Gabarito-P2 - IME-USP

MAT0134 - Introdução à Álgebra Linear
2¯a Prova - 08/10/2012
GABARITO
Questão 1. (2,0)
"
(a) Seja A =
#
0 1
. Mostre que A2 = −I.
−1 0
(b) Prove que não existe matriz A de tamanho 3 × 3 tal que A2 = −I.
Solução:
(a) Basta fazer a conta.
(b) Se existisse uma matriz A de tamanho 3 × 3 tal que A2 = −I, então,
calculando o determinante dos dois lados, terı́amos:
det(A2 ) = det(−I)
Mas
det(A2 ) = det(A · A) = det(A) · det(A) = [det(A)]2
e
det(−I) = det[(−1)I] = (−1)3 · det(I) = −1
Assim, deverı́amos ter
[det(A)]2 = −1,
o que é impossı́vel.
Portanto, não existe A de tamanho 3 × 3 tal que A2 = −I.
Questão 2.


a b b


(a) (1,0) Para que valores de a e b a matriz M =  a a b  é inversı́vel?
a a a
Justifique sua resposta.


a b c


(b) (1,5) Sabe-se que o determinante da matriz A =  p q r  é igual a 6.
x y z
Determine o valor do determinante da matriz B fazendo a expansão por
cofatores pela segunda linha e comparando com det(A), sendo


−a
−b
−c


B = a−x b−y c−z 
3p
3q
3r
Solução:
(a) Sabemos que M é inversı́vel se e somente se det(M ) 6= 0. Vamos calcular
o deteminante de M fazendo a expansão pela terceira linha:
det(M ) = aC31 + aC32 + aC33 = a(b2 − ab) − a(ab − ab) + a(a2 − ab)
= a(b2 − ab + a2 − ab) = a(a2 − 2ab + b2 ) = a(a − b)2 .
Logo,
det(M ) = 0 ⇐⇒ a = 0 ou a = b.
Portanto, M é inversı́vel se e somente se a 6= 0 e a 6= b.
(b) Usando propriedades do determinante, vemos que


a
b
c


det(B) = −3 · det  a − x b − y c − z  =
p
q
r
(
"
= −3 (a − x)(−1) det
(
"
= 3 a det
b c
q r
(
+ (−3) x det

b c
q r
#
"
+ −b det
"
b c
q r
#
"
+ (b − y) det
a c
p r
#
"
− y det


#
"
+ c det
a c
p r

a c
p r
#
a b
p q
#)
#
"
+ z det
"
+ (c − z)(−1) det
+
a b
p q
a b c
a b c



= 3 det  a b c  +3 det  x y z 
 = 3 · (−6) = −18
p q r
p q r
|
{z
=0
}
|
{z
=− det(A)
}
#)
a b
p q
#)
=
Questão 3. (2,5) Considere o corpo Z5 com as operações usuais de adição
e multiplicação.
(a) Determine o inverso de 2 em Z5 .
"
(b) Determine a inversa da matriz A =
4 3
4 2
#
em Z5 .
(c) Para se enviar uma mensagem criptografada, as letras A, E, O, L, M contidas na mensagem foram associadas aos números 0, 1, 2, 3 e 4 respectivamente. Esses números foram agrupados de 2 em 2 formando duas
matrizes de tamanho 1 × 2 em Z5 . Essas matrizes foram multiplicadas à
direita pela matriz A do item (b) e a mensagem que chegou foi
M E O M. Qual era a mensagem original?
Solução:
(a) Como 2 · 3 = 1 em Z5 , temos que 2−1 = 3.
(b) det(A) = 4 · 2 − 4 · 3 = 3 − 2 = 1; portanto,
"
−1
A
−1
= (det(A))
2 −3
−4 4
#
"
=1·
2 2
1 4
#
(c) Sejam [a b] e [c d] as matrizes procuradas.
Sabemos que [a b] · A = [4 1] e [c d] · A = [2 4], já que as letras M, E, O,
M correspondem, respectivamente, aos números 4, 1, 2, 4.
Vamos multiplicar cada uma dessas equações à direita por A−1 :
"
[a b] · A · A−1 = [4 1] · A−1 ⇔ [a b] = [4 1] ·
2 2
1 4
#
2 2
1 4
#
= [4 2]
e
"
−1
[c d] · A · A
= [2 4] · A
−1
⇔ [c d] = [2 4] ·
= [3 0]
Como os números 4, 2, 3, 0 estão associados às letras M, O, L, A, nessa ordem,
a mensagem original era M O L A.
Questão 4. (1,5) Seja A uma matriz de tamanho n × n cujo deteminante
é igual a d. Qual o valor do determinante da matriz adjunta de A? Por quê?
Solução: Vamos considerar primeiramente o caso em que d 6= 0.
Sabemos que o produto da matriz A por sua adjunta é a matriz diagonal
dI, isto é,
A · adj(A) = dI
Logo, calculando-se o determinante dos dois lados, e lembrando que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes
dessas matrizes, temos:
det(A) · det(adj(A)) = det(dI)
(1)
Como vale a propriedade det(kM ) = k n det(M ) para qualquer k constante e
qualquer matriz quadrada M de tamanho n × n, a igualdade (1) fica:
d · det(adj(A)) = dn det(I) = dn .
(2)
Como d 6= 0, temos que
det(adj(A)) = dn−1
Suponhamos agora que d = 0. Vamos provar que det(adj(A)) = 0.
• Se A = 0, então a matriz adj(A) também é nula. Logo, seu determinante
é igual a 0.
• Se A 6= 0, então A · adj(A) = dI = 0 (matriz nula). Afirmo que, nesse
caso, a matriz adj(A) não é inversı́vel. De fato, se existisse a inversa de
adj(A), poderı́amos multiplicar a expressão acima pela inversa (adj(A))−1
e obter
A · adj(A) · (adj(A))−1 = 0
Logo, A = 0, o que é uma contradição. Portanto, não existe a inversa de
adj(A), ou, equivalentemente, det(adj(A)) =0.
Questão 5. (1,5) Em cada caso, ou mostre que a afirmação é verdadeira
ou dê um exemplo para mostrar que ela é falsa.
(a) Se A e B são matrizes quadradas tais que AB = 0 e A 6= 0 então B = 0.
(b) Se B é uma matriz quadrada que satisfaz B 3 − 3B 2 − 3B − I = 0 então
B é inversı́vel.
"
(c) Se A =
1 3 2
1 2 2
#


0
3

e B =  1 −1 
 então, como AB = I2 , B é a
−1 0
inversa de A.
Solução:
(a) FALSO.
"
Por exemplo, as matrizes A =
"
nulas e AB =
0 0
0 0
0 1
0 0
#
"
e B =
1 0
0 0
#
são ambas não
#
(b) VERDADEIRO.
Sabendo que B 3 − 3B 2 − 3B = I, podemos escrever:



B(B 2 − 3B − 3I) = I;


(B 2 − 3B − 3I)B = I
Ou seja, a matriz C dada por C = (B 2 − 3B − 3I) satisfaz BC = I e
CB = I.
Assim, podemos concluir que B é inversı́vel e que B −1 = (B 2 − 3B − 3I).
(c) FALSO. Para que B seja a inversa de A é necessário que AB = I e BA = I.
No caso apresentado, sabemos apenas que AB = I. Calculando BA, obtemos:




"
#
0
3
3
6
6
1 3 2



1
0 
BA =  1 −1  ·
= 0
 6= I3
1 2 2
−1 0
−1 −3 −2
Portanto, B não é inversa de A.