Matemática p/ EspCEx (Escola Preparatória de Cadetes do Exército
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Aula 00 Matemática p/ EspCEx (Escola Preparatória de Cadetes do Exército) - Com videoaulas Professores: Arthur Lima, Hugo Lima 00000000000 - DEMO MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 AULA 00 (demonstrativa) SUMÁRIO PÁGINA 1. Apresentação 01 2. Edital e cronograma do curso 04 3. Resolução de questões 11 4. Questões apresentadas na aula 30 5. Gabarito 37 1. APRESENTAÇÃO Seja bem-vindo a este curso de MATEMÁTICA desenvolvido auxiliar na sua preparação para o próximo concurso da Escola Preparatória de Cadetes do Exército. Vamos seguir à risca o conteúdo exigido no último Edital. Neste material você terá: - curso completo em vídeo, formado por cerca de 15 horas de gravações onde explico todos os tópicos exigidos no edital e resolvo alguns exercícios para você começar a se familiarizar com os temas; 00000000000 - curso escrito completo (em PDF), formado por 20 aulas onde também explico todo o conteúdo teórico do edital, além de apresentar cerca de 600 questões resolvidas e comentadas sobre todos os assuntos trabalhados, podendo ser da EsPCEx, EsSA, ENEM e até de vestibulares; - fórum de dúvidas, onde você pode entrar em contato direto conosco. Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 1 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 Vale dizer que este curso é concebido para ser o seu único material de estudos, isto é, você não precisará adquirir livros ou outros materiais para tratar da minha disciplina. A ideia é que você consiga economizar bastante tempo, pois abordaremos todos os tópicos exigidos nos editais da EsPCEx e nada além disso, e você poderá estudar conforme a sua disponibilidade de tempo, em qualquer ambiente onde você tenha acesso a um computador, tablet ou celular, e evitará a perda de tempo gerada pelo trânsito das grandes cidades. Isso é importante para todos os candidatos, mas é especialmente relevante para aqueles que trabalham e estudam. Já faz tempo que você não estuda Matemática do ensino médio? Não tem problema, este curso também te atende perfeitamente. Isto porque você estará adquirindo um material bastante completo, onde você poderá trabalhar cada assunto em vídeos e também em aulas escritas, e resolver uma grande quantidade de exercícios, sempre podendo consultar as minhas resoluções e tirar dúvidas através do fórum. Assim, é plenamente possível que, mesmo tendo dificuldade em Matemática e estando há algum tempo sem estudar esses temas, você consiga um ótimo desempenho na prova da EsPCEx. Obviamente, se você se encontra nesta situação, será preciso investir um tempo maior e dedicar-se bastante ao conteúdo do nosso curso. O fato de o curso ser formado por vídeos e PDFs tem mais uma vantagem: isto permite que você vá alternando entre essas duas 00000000000 formas de estudo, tornando um pouco mais agradável essa dura jornada de preparação. Quando você estiver cansado de ler, mas ainda quiser continuar estudando, é simples: assista algumas aulas em vídeo! Ou resolva uma bateria de questões! Caso você não me conheça, eu sou Engenheiro Aeronáutico formado pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Sou professor há quase 10 anos, tendo lecionado tanto para cursos pré-vestibulares como para concursos públicos que exigem Matemática. Como engenheiro, trabalhei por 5 anos no mercado da aviação, quando então decidi migrar para o Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 2 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 serviço público, sendo atualmente Auditor-Fiscal da Receita Federal. Aqui no Estratégia eu já tive o privilégio de ministrar mais de 250 cursos online de Matemática e outros assuntos correlatos, o que me permitiu ganhar bastante familiaridade com este tipo de ensino, que no meu ponto de vista possui muitas vantagens em relação ao estudo em um cursinho presencial tradicional. Também contaremos com a colaboração do professor Hugo Lima neste curso. Veja a apresentação dele abaixo: Olá! Meu nome é Hugo Lima e sou Engenheiro Mecânico- Aeronáutico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Trabalhei por 5 anos e meio na Força Aérea Brasileira, como oficial engenheiro, sendo que, no período final, também tive que conciliar o trabalho com o estudo para o concurso da Receita Federal. Fui aprovado para o cargo de AuditorFiscal em 2012. Sempre solicitamos que nossos alunos avaliem os nossos cursos. Procuro sempre acompanhar as críticas, para estar sempre aperfeiçoando os materiais. Felizmente venho conseguindo obter índices de aprovação bastante elevados – acima de 95%, muitas vezes chegando a 100%. Farei o que for possível para que você também aprove o nosso trabalho! Quer tirar alguma dúvida antes de adquirir o curso? Deixo abaixo meus contatos: 00000000000 E-mail: [email protected] Facebook: www.facebook.com/ProfArthurLima Ah, e não deixe de me seguir no aplicativo Instagram, onde posto dicas gratuitas para seu estudo: profarthurlima Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 3 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 2. CRONOGRAMA DO CURSO Veja abaixo os tópicos de matemática cobrados no último edital: 1) Teoria dos Conjuntos e Conjuntos Numéricos: - representação de conjuntos, subconjuntos, operações: união, interseção, diferença e complementar. Conjunto universo e conjunto vazio; - conjunto dos números naturais e inteiros: operações fundamentais, Números primos, fatoração, número de divisores, máximo divisor comum e mínimo múltiplo; - conjunto dos números racionais: operações fundamentais. Razão, proporção e suas propriedades. Números direta e indiretamente proporcionais; - conjunto dos números reais: operações fundamentais, módulo, representação decimal, operações com intervalos reais; e - números complexos: operações, módulo, conjugado de um número complexo, representações algébrica e trigonométrica. Representação no plano de Argand-Gauss, Potencialização e radiciação. Extração de raízes. Fórmulas de Moivre. Resolução de equações binomiais e trinomiais. 2) Funções: - definição, domínio, imagem, contradomínio, funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras, funções pares e ímpares, funções periódicas; funções compostas; 00000000000 - relações; - raiz de uma função; - função constante, função crescente, função decrescente; - função definida por mais de uma sentença; - as funções y=kx , y=√x e seus gráficos; - função inversa e seu gráfico; e - Translação, reflexão de funções. 3) Função Linear, Função Afim e Função Quadrática: - gráficos, domínio, imagem e características; Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 4 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 - variações de sinal; - máximos e mínimos; e - inequação produto e inequação quociente. 4) Função Modular: - o conceito e propriedades do módulo de um número real; - definição, gráfico, domínio e imagem da função modular; - equações modulares; e - inequações modulares. 5) Função Exponencial: - gráficos, domínio, imagem e características da função exponencial, logaritmos decimais, característica e mantissa; e - equações e inequações exponenciais. 6) Função Logarítmica: - definição de logaritmo e propriedades operatórias; - gráficos, domínio, imagem e características da função logarítmica; e - equações e inequações logarítmicas. 7) Trigonometria: - trigonometria no triângulo (retângulo e qualquer); - lei dos senos e lei dos cossenos; - unidades de medidas de arcos e ângulos: o grau e o radiano; - círculo trigonométrico, razões trigonométricas e redução ao 1º quadrante; - funções trigonométricas, transformações, identidades trigonométricas 00000000000 fundamentais, equações e inequações trigonométricas no conjunto dos números reais; - fórmulas de adição de arcos, arcos duplos, arco metade e transformação em produto; - as funções trigonométricas inversas e seus gráficos, arcos notáveis; e - sistemas de equações e inequações trigonométricas e resolução de triângulos. 8) Contagem e Análise Combinatória: - fatorial: definição e operações; Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 5 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 - princípios multiplicativo e aditivo da contagem; - arranjos, combinações e permutações; e - binômio de Newton: desenvolvimento, coeficientes binomiais e termo geral. 9) Probabilidade: - experimento aleatório, experimento amostral, espaço amostral e evento; - probabilidade em espaços amostrais equiprováveis; - probabilidade da união de dois eventos; - probabilidade condicional; - propriedades das probabilidades; e - probabilidade de dois eventos sucessivos e experimentos binomiais. 10) Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares: - operações com matrizes (adição, multiplicação por escalar, transposição produto); - matriz inversa; - determinante de uma matriz: definição e propriedades; e - sistemas de equações lineares. 11) Sequências Numéricas e Progressões: - sequências Numéricas; - progressões aritméticas: termo geral, soma dos termos e propriedades; - progressões Geométricas: termo geral, soma dos termos e propriedades. 00000000000 12) Geometria Espacial de Posição: - posições relativas entre duas retas; - posições relativas entre dois planos; - posições relativas entre reta e plano; - perpendicularidade entre duas retas, entre dois planos e entre reta e plano; e - projeção ortogonal. 13) Geometria Espacial Métrica: - prismas: conceito, elementos, classificação, áreas e volumes e troncos; Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 6 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 - pirâmide: conceito, elementos, classificação, áreas e volumes e troncos; - cilindro: conceito, elementos, classificação, áreas e volumes e troncos; - cone: conceito, elementos, classificação, áreas e volumes e troncos; - esfera: elementos, seção da esfera, área, volumes e partes da esfera; - projeções; - sólidos de revolução; e - inscrição e circunscrição de sólidos. 14) Geometria Analítica Plana: - ponto: o plano cartesiano, distância entre dois pontos, ponto médio de um segmento e condição de alinhamento de três pontos; - reta: equações geral e reduzida, interseção de retas, paralelismo e perpendicularidade, ângulo entre duas retas, distância entre ponta e reta e distância entre duas retas, bissetrizes do ângulo entre duas retas, Área de um triângulo e inequações do primeiro grau com duas variáveis; - circunferência: equações geral e reduzida, posições relativas entre ponto e circunferência, reta e circunferência e duas circunferências; problemas de tangência; e equações e inequações do segundo grau com duas variáveis; - elipse: definição, equação, posições relativas entre ponto e elipse, posições relativas entre reta e elipse; - hipérbole: definição, equação da hipérbole, posições relativas entre ponto e hipérbole, posições relativas entre reta e hipérbole e equações das assíntotas da hipérbole; 00000000000 - parábola: definição, equação, posições relativas entre ponto e parábola, posições relativas entre reta e parábola; - reconhecimento de cônicas a partir de sua equação geral. 15) Geometria Plana: - Ângulo: definição, elementos e propriedades; - Ângulos na circunferência; - Paralelismo e perpendicularidade; - Semelhança de triângulos; - Pontos notáveis do triângulo; Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 7 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 - Relações métricas nos triângulos (retângulos e quaisquer); - Relação de Stewart; - Triângulos retângulos, Teorema de Pitágoras; - Congruência de figuras planas; - Feixe de retas paralelas e transversais, Teorema de Tales; - Teorema das bissetrizes internas e externas de um triângulo; - Quadriláteros notáveis; - Polígonos, polígonos regulares, circunferências, círculos e seus elementos; - Perímetro e área de polígonos, polígonos regulares, circunferências, círculos e seus elementos; - Fórmula de Heron; - Razão entre áreas; - Lugares geométricos; - Elipse, parábola e hipérbole; - Linha poligonal; e - Inscrição e circunscrição. 16) Polinômios: - função polinomial, polinômio identicamente nulo, grau de um polinômio, identidade de um polinômio, raiz de um polinômio, operações com polinômios e valor numérico de um polinômio; - divisão de polinômios, Teorema do Resto, Teorema de D’Alembert e dispositivo de Briot-Ruffinni; 00000000000 - relação entre coeficientes e raízes. Fatoração e multiplicidade de raízes e produtos notáveis. Máximo divisor comum de polinômios; 17) Equações Polinomiais: - teorema fundamental da álgebra, teorema da decomposição, raízes imaginárias, raízes racionais, relações de Girard e teorema de Bolzano. Nosso curso será dividido em 20 aulas escritas, além desta aula demonstrativa, acompanhadas pelos vídeos sobre os mesmos assuntos. Segue abaixo a relação de aulas e as datas limite de publicação. Vale Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 8 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 dizer que nós sempre procuramos publicar as aulas com o máximo de antecedência possível. AULA CONTEÚDO VÍDEOS DATA Aula 0 Demonstrativa Sim 15/12 Aula 1 Conjuntos Numéricos Sim 25/12 Aula 2 Divisibilidade e Fatoração Sim 15/01 Aula 3 Proporcionalidade Sim 25/01 Aula 4 Resolução de equações Sim 05/02 Aula 5 Funções: Linear, Afim e Quadrática Sim 15/02 Aula 6 Polinômios Sim 25/02 Sim 05/03 Sim 15/03 Sim 25/03 Aula 7 Funções: Modular, Exponencial e Logarítmica Aula 8 Aula 9 Inequações Sequências Numéricas e Progressões Aula 10 Geometria Plana Sim 05/04 Aula 11 Geometria plana (continuação) Sim 15/04 Aula 12 Geometria Espacial Sim 25/04 Aula 13 Trigonometria Sim 05/05 Aula 14 Geometria Analítica Sim 15/05 Aula 15 Contagem e Análise Combinatória Sim 25/05 Aula 16 Probabilidade Sim 15/06 Aula 17 Teoria dos Conjuntos Sim 25/06 Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima 00000000000 www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 9 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 Aula 18 Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares Sim 05/07 Aula 19 Números complexos Sim 15/07 Aula 20 Resumo Não 25/07 Sem mais, vamos a uma demonstração do curso. 00000000000 Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 10 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 3. RESOLUÇÃO DE QUESTÕES Nesta aula demonstrativa vamos resolver juntos algumas questões das provas anteriores da EsPCEx. O objetivo é que você tenha uma ideia do estilo de cobrança da EsPCEx. É natural que você sinta alguma dificuldade em resolver as questões neste momento, afinal ainda não passamos pelos tópicos teóricos correspondentes. Ao longo das aulas voltaremos a essas questões nos momentos oportunos, isto é, após estudar a respectiva teoria. Aproveite esta aula para avaliar o nível de cobrança esperado para a sua prova e, claro, a minha forma de lecionar. Vamos começar? 01. EspCEx – 2011) Considere as funções reais f(x) = 3x, de domínio [4, 8] e g(y) = 4y, de domínio [6, 9]. Os valores máximo e mínimo que o quociente f(x) / g(y) pode assumir são, respectivamente: [A] 2 1 e 3 2 [B] 1 e1 3 [C] 4 3 e 3 4 [D] 3 1 e 4 3 [E] 1e 00000000000 1 3 RESOLUÇÃO: Veja que f(x) está definida para x em [4, 8] e g(y) está definida para y em [6, 9]. Além disso, veja que a função f(x) / g(y) é dada por: Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 11 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 f ( x) 3 x g ( y) 4 y Por ser uma divisão, essa função terá valor máximo quando o numerador for máximo (o que nos leva a x máximo) e denominador for mínimo (o que nos leva a y mínimo). Assim: máximo f ( x) 3(8) 1 g ( y) 4(6) Essa função terá valor mínimo quando o numerador for mínimo (o que nos leva a x mínimo) e denominador for máximo (o que nos leva a y máximo). Assim: mínimo f ( x) 3(4) 3 1 g ( y) 4(9) 9 3 Resposta: E 02. EspCEx – 2011) O domínio da função real f(x) = [A] ]2, [ [B] ]2,6[ [C] ] , 6 ] [D] ] -2 , 2 ] [E] ] , 2 [ 2 x é x² 8 x 12 00000000000 RESOLUÇÃO: Para que a função exista, temos que o número dentro da raiz quadrada não deve ser negativo e o denominador da fração não pode ser zero. Logo: 2-x≥0 2≥x Vamos ver quais são as raízes da equação x2 – 8x + 12: Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 12 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 b 2 4ac (8) 2 4(1)(12) 64 48 16 b 2a x x (8) 16 8 4 2 2 x1 8 4 6 2 x2 84 2 2 Portanto, x não pode ser igual a 2 e 6 e deve ser inferior ou igual a 2. Logo, x < 2 atende todos esses requisitos. De outra forma, podemos dizer que x deve estar no intervalo ] , 2 [ os colchetes abertos ao lado de cada número indicam que aquele número não está contido no intervalo. Resposta: E 03. EspCEx – 2011) Considere a função real f(x), cujo gráfico está representado na figura, e a função real g(x), definida por g(x) = f(x-1) + 1. 00000000000 1 O valor de g é 2 Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 13 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 [A] -3 [B] -2 [C] 0 [D] 2 [E] 3 RESOLUÇÃO: Veja que o gráfico de f(x) é uma reta. Logo, podemos dizer que: f(x) = ax + b Quando x = 0, temos y = 2, logo f(0) = a(0) + b = 2 b = 2. Quando y = 0, temos x = -3, logo f(-3) = a(-3) + 2 = 0 a = 2/3. Portanto, f(x) = (2/3)x + 2. Como g(x) = f(x-1) + 1, temos: g(x) = (2/3)(x-1) + 2 + 1 g(x) = (2/3)(x-1) + 3 Assim, g(-1/2) é: g(-1/2) = (2/3)(-1/2 - 1) + 3 g(-1/2) = (2/3)(-1/2 – 2/2) + 3 g(-1/2) = (2/3)(-3/2) + 3 g(-1/2) = -1 + 3 g(-1/2) = 2 00000000000 Resposta: D 04. EspCEx – 2012) Na figura abaixo está representado o gráfico de uma função real do 1º grau f(x). A expressão algébrica que define a função inversa de f(x) é: Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 14 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 x 1 2 [A] y [B] y x [C] y 2x 2 [D] y 2 x 2 [E] y 2x 2 1 2 RESOLUÇÃO: Veja que o gráfico de f(x) é uma reta. Logo, podemos dizer que: f(x) = ax + b Quando x = 0, temos y = 1, logo f(0) = a(0) + b = 1 b = 1. Quando y = 0, temos x = -2, logo f(-2) = a(-2) + 1 = 0 a = 1/2. 00000000000 Portanto, f(x) = (1/2)x + 1. Para obter a função inversa, basta: 1. Substituir “f(x) por x” e “x por f 1( x ) ” x = (1/2) f-1(x) + 1 2. Rearranjar os termos, isolando f 1( x ) . x = (1/2) f-1(x) + 1 x – 1 = (1/2) f-1(x) (1/2) f-1(x) = x – 1 f-1(x) = 2x – 2 Resposta: C Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 15 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 05. EspCEx – 2013) Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x) = 3x2 – 12x e o custo mensal da produção é dado por C(x) = 5x2 – 40x – 40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a [A] 4 lotes. [B] 5 lotes. [C] 6 lotes. [D] 7 lotes. [E] 8 lotes. RESOLUÇÃO: O lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção: L(x) = V(x) – C(x) L(x) = 3x2 – 12x – (5x2 – 40x – 40) L(x) = 3x2 – 12x – 5x2 + 40x + 40 L(x) = – 2x2 + 28x + 40 Veja que temos uma parábola cuja concavidade é voltada para baixo. Logo, ela possui um ponto de máximo, dado por: xvértice b 28 7 2a 2( 2) 00000000000 O número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a 7 lotes. Resposta: D 06. EspCEx – 2014) Um fabricante de poltronas pode produzir cada peça ao custo de R$ 300,00. Se cada uma for vendida por x reais, este fabricante venderá por mês (600 – x) unidades, em que 0 ≤ x ≤ 600. Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 16 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 Assinale a alternativa que representa o número de unidades vendidas mensalmente que corresponde ao lucro máximo. [A] 150 [B] 250 [C] 350 [D] 450 [E] 550 RESOLUÇÃO: O valor V(x) resultante da venda de (600 – x) poltronas ao preço de x reais é igual a V(x) = x(600 – x) = 600x – x2. O custo C(x) de (600 – x) poltronas é dado por C(x) = (600 – x).300 = 180.000 – 300x O lucro L(x) é dado pela diferença entre o valor resultante da venda e o custo. Logo: L(x) = V(x) – C(x) L(x) = 600x – x2 – 180.000 + 300x L(x) = – x2 + 900x – 180.000 Veja que temos uma parábola cuja concavidade é voltada para baixo. Logo, ela possui um ponto de máximo, dado por: xvértice b 900 450 2a 2( 1) 00000000000 O número de unidades vendidas mensalmente que corresponde ao lucro máximo é de 450 poltronas. Resposta: D 07. EspCEx – 2014) Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos f x os números reais para os quais está definida a função x² 6 x 5 3 x² 4 a) R-{-2,2} Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 17 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 b) (-,-2) (5,+) c) (-,-2) (-2,1] d) (-,1) (5,+) e) (-,-2] (2,+) [5,+) RESOLUÇÃO: f x x² 6 x 5 3 x² 4 As funções que estão dentro das raízes não devem ter valor inferior a zero. Já o denominador deve ser diferente de zero. Vamos aplicar as duas condições. Primeiramente, vamos encontrar os valores de x que fazem a função de segundo grau ser igual à zero: 0 = x² 6 x 5 b 2 4ac (6) 2 4(1)(5) 36 20 16 b 2a x x (6) 16 6 4 2 2 x1 64 5 2 x2 64 1 2 00000000000 Veja que essa função de segundo grau tem concavidade voltada para cima. Devemos ter apenas valores positivos para a função. Logo, os valores de x menores que 1 e maiores que 5 são os que nos interessam. O gráfico abaixo ajuda a visualizar a situação: Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 18 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 Para o denominador, que é uma função de primeiro grau dentro de uma raiz cúbica, temos: x2 4 0 x2 4 x 2 ou x 2 Repare que o numerador traz uma raiz cúbica. Raiz cúbica de número negativo existe e está definida nos reais. Por exemplo: 3 8 3 (2)3 2 . Raiz cúbica de número positivo também existe e está definida nos reais. Se no denominador tivéssemos uma raiz quadrada, aí sim teríamos que fazer x2 4 0 . 00000000000 Nosso conjunto resposta consta no gráfico abaixo: Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 19 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 Em vermelho marcamos os valores que x pode assumir, levando em consideração o numerador. X pode ser qualquer valor menor ou igual a 1 ou qualquer valor maior ou igual a 5. Em azul marcamos os dois valores que o x não pode assumir, levando em consideração o denominador, que são -2 e 2. Assim, x pode ser qualquer número menor que -2, mais qualquer número acima de -2 e menor ou igual a um, mais qualquer número maior ou igual a 5, cuja representação matemática é (-,-2) (-2,1] [5,+) . Resposta: C 08. EspCEx – 2014) Sabendo que “c” e “d” são números reais, o maior valor de “d” tal que a função 00000000000 f : R R definida x c, para x d f ( x) 2 seja injetora é x 4 x 3, para x d [A] 0. [B] 1. [C] 2. [D] 3. [E] 4. RESOLUÇÃO: Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 20 por MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 Se cada elemento do conjunto Imagem estiver ligado a um único elemento do Domínio, a função é chamada injetora. Veja que uma das partes da função f(x) é uma função de segundo grau. Essa parábola tem concavidade voltada para cima. Logo, ela tem um ponto de mínimo. Vamos calcular o valor de mínimo da parábola: xvértice b ( 4) 2 2a 2(1) Veja agora um esboço do gráfico dessa parábola: 00000000000 A partir do momento em que a parábola atinge o mínimo, ela começa a associar novos elementos de domínio aos mesmos elementos da imagem que já tinham elementos de domínio associados anteriormente. A partir de x>2, cada elemento da imagem passa a estar associado a dois elementos do domínio. Veja por exemplo que para y = 6 (imagem) temos dois valores de x (domínio). Portanto, x não pode ser maior que 2 para que a função seja injetora. Logo, x < 2, o que nos leva a d = 2. Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 21 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 Resposta: C 09. EspCEx – 2015) Considere as funções reais f e g, tais que f(x) = √x + 4 e f(g(x))=x2 - 5, onde g(x) é não negativa para todo x real. Assinale a alternativa cujo conjunto contém todos os possíveis valores de x, que satisfazem os dados do enunciado. [A] 3,3 [B] 5, 5 [C] 5, 5 [D] 3,3 [E] ,3 RESOLUÇÃO: Conhecemos a função f(x). Logo, f(g(x)) é: f(g(x)) = √g(x) + 4 No entanto, f(g(x)) = x2 - 5. Logo: √g(x) + 4 = x2 - 5 √g(x) = x2 - 9 g(x) é não negativa para todo x real, logo: √g(x) = x2 - 9 ≥ 0 x ≥ 3 e x ≤-3 00000000000 Voltando a f(x), temos que f(x) = √x + 4. Para que f(x) seja uma função real, devemos ter x ≥ 0. Portanto, x pode ser qualquer valor maior ou igual a 3. Outra forma seria dizer que x pode ser qualquer real exceto aqueles números menores que 3. Foi o que a letra E fez. ,3 Resposta: E Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 22 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 10. EspCEx – 2011 - adaptada) Determine o valor numérico da expressão sec1320º 23 2.cos 2 3 [A] -1 [B] 0 [C] 1 2 [D] 1 [E] (tg 2220º )² 3 2 RESOLUÇÃO: Veja que 1320º equivale a 3 x 360º + 240º. Já 23 /3 equivale a 18 /3 + 5 /3 = 6 + 5 /3. 2220º pode ser reescrito como 6 x 360º + 60º. Assim, temos: 00000000000 Resposta: D Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 23 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 11. EspCEx – 2011) A função real f(x) está representada no gráfico abaixo. RESOLUÇÃO: 00000000000 Para valores positivos de x, temos que em x = 0, y = 1. Portanto, estamos diante de uma função cosseno, visto que o cosseno de zero é 1. No entanto, temos o módulo da função cosx, visto que y não assume valores negativos. Para valores negativos de x, temos que em x = 0, y = 0. Portanto, estamos diante de uma função seno, visto que o seno de zero é zero. No entanto, temos o módulo da função senx sendo multiplicado por -1, visto que y não assume valores positivos. Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 24 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 Assim, a função representada é: Resposta: A 12. EspCEx – 2014) A população de peixes em uma lagoa varia conforme o regime de chuvas da região. Ela cresce no período chuvoso e decresce no período de estiagem. Esta população é descrita pela t 2 expressão P (t ) 10³ cos 5 em que o tempo t é medido em 6 meses. É correto afirmar que: [A] o período chuvoso corresponde a dois trimestres do ano. [B] a população atinge seu máximo em t=6. [C] o período de seca corresponde a 4 meses do ano. [D] população média anual é de 6.000 animais. [E] a população atinge seu mínimo em t=4 com 6.000 animais. RESOLUÇÃO: O tempo é medido em meses. Precisamos determinar em quais meses do ano a função P(t) é crescente, quando teremos o período chuvoso, e em quais ela é decrescente, quando teremos o período de seca. A função cosx é crescente quando x vai de Quando x = a2 . na função, temos: t2 6 00000000000 t2 1 6 t 62 8 Quando x = 2 na função, temos: Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 25 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 t 2 2 6 t2 2 6 t 12 2 14 Portanto, num intervalo de seis meses, de agosto (t = 8) a fevereiro (t = 14) a função P(t) é crescente. Assim, o período chuvoso corresponde a dois trimestres do ano. Resposta: A log10 3 1 13. EspCEx – 2014) Seja . . O conjunto solução da 2 log10 3 log10 7 cos( x) desigualdade 3 3 no intervalo [0, 2 ), é igual a 7 3 [A] 0, [B] 5 3 , 3 [C] 3 , 2 [D] 3 , 2 [E] 3 2 , 2 00000000000 RESOLUÇÃO: Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 26 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 b Usando a propriedade a loga b , temos: Logo, temos: 5 Ou seja, x deve estar no intervalo , 3 3 Resposta: B 14. EspCEx – 2011) Pesquisas revelaram que, numa certa região, 4% dos homens e 10% das mulheres são diabéticos. Considere um grupo formado por 300 homens e 700 mulheres dessa região. Tomando-se ao acaso uma pessoa desse grupo, a probabilidade de que essa pessoa seja diabética é 00000000000 [A] 4% [B] 5% [C] 5,4% [D] 7,2% [E] 8,2% RESOLUÇÃO: Pelas porcentagens, temos, entre os homens, 300 x 4% = 12 diabéticos e, entre as mulheres, 700 x 10% = 70 diabéticas. Ao todo são 82 diabéticos num grupo de 1000 pessoas. Logo, tomando-se ao acaso Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 27 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 uma pessoa desse grupo, a probabilidade de que essa pessoa seja diabética é de 82/1000 = 8,2/100 = 8,2%. Resposta: E 15. EspCEx – 2012) A probabilidade de se obter um número divisível por 2 na escolha ao acaso de uma das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 é [A] 1 5 [B] 2 5 [C] 3 4 [D] 1 4 [E] 1 2 RESOLUÇÃO: O total de permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 totalizam 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 números diferentes. Para ser divisível por 2, basta que o número termine em 2 ou 4. Temos 5 terminações possíveis (1, 2, 3, 4 ou 5). Teremos 120 / 5 = 24 números com cada terminação. Logo, terminando em 2 ou 4 teremos 48 números. A probabilidade de se obter um número divisível por 2 na escolha ao acaso de uma das permutações é de 48/120 = 2/5. 00000000000 Resposta: B Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 28 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 Fim de aula!!! Nos vemos na Aula 01. Abraço, Prof. Arthur Lima Youtube: Professor Arthur Lima Facebook: www.facebook.com/ProfArthurLima 00000000000 Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 29 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 01. EspCEx – 2011) Considere as funções reais f(x) = 3x, de domínio [4, 8] e g(y) = 4y, de domínio [6, 9]. Os valores máximo e mínimo que o quociente f(x) / g(y) pode assumir são, respectivamente: [A] 2 1 e 3 2 [B] 1 e1 3 [C] 4 3 e 3 4 [D] 3 1 e 4 3 [E] 1e 1 3 02. EspCEx – 2011) O domínio da função real f(x) = [A] ]2, [ [B] ]2,6[ [C] ] , 6 ] [D] ] -2 , 2 ] [E] ] , 2 [ 2 x é x² 8 x 12 00000000000 03. EspCEx – 2011) Considere a função real f(x), cujo gráfico está representado na figura, e a função real g(x), definida por g(x) = f(x-1) + 1. Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 30 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 1 O valor de g é 2 [A] -3 [B] -2 [C] 0 [D] 2 [E] 3 04. EspCEx – 2012) Na figura abaixo está representado o gráfico de uma função real do 1º grau f(x). A expressão algébrica que define a função inversa de f(x) é: 00000000000 x 1 2 [A] y [B] y x [C] y 2x 2 [D] y 2 x 2 Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima 1 2 www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 31 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 [E] y 2x 2 05. EspCEx – 2013) Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x) = 3x2 – 12x e o custo mensal da produção é dado por C(x) = 5x2 – 40x – 40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a [A] 4 lotes. [B] 5 lotes. [C] 6 lotes. [D] 7 lotes. [E] 8 lotes. 06. EspCEx – 2014) Um fabricante de poltronas pode produzir cada peça ao custo de R$ 300,00. Se cada uma for vendida por x reais, este fabricante venderá por mês (600 – x) unidades, em que 0 ≤ x ≤ 600. Assinale a alternativa que representa o número de unidades vendidas mensalmente que corresponde ao lucro máximo. [A] 150 [B] 250 [C] 350 [D] 450 00000000000 [E] 550 07. EspCEx – 2014) Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos f x os números reais para os quais está definida a função x² 6 x 5 3 x² 4 a) R-{-2,2} b) (-,-2) (5,+) c) (-,-2) (-2,1] Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima [5,+) www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 32 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 d) (-,1) (5,+) e) (-,-2] (2,+) 08. EspCEx – 2014) Sabendo que “c” e “d” são números reais, o maior valor de “d” tal que a função f : R R definida por x c, para x d seja injetora é f ( x) 2 x 4 x 3, para x d [A] 0. [B] 1. [C] 2. [D] 3. [E] 4. 09. EspCEx – 2015) Considere as funções reais f e g, tais que f(x) = √x + 4 e f(g(x))=x2 - 5, onde g(x) é não negativa para todo x real. Assinale a alternativa cujo conjunto contém todos os possíveis valores de x, que satisfazem os dados do enunciado. [A] 3,3 [B] 5, 5 [C] 5, 5 [D] 3,3 00000000000 ,3 [E] 10. EspCEx – 2011 - adaptada) Determine o valor numérico da expressão sec1320º 23 2.cos 2 3 [A] -1 [B] 0 Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima (tg 2220º )² www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 33 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 [C] 1 2 [D] 1 [E] 3 2 11. EspCEx – 2011) A função real f(x) está representada no gráfico abaixo. 00000000000 12. EspCEx – 2014) A população de peixes em uma lagoa varia conforme o regime de chuvas da região. Ela cresce no período chuvoso e decresce no período de estiagem. Esta população é descrita pela Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 34 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 t 2 expressão P (t ) 10³ cos 5 em que o tempo t é medido em 6 meses. É correto afirmar que: [A] o período chuvoso corresponde a dois trimestres do ano. [B] a população atinge seu máximo em t=6. [C] o período de seca corresponde a 4 meses do ano. [D] população média anual é de 6.000 animais. [E] a população atinge seu mínimo em t=4 com 6.000 animais. log10 3 1 13. EspCEx – 2014) Seja . . O conjunto solução da 2 log10 3 log10 7 3 desigualdade 3cos( x) no intervalo [0, 2 ), é igual a 7 3 [A] 0, [B] 5 3 , 3 [C] 3 , 2 [D] 3 , 2 [E] 3 2 , 2 00000000000 14. EspCEx – 2011) Pesquisas revelaram que, numa certa região, 4% dos homens e 10% das mulheres são diabéticos. Considere um grupo formado por 300 homens e 700 mulheres dessa região. Tomando-se ao acaso uma pessoa desse grupo, a probabilidade de que essa pessoa seja diabética é [A] 4% [B] 5% [C] 5,4% [D] 7,2% Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 35 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 [E] 8,2% 15. EspCEx – 2012) A probabilidade de se obter um número divisível por 2 na escolha ao acaso de uma das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 é [A] 1 5 [B] 2 5 [C] 3 4 [D] 1 4 [E] 1 2 00000000000 Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 36 MATEMÁTICA P/ ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00 01 E 02 E 03 D 04 C 05 D 06 D 07 C 08 C 09 E 10 D 11 A 12 A 13 B 14 E 15 B 00000000000 Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima www.estrategiaconcursos.com.br 00000000000 - DEMO 37
