1 – Conjunto dos Números Naturais Introdução: Os números: 0, 1, 2

1 – Conjunto dos Números Naturais
Introdução:
Os números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... formam um conjunto infinito e é denominado de
Conjunto dos Números Naturais (N).
Sua representação é:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...}.
Os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,... também formam um conjunto infinito e é
denominado de Conjunto dos Números Naturais Não Nulos (N*).
Sua representação é:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...}.
Operações:
Com os números naturais efetuamos várias operações: adição, subtração, multiplicação,
divisão, potenciação e radiciação.
As quatro primeiras operações já foram estudadas e exercitadas durante os anos anteriores.
Agora, apenas, relembraremos as nomeclaturas e as propriedades fazendo alguns exercícios e
problemas.
As operações de potenciação e radiciação serão objetos de estudo na 5ª série em capítulos
especiais.
1) Adição de Números Naturais:
Nomenclatura:
7 + 8 + 1 = 16
Operação = adição
Parcelas = 7, 8 e 1
Soma ou total = 16
Símbolo que se lê mais = +
Propriedades:
a) Fechamento: A soma de números naturais é sempre um número natural.
Exemplo: 35 + 9 = 44
35  N
9N
44  N
b) Comutativa: Na adição de números naturais a ordem das parcelas não altera a soma.
Exemplo: 78 + 19 = 19 + 78, pois
78 + 19 = 97
e
19 + 78 = 97
c) Associativa: Na adição de três ou mais parcelas pode-se associar quaisquer duas ou
mais parcelas sem alterar a soma.
Exemplo: (3 + 4) + 8 = 3 + (4 + 8), pois
(3 + 4) + 8 = 7 + 8 = 15
e
3 + (4 + 8) = 3 + 12 = 15
d) Elemento Neutro: É o número zero, pois o zero adicionado a qualquer número
natural, reproduz este número.
Exemplo: 64 + 0 = 64 = 0 + 64
1
2) Subtração de Números Naturais:
Nomenclatura:
69 – 24 = 45
Operação: subtração
Minuendo = 69
Subtraendo = 24
Resto ou diferença = 45
Símbolo que se lê menos = Propriedades:
Na subtração de números naturais não são válidas nenhuma das propriedades. Veja o
por que:
a) Fechamento:
135 - 905 = ?
135  N
9N
Mas não existe um valor no Conjunto dos Números Naturais que represente a
diferença entre eles, nesta ordem.
b) Comutativa:
78 – 11 = 67
11 – 78 ≠ 67
Não existe um valor no Conjunto dos Números Naturais que represente a diferença
entre eles, nesta ordem.
c) Associativa:
Exemplo: (7 - 4) – 2 = 3 – 2 = 1
7 – (4 – 2) = 7 – 2 = 5
(7 – 4) – 2 ≠ 7 – (4 – 2)
d) Elemento Neutro:
Exemplo: 93 – 0 = 93
0 – 93 ≠ 93
3) Multiplicação de Números Naturais:
Nomenclatura:
34 x 45 = 1530
ou
34 . 45 = 1530
Operação = multiplicação
Fatores = 34 e 45
Produto = 1530
Símbolo que se lê multiplicação = x ou
.
2
Propriedades:
a) Fechamento: O produto de números naturais é sempre um número.
Exemplo: 50 x 9 = 450
50  N
9N
450  N
b) Comutativa: Na multiplicação de números naturais a ordem dos fatores não altera o
produto.
Exemplo: 8 x 91 = 91 x 8, pois
8 x 91 = 728
e
91 x 8 = 728
c) Associativa: Na multiplicação de três ou mais fatores o produto pode ser obtido,
associando-se os dois primeiros fatores ou quaisquer outros dois.
Exemplo: (3 x 5) x 6 = 3 x (5 x 6), pois
(3 x 5) x 6 = 15 x 6 = 90
e
3 x (5 x 6) = 3 x 30 = 90
d) Elemento Neutro: É o número um, pois quando multiplicado por qualquer número
natural produz o próprio número natural.
Exemplo: 83 x 1 = 83 = 1 x 83
e) Distributiva em relação à Adição e a Subtração: Na multiplicação de um número
natural por uma soma ou por uma diferença, pode-se multiplicar o número pelos
termos da soma ou da diferença e adicionar ou subtrair os resultados das
multiplicações efetuadas.
Exemplos:
 3 x (5 + 7) = 3 x 5 + 3 x 7 = 15 + 21 = 36
 9 x (5 – 3) = 9 x 5 - 9 x 3 = 45 – 27 =18
4) Divisão de Números Naturais:
Nomenclatura:
60 : 15 = 4
Operação: divisão exata
Dividendo = 60
Divisor = 15
Quociente = 4
Símbolo que se lê dividido = :
Propriedades:
Na divisão de números naturais não são válidas nenhuma das propriedades. Veja::
a) Fechamento:
17 : 2 = ?
17  N
2N
Mas não existe um valor no Conjunto dos Números Naturais que represente o
quociente entre eles, nesta ordem.
3
b) Comutativa:
160 : 4 = 40,
4 : 160 ≠ 40
Não existe um valor no Conjunto dos Números Naturais que represente o quociente
entre eles, nesta ordem.
c) Associativa:
Exemplo: (40 : 10) : 2 = 4 : 2 = 2
40 : (10 : 2) = 40 : 5 = 8
(40 : 10) : 2 ≠ 40 : (10 : 2)
d) Elemento Neutro:
Exemplo: 7 : 1 = 7
1:7≠7
e) Distributiva à direita em relação a adição e a subtração: é a única propriedade válida
na divisão exata de números naturais.
Exemplos:
 (6 + 10) : 2 = 6 : 2 + 10 : 2 = 3 + 5 = 8
 (20 – 10) : 2 = 20 : 2 – 10 : 2 = 10 – 5 = 5
Observe:
83
03
2
41
1
Quando a divisão não for exata temos:
83 = dividendo
2 = divisor
41 = quociente
1 = resto
Prova real:
Dividendo = divisor . quociente + resto
Observação: O resto de uma divisão ou é zero ou é um número menor que o divisor.
Aula preparada pelas professoras
Jane Précaro
Camila Penezzi
Janeiro / 2011
4