Lista nº1 Exercícios extras Prof. Ewerton Aula 0 Potenciação 01) 02) n 3 3 3n 1 (PUC-SP) Simplificando a expressão 3 , obtém-se 3 3n 2 a) 3n1 1 9 +2 n b) 3 c) 3n 26 d) 27 16 e) 9 (Insper) Um analista de recursos humanos desenvolveu o seguinte modelo matemático para relacionar os anos de formação (t) com a remuneração mensal (R) de uma pessoa ao ingressar no mercado de trabalho: R = k(1,1)t em que k é um fator de carreira, determinado de acordo com a área que a pessoa estudou. A tabela a seguir apresenta os anos de formação e os correspondentes fatores de carreira de três pessoas (A, B e C). Pessoa Anos de Formação (t) Fator de Carreira (k) A 18 500 B 16 600 C 19 500 Se as remunerações mensais das pessoas A, B e C são, respectivamente, RA, RB e RC, então, de acordo com esse modelo. a) RB < RA < RC b) RA < RB < RC c) RA = RB < RC d) RC < RB < R A e) RB < RC = R A 03) (Insper) Sendo x e y dois números reais não nulos, a expressão (x2 + y2)1 é equivalente a x2 y 2 a) x2 y 2 b) xy x y c) x2 y 2 2 2 Lista nº1 Exercícios extras Prof. Ewerton (x + y)2 x2 + y2 d) e) 04) (Insper) De acordo com estimativa do Fundo Monetário Internacional, o Produto Interno Bruto (PIB) da China em 2012 foi de 8 trilhões e 227 bilhões de dólares. Considerando que a população desse país era de aproximadamente 1 bilhão e 357 milhões de habitantes, pode-se concluir que o PIB por habitante da China em 2012 foi da ordem de a) 6 dólares b) 60 dólares c) 600 dólares d) 6 mil dólares e) 60 mil dólares 05) (UFPB) A metade do número 221 + 412 é: 20 a) 2 + 2 222 + 413 23 06) b) 21 2 2 46 c) 212 + 421 d) 220 + 46 e) (PUC-SP) Se N é o número que resulta do cálculo de 219515, então o total de algarismos que compõem N é: a) 17 b) 19 c) 25 d) 27 e) maior que 27 Utilize as informações a seguir para as duas próximas questões. Um modelo probabilístico foi criado para ajudar a polícia rodoviária a identificar motoristas potencialmente problemáticos. O modelo aponta, de acordo com as características do veículo, comportamento do motorista e velocidades registradas nos radares, as probabilidades de o indivíduo: Perfil A: causar um acidente grave; Perfil B: cometer uma infração de trânsito; Perfil C: dirigir de forma segura e responsável. Para cada pessoa, o modelo calcula três valores a, b e c, dos quais resultam as probabilidades dos três perfis, dadas, respectivamente, por: 2a pA • 2a 2b 2c 2b pB • 2a 2b 2c 2c pC • 2a 2b 2c A maior dessas três probabilidades indica o perfil do motorista correspondente. Lista nº1 Exercícios extras Prof. Ewerton 07) (Insper) Durante o processamento, o computador que executa o modelo somente consegue efetuar operações com números inteiros menores ou iguais a 999.999.999. Das possibilidades de combinações de valores a seguir, a única que permitirá ao computador efetuar as operações é: a) a = 30, b = 10 e c = 22 b) a = 2, b = 31 e c = 15 c) a = 18, b = 7 e c = 32 d) a = 35, b = 3 e c = 5 e) a = 27, b = 10 e c = 22 08) (Insper) Para simplificar os cálculos, um analista percebeu que, para a grande maioria dos motoristas, ele podia fixar c = 1 e fazer a = b. Para esses casos, ele pode programar a sistema para calcular pA pela fórmula: 1 a) 2 21 a 2a b) 2 21 a 1 c) a 2 2 a 2a d) 2a 21 a 2 a e) 2 21 a 09) (Insper) Recentemente, os jornais anunciaram que, durante o mês de outubro de 2011, a população mundial deveria atingir a marca de 7 bilhões de habitantes, o que nos faz refletir sobre a capacidade do planeta de satisfazer nossas necessidades básicas, como o acesso à água e aos alimentos. Estima-se que uma pessoa consuma, em média, 150 litros de água por dia. Assim, considerando a marca populacional citada acima, o volume de água, em litros, necessário para abastecer toda a população humana durante um ano está entre a) 1013 e 1014. b) 1014 e 1015. c) 1015 e 1016. d) 1016 e 1017. e) 1017 e 1018. Radiciação 10) (Ufac) Se 3x = 2 para algum x real, o valor de 3 x 2 é: Lista nº1 Exercícios extras a) 11) 12) 13) 2 b) 3 Prof. Ewerton c) 2 d) 2 2 e) 3 2 (Ceeteps-SP) Se x e y são números reais tais que x = (0,25)0,25 e y = 160,125, é verdade que: a) x=y b) x>y c) xy = 2 2 d) x y é um número irracional. e) x + y é um número racional não inteiro. 231 233 (UFPE) Simplificando 3 obtemos: 10 a) 27 b) 28 c) 29 d) 210 e) 211 (Insper) Considere dois números positivos x e y, com x > y, tais que x y x y 8 . 2 2 x y 15 Nessas condições, 2x é igual a a) 31. b) 32. c) 33. d) 34. e) 35. 1 14) 1 3 (ESPM) A metade de 21,2 e o triplo de valem, respectivamente: 3 1 a) 20,6 e b) 5 2 e 1 c) 1 e 3 9 d) 5 2 e 3 9 3 e) 58 e 33 15) (FGV) Um retângulo em que a razão entre as medidas do maior e do menor lado é 1 5 é chamado retângulo de ouro. 2 Do retângulo de ouro da figura, retiramos um quadrado de lado 2a . Lista nº1 Exercícios extras Prof. Ewerton Demonstre que o retângulo resultante é um retângulo de ouro. 16) 1 , com 5 casas decimais, é 2,41421. 2 1 Considere os seguintes métodos para se fazer essa conta sem o auxílio da calculadora: (Insper) O valor exato da expressão • • Método A: usa-se um valor aproximado para 2 e faz-se a divisão; Método B: racionaliza-se o denominador e usa-se um valor aproximado para 2. Ao se fazer uma aproximação, comete-se um erro, que é definido como a diferença, em módulo, entre o valor aproximado e o valor exato. Usando a melhor aproximação para 2 com uma única casa decimal, a razão entre os erros (em relação ao valor exato) obtidos nos métodos A e B, respectivamente, é de cerca de a) 10 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2 Aulas 1 e 2 Produtos notáveis – Produto da soma pela diferença a b a b a 2 b , com a e b 17) (Cefet - CE) Simplifique a expressão positivos e a > b. 18) Sabendo que a 8 16 e b 24 15 qual o valor da expressão A = (a + b3)(a4 + b12)(a b3)(a2 + b6)? Produtos notáveis – Quadrado da soma (diferença) de dois termos 19) 20) (PUC-RJ) A expressão a) 3 b) 42 3 c) d) 32 3 3+3 3 e) 4 2 3 1 3 é igual a: 3 3 (Faculdade de Alagoas) Se x + y = 4 e xy = 10, qual é o valor de x2 + 5xy + y2? a) 40 b) 42 c) 44 d) 46 e) 48 Lista nº1 Exercícios extras 21) Prof. Ewerton (UFGO) Certas combinações entre as funções ex e ex (onde “e” é o número de Euler, x ) surgem em diversas áreas, como Matemática, Engenharia e Física. O seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico são definidos por senh(x) = e x e x cosh(x) = . Então cosh2(x) senh2(x) é igual a: 2 1 1 a) 0 b) c) d) 1 4 4 22) (UFPI) Desenvolvendo a expressão e x e x e 2 e) 1 2 27 3 1 , encontraremos um número no formato a b 3 , com a e b números inteiros. O valor de a + b é: a) 59 b) 47 c) 41 d) 57 e) 17 Produtos notáveis – Cubo da soma (diferença) de dois termos 23) (UFAlfenas) Se (x y)3 = 64 2y(3x2 + y2), então a média aritmética dos números x e y vale: a) 5 b) 3 c) 6 d) 2 e) 9 24) (UFSJ-MG) O par ordenado (x, y) é solução do seguinte sistema de equações: 3 2 2 3 x 3 x y 3 xy y 2 2 3 2 2 3 x 3 x y 3 xy 2 y 0 Assim é correto afirmar que x2 + y2 é igual a: 8 10 a) b) 2 c) 1 d) 9 9 25) (FGV) Imagine dois números naturais. Seja D a diferença entre o cubo de sua soma e a soma de seus cubos. Mostre que D é divisível por 6. 26) (ITA adaptado) Mostre que o número real 3 2 5 3 2 5 é raiz da equação x3 + 3x 4 = 0. Aula 3 e 4 Fatoração – Fator comum 27) (Utesc) Simplificando a fração a) 2.004 2 7 b) 113 355 2.004 2.004 , obtemos: 2.004 2.004 2.004 1 2 c) d) 2.004 3 e) Lista nº1 Exercícios extras 28) (Unifoa-RJ) Ao simplificarmos a expressão encontrado: 7 a) 4 29) Prof. Ewerton b) 1 5 c) 4 7 2n 1 2n 2 2n d) 1 3 (UFMG) Sejam a, b e c números reais positivos tais que correto afirmar que: a) a2 = b2 + c2 b+c b) b = a + c , qual será o resultado e) 7 ab b2 bc . Então é bc a c) b2 = a2 + c2 d) a = Fatoração – Agrupamento 30) (Mackenzie) Assinale, dentre as alternativas abaixo, um possível par (x, y) que satisfaz a igualdade x3 2x2y + xy2 2y3 = 0. a) (150, 75) b) (75, 150) c) (75, 150) d) (150, 75) e) (150, 75) 31) (Insper) O gráfico a seguir representa a função f(x) = x3 + 9x2 + 23x + 15. Se a, b e c são as raízes de f, então 2a + 2b + 2c é igual a: 21 32 43 54 a) b) c) d) 32 43 54 65 32) e) 65 76 (PUC-MG) A expressão a3 2a2 a + 2 pode ser escrita na forma de um produto de três fatores. A soma desses fatores é igual a: a) a2 + 2a 4 b) a2 + 2a c) 3a 2 d) 3a Fatoração – Diferença de dois quadrados Lista nº1 Exercícios extras 33) (Unifor-MG) Se A Prof. Ewerton 1 1 e B = x1 + y1, o valor de A2 B2, é: x y b) (x + y)(x y) a) 0 c) x2 y 2 2 2 d) 4x2y2 x y e) 4 xy 34) (FGV) Seja o seguinte número m = 5.7452 5.7402. A soma dos algarismos de m é: a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 26 35) (Insper) No início de cada mês, um posto recebe uma entrega de combustível para suprir sua necessidade mensal. O nível de combustível estocado (N) varia de acordo com o tempo (t), medido em dias decorridos desde a entrega. Considere que, para o último mês de abril, foram entregues 5.000 litros de combustível. No mês seguinte foi entregue uma quantidade maior de combustível, que foi consumido de acordo com a função N(t) = 5t2 + 6.125. Dividindo o mês em 5 períodos de 6 dias, o maior consumo foi no período que compreende os dias a) de 1 a 6 b) de 7 a 12 c) de 13 a 18 d) de 19 a 23 e) de 24 a 30 36) x 2 xy 1 1 (UFV) Simplificando-se a expressão , onde x e y são números x2 y 2 y x positivos e distintos, obtém-se: 1 a) b) 2y x c) xy d) 1 y e) 2x Fatoração – Trinômio quadrado perfeito 37) (Fumec) Diz-se que x é o produto dos polinômios (a2 4a + 4) e (a2 4) e que y é o produto dos polinômios (a2 + 4a + 4) e (4a2 16). A forma simplificada de escrever o quociente entre x e y é: a2 a) 2(a 2) b) a2 4 4(a 2 4) c) (a 2)2 4(a 2)2 (a 2)2 2(a 2)2 38) (Unatec-MG) O valor da expressão a) 73.909 b) 73.907 ( x 6)( x 2) 16 para x = 73.907 é: c) 73.905 d) 73.903 d) Lista nº1 Exercícios extras 39) Prof. Ewerton (ITA) Sobre o número x 7 4 3 3 é correto afirmar que: a) b) c) d) e) x ]0, 2[. x é racional. 2x é irracional. 2 x é irracional. x ]2, 3[. Fatoração – Soma (diferença) de dois cubos 40) (Ufam) Se x a) 27 41) (Cefet-MG) Simplificando-se a expressão a) b) 42) 1 1 1 3 então o valor de x 2 x3 é: 3 x x x2 b) 47 c) 36 d) 11 a b 3a 3b e) 63 , com a ≠ b, obtém-se: 3a 3b 3a 3b c) 3 2 d) 3 2 e) 3 2 3 a b2 3 a 3 ab b2 3 a 23 ab b2 (FGV) Se a soma e o produto de dois números são iguais a 1, a soma dos cubos desses números é igual a 3 3 i a) 2. b) 0. c) 2. d) 2 e) 4 3 3 i 4