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Euclides de Alexandria (sec. III a.c.)
Os “Elementos” são divididos em 13 livros, dos quais os seis primeiros são sobre
geometria plana, os três seguintes sobre teoria dos números, o livro X sobre
incomensuráveis e os três últimos versam sobre geometria espacial.
A idéia de sistema axiomático
Realizado de forma paradigmática para a geometria, a idéia de Euclides foi a de
organizar sistematicamente as proposições geométricas já conhecidas em seu tempo.
Grosso modo, a tentativa era de achar um pequeno número de proposições fundamentais
a partir das quais todas as proposições restantes poderiam ser derivadas.
Um Extrato dos “Elementos”.
Definições
1. Um ponto é aquilo que não tem partes.
2. Uma linha é uma extensão (comprimento) sem largura.
3. As extremidades de uma linha são pontos.
4. Uma linha reta é uma linha que jaz igualmente com os pontos sobre ela.
5. Uma superfície é o que tem comprimento e largura apenas.
6. As extremidades de uma superfície são linhas
............................................................................................
10. quando uma linha reta corta uma outra linha reta formando ângulos adjacentes
iguais, cada ângulo é dito reto. (......)
11. um ângulo obtuso é um ângulo maior que um ângulo reto.
......................................................................................
23. retas paralelas ao retas que, estando no mesmo plano e sendo prolongadas
indefinidamente em ambas as direções, não se encontram em ambas as direções
(problema das assíntotas)
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Noções comuns (axiomas)
1. Coisas que são iguais a uma mesma coisa são também iguais entre si.
2. Se iguais são somados a iguais, os totais são iguais.
3. Se iguais são subtraídos de iguais, os restos são iguais.
4. Coisas que coincidem uma com a outra são iguais uma a outra.
5. O todo é maior que a parte.
Postulados
1. É possível traçar uma reta de qualquer ponto a qualquer ponto
2. Uma linha reta pode ser estendida indefinidamente em uma linha reta.
3. É possível descrever um circulo com qualquer centro e qualquer raio.
4. Todos os ângulos retos são iguais entre si.
5. Se duas retas, em um mesmo plano, são cortadas por uma outra reta, e se a soma
dos ângulos internos de um lado é menor do que dois retos, então as retas se
encontrarão, se suficientemente prolongadas do lado em que a soma dos ângulos
retos é menor do que dois ângulos retos. [postulado das paralelas].
5’. Versão de Playfair: Sejam dados, em um plano, uma reta L e um ponto P que não
está em L. Então é possível traçar uma e somente uma paralela a L passando por P.
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Proposições equivalentes ao postulado das paralelas
5 ’’ A soma dos ângulos internos de um triangulo é 180 graus.
5 ’’’ dados 3 pontos quaisquer não alinhados, há exatamente um circulo que passa
por eles.
Proposiçao 1: para cada segmento de reta, existe um triangulo eqüilátero tendo este
segmento como um dos lados.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Círculo A e círculo B - postulado 3
Traçar os segmentos AC e BC (postulado 1)
AC é igual a AB (def. de círculo)
BC é igual a AB (def. de círculo)
AC = BC (3, 4, Axioma 1)
Logo, AB = AC = BC (com a definição de triângulo eqüilátero) CQD.
Problemas Filosóficos

Dúvidas sobre o postulado das paralelas: P5.

Tentativas infrutíferas de deduzir P5 dos demais axiomas.

Prova, no séc. 19, da impossibilidade de deduzir P5 a partir dos outros axiomas.

Resultado: P5 é independente dos demais axiomas./ arbitrariedade da base
axiomática
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Conseqüências:
a) para a matemática: definição funcional de reta (geodésias); revisão da noção de
“axioma”; definições implícitas (Hilbert).
b) para a lógica: necessidade de provas formais de consistência dos diversos sistemas
formais; surgimento da metamatemática (Hilbert); autonomia dos sistemas axiomáticos.
c) para a epistemologia: problema da relação entre a matemática e o mundo físico.
O século 19
a) provas de não-solução: régua e compasso, prova da independência do postulado
das paralelas.
b) explosão de sistemas formais/ aumento do rigor
c) Principia Mathematica
A Geometria Euclidiana e o Ideal de Sistematização do Conhecimento Humano
Exemplos:
A teoria do equilíbrio de Arquimedes,
a ética de Espinosa,
os Principia de Newton,
a constituição americana,
os Principia de Russell.
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Bibliografia
GLYMOUR, C. (1992).Thinking Things Through: an introduction to philosophical
issues and achievements. Cambridge, the Mit press.
BONOLA, R. (1912). Non-Euclidean Geometry. New York, Dover Publications.
REÑON, L.V. (1990). La Trama de la Demonstración. Madrid, Alianza Editorial.
BOYER, C. (1991). História da matemática. São Paulo, editora Edgard Blücher.
KNEALE, W. & KNEALE, M. : O Desenvolvimento da Lógica. Lisboa, Calouste
Gulbenkian, 2a edição, 1980.
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