Cálculo a uma Variável CAP 8 - Aplicações da Derivada (Método de

Cálculo a uma Variável
Sinésio Pesco
CAP 8 - Aplicações da Derivada (Método de Newton)
De uma maneira geral, o Método de Newton é usado para resolver numericamente uma equação f(x) = 0, onde f é uma função
derivável. Em geral, resolver numericamente uma equação f(x) = 0 consiste em obter aproximações arbitrariamente boas de um
número real que é uma solução da equação. Ou seja, consiste na construção de uma seqüência de números que converge para um
número real a que satisfaz f(a) = 0. Um método numérico que já estudamos anteriormente para resolver o mesmo problema é o
método da Bisseção.
Descrição do Método
Iniciamos com um número real x0 denominado condição inicial para o metodo de Newton, que consideramos uma
aproximação da solução a.Se f '(x0) diferente de 0, então a reta tangente ao gráfico de f em x0 é uma reta não-horizontal e,
portanto, intercepta o eixo horizontal num único ponto, denotado por x1.
Exemplo:
> restart;
f:= x-> x^3+x-1;
x0:= -1.;
t0 := x -> f(x0) + D(f)(x0)*(x-x0);
plot({f,t0}, -3..3,y=-10..10);
Tomamos então, como nova aproximação para a, o número x1 dado por:
0 = f( x0 ) + D( f )( x0 ) ( x − x0 )
−f( x0 ) + D( f )( x0 ) x0
x1 =
D( f )( x0 )
> x1 := (-f(x0)+D(f)(x0)*x0)/D(f)(x0);
Se x1 pertence ao domínio da função e f '(x1) diferente de 0, então podemos repetir o processo e obter uma nova aproximação
x2. Isto é, x2 é dado pela interseção da reta tangente ao gráfico de f em x1 com o eixo-x .
> t1 := x -> f(x1) + D(f)(x1)*(x-x1);
plot({f,t1}, -3..3,y=-10..10);
Assim, repetindo sucessivamente esse procedimento (se possível), estaremos construindo uma seqüência xn de números
reais.
> x2 := (-f(x1)+D(f)(x1)*x1)/D(f)(x1);
t2 := x -> f(x2) + D(f)(x2)*(x-x2);
plot({f,t2}, -3..3,y=-10..10);
> x3 := (-f(x2)+D(f)(x2)*x2)/D(f)(x2);
t3 := x -> f(x3) + D(f)(x3)*(x-x3);
plot({f,t3}, -3..3,y=-10..10);
> x4 := (-f(x3)+D(f)(x3)*x3)/D(f)(x3);
t4 := x -> f(x4) + D(f)(x4)*(x-x4);
plot({f,t4}, -3..3,y=-10..10);
> x5 := (-f(x4)+D(f)(x4)*x4)/D(f)(x4);
t5 := x -> f(x5) + D(f)(x5)*(x-x5);
plot({f,t5}, -3..3,y=-10..10);
Fórmula do Método de Newton
Nosso objetivo agora é, a partir dessa descrição geométrica do Método de Newton, obter uma fórmula que, conhecido o
número xn, forneça o número xn + 1. Vejamos como podemos calcular x1 a partir da condição inicial x0: primeiro achamos a
equação da reta tangente ao gráfico de f em x0. Sabemos que seu coeficiente angular é f '(x0), logo a equação é y = f`'(x0)(
x − x0) + f( x0 ). Agora, como x1 é definido geometricamente pela interseção dessa reta com o eixo-x, temos que,
algebricamente, x1 é a solução da equação 0 = f`'(x0)(x1 − x0) + f(x0)
Isolando x1:
x1 = x0 −
f( x 0 )
D( f )( x0 )
e, em geral,
xn + 1 = xn −
f( x n )
D( f )( xn )
Finalmente, quanto ao critério que, na prática, usamos para decidir que já atingimos a precisão desejada, observamos que
se teoricamente já atingimos uma precisão que é maior que a precisão com que efetuamos os cálculos (número de casas
decimais consideradas), passaremos a obter valores que se repetem, como se a seqüência fosse constante a partir de algum
termo.
Por exemplo, se o valor exato do número obtido na décima etapa é 2,344598716612... e o valor exato do número seguinte
é 2,344598716624... (isto é, diferença entre esses dois números só pode ser detectada na 12^{a} casa decimal) e só estamos
efetuando cálculos com dez casas decimais, teremos como resposta
x10 = 2,3445987166
x11= 2,3445987166
e em geral, xn=2,3445987166 para n = 12. Daí é razoável assumir que 2,3445987166 é uma aproximação para a solução que
buscamos com um erro que não excede 10
( −10 )
, mas só com essa informação não podemos garantir que isso é o que de fato
ocorre. No entanto podemos ter essa certeza se levarmos em conta outras informações, por exemplo, um esboço fiel do
gráfico da função.
Exercícios Resolvidos
( −9 )
Exercício 1: Utilize o método de Newton para obter uma aproximação para 2 com erro menor do que 10 . Quantos
passos foram necessários ? Quantos passos seriam necessários pelo método da bisseção partindo do intervalo [1,2] para
obter uma aproximação com erro menor do que 10
( −9 )
?
Solução: Aplicamos o metodo de Newton para a função f(x) = x2 − 2.
> f := x -> x^2-2:
x[0] := 2.:
for i from 0 to 5 do
x[i+1] := x[i] - f(x[i])/D(f)(x[i]);
end do;
Exercício 2: Verifique o comportamento da função f( x ) = x5 − 5 x3 + 16 x quando aplicamos o método de Newton com
a condição inicial x0 = 1.
Faça o gráfico das retas tangentes obtidas pelo método de Newton:
> plot({x^5-5*x^3+16*x,6*x+6,6*x-6},x=-2..2);
> restart;
f := x -> x^5-5*x^3+16*x:
x[0] := 1:
for i from 0 to 5 do
x[i+1] := x[i] - f(x[i])/D(f)(x[i]);
end do;
>
Exercícios Propostos
Exercício 1: Utilizando leitura gráfica e o Método de Newton, determine aproximações para todas as soluções da
x
5
equação e = x . Para a condição inicial x = −2 o método de Newton converge para alguma solução ? Por que ?
0
Exercício 2: Utilizando leitura gráfica e o Método de Newton, determine aproximações para todas as soluções da
3
2
x
equação ( x − 16 x − 77 x − 50 ) e = 0. Para a condição inicial x = −10 o método de Newton converge para alguma
0
das soluções ? Por que ?
Exercício 3: Utilizando leitura gráfica e o Método de Newton, determine aproximações para todas as soluções da
2
equação sin(x + 5) = 2x. Para a condição inicial x = −2 o método de Newton converge para alguma das soluções ?
0