Conjuntos Subconjuntos

Conjuntos
Um conjunto é uma colecção de objectos. Os objectos são o
elementos do conjunto.
∅ ou {} - Conjunto vazio
Dois conjuntos são iguais se, e somente se, têm os mesmos
elementos.
Definição por listagem (extensão)
A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, ..., 20}
Definição por um predicado (condição)
A cada conjunto A e a cada condição S(x) corresponde um
conjunto B cujos elementos são exactamente os elementos de A
para os quais S(x) acontece.
B = {x|x ∈ A e S(x)} ou B = {x ∈ A|S(x)}
Subconjuntos
O conjunto A é um subconjunto do conjunto B se todos os
elementos de A forem elementos de B.
A ⊆ B ⇔ ∀x(x ∈ A → x ∈ B)
Um conjunto é subconjunto dele próprio
B ⊆B
Todos os outros subconjuntos de B são subconjuntos próprios de
B.
A ⊂ B ⇔ A ⊆ B e A = B
O vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
∀A(∅ ⊆ A)
Operações entre conjuntos
Operação
Significado
Intersecção
∩
x ∈A∩B ⇔x ∈A∧x ∈B
Reunião
∪
x ∈A∪B ⇔x ∈A∨x ∈B
Complementação
.c
x ∈ Ac ⇔ ¬(x ∈ A)
Diferença
-
x ∈ A − B ⇔ x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B)
Dois conjuntos A e B dizem-se disjuntos se A ∩ B = ∅.
Propriedades
A ∪ Ac = E
A ∩ Ac = ∅
A∩E =A ; A∪∅=A
A∪E =E ; A∩∅=∅
A∪A=A ; A∩A=A
(Ac )c = A
A∪B =B ∪A
A∩B =B ∩A
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
(A ∩ B)c = Ac ∪ B c
(A ∪ B)c = Ac ∩ B c
Lei da complementação
Lei da exclusão
Leis da identidade
Leis da absorção
Leis da idempotência
Lei da dupla complementação
Leis da comutatividade
Leis da associatividade
Leis da distributividade
Leis de De Morgan
Famı́lias de conjuntos
(Ai )i∈I = {Ai |i ∈ I } = {A1 , A2 , ..., An }
com I = {1, 2, ..., n} (conjunto de ı́ndices)
i∈I
Ai - Reunião dos conjuntos Ai , i ∈ I
x∈
i∈I
i∈I
Ai se e só se x ∈ Ai para algum i ∈ I
Ai - Intersecção dos conjuntos Ai , i ∈ I
x∈
i∈I
Ai se e só se x ∈ Ai para todo o i ∈ I
Cardinal de um conjunto finito
O cardinal de um conjunto finito A ( #A; card(A); |A|) é igual ao
número de elementos do conjunto A.
Sejam A e B conjuntos finitos:
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ b|
Sejam A1 , A2 , ..., An conjuntos finitos disjuntos dois a dois:
|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An | = |A1 | + |A2 | + ... + |An |
Conjunto potência
Seja A um conjunto.
O conjunto potência de A (conjunto das partes de A) - ℘(A)
ou 2A - é o conjunto de todos os subconjuntos de A.
Teoremas:
• A ⊆ B se e só se ℘(A) ⊆ ℘(B)
• ℘(A) ∩ ℘(B) = ℘(A ∩ B)
• ℘(A) ∪ ℘(B) = ℘(A ∪ B)
Se A é um conjunto finito então:
|℘(A)| = 2|A|
Produto cartesiano de conjuntos
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto A × B
cujos elementos são os pares ordenados (a, b) com a ∈ A e b ∈ B.
A × B = {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B}
Produto cartesiano de n conjuntos:
A1 × A1 × A2 × ... × An = {(a1 , a2 , ..., an )|ai ∈ Ai ∀i = 1, ..., n}
Por definição:
An = A × A × A × ... × A
Se A1 , A1 , A2 , ..., An são conjuntos finitos então
|A1 × A1 × A2 × ... × An | = |A1 | × |A1 | × |A2 | × ... × |An |