=
=
36 − 20 = 4
16 = 4
24 = 2
Portanto, apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
Resposta: B
68. FCC – ISS/SP – 2012) Considere a multiplicação abaixo, em que letras iguais
representam o mesmo dígito e o resultado é um número de 5 algarismos.
A soma (S + O + M + A + R) é igual a:
a) 33
b) 31
c) 29
d) 27
e) 25
RESOLUÇÃO:
Vamos resolver esta questão de duas maneiras.
RESOLUÇÃO 1:
!∀#
O número SOMAR é divisível por 9, afinal ele resulta da multiplicação de
RAMOS por 9. A soma dos algarismos de um número divisível por 9 também deve
ser divisível por 9. Ex.: 175 x 9 = 1575, cuja soma dos algarismos é 1+5+7+5 = 18
(que é divisível por 9).
Isto é, S+O+M+A+R deve resultar em um número divisível por 9. Dentre as
opções de resposta, a única alternativa que apresenta um múltiplo de 9 é a letra D.
RESOLUÇÃO 2:
O enunciado diz que SOMAR é um número com 5 algarismos. Logo, o S não
pode ser igual a zero.
Analisando a partir da esquerda, temos que a multiplicação de R por 9 não
pode levar número adicional para a próxima casa. Assim, R deve ser igual a 0 ou 1.
Como o S não pode ser zero, então R = 1. Já o S será igual a 1 x 9 = 9. Como a
multiplicação de R por 9 não poder levar nenhum número para a próxima casa, o A
também precisa ser igual a 0 ou 1.
Analisando agora a partir da direita, como S = 9, então a primeira
multiplicação é 9 x 9 = 81, deixando o 1 no lugar do R (como já vimos, R = 1) e
levando 8 unidades para a próxima multiplicação.
Vamos testar agora as duas possibilidades para o A. Se A = 1, a
multiplicação de O por 9, adicionada de 8 unidades, deveria gerar um número
terminado em 1, o que exigiria que O = 7. Isto levaria mais 7 unidades para a
multiplicação Mx9, de modo que fica impossível obter M no resultado.
Já se A = 0, então O = 8, de modo que 8x9 + 8 = 80, levando 8 unidades para
a multiplicação Mx9. Se M = 9, teremos 9x9 + 8 = 89, deixando 9 no resultado e
levando 8 unidades para a multiplicação de A por 9. Como A = 0, então O = 8, como
já havíamos dito.
Deste modo temos S = 9, O = 8, M = 9, A = 0 e R = 1, totalizando 27.
Resposta: D
!∀#
69. FCC – Banco do Brasil – 2011) O esquema abaixo apresenta a subtração de
dois números inteiros e maiores que 1 000, em que alguns algarismos foram
substituídos por letras.
Se a diferença indicada é a correta, os valores de A, B, C e D são tais que
(A) A < B < C < D
(B) B < A < D < C
(C) B < D < A < C
(D) D < A < C < B
(E) D < A < B < C
RESOLUÇÃO:
Começando pela direita, veja que B – 3 = 8. Logo, B seria 11. Como B é
apenas um algarismo, então B = 1, e é necessário pegar uma unidade da cada das
dezenas (onde está o 5) para formar o 11 desta subtração.
Portanto, no lugar do 5 sobram apenas 4 (pois 1 já foi utilizado na primeira
subtração). Subtraindo 4 – D temos o resultado 1. Logo, D = 3.
Veja que com a subtração de C temos o resultado 2. Assim, só nos resta
imaginar que C = 9, de modo que temos 11 – 9 = 2.
Repare que já tiramos uma unidade de A, para utilizar na subtração anterior.
Portanto, A – 1 – 2 = 4, de modo que A = 7.
Deste modo, temos A = 7, B = 1, C = 9, D = 3. Logo, B < D < A < C.
Resposta: C
70. FCC – TRT/12ª – 2013) Seja P o produto 8726617 × 9827274. O resto da
divisão de P por 5 é igual a
(A) 2.
(B) 4.
(C) 3.
(D) 0.
(E) 1
RESOLUÇÃO:
!∀#
Vamos apenas começar a efetuar essa multiplicação, para descobrir o
algarismo da casa das unidades do resultado:
8726617
× 9827274
Como 7 x 4 é igual a 28, deixaremos 8 unidades no resultado, levando as 2
dezenas para a próxima conta:
2
8726617
× 9827274
8
Nem precisamos finalizar a conta. Sabemos que os números divisíveis por 5
são aqueles que terminam em 0 ou 5. Logo, esse resultado (que termina em 8) não
será divisível por 5, ou seja, deixará resto.
Observe que os números que terminam em 8 deixam resto 3 ao serem
divididos por 5. Teste isso dividindo 8 por 5, ou 18 por 5, ou 28 por 5, ou mesmo 105
por 5. Esse resto é justamente a subtração 8 – 5 = 3.
Resposta: C
71. FCC – TRT/12ª – 2013) Um viajante percorreu 420 km. Desse percurso, 3/4 ele
fez de trem, e o restante de carro e de bicicleta. Se o percurso feito por ele de carro
correspondeu a 4/15 do percurso feito de trem, então, o viajante percorreu, em km,
de bicicleta
(A) 63.
(B) 21.
(C) 15.
(D) 14.
(E) 49.
RESOLUÇÃO:
¾ dos 420km foram percorridos de trem, ou seja:
Trem = (3/4) x 420 = 315km
!∀#
De carro foram percorridos 4/15 do percurso feito de trem, ou seja, 4/15 de
315km:
Carro = (4/15) x 315 = 84km
Para completar os 420km totais, falta o trecho de bicicleta:
Bicicleta = 420 – 315 – 84 = 21km
Resposta: B
72. FCC – TRT/12ª – 2013) O plano de saúde de João custa R$ 160,08, o de sua
esposa custa R$ 89,86, e cada um dos planos dos seus dois filhos custa R$ 54,28.
João pagou no Banco o total das quatro mensalidades com sete notas, ao que
recebeu corretamente de troco R$ 1,50. Nas condições descritas, das sete notas
usadas por João no pagamento, eram de um mesmo valor apenas
(A) quatro.
(B) cinco.
(C) três.
(D) seis.
(E) duas.
RESOLUÇÃO:
O total pago por João é:
Total pago = plano João + plano esposa + 2 x plano filho
Total pago = 160,08 + 89,86 + 2 x 54,28
Total pago = 358,50 reais
Como ele recebeu 1,50 de troco, o valor total que ele entregou ao banco
inicialmente foi de 358,50 + 1,50 = 360,00 reais. Como João pagou com exatamente
7 notas, elas devem ter sido: 1 nota de 100, 5 de 50 reais e 1 de 10 reais. Isto
porque:
100 + 5 x 50 + 1 x 10 = 360
Assim, 5 notas eram do mesmo valor (50 reais).
Resposta: B
!∀#
73. FCC – TRT/12ª – 2013) Um tanque contém uma mistura de dois líquidos (A e B)
que ocupa metade de sua capacidade. A mistura é feita por 40% do líquido A e 60%
do líquido B. Serão adicionados a esse tanque certa quantidade de líquido A até que
a mistura fique com as mesmas quantidades de líquidos A e B. Realizada essa
operação, a capacidade do tanque que estará ocupada com a mistura de líquidos A
e B corresponde, do tanque todo, a
(A) 70%.
(B) 58%.
(C) 64%.
(D) 60%.
(E) 72%.
RESOLUÇÃO:
Imagine que o tanque comporta 200 litros. Assim, metade do tanque é 100
litros. Como essa metade contém 40% de A e 60% de B, temos um total de 40 litros
de A e 60 litros de B. Para ficarmos com a mesma quantidade de A e B, é preciso
adicionar mais 20 litros de A. Com isso, ficamos com um total de 100 + 20 = 120
litros dos 200 litros do tanque preenchidos. Percentualmente, isto corresponde a:
P = 120 / 200 = 60%
Resposta: D
*****************************************
Fim de aula! Nos vemos na próxima.
Saudações,
Prof. Arthur Lima
!∀#
3. QUESTÕES APRESENTADAS NA AULA
1. FCC – MPE/RS – 2010) Devido a uma promoção, um televisor está sendo
vendido com 12% de desconto sobre o preço normal. Cláudio, funcionário da loja,
está interessado em comprar o televisor. Sabendo que, como funcionário da loja, ele
tem direito a 25% de desconto sobre o preço promocional, o desconto que Cláudio
terá sobre o preço normal do televisor, caso decida adquiri-lo, será de
a) 37%
b) 36%
c) 35%
d) 34%
e) 33%
2. FGV – CAERN – 2010) Analise as afirmativas a seguir:
I–
6 é maior do que
5
2
II – 0,555... é um número racional
III – Todo número inteiro tem um antecessor
Assinale:
a) Se somente as afirmativas I e III estiverem corretas
b) Se somente a afirmativa II estiver correta
c) Se somente as afirmativas I e II estiverem corretas
d) Se somente a afirmativa I estiver correta
e) Se somente as afirmativas II e III estiverem corretas
3. CEPERJ – PREFEITURA DE ITABORAÍ – 2011) Considere a expressão
x + 15
,
x +5
onde x > 0. O número máximo de valores inteiros de x que tornam a expressão dada
também um número inteiro é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
!∀#
4. CEPERJ – PREFEITURA DE BELFORD ROXO – 2011) Os números x e y são
tais que 10 ≤ x ≤ 30 e 40 ≤ y ≤ 60 . O maior valor possível da expressão
a)
1
2
b)
3
4
c)
1
4
d)
2
3
e)
1
6
x
é:
y
5. FCC – TRT/4ª – 2011) Considere o número inteiro X1Y, em que X e Y
representam os algarismos das centenas e das unidades, respectivamente.
Sabendo que 31692 : (X1Y) = 76, a soma X+Y é um número:
a) Quadrado perfeito
b) Menor que 10
c) Primo
d) Divisível por 6
e) Múltiplo de 4
6. FCC – TRT/24ª – 2011) Nicanor deveria efetuar a divisão de um número inteiro e
positivo N, de três algarismos, por 63; entretanto, ao copiar N, ele enganou-se,
invertendo as posições dos dígitos extremos e mantendo o seu dígito central. Assim,
ao efetuar a divisão do número obtido por 63, obteve quociente 14 e resto 24.
Nessas condições, se q e r são, respectivamente, o quociente e o resto da divisão
de N por 63, então:
a) q + r = 50.
b) r < 40.
c) q < 9.
d) r é múltiplo de 4.
!∀#
e) q é um quadrado perfeito.
7. FCC – TRT/1ª – 2011) Em uma campanha de doação de livros, x pessoas
receberam 4 livros, e y pessoas receberam 3 livros, sendo x e y números inteiros e
positivos. Se foram distribuídos 100 livros, então, as possibilidades diferentes para x
+ y são em número de:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
8. FCC – TRT/1ª – 2011) Sejam x e y números naturais, e ∆ e símbolos com os
seguintes significados:
- x ∆ y é igual ao maior número dentre x e y, com x ≠ y ;
- x y é igual ao menor número dentre x e y, com x ≠ y ;
De acordo com essas regras, o valor da expressão [64 (78 ∆ 64)] {92∆[(43 21)∆ 21]}
é:
a) 92
b) 78
c) 64
d) 43
e) 21
9. FCC – TRF/2ª – 2012) Ao consultar o livro de registro de entrada e saída de
pessoas às dependências de uma empresa, um funcionário observou que: 5/8 do
total das pessoas que lá estiveram ao longo de certa semana eram do sexo
masculino e que, destas, 2/7 tinham menos de 35 anos de idade. Com base nessas
!∀#
informações, pode-se concluir corretamente que o total de pessoas que visitaram tal
empresa naquela semana NÃO poderia ser igual a
(A) 56.
(B) 112.
(C) 144.
(D) 168.
(E) 280.
10. CEPERJ – RIO PREVIDÊNCIA – 2010) A soma dos algarimos de 1010 − 3 é:
a) 88
b) 89
c) 91
d) 95
e) 97
11. FCC – TRT/15ª – 2009) Do total de projetos que estavam em um arquivo, sabese que:
2
4
deveriam ser analisados e
referiam-se ao atendimento ao público
5
7
interno. Com essa informação, é correto concluir que o total de projetos existentes
nesse arquivo NUNCA poderia ser um número compreendido entre
a) 10 e 50
b) 60 e 100
c) 110 e 160
d) 150 e 170
e) 180 e 220
12. FCC – BANESE – 2012) O departamento de informática de um banco dividiu as
agências de um município em grupos de três, de modo que cada técnico ficasse
responsável por dar suporte às agências de um desses grupos. Nessa divisão,
porém, sobrou uma agência, tendo um dos técnicos de ficar responsável por quatro
agências. Já o setor de apoio ao crédito, que dividiu as mesmas agências em
!∀#
grupos de cinco para designar um assessor que atendesse as agências de cada
grupo, não teve esse problema: não sobraram agências na divisão. Dentre os
números abaixo, o único que pode representar o total de agências desse município
é
(A) 15.
(B) 19.
(C) 20.
(D) 24.
(E) 25.
13. FCC – BANESE – 2012) A abertura da Copa do Mundo de 2014 está prevista
para ocorrer na cidade de São Paulo, no dia 12 de junho daquele ano. 785 dias
depois, em 5 de agosto de 2016, uma sexta-feira, deve ocorrer a abertura das
Olimpíadas do Rio de Janeiro. Com esses dados, é possível concluir que a abertura
da Copa de 2014 ocorrerá em
(A) uma quarta-feira.
(B) uma quinta-feira.
(C) uma sexta-feira.
(D) um sábado.
(E) um domingo.
14. FCC – TCE/AP – 2012) Um número inteiro será chamado de tricíclico se, e
somente se, for formado por uma sequência de dois ou mais dígitos aparecendo
exatamente três vezes. Por exemplo, os números 858 585, 107 107 107 e 292 129
212 921 são tricíclicos. O menor número positivo que deve ser somado a 198 891
para que se obtenha como resultado um número tricíclico é
(A) 1 109.
(B) 3 129.
(C) 6 972.
(D) 13 230.
(E) 23 331.
15. FCC – SPPREV – 2012) Um fornecedor vende lápis em diferentes embalagens,
conforme mostra a tabela:
!∀#
Nessas condições, é correto afirmar que a economia na compra de uma caixa tipo
(A) III em relação à compra de três caixas tipo I é de R$ 150,00.
(B) V em relação à compra de seis caixas tipo I é de R$ 450,00.
(C) IV em relação à compra de quatro caixas tipo I é de R$ 250,00.
(D) V em relação à compra de duas caixas tipo III é de R$ 200,00.
(E) IV em relação à compra de duas caixas tipo II é de R$ 160,00.
16. FCC – SPPREV – 2012) Dona Arminda é mãe de 4 filhos. Cada um de seus
filhos teve 3 filhos. Cada um de seus netos teve 2 filhos. Considerando que todos
estão vivos, o número de descendentes que dona Arminda possui é
(A) 9.
(B) 16.
(C) 24.
(D) 36.
(E) 40.
17. FCC – SPPREV – 2012) Pensei em um número e dele
− subtraí 3 unidades;
− multipliquei o resultado por 5;
− somei 9 unidades;
− obtive 24 como resultado.
É correto afirmar que o quadrado desse número é
(A) 1.
(B) 4.
(C) 16.
(D) 25.
(E) 36.
!∀#
18. FCC – MPE/PE – 2012) Para realizar uma determinada tarefa, uma empresa
contrata quatro funcionários e aluga um equipamento cujo valor do aluguel é
determinado por lotes de tempo de sua utilização. Não há possibilidade de se pagar
fração de lotes. Por exemplo: se o equipamento for utilizado durante 3 lotes e um
terço de lote será cobrado o equivalente a 4 lotes de tempo de utilização. Sendo
assim, os funcionários resolveram trabalhar em turnos contínuos, um indivíduo
imediatamente após o outro. O primeiro funcionário trabalhou o equivalente a quatro
terços de um lote; o segundo funcionário trabalhou três quartos do tempo que o
primeiro havia trabalhado; o terceiro funcionário ficou em ação três meios do tempo
que o segundo havia ficado e o quarto funcionário terminou a tarefa gastando a
terça parte do tempo que o terceiro havia gasto. A empresa contratante do serviço
destinou a quantia de R$ 19.500,00 para pagamento dos funcionários que
realizassem a tarefa. O pagamento foi feito proporcionalmente ao tempo despendido
em serviço pelos quatro funcionários individualmente.
O número de lotes que serão cobrados pelo uso desse equipamento é:
(A) 4.
(B) 5.
(C) 6.
(D) 7.
(E) 8.
19. FCC – Banco do Brasil – 2011) Se x e y são números inteiros tais que x é par e
y é ímpar, considere as seguintes afirmações:
I. x + y é ímpar.
II. x − 2y é ímpar.
III. (3x) . (5y) é impar.
É correto afirmar que
(A) I, II e III são verdadeiras.
(B) I, II e III são falsas.
(C) apenas I é verdadeira.
(D) apenas I e II são verdadeiras.
(E) apenas II e III são verdadeiras.
!∀#
20. FCC – Banco do Brasil – 2011) Qual das expressões seguintes NÃO é
equivalente a 0,0000000625?
a)
5
× 10 −6
16
b)
5
× 10 −7
8
c)
25
×10 −8
4
d)
125
× 10−9
2
e) 625 ×10 −10
21. FCC – Banco do Brasil – 2011) O valor da expressão
A2 − B 3
, para A = 2 e
AB + B A
B = −1, é um número compreendido entre
(A) −2 e 1.
(B) 1 e 4.
(C) 4 e 7.
(D) 7 e 9.
(E) 9 e 10.
22. FCC – Banco do Brasil – 2011) Suponha que 60 funcionários do Banco do
Brasil − 60% dos quais lotados em certa Agência de Florianópolis e, os demais, em
determinada Agência de Chapecó − serão divididos em grupos, a fim de participar
de um curso sobre Desenvolvimento Pessoal. Considerando que todos os grupos
deverão conter a mesma quantidade de funcionários e que todos os funcionários de
cada grupo deverão pertencer à mesma Agência, então a menor quantidade de
grupos que poderão ser formados é um número
(A) menor que 4.
(B) primo.
(C) divisível por 3.
(D) par.
(E) maior que 8.
!∀#
23. FCC – Banco do Brasil – 2011) Gertrudes e Rubem − funcionários de uma
Agência do Banco do Brasil − receberam, cada um, uma mesma quantidade de
folhetos para a divulgação de serviços e produtos oferecidos pelo Banco. Sabendo
que, se Gertrudes repassar a terça parte de seu total de folhetos para Rubem, então
ele terá que distribuir 64 folhetos a mais do que ela. É correto concluir que o total de
folhetos que cada um recebeu inicialmente é um número compreendido entre
(A) 10 e 25.
(B) 25 e 50.
(C) 50 e 75.
(D) 75 e 100.
(E) 100 e 125.
24. FCC – TRT/4ª – 2011) Relativamente aos 75 funcionários de uma Unidade do
Tribunal Regional do Trabalho, que participaram certo dia de um seminário sobre
Primeiros Socorros, sabe-se que:
- no período da manhã, 48% do total de participantes eram do sexo feminino;
- todas as mulheres participaram do início ao fim do seminário;
- no período da tarde foi notada a ausência de alguns funcionários do sexo
masculino e, assim, a quantidade destes passou a ser igual a 3/7 do total de
participantes na ocasião.
Nessas condições, o número de homens que se ausentaram no período da tarde é:
a) 6
b) 7
c) 9
d) 10
e) 12
25. FCC – TRF/1ª – 2011) Na compra de um computador, um Técnico recebeu um
desconto de 10% sobre o preço de M reais. Após certo tempo, comprou um novo
computador por R$ 2 370,00 e, para fazer o pagamento, deu o primeiro computador
!∀#
como entrada, com prejuízo de 10% sobre a quantia que havia pago, e mais três
parcelas sem juros de R$ 250,00 cada. Nessas condições, M é igual a
a) 2000
b) 2050
c) 2100
d) 2105
e) 2110
26. FCC – Banco do Brasil – 2011) Em dezembro de 2007, um investidor comprou
um lote de ações de uma empresa por R$ 8000,00. Sabe-se que: em 2008 as ações
dessa empresa sofreram uma valorização de 20%; em 2009, sofreram uma
desvalorização de 20%, em relação ao seu valor no ano anterior; em 2010, se
valorizaram em 20%, em relação ao seu valor em 2009. De acordo com essas
informações, é verdade que, nesses três anos, o rendimento percentual do
investimento foi de:
(A) 20%.
(B) 18,4%.
(C) 18%.
(D) 15,2%.
(E) 15%.
27. FCC – Banco do Brasil – 2010) As estatísticas da Campanha Nacional de
Prevenção ao Câncer de Pele, organizada há 11 anos pela Sociedade Brasileira de
Dermatologia, revelam que o brasileiro não se protege adequadamente do sol: 70%
dos entrevistados afirmaram não usar qualquer tipo de proteção solar, nem mesmo
quando vão à praia (adaptado de www.sbd.org.br). Se foram entrevistadas 34 430
pessoas, o número delas que usam protetor solar é
(A) 24 101
(B) 15 307
(C) 13 725
(D) 12 483
(E) 10 329
!∀#
28. FCC – Banco do Brasil – 2011) Certo mês, um comerciante promoveu uma
liquidação em que todos os artigos de sua loja tiveram os preços rebaixados em
20%. Se, ao encerrar a liquidação o comerciante pretende voltar a vender os artigos
pelos preços anteriores aos dela, então os preços oferecidos na liquidação devem
ser aumentados em
(A) 18,5%.
(B) 20%.
(C) 22,5%.
(D) 25%.
(E) 27,5%.
29. VUNESP – Pref. São José dos Campos – 2012) Um produto de beleza é
vendido em 3 tipos de frascos: 20 mL, 100 mL e 250 mL. Em três dias, foram
vendidos um total de 45 frascos, totalizando 5 400 mL. Alguns dados dessa venda
estão registrados na tabela seguinte:
Os números que faltam nessa tabela, em relação aos frascos de 100 mL e 250 mL,
respectivamente, são
(A) 6 e 6.
(B) 5 e 7.
(C) 4 e 8.
(D) 3 e 9.
(E) 2 e 10.
!∀#
30. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Trinta e uma moedas, algumas de 50
centavos e as outras de 25 centavos somam juntas R$ 12,00. A diferença entre o
número de moedas de 50 centavos e de 25 centavos é
(A) 0.
(B) 1.
(C) 2.
(D) 3.
(E) 4.
31. FCC – TRT/9ª – 2013)
Em uma loja de bijuterias, todos os produtos são
vendidos por um dentre os seguintes preços: R$ 5,00, R$ 7,00 ou R$ 10,00. Márcia
gastou R$ 65,00 nessa loja, tendo adquirido pelo menos um produto de cada preço.
Considerando apenas essas informações, o número mínimo e o número máximo de
produtos que Márcia pode ter comprado são, respectivamente, iguais a
(A) 9 e 10.
(B) 8 e 11.
(C) 8 e 10.
(D) 9 e 13.
(E) 7 e 13.
32. FCC – TRT/9ª – 2013) Atendendo ao pedido de um cliente, um perfumista
preparou 200 mL da fragrância X. Para isso, ele misturou 20% da essência A, 25%
da essência B e 55% de veículo. Ao conferir a fórmula da fragrância X que fora
encomendada, porém, o perfumista verificou que havia se enganado, pois ela
deveria conter 36% da essência A, 20% da essência B e 44% de veículo. A
quantidade de essência A, em mL, que o perfumista deve acrescentar aos 200 mL
já preparados, para que o perfume fique conforme a especificação da fórmula é
igual a
(A) 32.
(B) 36.
(C) 40.
(D) 45.
(E) 50.
!∀#
33. FCC – TRT/9ª – 2013) Em uma disciplina de um curso superior, 7/9 dos alunos
matriculados foram aprovados em novembro, logo após as provas finais. Todos os
demais alunos fizeram em dezembro uma prova de recuperação. Como 3/5 desses
alunos conseguiram aprovação após a prova de recuperação, o total de aprovados
na disciplina ficou igual a 123. O total de alunos matriculados nessa disciplina é
igual a
(A) 136.
(B) 127.
(C) 130.
(D) 135.
(E) 126.
34. FCC – TRT/9ª – 2013) Em uma repartição pública em que 64% dos funcionários
têm salário superior a R$ 7.000,00, 60% dos funcionários têm curso superior e 40%
possuem apenas formação de ensino médio. Dentre os servidores com nível
superior, 80% ganham mais do que R$ 7.000,00. Dessa forma, dentre os
funcionários que têm somente formação de Ensino Médio, aqueles que recebem
salário maior do que R$ 7.000,00 correspondem a
(A) 48%
(B) 44%
(C) 40%
(D) 50%
(E) 56%
35. FCC – TRT/1ª – 2013) Somando-se um mesmo número ao numerador e ao
denominador da fração
3
, obtém-se uma nova fração, cujo valor é 50% maior do
5
que o valor da fração original. Esse número está entre
(A) 1 e 4.
(B) 5 e 8.
(C) 9 e 12.
(D) 13 e 16.
(E) 17 e 20.
!∀#
36. FCC – TRT/1ª – 2013) Em uma escola privada, 22% dos alunos têm bolsa de
estudo, sendo os demais pagantes. Se 2 em cada 13 alunos pagantes ganharem
bolsa de estudo, a escola passará a contar com 2.210 alunos bolsistas. Dessa
forma, o número atual de alunos bolsistas é igual a
(A) 1.430.
(B) 340.
(C) 910.
(D) 1.210.
(E) 315.
37. FCC – TRT/1ª – 2013) A etiqueta de um produto indica que seu preço é R$ 160.
No sistema da loja, porém, um de seus três dígitos foi registrado errado, gerando
um valor x% maior do que o da etiqueta. Apenas com essas informações, conclui-se
que x pode valer, no máximo,
(A) 5.
(B) 6.
(C) 19.
(D) 500.
(E) 600.
38. FCC – TRT/1ª – 2013) Uma pesquisa realizada pelo Diretório Acadêmico de
uma faculdade mostrou que 65% dos alunos são a favor da construção de uma
nova quadra poliesportiva. Dentre os alunos homens, 11 em cada 16 manifestaramse a favor da nova quadra e, dentre as mulheres, 3 em cada 5. Nessa faculdade, a
razão entre o número de alunos homens e mulheres, nessa ordem, é igual a
(A)
4
3
(B)
5
6
(C)
4
7
(D)
5
7
(E)
!∀#
9
7
39. FCC – TRT/1ª – 2013) Um investidor comprou um apartamento X e revendeu-o
em seguida, conseguindo lucro nessa transação. Com a totalidade do dinheiro
obtido, comprou um apartamento Y e revendeu-o por um valor 40% maior do que o
que havia comprado. Considerando o dinheiro investido no apartamento X e o valor
pelo qual foi vendido o apartamento Y, o investidor obteve 61% de lucro. Dessa
forma, o lucro obtido na venda do apartamento X foi de
(A) 10%.
(B) 12%.
(C) 15%.
(D) 18%.
(E) 21%.
40. FCC – TRT/1ª – 2013) Considere a sequência de operações mentais descrita
abaixo.
I. Escolha um número positivo N.
II. Some N com a sua metade.
Uma pessoa realizou essa sequência seis vezes, de modo que, a partir da segunda,
ela sempre escolhia como número N o valor obtido na operação II da vez anterior.
Se ao terminar a sequência pela sexta vez essa pessoa obteve, na operação II,
soma igual a
81
, então o número N pensado da primeira vez é igual a
8
(A) 3.
(B) 2.
(C)
4
3
(D)
4
9
(E)
8
9
!∀#
41. FCC – TRT/1ª – 2013) Um professor dá aulas para três turmas do período da
manhã, cada uma com x alunos, e duas turmas do período da tarde, cada uma com
2x
alunos. Até o momento, ele corrigiu apenas as provas finais de todos os alunos
3
de uma turma da manhã e uma da tarde. Uma vez que todos os seus alunos fizeram
a prova final, a quantidade de provas que ainda falta ser corrigida por esse
professor representa, em relação ao total,
(A)
8
13
(B)
10
13
(C)
3
5
(D)
5
8
(E)
7
8
42. FCC – TRT/12ª – 2013) O século XIX é o período que se estende de 1801 até
1900. Alberto nasceu no século XIX. Em 1872, ao comemorar seu aniversário,
Alberto notou que sua idade coincidia com os dois últimos algarismos do ano em
que nasceu. Nessas condições, Alberto completou 5 anos de idade em
(A) 1853.
(B) 1836.
(C) 1825.
(D) 1841.
(E) 1848.
43. FCC – TRT/18ª – 2013) Para montar um tipo de enfeite de mesa para festas de
casamento, uma empresa de eventos utiliza um pequeno vaso, quatro flores
artificiais e uma vela colorida. Cada vaso custa R$ 0,80, cada flor R$ 0,25 e cada
vela R$ 1,20. O custo de produzir 70 desses enfeites para uma festa de casamento,
em reais, é igual a
(A) 140,00.
!∀#
(B) 157,50.
(C) 175,00.
(D) 192,50.
(E) 210,00.
44. FCC – TRT/18ª – 2013) Em dado instante, o marcador de combustível de um
carro indicava que o tanque estava com 5/8 de sua capacidade. A partir desse
instante, foram consumidos 25,5 litros de combustível, passando o marcador a
indicar ¼ da capacidade do tanque. A capacidade do tanque desse carro, em litros,
é igual a
(A) 60.
(B) 64.
(C) 66.
(D) 68.
(E) 72.
45. FCC – TRT/18ª – 2013) A audiência do Sr. José estava marcada para uma
segunda-feira. Como ele deixou de apresentar ao tribunal uma série de
documentos, o juiz determinou que ela fosse remarcada para exatos 100 dias após
a data original. A nova data da audiência do Sr. José cairá em uma
(A) quinta-feira.
(B) terça-feira.
(C) sexta-feira.
(D) quarta-feira.
(E) segunda-feira.
46. FCC – TRT/6ª – 2012) Quando o usuário digita na tela um número positivo n,
um programa de computador executa a seguinte sequência de operações:
I. Soma 0,71 ao número n.
II. Extrai a raiz quadrada do resultado obtido em (I).
III. Multiplica o resultado obtido em (II) por 7,2.
IV. Escreve na tela o resultado obtido em (III).
Após digitar na tela o número positivo, um usuário observou que esse programa
escreveu na tela o número 15,12. O número digitado por esse usuário foi
!∀#
a) 3,3.
b) 3,4.
c) 3,5.
d) 3,6.
e) 3,7.
47. FCC – TRT/6ª – 2012 ) Em um determinado ano, o mês de abril, que possui um
total de 30 dias, teve mais domingos do que sábados. Nesse ano, o feriado de 1o de
maio ocorreu numa
(A) segunda-feira.
(B) terça-feira.
(C) quarta-feira.
(D) quinta-feira.
(E) sexta-feira.
48. FCC – TRF/2ª – 2012) Uma operação λ é definida por: wλ = 1 − 6 w , para todo
inteiro w. Com base nessa definição, é correto afirmar que a soma 2λ + (1λ ) é igual
λ
a:
a) -20
b) -15
c) -12
d) 15
e) 20
49. FCC – TRF/2ª – 2012) Ao conferir o livro de registro da entrada e saída das
pessoas q visitaram uma Unidade do Tribunal Regional Federal, ao longo dos cinco
dias úteis de certa semana, um Técnico Judiciário observou que:
- o número de pessoas que lá estiveram na segunda-feira correspondia a terça parte
do total de visitantes da semana inteira;
- em cada um dos três dias subsequentes, o número de pessoas registradas
correspondia a ¾ do número daquelas registradas no dia anterior.
Considerando que na sexta-feira foi registrada a presença de 68 visitantes, é correto
afirmar que o número de pessoas que visitaram essa Unidade.
a) na segunda-feira foi 250.
!∀#
b) na terça-feira foi 190.
c) na quarta-feira foi 140.
d) na quinta-feira foi 108.
e) ao longo dos cinco dias foi 798.
50.FCC – TRF/2ª – 2012) Suponha que, no dia 15 de janeiro de 2011, um sábado,
Raul recebeu o seguinte e-mail de um amigo:
“Este é um mês especial, pois tem 5 sábados, 5 domingos e 5 segundas-feiras e
isso só ocorrera novamente daqui a 823 anos. Repasse esta mensagem para mais
10 pessoas e, dentro de alguns dias, você receberá uma boa notícia.”
Tendo em vista que é aficionado em Matemática, Raul não repassou tal mensagem
pois, após alguns cálculos, constatou que a afirmação feita na mensagem era falsa.
Assim sendo, lembrando que anos bissextos são números múltiplos de 4, Raul pode
concluir corretamente que o próximo ano em que ocorrência de 5 sábados, 5
domingos e 5 segundas-feiras acontecerá no mês de janeiro será:
a) 2022.
b) 2021.
c) 2020.
d) 2018.
e) 2017.
51. FCC – BANESE – 2012) Uma pesquisa feita no início de 2011 revelou que 2 em
cada 3 sócios de um clube são a favor das escolinhas de esportes oferecidas às
crianças. Ao longo de 2011, o clube não perdeu nenhum associado e ainda
aumentou o total de sócios em 50%. Dentre os novos sócios, que ingressaram no
clube em 2011, 5 em cada 6 são a favor das escolinhas de esportes. Considerando
que nenhum associado antigo mudou de opinião, eram a favor das escolinhas de
esportes ao final de 2011
(A) 3 em cada 4 sócios.
(B) 4 em cada 5 sócios.
(C) 7 em cada 10 sócios.
(D) 11 em cada 16 sócios.
(E) 13 em cada 18 sócios.
!∀#
52. FCC – TJ/PE – 2012) Eram 22 horas e em uma festa estavam 243 mulheres e
448 homens. Verificou-se que, continuadamente a cada nove minutos, metade dos
homens ainda presentes na festa ia embora. Também se verificou que,
continuadamente a cada 15 minutos, a terça parte das mulheres ainda presentes na
festa ia embora. Desta forma, após a debandada das 22 horas e 45 minutos, a
diferença entre o número de mulheres e do número de homens é
(A) 14.
(B) 28.
(C) 36.
(D) 44.
(E) 58.
53. FCC – METRÔ/SP – 2012) Relativamente a um lote de tijolos, usado por quatro
operários na construção de um muro, sabe-se que:
− coube a Amilcar assentar a oitava parte e a Benício a décima parte do total de
tijolos;
− coube a Galileu assentar o dobro da soma das quantidades que Amilcar e Benício
assentaram;
− Dante assentou os restantes 468 tijolos.
Nessas condições, o total de tijolos do lote é um número compreendido entre
(A) 1 250 e 1 500.
(B) 1 500 e 1 750.
(C) 1 750 e 2 000.
(D) 2 000 e 2 250.
(E) 2 250 e 2 500.
54. FCC – METRÔ/SP – 2012) Ana tem em um cofrinho exatamente: 7 moedas de 1
real, 48 de 50 centavos, 53 de 25 centavos e 29 de 10 centavos. Se Ana pretende
totalizar a quantia de 50 reais e, para tal, adicionar quaisquer tipos de moedas às
que já tem, então a quantidade mínima de moedas que deverá usar é
(A) 4.
(B) 5.
(C) 6.
(D) 7.
!∀#
(E) 8.
55. FCC – METRÔ/SP – 2012) Certo dia, Alan, chefe de seção de uma empresa,
deu certa quantia em dinheiro a dois funcionários − Josemir e Neuza − solicitando
que fossem lhe comprar um lanche e ressaltando que poderiam ficar com o troco.
Sabe-se que, na compra do lanche eles gastaram 75% da quantia dada pelo chefe e
que, do troco recebido, Josemir ficou com 40%, enquanto que Neuza ficou com os
R$3,75 restantes. Nessas condições, o valor pago pelo lanche comprado foi
(A) R$ 15,00.
(B) R$ 15,75.
(C) R$ 18,50.
(D) R$ 18,75.
(E) R$ 25,00.
56. FCC – METRÔ/SP – 2012) O parágrafo seguinte apresenta parte da fala de
Benê dirigida a seus amigos Carlão e Dito.
− Hoje, tenho 23 anos de idade, Carlão tem 32 e Dito tem 44, mas, futuramente,
quando a minha idade for igual à terça parte da soma das idades de vocês, ...
Um complemento correto para a fala de Benê é
(A) as nossas idades somarão 120 anos.
(B) Carlão terá 36 anos.
(C) Dito terá 58 anos.
(D) Carlão terá 38 anos.
(E) Dito terá 54 anos.
57. FCC – METRÔ/SP – 2012) Um trem metropolitano partiu de um terminal da
Linha 1 − Estação Tucuruvi −, com X passageiros e, após passar sucessivamente
pelas Estações Parada Inglesa e Jardim São Paulo, chegou à Estação Santana com
X passageiros. Sobre o trânsito de passageiros ao longo desse trajeto, sabe-se que:
− na Estação Parada Inglesa desceram exatamente 18 passageiros e o número dos
que embarcaram era igual a 1/6 de X;
− na Estação Jardim São Paulo desceram exatamente 106 passageiros e o número
dos que embarcaram era igual a 1/3 do número de passageiros que partiu da
estação anterior.
!∀#
Nessas condições, é correto afirmar que X é um número
(A) ímpar.
(B) divisível por 9.
(C) múltiplo de 4.
(D) menor que 200.
(E) maior que 400.
58. FCC – SPPREV – 2012) O dono de um armazém adquiriu 82 kg de feijão
embalados em pacotes de 2 kg e 3 kg, totalizando 30 pacotes. É correto afirmar que
o número de pacotes de 3 kg é
(A) 22.
(B) 20.
(C) 18.
(D) 15.
(E) 12.
59. FCC – MPE/PE – 2012) Existem três caixas idênticas e separadas umas das
outras. Dentro de cada uma dessas caixas existem duas caixas menores, e dentro
de cada uma dessas caixas menores outras seis caixas menores ainda. Separandose todas essas caixas, tem-se um total de caixas igual a:
(A) 108.
(B) 45.
(C) 39.
(D) 36.
(E) 72.
60. FCC – MPE/PE – 2012) Quando volta a energia elétrica depois de um período
sem
energia, um rádio relógio elétrico reinicia a marcação do horário das 12:00. Plínio
esteve ausente de sua casa por 10 horas e, ao retornar, notou que seu rádio relógio
marcava 16:35, quando o horário correto deveria ser 19:40. Sabendo que a
diferença de horário se deve à falta de luz em um intervalo de tempo do período em
que Plínio esteve fora de casa, o horário em que se deu o início da falta de energia
elétrica foi:
!∀#
(A) 16:05.
(B) 15:05.
(C) 14:05.
(D) 16:35.
(E) 18:35.
61. FCC – MPE/AP – 2012) Do salário mensal de Miguel, 10% são gastos com
impostos, 15% com moradia, 25% com transporte e alimentação e 10% com seu
plano de saúde. Daquilo que resta, 3/8 são usados para pagar a mensalidade de
sua faculdade, sobrando ainda R$ 900,00 para o seu lazer e outras despesas. O
gasto mensal de Miguel com moradia, em reais, é igual a
(A) 210,00
(B) 360,00
(C) 450,00
(D) 540,00
(E) 720,00
62. FCC – TCE/SP – 2010) Suponha que certo medicamento seja obtido
adicionando- se uma substância A a uma mistura homogênea W, composta de
apenas duas substâncias X e Y. Sabe-se que:
- o teor de X em W é de 60%;
- se pode obter tal medicamento retirando-se 15 de 50 litros de W e substituindo-os
por 5 litros de A e 10 litros de Y, resultando em nova mistura homogênea.
Nessas condições, o teor de Y no medicamento assim obtido é de
a) 52%
b) 48%
c) 45%
d) 44%
e) 42%
!∀#
63. FCC – TRT/22ª – 2010) Seja P o produto de um número inteiro e positivo N por
9. Se N tem apenas três dígitos e P tem os algarismos das unidades, dezenas e
centenas iguais a 4, 6 e 3, respectivamente, então P + N é igual a:
a) 6480
b) 6686
c) 6840
d) 5584
e) 5960
64. FCC – TRT/01ª – 2011) Se X é um número inteiro positivo tal que
E=
1 1 1 1
+ + + seja um número inteiro, então:
2 3 7 x
a) Existem infinitas possibilidades distintas para x
b) X é múltiplo de 12
c) X é maior que 84
d) X tem oito divisores
e) E pode ser maior que 2
65. FCC – TRT/22ª – 2010) Em julho de 2010, dois Analistas Judiciários receberam
um lote com X licitações para emitir pareceres. No mês seguinte, indagados sobre
quantos pareceres de tal lote haviam emitido em julho, eles responderam:
Anabela: “6/11 do total das licitações receberam meu parecer”
Benivaldo: “A quantidade de licitações em que dei meu parecer corresponde a 3/5
do número de pareceres emitidos por Anabela”.
Sabendo que cada licitação recebeu o parecer de apenas um desses Analistas e
que a soma das quantidades que cada um emitiu era um número compreendido
entre 100 e 150, então:
a) X < 50
b) 50 < X < 100
!∀#
c) 100 < X < 150
d) 150 < X < 200
e) X > 200
66. FCC – TRT/9ª – 2010) Para estabelecer uma relação entre os números de
funcionários de uma unidade do Tribunal Regional do Trabalho, que participaram de
um curso sobre Controle e Prevenção de Doenças, foi usada a expressão:
em que h e m representam as quantidades de homens e de mulheres,
respectivamente. Sabendo que o total de participantes do curso era um número
compreendido entre 100 e 200, é correto afirmar que:
a) h+m = 158
b) h-m = 68
c) 70 < h < 100
d) 50 < m < 70
e) m.h < 4000
67. FCC – TRF/2ª – 2012) Considere as seguintes afirmações:
!∀#
Relativamente a essas afirmações, é certo que
(A) I, II e III são verdadeiras.
(B) apenas I e II são verdadeiras.
(C) apenas II e III são verdadeiras.
(D) apenas uma é verdadeira.
(E) I, II e III são falsas.
68. FCC – ISS/SP – 2012) Considere a multiplicação abaixo, em que letras iguais
representam o mesmo dígito e o resultado é um número de 5 algarismos.
A soma (S + O + M + A + R) é igual a:
a) 33
b) 31
c) 29
d) 27
e) 25
69. FCC – Banco do Brasil – 2011) O esquema abaixo apresenta a subtração de
dois números inteiros e maiores que 1 000, em que alguns algarismos foram
substituídos por letras.
Se a diferença indicada é a correta, os valores de A, B, C e D são tais que
(A) A < B < C < D
(B) B < A < D < C
(C) B < D < A < C
(D) D < A < C < B
(E) D < A < B < C
!∀#
70. FCC – TRT/12ª – 2013) Seja P o produto 8726617 × 9827274. O resto da
divisão de P por 5 é igual a
(A) 2.
(B) 4.
(C) 3.
(D) 0.
(E) 1
71. FCC – TRT/12ª – 2013) Um viajante percorreu 420 km. Desse percurso, 3/4 ele
fez de trem, e o restante de carro e de bicicleta. Se o percurso feito por ele de carro
correspondeu a 4/15 do percurso feito de trem, então, o viajante percorreu, em km,
de bicicleta
(A) 63.
(B) 21.
(C) 15.
(D) 14.
(E) 49.
72. FCC – TRT/12ª – 2013) O plano de saúde de João custa R$ 160,08, o de sua
esposa custa R$ 89,86, e cada um dos planos dos seus dois filhos custa R$ 54,28.
João pagou no Banco o total das quatro mensalidades com sete notas, ao que
recebeu corretamente de troco R$ 1,50. Nas condições descritas, das sete notas
usadas por João no pagamento, eram de um mesmo valor apenas
(A) quatro.
(B) cinco.
(C) três.
(D) seis.
(E) duas.
73. FCC – TRT/12ª – 2013) Um tanque contém uma mistura de dois líquidos (A e B)
que ocupa metade de sua capacidade. A mistura é feita por 40% do líquido A e 60%
do líquido B. Serão adicionados a esse tanque certa quantidade de líquido A até que
a mistura fique com as mesmas quantidades de líquidos A e B. Realizada essa
!∀#
operação, a capacidade do tanque que estará ocupada com a mistura de líquidos A
e B corresponde, do tanque todo, a
(A) 70%.
(B) 58%.
(C) 64%.
(D) 60%.
(E) 72%.
!∀#
4. GABARITO
1
D
2
E
3
B
4
B
5
C
6
E
7
C
8
C
9
C
10
A
11
D
12
E
13
B
14
B
15
E
16
E
17
E
18
B
19
C
20
A
21
B
22
B
23
D
24
E
25
A
26
D
27
E
28
D
29
C
30
D
31
A
32
E
33
D
34
C
35
D
36
A
37
D
38
A
39
C
40
E
41
A
42
D
43
E
44
D
45
D
46
E
47
B
48
E
49
D
50
A
51
E
52
E
53
A
54
B
55
D
56
A
57
B
58
A
59
B
60
B
61
D
62
B
63
E
64
D
65
D
66
B
67
B
68
D
69
C
70
C
71
B
72
B
73
D