Matemática

Matemática
terceira parcela 32,50 + 3,50 = 36,00
quarta parcela 36,00 + 3,50 = 39,50
Com a evolução da humanidade, o homem,
como ser racional e dominador do meio, sentiu a
necessidade de contar e atribuir números a tudo
que via. Essa necessidade fez com que a ciência
dos números, a matemática, alcançasse uma
evolução incrível e hoje tudo que vemos se explica
através dela.
O que pretendemos aqui é mostrar como
essa ciência tão nobre fará com que seus sonhos
se tornem realidade.
Somando todas as parcelas:
29,00 + 32,50 + 36,00 + 39,50 = 137,00
Propriedades da adição
a)
Fechamento: a soma de dois números naturais é
um número natural.
Ex.: 15 + 12 = 27
NÚMEROS NATURAIS
b)
Os números Naturais surgiram com a
necessidade das civilizações antigas em contar os
rebanhos.
N   0, 1, 2, 3, 4, 5, 
A ausência do algarismo zero ( 0 ) dá
origem ao subconjunto dos números Naturais.
Comutativa: a ordem das parcelas não altera a
soma.
Ex.:
4  5  9
4554
5  4  9
c)
Elemento Neutro: o número zero.
Ex.: 5 + 0 = 5 ou 0 + 5 = 5
d)
N   1, 2, 3, 4, 5, 
Associativa: a adição de três números naturais
pode ser feita associando-se as duas primeiras ou
as duas últimas parcelas.
*
Obs.: à representação dos números chamamos de
numeral, por exemplo: 18 é o numeral
representado pelos algarismos 1 e 8.
Ex.:
O sucessor de um número Natural é o número
que vem imediatamente após.
Operação de Subtração
(2  3)  5  5  5  10
 (2  3)  5  2  (3  5)
2  (3  5)  2  8  10
a  minuendo

a - b  c b  subtraendo
c  resto ou diferença

Ex.: 4 é o sucessor de 3
O antecessor de um número Natural é o número
que vem imediatamente antes.
Ex.: Angelina, Dilma e Célia colecionam cartões
telefônicos e possuem juntas 13700. Se elas não
contassem os cartões de Angelina, a coleção
somaria 9700 e se não contassem os cartões de
Dilma, somaria 7200. Quantos cartões cada amiga
possui?
Ex.: 4 é o antecessor de 5
No geral, um sucessor de um número n é (n + 1)
e o antecessor do número n é (n – 1).
Operação de adição
A soma das quantidades de cartões das três
amigas é 13700 e se não contassem os cartões
de Angelina teria somente a soma dos cartões
de Dilma e Célia que é de 9700, logo:
a+b=c
a e b são as parcelas e c é a soma.
Ex.: Comprei um objeto em quatro prestações. O
valor da 1ª prestação é de R$ 29,00 e nas demais
prestações haverá, todo mês, um aumento de R$ 3,50
em relação ao mês anterior. Quanto pagarei pelo
objeto?
13700 – 9700 = 4000
Angelina possui 4000 cartões.
Se não contassem os cartões de Dilma, somaria
apenas os cartões de Angelina e Célia que é de
7200, logo:
Sabemos o valor da primeira prestação (R$ 29)
e também sabemos que em cada prestação há
um acréscimo de R$ 3,50. Com isso dá para
montar uma sequência que indica o valor de
cada parcela. Veja:
13700 – 7200 = 6500
Dilma possui 6500 cartões.
primeira parcela 29
segunda parcela 29,00 + 3,50 = 32,50
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Como Dilma e Célia possuem juntas 9700
1
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cartões, temos:
para escolher o recheio: 4 opções
9700 – 6500 = 3200
Logo, 2 x 4 = 8 opções de sanduíches
Célia possui 3200 cartões.
Operação de Divisão
D  dividendo
d  divisor

D | d ou D  d  q  r 
q  quociente
r q

r  resto
Operação de Multiplicação
 a, b  fatores
a  b  c
c  produto
Propriedades da Multiplicação
Chamamos a equação D  d  q  r de algoritmo de
a)
Euclides, em homenagem ao grande matemático
Euclides de Alexandria.
Fechamento: o produto de dois números naturais
é um número natural.
Ex.: 5
b)
.
3 = 15
Obs.: uma divisão é exata, quando o resto é igual a
zero.
Comutativa: a ordem dos fatores não altera o
produto
Ex.:
2  7  14
27 72
7  2  14
c)
Elemento Neutro: o número um.
120 | 12
0
O maior resto possível em uma divisão não exata é
(d – 1).
191 | 12
11
observe que o resto 11 é o maior resto
15
possível, ou seja, (12 – 1) onze.
Ex.: 8 . 1 = 8 ou 1 . 8 = 8
d)
10
Ex.: Numa divisão inteira, o divisor é 12, o
quociente é uma unidade maior que o divisor e o
resto, o maior possível. Qual é o valor do
dividendo?
Associativa: a multiplicação de três números
naturais pode ser feita associando-se os dois
primeiros ou os dois últimos fatores.
(3  4)  5  12  5  60
Ex.:
 (3  4)  5  3  (4  5)
3  (4  5)  3  20  60
O divisor é 12: d = 12
e)
O resto é o maior possível: r = 12 – 1 = 11
O quociente uma unidade maior que o divisor:
q = 13
Distributiva em Relação à Adição: na
multiplicação de uma soma por um número
natural, multiplica-se cada um dos termos por
esse número.
Utilizando o algoritmo de Euclides, temos:
D = d x q + r → D = 12 x 13 + 11 = 156 + 11
4  (5  3)  4  8  32

Ex.:
 4  (5  3)  4  5  4  3
4  5  4  3  20  12  32
D = 167
Ex.: A cantina de uma escola oferece sanduíches
com dois tipos de pães: pão francês e pão de
forma. As opções para o recheio são quatro:
presunto, queijo, salame e mortadela. Um aluno
quer comer um sanduíche formado por um tipo de
pão e um tipo de recheio. Quantas opções de
sanduíches ele tem para sua escolha?
Ex.: Um clube promoveu um show de música
popular brasileira ao qual compareceram 200
pessoas, entre sócios e não sócios. No total, o
valor arrecadado foi de 1400 reais e todas as
pessoas pagaram ingresso. Sabendo-se que o
preço do ingresso foi de 10 reais e que cada sócio
pagou a metade desse valor, o número de sócios
presentes ao show foi de quanto?
Observe que para montar esse sanduíche é
preciso escolher um dentre as duas opções de
pães e escolher uma dentre quatro opções de
recheio, veja:
Observe que se todas as 200 pessoas presentes
no show não fossem sócios, então o valor
arrecadado seria de:
para escolher o pão: 2 opções
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200 . 10 = 2000 reais
2
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Porém, o valor arrecadado foi de 1400, logo
uma baixa de:
das idades que a mãe e a filha têm hoje.
(Observação: as idades são consideradas em
anos.)
2000 – 1400 = 600
a) 61
b) 62
c) 63
d) 64
e) 65
Essa baixa foi provocada por quem? Respondo
eu: “pelos sócios é claro!”
Como sabemos o quanto cada sócio pagou (5
reais), podemos descobrir quantos sócios
provocaram essa baixa de 600 reais, veja:
01) 06) Uma empresa de exportação de gasolina
comunicou à ANP o desaparecimento de 7,2
milhões de litros de gasolina dos seus depósitos.
Se um caminhão tanque tem capacidade de 32
m3 e a cada m3 temos mil litros, quantos
caminhões seriam necessários para transportar a
gasolina desaparecida?
600 : 5 = 120 sócios
EXERCÍCIOS
a) 205
b) 210
c) 215
d) 220
e) 225
01) (Câmara Federal) A soma de quatro números
consecutivos é 206. Qual é o maior deles ?
a) 50
b) 53
c) 51
d) 52
e) 54
07) Numa pesquisa de mercado, foram
entrevistados
consumidores
sobre
suas
preferências em relação aos produtos A e B. Os
resultados da pesquisa indicaram que:
02)
(Câmara Federal) A leitura correta de
2.500.204 é:
310 pessoas compram o produto A;
220 pessoas compram o produto B;
110 pessoas compram os produtos A e B;
510 pessoas não compram nenhum dos dois
produtos.
a) dois milhões e quinhentos mil, duzentos e quatro
b) dois milhões e quinhentos mil e duzentos e
quatro
c) dois milhões, quinhentos mil, duzentos e
quatro
d) dois milhões, quinhentos mil e duzentos e quatro
Qual o número de consumidores entrevistados?
a)
b)
c)
d)
e)
03) (Atendente Judiciário – Esaf) Numa eleição em
que dois candidatos disputaram o mesmo cargo,
votaram 2.150 eleitores. O candidato vencedor
obteve 148 votos a mais que o candidato
derrotado. Sabendo-se que houve 242 votos nulos,
quantos votos obteve cada candidato ?
08) Se hoje é domingo, qual será o dia da semana,
passados 100 dias a partir de hoje?
a) 1.149 e 1.001
b) 1.100 e 952
c) 1.223 e 1.075
d) 1.028 e 880
e) 1.001 e 907
a) terça-feira
b) quarta-feira
c) quinta-feira
d) sexta-feira
e) segunda-feira
04) (Atendente Judiciário – Esaf) Uma torneira
despeja 180 litros de água em 9 minutos. Quantos
litros despejará em 2 horas e 15 minutos ?
09) Um reservatório é alimentado por duas
torneiras: a primeira dá 38 litros por minuto e a
segunda, 47. A saída da água é por um orifício que
deixa passar 21 litros por minuto.
Deixando
abertas as torneiras e o orifício, o reservatório se
enche em 680 minutos. Qual é a sua capacidade?
a) 2.345
b) 1.800
c) 1.890
d) 2.360
e) 2.700
a) 43520
b) 43500
c) 44000
d) 44500
e) 45000
05) A idade de uma mãe, atualmente, é 28 anos a
mais que a de sua filha. Em dez anos, a idade da
mãe será o dobro da idade da filha. Indique a soma
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820
890
930
950
1040
3
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10) A distância de João Pessoa a Catolé do Rocha
é de 451 km. Fazendo-se esse percurso num
automóvel que consome 1 litro de gasolina a cada
11 km, e sabendo-se que o litro desse combustível
custa R$ 3,00, gastar-se-á com combustível nessa
viagem:
100, 625, 1005
a) R$ 120,00
b) R$ 123,00
c) R$ 126,00
d) R$ 129,00
e) R$ 132,00
f) Sete, quando a diferença entre o dobro do
último algarismo e o número formado pelos
algarismos restantes for um número divisível por
sete;
e) Seis, quando for divisível por dois e por três
simultaneamente;
102, 324, 82314
238
(8 x 2 = 16 → 23 – 16 = 7: como 7 é divisível por 7,
238 também é divisível.)
MÚLTIPLOS E DIVISORES
693
(3 x 2 = 6 → 69 – 6 = 63; 63: 3 x 2 = 6; 6 – 6 = 0:
como 0 é divisível por 7, 693 também é divisível)
Dados os números naturais A e B, dizemos
que A é múltiplo de B, se e somente se, a divisão
de A por B for exata, ou seja, deixar resto zero.
Então dizemos que A é múltiplo de B. Em contra
partida B é divisor de A.
g) Oito, quando os três últimos algarismos formar
um número divisível por oito;
12240, é divisível por 8 pois 240 é divisível por 8
95880, é divisível por 8, pois 880 é divisível por
8
Ex.: 6 é múltiplo de 2 e 2 é divisor de 6.
Obs.: O número zero (0) é múltiplo de qualquer
número, mas não é divisor, pois não existe
divisão por zero.
h) Nove, quando a soma dos algarismos for um
número divisível por nove;
O QUE É NÚMERO PRIMO?
567 (5 + 6 + 7 = 18 é divisível por 9)
2124 (2 + 1 + 2 + 4 = 9 é divisível por 9)
Um número natural é primo quando só
possui dois divisores, 1 e ele mesmo. Caso ele
tenha mais de dois divisores, então esse número é
chamado de número composto.
i) Dez, quando terminar em zero;
10, 100, 120, 2490
O número 1 não é primo nem composto.
j) Onze, quando a diferença entre a soma dos
algarismos de ordem par e a soma dos
algarismos de ordem ímpar for um número
divisível por onze.
P  2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... aqui temos alguns
números primos.
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
7.973.207 S(ordem ímpar) = 7 + 2 + 7 + 7 = 23;
S(ordem par) = 0 + 3 + 9 = 12 diferença = 11
Um número será divisível por:
a) Dois, quando for par, ou seja, terminar em 0, 2,
4, 6, 8;
DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
60, 86, 92, 1298
Todo número natural maior que 1, pode ser
escrito como um produto de fatores primos.
Decompor em fatores primos, significa escrever o
número como um produto de fatores primos.
b) Três, quando a soma de seus algarismos for um
número divisível por 3;
Ex.: Decompor os números 16, 40, 240, 108.
123 (1+2+3=6), 702(7+0+2=9), 1836(1+8+3+6=18)
Temos que começar dividindo o número pelo
menor número primo caso esse seja divisível e
continuamos dividindo por ele até que não seja
mais divisível e assim passamos para o próximo
primo que seja divisor do quociente.
c) Quatro, quando seus dois últimos algarismos
formarem um número divisível por 4;
104 (04 é divisível por 4)
524 (24 é divisível por 4)
1384 (84 é divisível por 4)
d) Cinco, quando terminar em zero ou em cinco;
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Multiplicamos o 1º fator primo pelo 1 e anotamos o
resultado.
NÚMERO DE DIVISORES NATURAIS
Admitamos que um certo número é
representado na forma fatorada da seguinte
maneira:
x
y
z
w
N=a.b.c.d
Multiplicamos os próximos fatores pelos divisores já
obtidos e anotamos os resultados.
então:
n.d.n. = (x + 1).(y + 1).(z +1).(w + 1)
n.d.i = 2. (x + 1).(y + 1).(z +1).(w + 1)
Quantos divisores naturais possui o número
240?
Primeiro fatoramos 240. Temos que:
4
1
1
240 = 2 . 3 . 5
SOMA DOS DIVISORES DE UM NÚMERO
n.d.n = (4 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1) = 5 . 2 . 2 = 20
Seja N um número natural fatorado da seguinte
forma:
Então, o número 240 possui 20 divisores
positivos (naturais). E por sua vez, o dobro
disso ( 2 . 20 ) de divisores inteiros (positivos e
negativos).
A soma dos divisores de N é dado por:
20 divisores naturais
40 divisores inteiros
OBTENÇÃO DOS DIVISORES DE UM NÚMERO
Obtenha a soma dos divisores de 108:
se fôssemos somar todos dos divisores de 108
daria um trabalho enorme, veja:
Encontre os divisores de 108:
Fatoramos o número dado.
1+2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18 + 27 + 36 + 54 + 108 = 280
Trabalhão não é mesmo? Usando a fórmula
acima chegaremos mais rápido ao resultado:
2
primeiro fatoramos 108 = 2 . 3
3
aplicando a fórmula:
Anotamos o número 1, que é divisor universal.
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2 21  1 3 31  1 2 3  1 3 4  1 8  1 81  1
.

.

.
2 1
3 1
1
2
1
2
7 80
N .
 7 . 40  280
1 2
e) 60
Percebeu que é menos trabalho? OK!
a) 12
b) 16
c) 24
d) 32
e) 96
N
06) Se um número n , inteiro positivo, é produto de
quatro números primos distintos, o número de
divisores de n é:
EXERCÍCIOS
01) Indique a alternativa falsa. Um número natural
é divisível por:
07) Seja P(x) o conjunto de todos os números
primos positivos que são divisores de x. O número
de elementos de P(12600) é:
a) 2 se termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.
b) 3 se a soma dos seus dígitos é divisível por 3.
c) 5 se a soma dos seus dígitos é divisível por
5.
d) 6 se é divisível por 2 e por 3.
e) 9 se a soma dos seus dígitos é divisível por 9.
a) 3
b) 4
c) 6
d) 8
e) 9
08)
O produto das idades de três amigos
adolescentes (entre 12 e 19 anos) corresponde a
4080 anos. Qual a soma de suas idades em anos?
02) Considere o número 313131A, onde A
representa o algarismo das unidades. Se esse
número é divisível por 4, então o valor máximo
que A pode assumir é:
a) 48
b) 49
c) 50
d) 51
e) 52
a) 0
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
09) Se os números naturais a e b são tais que, a é
par e b é ímpar, podemos afirmar que:
03) Considere o número de 9 algarismos, dos
quais o algarismo das unidades é n e todos os
demais são iguais a 2, isto é, o número 22222222n.
O valor de n a fim de que esse número seja
divisível por 6, é:
a) (a + b) é par.
b) (2a + b) é par.
c) (a - 2b + 1) é ímpar.
d) (a + b - 1) é ímpar.
e) (a + 2b) é ímpar.
a) 2 ou 8
b) 2 ou 7
c) 0 ou 6
d) 3 ou 9
e) 4
10) Seja N o menor inteiro positivo cujo triplo é
divisível por 9, 11 e 14. Então, a soma dos
algarismos de N é:
a) 16
b) 15
c) 14
d) 13
e) 12
04)Qual das afirmativas abaixo não é verdadeira, a
respeito
do
número
natural
19 . 18 . 17 . 16 . 15 . 14 . 13 . 12
?
8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 .1
11) Quantos são os divisores naturais do número
3
3
1.003.003.001 = (10 + 1) ?
a) é par.
b) é múltiplo inteiro de 3.
c) é múltiplo inteiro de 7.
d) é múltiplo inteiro de 13.
e) é múltiplo inteiro de 19.
05) A soma de todos os divisores positivos de 28 é
igual a:
a) 64
b) 60
c) 56
d) 52
e) 48
a) 11
b) 12
c) 28
d) 56
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APLICANDO MMC A PROBLEMAS
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)
a) Fazer lição dá uma fome... Luciana comeu
muitos doces e tomou vários refrigerantes. Era
dia 1º de maio. Luciana decidiu que, a partir de
então, para não engordar, só comeria doces de
4 em 4 dias e só tomaria refrigerantes de 6 em 6
dias. Em que dias do mês de maio ela voltaria a
comer doces e tomar refrigerantes no mesmo
dia?
O MDC de vários números naturais é o
produto dos fatores primos comuns elevados
aos seus menores expoentes.
A exemplo, vamos calcular o MDC (108, 180):
APLICANDO MDC A PROBLEMAS
a)
Tenho 84 balas de coco, 144 balas de
chocolate e 60 balas de leite. Quero formar
pacotes de balas, sem misturar sabores.
Todos os pacotes devem ter a mesma
quantidade de balas e essa quantidade deve
ser a maior possível. Quantas balas devo
colocar em cada pacote? Quantos pacotes
devo formar?
b)
Um carpinteiro quer dividir, em partes iguais,
três
vigas,
cujos
comprimentos
são
respectivamente, 30 dm , 42 dm e 54 dm,
devendo a medida de cada um dos pedaços
ser a maior possível. Qual a medida de cada
uma das partes ? Qual a quantidade de partes
iremos formar?
b) Dois ciclistas largaram juntos numa pista,
percorrendo-a com velocidade constante.
Alberto completa cada volta em 18 minutos.
Barreto leva 22 minutos em cada volta. Depois
de quantas horas os dois cruzarão juntos pela
primeira vez o ponto de largada? E pela
segunda vez?
EXERCÍCIOS
01) Sejam M e D o mínimo múltiplo comum e o
máximo divisor comum dos números 270 e 36.
Comparando-se M e D, tem-se que:
a) M + D = 46
b) D = M/5
c) M = 30D
d) M - D = 360
e) M . D = 927
02) Sejam a  N* e b  N* , dois números naturais
consecutivos. Assinale a sentença FALSA.
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)
a) a e b são números primos entre si.
b) a + b é divisível por 3.
c) mmc (a, b) = a.b .
d) mdc (a, b) = 1.
e) a.b é um número par.
O MMC de vários números naturais é o
produto dos fatores primos comuns e não
comuns elevados aos seus maiores expoentes.
A exemplo, vamos calcular o MMC (108, 180):
03) O MDC entre os números 720, 540 e 420 é:
a) 40
b) 36
c) 60
d) 42
e) 24
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04) Quais os números compreendidos entre 100 e
2000 que são múltiplos de 36, 45 e 54,
simultaneamente ?
d) 10
e) 11
09) O número de divisores naturais do número 546
diminuído do máximo divisor comum dos
números 273 e 130 é:
a) 540, 1260 e 1840
b) 540, 1080 e 1620
c) 450 e 1280
d) 360, 1380 e 1640
e) 450, 1260 e 1860
a)
b)
c)
d)
e)
05) Uma enfermeira recebeu um lote de
medicamentos com 132 comprimidos de
analgésico e 156 comprimidos de antibiótico.
Deverá distribuí-los em recipientes iguais,
contendo, cada um, a maior quantidade
possível de um único tipo de medicamento.
Considerando que todos os recipientes
deverão receber a mesma quantidade de
medicamento, o número de recipientes
necessários para essa distribuição é
a)
b)
c)
d)
e)
10) Pelo processo das divisões sucessivas,
encontramos quocientes 2, 1, 1, 3 e 3
respectivamente, e o mdc desses dois números
10. Calcule os números. 590 e 230
11) Numa avenida com 10 km de extensão, a cada
250 m a partir do início, há uma parada de
ônibus e a cada 225 m também a partir do
início da avenida, há uma parada de bonde. Há
quantos metros do início da avenida coincidem
pela 3a vez as paradas de ônibus e de bonde ?
24
16
12
8
4
a) 6.750 m
b) 7.650 m
c) 7.200 m
d) 6.850 m
e) 8.250 m
06) No alto de uma torre de uma emissora de
televisão duas luzes “piscam” com freqüências
diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes por
minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por
minuto. Se um certo instante as luzes piscam
simultaneamente, após quantos segundos elas
voltarão a piscar simultaneamente?
a)
b)
c)
d)
e)
1
–1
4
0
3
12) A Editora do livro “Como ser aprovado no
Vestibular” recebeu os seguintes pedidos de
três livrarias:
30
20
15
12
10
Livraria
A
B
C
Número de Exemplares
1300
1950
3900
A Editora deseja remeter os três pedidos em n
pacotes iguais, de tal forma que n seja o menor
possível. Calcule o número n.
07) O produto de dois números inteiros positivos,
que não são primos entre si, é igual a 825.
Então o máximo divisor comum desses dois
números é:
a)
b)
c)
d)
e)
a) 1
b) 3
c) 5
d) 11
e) 15
10
11
12
13
14
08) Um proprietário quer plantar palmeiras na
frente e na lateral de um terreno de esquina
cujas medidas são 140m e 112m. A pessoa
deseja que a distância entre as palmeiras seja
a maior possível.
Então o número de
palmeiras necessárias para o plantio é:
a) 7
b) 8
c) 9
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8
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