Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF

Aula 00
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF (com videoaulas)
Professor: Felipe Lessa
00000000000 - DEMO
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
AULA 0:
1. Numeração; 2. Números naturais: múltiplos,
divisores, divisibilidade e restos; 3. M.D.C. e
M.M.C.
SUMÁRIO
Cronograma ..................................................................................... 3
I. Numeração ................................................................................... 6
I. 1 Representação numérica em uma base b .................................. 10
I. 2 Conversão entre bases numéricas ............................................ 11
II. Números naturais: múltiplos, divisores, divisibilidade e restos ......... 18
III. M.D.C. e M.M.C. ........................................................................ 27
IV. Restos...................................................................................... 31
V. Mais Questões Comentadas... ...................................................... 34
VI. Lista das Questões Apresentadas ................................................. 50
Olá Pessoal!
Meu nome é Felipe Lessa, sou Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil,
aprovado no concurso de 2009 e é com muito prazer que venho até aqui
para me apresentar e falar um pouquinho da minha trajetória até chegar
aqui.
Sou engenheiro de telecomunicações formado pelo IME (Instituto Militar de
Engenharia) na turma de 2004. Sou um desses apaixonados pela arte dos
números e espero poder passar um pouco desse gosto para vocês. Afinal,
dominar bem o Raciocínio Lógico é pré-requisito para ir bem em qualquer
matéria. Lembro-me bem que, em 2010, no curso de formação para os
aprovados na RFB, o instrutor perguntou quem era engenheiro e pude notar
que mais de 60% dos aprovados levantaram a mão.
00000000000
Por que os engenheiros se dão bem em concursos públicos? Porque são
formados para pensar logicamente! Quantas e quantas vezes eu acertei
questões de Direito sem saber do que ela se tratava mas apenas usando
conceitos de raciocínio lógico. É isso que eu espero passar para você nesse
curso, caro aluno!
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 1 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
Minha experiência em concursos públicos começou bem cedo: aos 14 anos.
O Colégio Militar do RJ, pela primeira vez em sua história, resolveu abrir
concurso para o Ensino Médio e ofereceu apenas 20 vagas...
Quando comecei a estudar, meu foco passou a ser unicamente este. E
sempre que as pessoas me perguntavam quantas vagas tinham, eu
respondia: “– Dezenove, pois uma já é minha!”. Dito e feito! Fiz as quatro
provas do Colégio Militar e saiu o resultado: 1º LUGAR GERAL!!!!!
A essa hora, você deve estar pensando: “– Ih... Cara metido... Precisava
encher a boca pra dizer que foi 01 do Concurso? Só quer saber de contar
vantagem”.
Mas não, caro amigo! Estou dizendo isso porque a partir de agora seu
pensamento tem que ser este. Estude como se uma das 1026 vagas já
fosse sua e a cada um que perguntar quantas vagas tem para a RFB,
responda: “–1025, porque uma já é minha!”
Por fim, quero dizer mais uma vez que é um imenso prazer poder fazer
parte desta seleta equipe do Estratégia Concursos e que me empenharei
ao máximo para tentar fazer parecer fácil essa matéria da qual muitos
fogem e têm medo: Matemática e Raciocínio Lógico.
***
Voltando aos estudos, uma estratégia que utilizei e recomendo para
aqueles que não têm muito tempo para frequentar aulas, como eu não
tinha, pois trabalhava e fazia mestrado, é: fujam das aulas presenciais.
Muitas vezes, o que um professor leva 3 horas explicando para uma turma
de 80 alunos, você aprende em 30-40 minutos de estudo bem concentrado.
Ah, mas é claro: é sempre bom ter um professor com quem você pode tirar
suas dúvidas. Desta forma, você leva ao professor somente a sua dúvida e
ganha tempo!
00000000000
Para preparar este curso de MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P/
ATA, tomei por base o EDITAL ESAF Nº 05, DE 28 DE JANEIRO DE
2014. Nosso curso apresentará, de um modo bem interativo, a teoria que
cerca a matéria e muitos exercícios resolvidos da ESAF. Quando eu achar
pertinente, trarei exercícios de outras bancas.
*******
Por fim, quero deixar um recado: fiquem tranquilos! Não tenham medo da
Lógica!
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 2 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
Absorvendo os conceitos que trarei neste Curso, você vai ver que ela pode
ser sua melhor amiga em qualquer disciplina de qualquer concurso.
Apenas uma observação: ACABEI DE gravar o vídeo dessa Aula E
ELE JÁ FOI PARA A EDIÇÃO, creio que até dia 7/2 ele esteja no ar!
Aguardem que vem coisa boa por aí!
00000000000
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 3 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
Cronograma
O cronograma do curso está baseado nos itens do próprio Edital de 2014,
completamente fora da ordem em que aparecem, por motivos didáticos,
abrangendo TODO o conteúdo cobrado nele.
Faremos assim:
AULA
CONTEÚDO
DATA
1. Numeração; 2. Números naturais:
Aula 0
múltiplos, divisores, divisibilidade e
04/02
restos; 3. M.D.C. e M.M.C
Aula 1
Aula 2
19. Raciocínio Lógico (parte I)
11/02
4. Números fracionários e Operações com
18/02
frações; 5. Números Decimais e Dízimas
Periódicas; 11. Porcentagem
Aula 3
19. Raciocínio Lógico (parte II)
25/02
Aula 4
19. Raciocínio Lógico (parte III)
04/03
16. Aplicações e Operações com
Aula 5
Inequações; 17. Sequências e Progressões
11/03
Aritméticas e Geométricas;
Aula 6
18. Operações com Matrizes, Logaritmos,
Raízes e Radicais, Fatoração Algébrica;
15/03
6. Sistemas de Unidade, Notação
00000000000
Científica e Bases não Decimais; 7. Razões
Aula 7
e Proporções; 8. Escalas; 9. Divisão
18/03
Proporcional; 10. Regra de Três Simples
ou Composta
Aula 8
19. Raciocínio Lógico (parte IV)
22/03
Aula 9
15. Matemática Financeira (parte I)
25/03
Aula 10
19. Raciocínio Lógico (parte V)
29/03
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 4 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
Aula 11
12. Teoria dos Conjuntos: Conjuntos
Numéricos; Relações, Funções de Primeiro
01/04
e Segundo Grau;
Aula 12
15. Matemática Financeira (parte II)
Aula 13
13. Noções de Probabilidade e Estatística
Descritiva
Aula 14
15. Matemática Financeira (parte III)
05/04
10/04
15/04
Vamos começar?
"O único lugar onde o sucesso vem antes do trabalho é no
dicionário.
Albert Einstein”
00000000000
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 5 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
I. Numeração
Olá queridos Alunos!
Vamos falar de números?
Os números estão sempre presentes na nossa vida. Uma das primeiras
coisas que nós aprendemos é contar. Lembro, como se fosse hoje, que
quando minha filha, ainda com menos de 2 anos, contou de 1 a 10, foi a
maior alegria lá em casa!
Pois é! O mundo nos ensinou assim: os números que conhecemos e fazem
parte do nosso dia-a-dia são formados pelos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8 e 9 e com eles podemos formar qualquer número para representar
qualquer quantidade.
Assim, se eu te perguntar quantas laranjas há abaixo, você vai me
responder correndo: 3! E eu te direi: está quase correta a sua afirmação!
O que ninguém nunca te ensinou, caro Aluno, é que você estava
aprendendo a contar na base 10, ou na base decimal. Assim, para sua
resposta estar completamente certa, você deveria me responder: 3, na
base 10, professor!
00000000000
Mas não precisamos ser tão puristas a esse ponto, não é verdade? Imagine
você na feira perguntando o preço do tomate e o feirante te respondendo:
- É dez na base 10 por cinco na base 10, Doutor!
(Traduzindo: são 10 tomates por 5 reais)
Fique calmo: não, não há essa necessidade na linguagem corriqueira. O
mundo adotou a convenção de usar a numeração na base decimal e tudo,
ou quase tudo, que se fala hoje em numeração é na base 10.
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 6 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
Uma coisa que você deve saber é que todo número na base 10 (ou
decimal, como preferir), pode ser escrito como um somatório de
múltiplos de potências de 10.
- Como assim?????????????
- Simples, caro aluno. Veja com calma...
Pegue o número 23. Imagine que cada algarismo ocupa uma posição no
número e atribua esta posição às potencias de 10. Assim:
Posição 1
Posição 0
2
3
101
100
23 = 3x100 + 2x101 = 23
E que tal agora o número 1026?
Posição 3
Posição 2
Posição 1
Posição 0
1
0
2
6
103
102
101
100
1026 = 6x100 + 2x101 + 0x102 + 1x103
No sistema decimal:
A posição 0 são as unidades (multiplica por 1)
A posição 1 são as dezenas (multiplica por 10)
A posição 2 são as centenas (multiplica por 100)
A posição 3 são os milhares (multiplica por 1000)
E assim sucessivamente
00000000000
Tudo entendido até aqui? Então vamos ver uma questão de concurso sobre
esse assunto?
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 7 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
Questão 1: FJG - CAM (Pref RJ)/Pref RJ/2002
O algarismo das unidades de um número de dois algarismos é y e
o das dezenas é x. Colocando-se um algarismo z à direita desse
número, obtém-se o seguinte número:
a) 1000x + 100y + 10z
b) 1000x + 10y + z
c) 100y + 10x + z
d) 100x + 10y + z
SOLUÇÃO:
Se o algarismo das unidades é y, y está na posição 0
Se o algarismo das dezenas é x, x está na posição 1
Assim:
Posição 1
Posição 0
X
Y
101
100
XY = Y x 100 + X x 101 = X + 10Y
OU
XY
x 100
x 101
Y x 100 = Y
X x 101 = 10X
XY = Y x 100 + X x 101 = 10X + Y
00000000000
Ora, se eu coloco um algarismo Z à direita do número, ficamos com:
Posição 2
Posição 1
Posição 0
X
Y
Z
102
101
100
XYZ = Z x 100 + Y x 101 + X x 102 = 100X + 10Y + Z
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 8 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
OU
XYZ
x 100
x 101
x 102
Z x 100 = Z
Y x 101 = 10Y
X x 102 = 100X
XYZ = Z x 100 + Y x 101 + X x 102 = 100X + 10Y + Z
Gabarito: Letra D
*******
Apesar da base decimal estar amplamente difundida e utilizada por aí, eu
poderia, por alguma razão específica, querer contar as coisas sem usar os
10 algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) que todo mundo usa. O pessoal
da informática, por exemplo, para contar bits e bytes, utiliza apenas dois
algarismos: 0 e 1. É a chamada base 2 ou sistema binário. Assim, se eu
mostrar aquela mesma foto das laranjas e perguntar para uma pessoa da
área de informática, ela poderá me responder:
00000000000
- Eu vejo 11 laranjas na foto.
O que não estará totalmente errado, porque o número 11 na base 2 é igual
ao número 3 na base decimal que conhecemos. Faltaria a ele apenas dizer:
11, na base 2, laranjas na foto.
Curiosidade: existe uma frase clássica do pessoal de informática, que
ilustra bem essa nossa conversa de bases de numeração:
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 9 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
“Existem 10 tipos de pessoas no mundo: as que entendem binário e as
que não.”
Esta frase só é possível de ser entendida se a pessoa conhecer o sistema
binário e souber que 10 na base 2 é igual a 2.
I. 1 Representação numérica em uma base b
Assim como o pessoal da informática utiliza a base 2 para contar as coisas,
outras pessoas, inclusive a sua BANCA EXAMINADORA, podem querer
contar coisas em uma outra base b qualquer. Nesta base, os algarismos a
serem utilizados são aqueles de 0 até b – 1. Por exemplo: na base 10
(decimal), usamos de 0 a 9; na base 2 (binário), usamos de 0 a 1; na base
7, usamos de 0 a 6. E assim por diante...
Base Numérica
Algarismos utilizados
Base 2
0, 1
Base 3
0, 1, 2
Base 4
0, 1, 2, 3
Base 5
0, 1, 2, 3, 4
Base 6
0, 1, 2, 3, 4, 5
Base 7
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
Base 8
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Base 9
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Base 10
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Para se indicar em que base numérica está determinado número, podemos
escrever o índice b da base ao lado do número, assim:
112 = (base 2) – lembram das laranjas?
456 = (base 6)
405 = (base 5)
1324 = (base 4)
310 = (base 10)
00000000000
Para os números na base 10, ou decimal, que são aqueles com os quais já
nos acostumamos, convencionou-se a omitir a informação da base. Se não,
ia ser aquela conversa de doido na feira,
- Mas peraí, Professor! O 112 eu já entendi que é igual a 3 por causa do
exemplo da laranja. Mas e os outros: 456, 405 e 1324? Como é que eu vou
saber a que número na base decimal eles correspondem?
- Espere um momento, Aluno! Este é o nosso próximo assunto!
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 10 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
I. 2 Conversão entre bases numéricas
Feita a explicação inicial, vamos ao que cai em prova!
Interessar-nos-á (nossa, falei bonito né?!?) a conversão entre bases
numéricas! Transformar de uma base b qualquer para a nossa conhecida
base decimal OU transformar da base decimal para a base b.
Nos sistemas de numeração posicional, cada dígito
da sequência que representa o número pode ser
interpretado como o coeficiente de uma potência da
base, onde o valor do expoente depende da posição
do dígito na sequência.
Trocando em miúdos:

456
Posição 1
Posição 0
4
5
61
60
456 = 5x60 + 4x61 = 5 + 24 = 29
OU
456
x 60
x 61
5 x 60 = 5
4 x 61 = 24
00000000000
456 = 5 x 60 + 4 x 61 = 29

405
Posição 1
Posição 0
4
0
51
50
405 = 0x50 + 4x51 = 0 + 20 = 20
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 11 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
OU
405
x 50
x 51
0 x 50 = 0
4 x 51 = 20
40 = 0 x 50 + 4 x 51 = 0 + 20 = 20

1324
Posição 2
Posição 1
Posição 0
1
3
2
42
41
40
1324 = 2x40 + 3x41 + 1x42= 2 + 12 + 16= 30
OU
1324
x 40
x 41
x 42
2 x 40 = 2
3 x 41 = 30
1 x 42 = 100
1324 = 2x40 + 3x41 + 1x42= 2 + 12 + 16= 30
00000000000
OBS.: Lembrem-se de algumas propriedades importantes:
1. Qualquer número elevado a “0” é igual a “1”. 40 = 1
2. Qualquer número elevado a “1” é igual a ele mesmo. 41 = 4
3. Qualquer número multiplicado por “0” é igual a a “0”. 0x50 = 0x1= 0
Entenderam? Não é difícil né?
Vamos ver como a ESAF cobrou isso em prova?
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 12 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
Questão 2 - (TTN - 1997 / ESAF)
Nos sistemas de numeração posicional, cada dígito da seqüência
que representa o número pode ser interpretado como o coeficiente
de uma potência da base, onde o valor do expoente depende da
posição do dígito na seqüência. Entre tais sistemas, um dos mais
importantes é o binário, ou de base 2, que utiliza apenas os dígitos
0 e 1 na notação dos números. Por exemplo, o número que
corresponde ao 11 do sistema decimal, é indicado por 1011 no
sistema binário, pois 11 (decimal) é igual a
(1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20)
Assim, o resultado, expresso no sistema decimal, da adição dos
números binários 1011 e 101 será igual a
a) 15
b) 13
c) 14
d) 12
e) 16
SOLUÇÃO:
Vocês devem ter reparado que antes de pedir o que ela queria na
questão, a ESAF te ensinou a fazer né? O enunciado da questão poderia
muito bem ter sido tão somente: “O resultado, expresso no sistema
decimal, da adição dos números binários 1011 e 101 será igual a”.
Pois bem, vamos converter os dois números para o sistema decimal:
A questão já nos falou que 10112 = 11. Resta-nos agora converter 1012.
Posição 2
1
Posição 1
Posição 0
0
1
21
20
00000000000
22
101
x 20
x 21
x 22
1 x 20 = 1
0 x 21 = 0
1 x 22 = 4
1012 = 1 x 20 + 0 x 21 + 1 x 22 = 1 + 0 + 4 = 5
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 13 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
Assim, 10112 + 1012 = 11 + 5 = 16
Gabarito: Letra E
*******
Mais questão da ESAF...
Questão 3 - ESAF - ATEng (Pref RJ)/2010
A seguir estão representados pelo sistema binário, formado apenas
pelos algarismos 0 e 1, os números naturais de 0 a 16 em ordem
crescente: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010,
1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000. Qual é o número que
corresponde ao binário 111011?
a) 59
b) 60
c) 58
d) 61
e) 62
SOLUÇÃO:
Vocês devem ter reparado que antes de pedir o que ela queria na
questão, a ESAF deu uma enrolada né? O enunciado da questão poderia
muito bem ter sido tão somente: “Qual é o número que corresponde ao
binário 111011?”.
Pois bem, vamos calcular 1110112.
00000000000
Posição 5
Posição 4
Posição 3
Posição 2
Posição 1
Posição 0
1
1
1
0
1
1
25
24
23
22
21
20
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 14 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
111011
x 20
x 21
x 22
x 23
x 24
x 25
1
1
0
1
1
1
x
x
x
x
x
x
20
21
22
23
24
25
1110112 = 1x20 + 1x21 + 0x22 + 1x23 + 1x24 + 1x25 =
= 1 + 2 + 0 + 8 + 16 + 32
Assim, 1110112 =59
Gabarito: Letra A
*******
Muito bem. Já aprendemos a converter de uma base b qualquer para a base
decimal, muito fácil né? Basta fazer o somatórios dos múltiplos das
potências de b.
Mas e o contrário? E se eu tiver um número na base decimal e quiser saber
o seu valor na base b, por exemplo? Como fazer?
Também é muito fácil, nobre aluno! É só dividir o
número por b e depois ir dividindo os quocientes
obtidos sucessivamente por b, até que o resultado
da divisão seja igual a 0. O número na base b será a
concatenação dos restos obtidos.
Exemplifico: Escreva 118 na base 2.
00000000000
118 | 2
0 59 | 2
1 29 | 2
1 14 | 2
0 7|2
1 3|2
1 1|2
1 0
Dessa forma, 118 = 11101102
Quer fazer a prova real?
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 15 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
11101102 = 0x20 + 1x21 + 1x22 + 0x23 + 1x24 + 1x25 + 1x26
= 0 + 2 + 4 + 16 + 32 + 64 = 118
Assim, 118 = 11101102
Exemplifico de novo: Escreva 57 na base 6.
57 | 6
3 9|6
3 1|6
1 0
Dessa forma, 57 = 1336
Quer fazer a prova real?
1336 = 3x60 + 3x61 + 1x62 = 3 + 6 + 36 = 57
Assim, 57=1336
Perceberam como é fácil? Que tal mais uma questão de prova?
Questão
4:
FCC
AJ
TRF4/TRF
4/Apoio
Especializado/Contadoria/2010
Sabe-se que, no Brasil, nas operações financeiras é usado o
sistema decimal de numeração, no qual um número inteiro N pode
ser representado como:
N = an.10n + an-1.10n-1 + an-2 .10n-2 +... + a2 .102 + a1 .101 + a0 .100,
em que 0 ≤ ai < 10 , para todo 0 ≤ i ≤ n.
00000000000
Nesse sistema, por exemplo, 8903 = 8.103 + 9.102 + 0.101 + 3.100
Suponha que, em férias, Benivaldo visitou certo país, no qual todas
as operações financeiras eram feitas num sistema de numeração
de base 6 e cuja unidade monetária era o “delta”. Após ter gasto
2014 deltas em compras numa loja e percebendo que dispunha
exclusivamente de cinco notas de 100 reais, Benivaldo convenceu
o dono da loja a aceitar o pagamento na moeda brasileira,
dispondo-se a receber o troco na moeda local. Nessas condições, a
quantia que ele recebeu de troco, em deltas, era
a) 155.
b) 152.
c) 145.
d) 143.
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 16 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
e) 134.
SOLUÇÃO:
A primeira coisa a ser feita é identificar a quantos reais equivalem os
2014 deltas que Benivaldo gastou. Temos que converter 2014 na base
6 para a base 10:
2014
x 60
x 61
x 62
x 63
4
1
0
2
x
x
x
x
60
61
62
63
20146 = 4x60 + 1x61 + 0x62 + 2x63 =
= 4 + 6 + 0 + 432
Assim, 20146 = 442 reais
Ao pagar com 5 notas de 100 reais, ou seja, 500 reais, ele faz jus a um
troco de 500 – 442 = 58 reais. Para saber quanto isso vale em deltas,
fazemos:
58 | 6
4 9|6
3 1|6
1 0
Pois bem, 58 reais = 134 deltas.
00000000000
Gabarito: Letra E
*******
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 17 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
II. Números naturais:
divisibilidade e restos
múltiplos,
divisores,
Nesta parte da Aula, passarei a definir alguns conceitos que você irá
precisar para a resolução de exercícios. Eu quero que você saia dessa aula
entendo o “espírito da coisa” e sabendo fazer os exercícios relativos a este
tópico, que não são muitos e nem são tão difíceis. Inclusive, tive que
recorrer a outras bancas, pois não encontrei muitas questões ESAF sobre
esse tema. Vamos lá?
Números primos
Existem números, contudo, que só possuem 2 divisores: o número 1 e ele
mesmo. Exemplo de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13...
Os números primos serão de grande utilidade na determinação dos
divisores de outro número, pois a técnica utilizada para tal é a fatoração,
que nada mais é do que escrever determinado número como uma
multiplicação de fatores primos.
Decomposição em fatores primos
A decomposição em fatores primos nada mais é do que escrever um
número como um produto de números primos. Nada melhor do que um
exemplo para entender melhor.
Exemplo: Decomponha em fatores primos o número 100.
Começamos sempre dividindo pelo menor número primo possível. Quando
não der mais, passamos para o próximo:
100
50
25
5
1
2
2
5
5
00000000000
= 2x2x5x5 = 22x52
Assim, o número 100 pode ser escrito como 2x2x5x5 ou 22x52.
Vamos fazer mais alguns exemplos:
Exemplo: Decomponha em fatores primos o número 200.
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 18 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
Começamos sempre dividindo pelo menor número primo possível. Quando
não der mais, passamos para o próximo:
200
100
50
25
5
1
2
2
2
5
5
= 2x2x2x5x5 = 23x52
Assim, o número 200 pode ser escrito como 2x2x2x5x5 ou 23x52.
Exemplo: Decomponha em fatores primos o número 4.200.
Começamos sempre dividindo pelo menor número primo possível. Quando
não der mais, passamos para o próximo:
4200
2100
1050
525
175
35
7
1
2
2
2
3
5
5
7
= 2x2x2x3x5x5x7 = 23x3x52x7.
Assim, o número 4.200 pode ser escrito como 2x2x2x3x5x5x7 ou
23x3x52x7.
Divisores de um número natural
00000000000
Os divisores de um número são todos aqueles números que ao dividirem
tal número, deixam resto “0”.
Por exemplo, 5 é divisor de 25, pois 25÷5=5 e resto 0. É uma divisão exata.
Por óbvio, o conjunto dos divisores de um número é um conjunto finito. O
número 1 é divisor de todos os números e todo número é divisor de si
mesmo. Como já vimos anteriormente, os números que só possuem 2
divisores, o “1” e ele mesmo, são chamados primos.
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 19 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
Para saber a quantidade de divisores de um número qualquer, basta fazer
a multiplicação de todos os expoentes da sua decomposição em fatores
primos, adicionado, cada um de + 1.
Assim, o número total de divisores de 4.200 é (3+1)x(1+1)x(2+1)x(1+1)
= 48, pois 4.200=23x3x52x7.
O número total de divisores de 200 é (3+1)x(2+1) = 12, pois 200=23x52.
O número total de divisores de 100 é (2+1)x(2+1) = 9, pois 100=22x52.
Agora, para saber QUEM são os divisores de um número natural, há um
macete. Vamos fazer com o 100 e você extrapolará para qualquer outro.
A primeira coisa a fazer é reescrever a fatoração do número 100 e colocar
o número 1 logo acima, pois como vimos, o 1 é divisor de todo mundo!
1
100
50
25
5
1
2
2
5
5
Os demais divisores são encontrados pela multiplicação do fator primo da
linha imediatamente posterior por todos os outros divisores. Assim:
100
50
25
5
1
2
2
5
5
1
2
2, 4
5, 10, 20
25, 50, 100
00000000000
Assim, o conjunto dos divisores de 100 é D (100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25,
50, 100}
Você pode checar que são 9, conforme já havíamos calculado.
Questão 5: FJG - ACE (TCM-RJ)/TCM-RJ/Tecnologia da
Informação/2011
Um orfanato costuma levar para passear suas 72 crianças. O
passeio é feito em grupos pequenos, sempre com o mesmo número
de participantes de cada vez, e os grupos são formados por mais
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 20 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
de 5 e menos de 20 participantes por vez. Desse modo, o número
de maneiras diferentes pelas quais podem ser reunidas essas
crianças é de:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
SOLUÇÃO:
Temos que achar os divisores de 72.
1
72 2 2
36 2 4
18 2 8
9 3 3, 6, 12, 24
3 3 9, 18, 36, 72
1
D(72) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}
O número de divisores compreendido entre 5 e 20 é igual 5.
Gabarito: Letra C
*******
Divisibilidade
Para facilitar nossa vida, existem alguns critérios para você bater o olho em
um número e afirmar com certeza se ele é ou não divisível por outro. Para
a decomposição em fatores primos, é fundamental que você saiba estas
regrinhas.
00000000000
Divisibilidade por 2: Um número será divisível por 2 se for par.
Divisibilidade por 3: Um número será divisível por 3 se a soma dos
valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.
Divisibilidade por 4: Um número será divisível por 4 se for terminado em
00 ou se o número formado pelos seus dois últimos algarismos for divisível
por 4.
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 21 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
Divisibilidade por 5: Um número será divisível por 5 se for terminado em
0 ou 5.
Divisibilidade por 6: Um número será divisível por 6 se for divisível por
2 e por 3 ao mesmo tempo.
Divisibilidade por 7: Veremos a regrinha de divisibilidade por 7 em um
exercício. Ela é bem complexa...
Divisibilidade por 8: Um número será divisível por 8 se for terminado em
000 ou se o número formado pelos seus três últimos algarismos for divisível
por 8.
Divisibilidade por 9: Um número será divisível por 9 se a soma dos
valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.
Divisibilidade por 10: Um número será divisível por 10 se for terminado
em 0.
Divisibilidade por 11: Um número será divisível por 11 quando a
diferença entre a soma dos dígitos de posição par (0, 2, 4, ...) e os dígitos
de ordem ímpar (posição 1, 3, 5, ...) resultar em um múltiplo de 11. Aqui
merece um exemplo: 3.946.723
Dígitos de ordem ímpar: 2, 6, 9. Soma: 17
Dígitos de ordem par: 3, 7, 4, 3. Soma: 17
Diferença entre os dígitos de ordem par e ímpar = 17 – 17 = 0, que é
divisível por 11. Então, 3.946.723 é divisível por 11.
Divisibilidade por 12: Um número será divisível por 12 se for divisível
por 3 e por 4 ao mesmo tempo.
00000000000
Divisibilidade por 15: Um número será divisível por 15 se for divisível
por 3 e por 5 ao mesmo tempo.
Divisibilidade por 25: Um número será divisível por 25 quando terminar
em 00, 25, 50 ou 75
Questão 6: FCC - AFR SP/SEFAZ SP/Gestão Tributária/2009
O tabuleiro a seguir é usado em um jogo que uma professora de
Matemática costuma propor a seus alunos do 6º ano.
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 22 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
A cada rodada, cada jogador, inicialmente colocado na casa onde
está marcado o número 7, deve jogar um dado numerado de 1 a 6
e dividir o número da casa onde se encontra pela pontuação obtida
no dado. O resto dessa divisão indicará a quantidade de casas que
ele deverá avançar. Por exemplo, se na primeira rodada um
jogador tirar 5, ele deverá avançar 2 casas, que é o resto da divisão
de 7 por 5, chegando à casa onde está marcado o número 27. O
jogador que primeiro atingir a casa onde está escrito CHEGADA é o
vencedor.
Lendo-se as regras do jogo, percebe-se que sua dinâmica depende
dos números marcados nas diversas casas do tabuleiro. O número
27, marcado na terceira casa, poderia ser trocado, sem que
houvesse qualquer alteração na dinâmica do jogo, pelo número
a)
b)
c)
d)
e)
77
81
84
87
96
SOLUÇÃO:
Para trocar o número 27 por qualquer outro N, sem alterar a dinâmica
do jogo, este deve ter exatamente os mesmos restos que 27 tem na
divisão pelos números de 1 a 6 (faces do dado).
Dividendo
27
27
27
27
27
27
00000000000
Divisor
1
2
3
4
5
6
Resto
0
1
0
3
2
3
Observe que o resto da divisão por 2 é 1, ou seja, deve ser um número
ímpar. Descartamos as opções C e E.
Observe que o resto da divisão por 3 é 0, ou seja, deve ser um número
divisível por 3. Descartamos a opção A. Sobram apenas B: 81 e D: 87
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 23 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
Observe que o resto da divisão por 5 é 2. Descartamos a opção B, pois
81÷5 deixa resto 1. Sobra D: 87.
Gabarito: Letra D
*******
Questão 7: FCC - AFTM SP/Pref SP/Gestão Tributária/2012
Considere a multiplicação abaixo, em que letras iguais
representam o mesmo dígito e o resultado é um número de 5
algarismos.
RAMOS
x
9
SOMAR
A soma (S + O + M + A + R) é igual a
a) 25.
b) 27.
c) 29.
d) 31.
e) 33.
SOLUÇÃO:
Ora, se o número S O M A R é resultado de uma multiplicação por 9, é
porque ele é divisível por 9.
Para ser divisível por 9, a soma dos valores absolutos dos algarismos
que compõem o número deve ser divisível por 9. Analisando as
respostas, a única que é divisível por 9 é a 27.
00000000000
Gabarito: Letra B
*******
Múltiplos de um número natural
Estão lembrados de quando começaram a estudar matemática e tinham
que decorar tabuada?
9x0 = 0
9x1 = 9
9x2 = 18
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 24 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
9x3 = 27
...
9x9 = 81
9x10 = 90
Pois então, estes são os 11 primeiros múltiplos de 9
Diz-se, portanto que o número 27 é múltiplo de 9 porque é divisível por 9.
Percebem como os conceitos de múltiplos e divisores estão intimamente
relacionados?
Ademais, podemos afirmar o seguinte: Um número X só é múltiplo de outro
Y se e somente se X for divisível por Y.
Questão 8: ESAF - AUFC/TCU/1999
Em uma escola de música, exatamente 1/4 do número total de
vagas é destinado para cursos de violino, e exatamente 1/8 das
vagas para os cursos de violino são destinadas para o turno diurno.
Um possível valor para o número total de vagas da escola é:
a) 160
b) 164
c) 168
d) 172
e) 185
SOLUÇÃO:
Seja N o total de vagas.
Seja V o total de vagas para violino. V = (1/4)xN
(I)
00000000000
Seja D o total de vagas para violino diurno. D = (1/8)xV
(II)
De (I), sei que N = 4V
De (II), sei que V = 8D
Substituindo o valor de V, temos que N = 4x(8D) = 32D
Chegamos à conclusão que N é um múltiplo de 32. Das opções de
resposta, a única que é múltiplo de 32 é a letra A. 160 = 32 x 5.
Gabarito: Letra A
*******
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 25 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
Questão 9: CESGRANRIO - Tec (INSS)/INSS/2005
A razão entre o número de homens e de mulheres, funcionários da
firma W, é 3/5. Sendo N o número total de funcionários (número
de homens mais o número de mulheres), um possível valor para N
é:
a) 46
b) 49
c) 50
d) 54
e) 56
SOLUÇÃO:
Seja M o número de mulheres. Seja H o número de homens
N=M+H
(i)
(H/M) = (3/5)
(ii)
De (ii), vem que 3M=5H, ou M = (5H/3)
Substituindo em (i), vem que N = (5H/3) + H
ou:
Como H tem que ser um número natural, N deve ser divisível por 8. O
único múltiplo de 8 nas respostas é o 56.
Gabarito: Letra E
00000000000
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 26 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
III. M.D.C. e M.M.C.
Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
Denomina-se MMC entre n números o menor dos múltiplos
que é comum a todos eles.
Máximo Divisor Comum (MDC)
Denomina-se MDC entre n números o maior dos divisores
que é comum a todos eles.
Como calcular o MMC e o MDC entre n números?
Bem, para calculá-los, você vai precisar decompor os n número em fatores
primos.
O MMC é o produto de todos os fatores, com os
maiores expoentes.
O MDC é o produto dos fatores comuns com os
menores expoentes.
Vamos exemplificar para ficar mais claro?
Calcule o MMC e o MDC do seguinte conjunto de números: 16.500,
368.550, 3.583.125
00000000000
O primeiro passo é decompor em fatores primos:
16500
8250
4125
1375
275
55
11
1
2
2
3
5
5
5
11
= 22x3x53x11
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 27 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
368550
184275
61425
20475
6825
2275
455
91
13
1
2
3
3
3
3
5
5
7
13
= 2x34x52x7x13
3583125
1194375
398125
79625
15925
3185
637
91
13
1
3
3
5
5
5
5
7
7
13
= 32x54x72x13
O MMC é o produto de todos os fatores, com os maiores expoentes.
16500 =
22 x 3 x 53
x 11
4
2
368550 = 2 x 3 x 5 x 7
x13
2
4
2
3583125 =
3 x5 x7
x13
00000000000
MMC (16500, 368550, 3583125) = 22x34x54x72x11x13
No MMC, não tem frescura. Todo mundo entra e com o maior expoente!
Questão 10: ESAF - Ag Exec (SUSEP)/SUSEP/2006
Obtenha o mínimo múltiplo comum entre 6, 10 e 15.
a) 30
b) 60
c) 90
d) 120
e) 150
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 28 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
SOLUÇÃO:
6 2
3 3
1
6 = 2x3
10 2
5 5
1
10 = 2x5
15 3
5 5
1
15 = 3x5
6=2x3
10 = 2 x
5
15 =
3 x5
MMC = 2x3x5 = 30
Um macete para calcular o MMC mais rápido é fazer a decomposição em
fatores primos simultaneamente, até achar tudo 1. Depois é só
multiplicar. Assim:
6 10 15 2
3 5 15 3
1 5 5 5
1 1 1
MMC = 2x3x5 = 30
Gabarito: Letra A
*******
O MDC é o produto dos fatores comuns com os menores expoentes.
16500 =
22 x 3 x 5 3
x 11
368550 = 2 x 34 x 52 x 7
x13
2
4
2
3583125 =
3 x5 x7
x13
00000000000
MDC (16500, 368550, 3583125) = 3x52
No MDC, só entram os fatores comuns a todos (3 e 5) e com o menor
expoente!
Questão 11: FCC - AuxJ TRF2/TRF 2/Administrativa/2007
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 29 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
Um auxiliar judiciário foi incumbido de arquivar 360 documentos:
192 unidades de um tipo e 168 unidades de outro. Para a execução
dessa tarefa recebeu as seguintes instruções:
- todos os documentos arquivados deverão ser acomodados em
caixas, de modo que todas fiquem com a mesma quantidade de
documentos;
- cada caixa deverá conter apenas documentos de um único tipo.
Nessas condições, se a tarefa for cumprida de acordo com as
instruções, a maior quantidade de documentos que poderá ser
colocada em cada caixa é
a) 8
b) 12
c) 24
d) 36
e) 48
SOLUÇÃO:
Questão fácil, simples, objetiva e direta. Precisamos achar um número
que divida tanto o 192 quanto o 168 e que este número seja o maior
possível, que será justamente o número máximo de documentos por
caixa. Estamos falando do... MDC!
192
96
48
24
12
6
3
1
2
2
2
2
2
2
3
168
84
42
21
7
1
00000000000
2
2
2
3
7
168 = 23x3x7
192 = 26x3
192 = 2 6x 3
168 = 23 x 3 x 7
MMC = 23x3 = 24
Um macete para calcular o MDC mais rápido é fazer a decomposição em
fatores primos simultaneamente, até achar tudo 1. Depois é só
multiplicar os fatores nas linhas onde houve divisão em TODOS os
elementos. Assim:
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 30 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
2 (Ambos foram divididos por 2)
2 (Ambos foram divididos por 2)
2 (Ambos foram divididos por 2)
2
2
2
3 (Ambos foram divididos por 3)
7
192 168
96 84
48 42
24 21
12 21
6 21
3 21
1
7
1
1
MDC = 23x3 = 24
Há ainda uma outra regrinha prática para cálculo do MDC. Basta
dividirmos o maior pelo menor e depois os restos sucessivamente, até
chegarmos numa divisão exata. O resto que proporcionar divisão exata
é o MDC. Vejamos:
192÷168 = 1 , com resto 24
168÷24 = 7, com resto 0 (divisão exata) -->>> MDC = 24
Gabarito: Letra C
*******
IV. Restos.
A teoria que envolve o assunto dos restos é bem simples, mas bastante
interessante, além de ser bastante intuitiva.
Veremos duas propriedades interessantíssimas que nos farão resolver
problemas que, à primeira vista, parecem ser bastante trabalhosos.
00000000000
Exemplo: Calcule o resto da divisão da Soma: (1480 + 5879 + 5903 + 360
+ 478520 + 250 + 85 + 175 + 9875) por 5.
Ora, nosso primeiro impulso é somar tudo e dividir por 5 para ver qual será
o resto da divisão. Não está errado esse procedimento, entretanto, ele é
trabalhoso e o risco de errar é grande! Sem contar que em um concurso,
você não pode perder tempo à toa.
A primeira propriedade do resto que quero mostrar para você é:
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 31 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
O resto da divisão de uma soma por um número é
igual ao resto da divisão da soma dos restos das
parcelas individuais por esse mesmo número.
Ou seja, voltando ao nosso exemplo: Calcule o resto da divisão da Soma:
(1480 + 5879 + 5903 + 360 + 478520 + 250 + 85 + 175 + 9875) por 5.
Em vez de cair dentro da soma e fazer a divisão, calcularemos os restos da
divisão de cada parcela por 5. Ao fazer isso, você deve observar, nobre
Aluno, que quase todas as parcelas terminam em 0 ou 5, ou seja, são
divisíveis por 5 e, portanto, deixam resto 0 na divisão por ele.
As únicas parcelas que não são divisíveis por 5 são: 5879 e 5903.
5879÷5 deixa resto 4
5903÷5 deixa resto 3
Então, a soma dos restos das parcelas individuais é igual a 7 (4 + 3 +
vários zeros).
7÷5 deixa resto 2
Logo, podemos concluir que a divisão (1480 + 5879 + 5903 + 360 +
478520 + 250 + 85 + 175 + 9875) ÷5 deixa resto 2.
Analogamente, quero mostrar a segunda propriedade do resto para você:
O resto da divisão de um produto por um número é
igual ao resto da divisão do produto dos restos dos
fatores individuais por esse mesmo número.
00000000000
Vamos a um novo exemplo: Calcule o resto da divisão do produto: (545 x
867 x 894) por 4.
Em vez de cair dentro do produto e fazer a multiplicação, calcularemos os
restos da divisão de cada fator por 4..
545÷4 deixa resto 1
867÷4 deixa resto 3
894÷4 deixa resto 2
Então, o produto dos restos dos fatores individuais é igual a 6 (1 x 3 x 2)
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 32 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
6÷4 deixa resto 2
Logo, podemos concluir que a divisão do produto: (545 x 867 x 894) por 4
deixa resto 2.
Vamos ver como essas propriedades podem ser cobradas em concurso?
Questão 12: FGV - ACI (SEFAZ RJ)/SEFAZ RJ/2011
Quando o número 121 é dividido por um certo divisor, o resto da
divisão é 4. Quando o número 349 é dividido pelo mesmo divisor,
o resto da divisão é 11. Quando a soma dos números 121 e 349 é
dividida pelo mesmo divisor, o resto é 2. O valor do divisor é
a) 15.
b) 19.
c) 9.
d) 13.
e) 17.
SOLUÇÃO:
Pela propriedade do resto, o resto da divisão de uma soma por um
número é igual ao resto da divisão da soma dos restos das parcelas
individuais por esse mesmo número.
121 ÷ X deixa resto 4
349 ÷ X deixa resto 11
(daí você já conclui que X é > 11, certo caro Aluno?)
Então, a soma dos restos das parcelas individuais é igual a 15 (4 + 11).
00000000000
(121+349) ÷ X deixa resto 2
Logo, 15 ÷ X também deve deixar resto 2
Analisando as opções de resposta, X só pode ser igual a 13
Gabarito: Letra D
*******
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 33 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
V. Mais Questões Comentadas...
Questão 13: FCC - AFF (TCE-SP)/TCE-SP/Sistemas/2008
O número 1001011, do sistema binário de numeração, no sistema
decimal de numeração equivale a um número x tal que
a) 0 < x < 26
b) 25 < x < 51
c) 50 < x < 75
d) 74 < x < 100
e) x > 99
SOLUÇÃO:
Posição Posição
6
5
Posição
4
Posição
3
Posição Posição Posição
2
1
0
1
0
0
1
0
1
1
26
25
24
23
22
21
20
10010112 = 1x20 + 1x21 + 0x22 + 1x23 + 0x24 + 0x25 + 1x26
= 1 + 2 + 8 + 64 = 75
Assim, 10010112 =75
Gabarito: Letra D
*******
Questão 14: FCC - AJ TRT4/TRT 4/Apoio Especializado/Tecnologia
da Informação/2011
No Brasil, o sistema monetário adotado é o decimal. Por exemplo:
205,42 reais = (2 × 102 + 0 × 101 + 5 × 100 + 4 × 10−1 + 2 × 10−2)
reais
00000000000
Suponha que em certo país, em que a moeda vigente é o “mumu”,
o sistema monetário seja binário. O exemplo seguinte mostra como
converter certa quantia, dada em “mumus”, para reais:
110,01 mumus = (1 × 22 + 1 × 21 + 0 × 20 + 0 × 2−1 + 1 × 2−2)
reais = 6,25 reais
Com base nessas informações, se um brasileiro em viagem a esse
país quiser converter 385,50 reais para a moeda local, a quantia
que ele receberá, em “mumus”, é:
a) 10 100 001,11.
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 34 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
b) 110 000 001,1.
c) 110 000 011,11.
d) 110 000 111,1.
e) 111 000 001,11.
SOLUÇÃO:
Esta questão já é um pouco mais complicadinha, pois envolve
algarismos depois da vírgula.
Mas não há com o que se preocupar: é como se eles fossem a posição
-1, -2, -3 etc do número e o algarismo que ocupa essa posição deverá
multiplicar a base elevada a essa potência, como o enunciado explica
bem.
Bem, para acharmos o equivalente de 385,5 em binário, fazemos assim:
385,5 = 385+0,5. Ou seja, vamos calcular o binário da parte inteira,
385, e da parte decimal, 0,5, separadamente. Depois somamos.
385 | 2
1 192 | 2
0 96| 2
0 48| 2
0 24 | 2
0 12 | 2
0 6|2
0 3|2
1 1|2
1 0
Assim, 385 = 1100000012
Falta calcular 0,5 em binário. Ora você deve reparar que 0,5 = ½ = 2-1
00000000000
Repare então que 0,5 = 1 x 2-1
Isto significa que, em binário, a posição -1, depois da vírgula, é igual a 1.
Nossa resposta então é: 110000001,12
Gabarito: Letra B
*******
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 35 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
Questão 15: FCC - Tec (BACEN)/BACEN/2006
Suponha que, num banco de investimento, o grupo responsável
pela venda de títulos é composto de três elementos.
Se, num determinado período, cada um dos elementos do grupo
vendeu 4 ou 7 títulos, o total de títulos vendidos pelo grupo é
sempre um número múltiplo de
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
SOLUÇÃO:
Vamos trabalhar com as hipóteses possíveis. Se cada um dos três
vendeu 4 ou 7, são as seguintes as possibilidades:
1)
2)
3)
4)
Todos vendem 4, total = 12
Todos vendem 7, total = 21
Dois vendem 4, um vende 7, total = 15
Dois vendem 7, um vende 4, total = 18
Repare que todos são divisíveis por e, portanto são múltiplos de 3.
Gabarito: Letra A
*******
Questão 16: FCC - AFF (TCE-SP)/TCE-SP/Sistemas/2008
Dos 50 funcionários que participaram de um curso sobre a
utilização de sistemas aplicativos das atividades meio e fim do
Tribunal de Contas do Estado de São Paulo, sabe-se que:
00000000000
– todos eram formados em Ciência da Computação ou em
Engenharia de Software, mas apenas em um dos cursos;
– 1/5 do número de mulheres eram formadas em Engenharia de
Software e 7/8 do número de homens eram formados em Ciência
de Computação.
Assim sendo, nesse curso, o total de participantes formados em
Engenharia de Software era
a) 23
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 36 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
b) 17
c) 13
d) 9
e) 7
SOLUÇÃO:
Seja H o número de homens
Seja M o número mulheres
Como todos são homens OU mulheres
H + M = 50
(i)
1/5 das mulheres é formado em Engenharia de Software. Logo:
M é um número múltiplo de 5
é
ú
7/8 dos homens é formado em Ciência da Computação. Logo:
H é um número múltiplo de 8
é
ú
Os possíveis valores para H são: 0, 8, 16, 24, 32, 40
Os possíveis valores para M são: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45
Analisando os possíveis valores para H e M, chegamos à conclusão que,
para a soma dar 50, H só pode ser 40 e M só pode ser 10.
Como a questão quer saber os formados em Engenharia de Software,
basta aplicar:
 1/5 do número de mulheres eram formadas em Engenharia de
Software = 1/5 de 10 = 2
 Se 7/8 do número de homens eram formados em Ciência de
Computação, é porque 1/8 do número de homens eram formados em
Engenharia de Software. = 1/8 de 40 = 5
00000000000
2+5=7
Gabarito: Letra E
*******
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 37 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
*******
Questão 17: ESAF - AUFC/TCU/Controle Externo/Controle
Externo/2002
Sabe-se que todo o número inteiro n maior do que 1 admite pelo
menos um divisor (ou fator) primo. Se n é primo, então tem
somente dois divisores, a saber, 1 e n. Se n é uma potência de um
primo p, ou seja, é da forma ps, então 1, p, p2, ..., ps são os divisores
positivos de n. Segue-se daí que a soma dos números inteiros
positivos menores do que 100, que têm exatamente três divisores
positivos, é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
25
87
112
121
169
SOLUÇÃO:
Os inteiros positivos que têm somente 3 divisores têm algumas
características peculiares. Vamos estuda-los.
Seja N um número que só tem 3 divisores.
D(N) = {1, x, N}
Ora, a primeira conclusão a que chegamos é que x só pode ser um número
primo pois, caso contrário, ele poderia ser decomposto como um produto
de fatores primos e esses fatores também seriam divisores de N. Assim:
D(N) = {1, p, N}
Ora, se p é divisor de N, o quociente N/p é inteiro e, por conseguinte, é
também um divisor de N. Mas como N só pode ter 3 divisores, a única
hipótese em que isso é possível é quando o quociente N/p é igual ao próprio
p. Dessa forma:
00000000000
(N/p)=p
O que nos leva a N = p2, ou seja o nosso número N é o quadrado de um
número primo.
Temos que procurar os quadrados (p2) dos números primos (p) que são
menores do que 100 e têm, exatamente, 3 divisores: 1, p, p2
Os números primos (p) são: 2, 3, 5, 7, 11, ...
Os seus quadrados são (p2) menores que 100 são: 4, 9, 25, 49
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 38 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
Note que os divisores desses números são apenas 3.
D(4) = {1, 2, 4}
D(9) = {1, 3, 9}
D(25) = {1, 5, 25}
D(49) = {1, 7, 49}
Sua soma é: 4 + 9 + 25 + 49 = 87
Gabarito: Letra B
*******
Questão 18: CESGRANRIO - Tec (BACEN)/BACEN/Área 1/2009
Existe uma regra prática de divisibilidade por 7 com o seguinte
procedimento:
Separa-se o último algarismo da direita. Multiplica-se esse
algarismo por 2 e tal resultado é subtraído do número que restou
sem o algarismo à direita. Procede-se assim, sucessivamente, até
se ficar com um número múltiplo de 7, mesmo que seja zero.
Veja os exemplos a seguir:
Seja a um algarismo no número a13.477.307. O valor de a para que
este número seja divisível por 7 é
00000000000
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 39 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
SOLUÇÃO:
A13477307
A 1 3 4 7 7 3 0 | 7 x 2 = 14
14
A 1 3 4 7 7 1 |6 x 2 = 12
12
A 1 3 4 7 5|9 x 2 = 18
18
A 1 3 4 5|7 x 2 = 14
14
A 1 3 3|1 x 2 = 2
2
A 1 3|1 x 2 = 2
2
A 1|1 x 2 = 2
2
(A1 – 2) é múltiplo de 7. Posso escrever o número A1 como 10A + 1,
estão lembrados? E toda vez que um número for múltiplo de outro N,
posso escrever ele na forma N.k, onde k é uma constante inteira.
Então:
(10A + 1) – 2 = 7k
Testando as opções de resposta, 1, 3, 5, 7 e 9, a única que nos leva a
um k inteiro é quando A = 5.
Gabarito: Letra C
*******
00000000000
Questão 19: FCC - Tec MPU/MPU/Apoio Especializado/Controle
Interno/2007
Seja X o menor número positivo que multiplicado por 7 resulta em
um número cujos algarismos são todos iguais a 5. O número X
a) é um quadrado perfeito.
b) é menor que 60 000.
c) é divisível por 9.
d) é tal que o produto 7X tem 5 algarismos.
e) tem a soma dos algarismos igual a 30.
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 40 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
SOLUÇÃO:
Temos algo do tipo:
7X = 5555...5 (não sabemos quantos “5” há nesse número)
A única coisa que podemos inferir é que esse número 5555...5 é divisível
por 7. Vamos achar então o menor número no formato 5555...5 que é
divisível por 7? A ideia é irmos reduzindo o número fazendo a técnica da
divisibilidade por 7 até chegarmos em um número divisível por 7.
... 5 5 5 5 5 5|5 x 2 = 10
10
... 5 5 5 5 4|5 x 2 = 10
10
... 5 5 5 4|4 x 2 = 8
8
... 5 5 4|6 x 2 = 12
12
... 5 4 2
Opa!!! Finalmente chegamos em um número divisível por 7.
6 x 7 = 42!!!!
Logo, contando a quantidade de “5” que cortamos, chegamos à
conclusão que o nosso número é 555.555
Como X é 1/7 desse número, basta dividir por 7 para achar X:
X = 79.365, cuja soma dos valores absolutos dos algarismos é igual a
30.
Gabarito: Letra E
*******
00000000000
Questão 20: CEPERJ - OF (SEFAZ RJ)/SEFAZ RJ/2010
O produto de dois números naturais é 28, e a soma deles é a menor
possível. A diferença entre eles (o maior menos o menor) é:
a) 2
b) 3
c) 5
d) 9
e) 12
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 41 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
SOLUÇÃO:
Como são dois números naturais, a questão fica fácil.
Ora se o produto deles é 38, eles só podem ser:
{1, 28}
{2, 14}
{4, 7}
A opção que apresenta o menor valor de soma é a última (7 + 4= 11) e
a diferença entre eles é igual a 3 (7 – 4 = 3)
Gabarito: Letra B
*******
Questão 21: FCC - AuxJ TRT6/TRT 6/Serviços Gerais/2006
Se X é o menor número natural que tem cinco algarismos e Y é o
maior número natural que tem quatro algarismos distintos, a
diferença X − Y é um número
a) divisível por 4.
b) múltiplo de 6.
c) maior que 150.
d) quadrado perfeito.
e) primo.
SOLUÇÃO:
X = 10000
Y = 9876
X-Y = 124, que é divisível por 4, pois os dois últimos algarismos formam
um número divisível por 4.
00000000000
Gabarito: Letra A
*******
Questão 22: NCE (UFRJ)
Administrativo/2005
-
Ag
Exec
(CVM)/CVM/Suporte
O analista de uma empresa estabeleceu três tipos (A, B e C) de
checagem do sistema de segurança dos computadores. O tipo A
será realizado de 4 em 4 dias e o tipo B de 6 em 6 dias. Os três
tipos terão início simultâneo e coincidirão novamente pela primeira
vez daí a 120 dias.
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 42 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
Assim, a menor freqüência que o tipo C pode ter é de:
a) 10 dias;
b) 12 dias;
c) 24 dias;
d) 36 dias;
e) 40 dias.
SOLUÇÃO:
Seja X a frequência de checagem de C.
A questão está nos informando que o mmc (4, 6, X) = 120.
Ora, vamos decompor os números em fatores primos:
4 = 22
6 = 2x3
120 = 23x3x5
Como o MMC pega todos os fatores com os maiores expoentes,
concluímos que 23 e o 5 pertencem à fatoração do número X e o 3 PODE
pertencer, uma vez que ele está no MMC e já está na fatoração do 6
Logo, os valores possíveis para X são: X = 23x5 = 40 ou X = 23x3x5=120
Analisando as alternativas, X = 40
Gabarito: Letra E
*******
Questão 23: FCC - EPP (SEPLA DR SP)/SEPLADR (SP)/2009
Na Assembleia Legislativa de um estado, 1/6 dos deputados são
filiados ao partido A, 1/8 ao partido B, 1/9 ao partido C e 1/12 ao
partido D, sendo os restantes filiados ao partido E. A partir desses
dados, é correto concluir que a quantidade de deputados desse
estado filiados ao partido E é, no mínimo, igual a
a) 55
b) 37
c) 33
d) 25
e) 19
00000000000
SOLUÇÃO:
Seja N o total de filiados:
é
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 43 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
é
é
é
Para achar o restante, fazemos o total menos as quantidades já filiadas aos
demais partidos.
Nestas questões de
6 8 9 12
3 4 9 6
3 2 9 3
3 1 9 3
1 1 3 1
1 1 1 1
fração, temos que calcular o MMC dos denominadores.
2
2
2
3
3
MMC = 23x32=72
Como N deve ser um número natural, para que a divisão acima também
seja um número natural, N deve ser múltiplo de 37. Analisando as
respostas, ficamos com o próprio 37.
00000000000
Gabarito: Letra B
*******
Questão
24:
FCC
AJ
TRT6/TRT
6/Judiciária/"Sem
Especialidade"/2012
Os Jogos Pan-americanos ocorrem de 4 em 4 anos, as eleições
gerais na Índia ocorrem de 5 em 5 anos e o Congresso
Internacional de Transportes a Cabo ocorre de 6 em 6 anos. Se
esses eventos aconteceram em 1999, a próxima vez que os três
voltarão a ocorrer num mesmo ano será em
a) 2119.
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 44 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
b) 2059.
c) 2044.
d) 2029.
e) 2023.
SOLUÇÃO:
MMC(4,5,6)
4
2
1
1
1
5
5
5
5
1
6
3
3
1
1
2
2
3
5
MMC = 22x3x5=60
1999 + 60 = 2059
Gabarito: Letra B
*******
Questão 25: FCC - TJ TRF4/TRF 4/Administrativa/"Sem
Especialidade"/2010
Suponha que, sistematicamente, três grandes instituições − X , Y
e Z − realizam concursos para preenchimento de vagas: X de 1,5
em 1,5 anos, Y de 2 em 2 anos e Z de 3 em 3 anos. Considerando
que em janeiro de 2006 as três realizaram concursos, é correto
concluir que uma nova coincidência ocorrerá em
a) julho de 2015.
b) junho de 2014.
c) julho de 2013.
d) janeiro de 2012.
e) fevereiro de 2011.
00000000000
SOLUÇÃO:
Vamos transformar em meses.
X -> 1,5 anos = 18 meses
Y -> 2 anos = 24 meses
Z -> 3 anos = 36 meses
MMC(18,24,36)
18 24 36
9 12 18
9 6 9
9 3 9
Prof. Felipe Lessa
2
2
2
3
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 45 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
3
1
1
1
3 3
1
MMC = 23x32=72
A próxima coincidência ocorrerá em 72 meses, ou 6 anos. Logo, em janeiro
de 2012.
Gabarito: Letra D
******
Questão 26: FCC - Tec MPU/MPU/Informática/2007
Em uma sede da Procuradoria da Justiça serão oferecidos cursos
para a melhoria do desempenho pessoal de seus funcionários.
Considere que:
- essa sede tem 300 funcionários, 5/12 dos quais são do sexo
feminino;
- todos os funcionários deverão fazer um único curso e, para tal,
deverão ser divididos em grupos, cada qual composto com pessoas
de um mesmo sexo;
- todos os grupos deverão ter o mesmo número de funcionários;
- cada grupo formado terá seu curso em um dia diferente dos
demais grupos.
Diante disso, a menor quantidade de cursos que deverão ser
oferecidos é
00000000000
a) 25
b) 20
c) 18
d) 15
e) 12
SOLUÇÃO:
Quantidade de mulheres: M = (5/12)x300 = 125
Quantidade de homens: H = 300 – 125 = 175
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 46 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
A menor quantidade de cursos é quando eu divido o número de homens
e mulheres pelo mesmo número e esse número é máximo, ou seja,
estamos falando do MDC entre 125 e 175.
175÷125 = 1, com resto 50
125÷50 = 2, com resto 25
50÷25 = 2, com resto 0 -> Divisão exata! MDC(175,125) = 25
Mas cuidado com a pegadinha! 25 não é ainda a quantidade de cursos.
25 é a quantidade máxima de pessoas por curso. Para saber a
quantidade de cursos, basta dividir:
300÷25 = 12
Gabarito: Letra E
*******
Questão 27: VUNESP - ETJ (TJM SP)/TJM SP/2011
Ao longo de um dia, um supermercado fez vários anúncios dos
produtos A, B e C, todos eles com o mesmo tempo de duração. Os
tempos totais de aparição dos produtos A, B e C foram,
respectivamente, iguais a 90s, 108s e 144s. Se a duração de cada
anúncio, em segundos, foi a maior possível, então, a soma do
número de aparições dos três produtos, nesse dia, foi igual a
a) 14.
b) 15.
c) 17.
d) 18.
e) 19.
SOLUÇÃO:
00000000000
Vamos achar a duração de cada um. Se ela é a maior possível, deve ser
o MDC entre 90, 108 e 144
90 108 144 2
45 54 72 2
45 27 36 2
45 27 18 2
45 27
9 3
15
9
3 3
5
3
1 3
5
1
1 5
1
1
1
MMC = 2x32=18
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 47 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
Para saber quantas vezes cada um apareceu, basta dividir o tempo total
de aparição pelo tempo de cada anúncio, a saber 18:
A: 90 ÷ 18 = 5 aparições
B: 108 ÷ 18 = 6 aparições
C: 144 ÷ 18 = 8 aparições
Total de aparições: 5 + 6 + 8 = 19
Gabarito: Letra E
*******
Questão 28: CESGRANRIO - Tec Adm (BNDES)/BNDES/2013
Seja x um número natural tal que o mínimo múltiplo comum entre
x e 36 é 360, e o máximo divisor comum entre x e 36 é 12.
Então, a soma dos algarismos do número x é
a) 3
b) 5
c) 9
d) 16
e) 21
SOLUÇÃO:
Vamos decompor o 36
36 2
18 2
9 3
3 3
1
00000000000
36 =
22x32
Vamos decompor o MMC = 360
360 2
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1
360 = 23x32x5
Vamos decompor o MDC 12
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 48 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
12 2
6 2
3 3
1
12 = 22x3
36 = 22x32
MMC (36, x) = 23x32x5
MDC (36, x) = 22x3
Vamos lembrar das propriedades do MMC
O MMC é o produto de todos os fatores, com os maiores expoentes.
Se o MMC entre 36 (22x32) e x é 23x32x5, posso inferir que 23 é fator de x
e que 5 é fator de x. Então, x é, no mínimo, da forma 2 3x5. Ainda nada
podemos afirmar sobre a presença ou não do fator 3 na fatoração de x.
Vamos continuar analisando lembrando das propriedades do MMC
O MDC é o produto dos fatores comuns com os menores expoentes.
Se o MDC entre 36 (22x32) e x é 22x3, posso inferir que 3 é fator de x.
Como o 3 já aparece elevado ao quadrado no 36, ele deve estar elevado a
1 em x. Então, x é igual 23x3x5 = 120
A soma dos algarismos de x é igual a 3
Gabarito: Letra A
*******
00000000000
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 49 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
VI. Lista das Questões Apresentadas
Questão 1: FJG - CAM (Pref RJ)/Pref RJ/2002
O algarismo das unidades de um número de dois algarismos é y e o
das dezenas é x. Colocando-se um algarismo z à direita desse
número, obtém-se o seguinte número:
a) 1000x + 100y + 10z
b) 1000x + 10y + z
c) 100y + 10x + z
d) 100x + 10y + z
Questão 2 - (TTN - 1997 / ESAF)
Nos sistemas de numeração posicional, cada dígito da seqüência
que representa o número pode ser interpretado como o coeficiente
de uma potência da base, onde o valor do expoente depende da
posição do dígito na seqüência. Entre tais sistemas, um dos mais
importantes é o binário, ou de base 2, que utiliza apenas os dígitos
0 e 1 na notação dos números. Por exemplo, o número que
corresponde ao 11 do sistema decimal, é indicado por 1011 no
sistema binário, pois 11 (decimal) é igual a
(1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20)
Assim, o resultado, expresso no sistema decimal, da adição dos
números binários 1011 e 101 será igual a
a) 15
b) 13
c) 14
d) 12
e) 16
Questão 3 - ESAF - ATEng (Pref RJ)/2010
A seguir estão representados pelo sistema binário, formado apenas
pelos algarismos 0 e 1, os números naturais de 0 a 16 em ordem
crescente: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011,
1100, 1101, 1110, 1111, 10000. Qual é o número que corresponde
ao binário 111011?
a) 59
b) 60
c) 58
d) 61
e) 62
00000000000
Questão
4:
FCC
AJ
TRF4/TRF
4/Apoio
Especializado/Contadoria/2010
Sabe-se que, no Brasil, nas operações financeiras é usado o sistema
decimal de numeração, no qual um número inteiro N pode ser
representado como:
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 50 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
N = an.10n + an-1.10n-1 + an-2 .10n-2 +... + a2 .102 + a1 .101 + a0 .100,
em que 0 ≤ ai < 10 , para todo 0 ≤ i ≤ n.
Nesse sistema, por exemplo, 8903 = 8.103 + 9.102 + 0.101 + 3.100
Suponha que, em férias, Benivaldo visitou certo país, no qual todas
as operações financeiras eram feitas num sistema de numeração de
base 6 e cuja unidade monetária era o “delta”. Após ter gasto 2014
deltas em compras numa loja e percebendo que dispunha
exclusivamente de cinco notas de 100 reais, Benivaldo convenceu
o dono da loja a aceitar o pagamento na moeda brasileira,
dispondo-se a receber o troco na moeda local. Nessas condições, a
quantia que ele recebeu de troco, em deltas, era
a) 155.
b) 152.
c) 145.
d) 143.
e) 134.
Questão 5: FJG - ACE (TCM-RJ)/TCM-RJ/Tecnologia da
Informação/2011
Um orfanato costuma levar para passear suas 72 crianças. O
passeio é feito em grupos pequenos, sempre com o mesmo número
de participantes de cada vez, e os grupos são formados por mais de
5 e menos de 20 participantes por vez. Desse modo, o número de
maneiras diferentes pelas quais podem ser reunidas essas crianças
é de:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
Questão 6: FCC - AFR SP/SEFAZ SP/Gestão Tributária/2009
O tabuleiro a seguir é usado em um jogo que uma professora de
Matemática costuma propor a seus alunos do 6º ano.
00000000000
A cada rodada, cada jogador, inicialmente colocado na casa onde
está marcado o número 7, deve jogar um dado numerado de 1 a 6
e dividir o número da casa onde se encontra pela pontuação obtida
no dado. O resto dessa divisão indicará a quantidade de casas que
ele deverá avançar. Por exemplo, se na primeira rodada um jogador
tirar 5, ele deverá avançar 2 casas, que é o resto da divisão de 7
por 5, chegando à casa onde está marcado o número 27. O jogador
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 51 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
que primeiro atingir a casa onde está escrito CHEGADA é o
vencedor.
Lendo-se as regras do jogo, percebe-se que sua dinâmica depende
dos números marcados nas diversas casas do tabuleiro. O número
27, marcado na terceira casa, poderia ser trocado, sem que
houvesse qualquer alteração na dinâmica do jogo, pelo número
a) 77
b) 81
c) 84
d) 87
e) 96
Questão 7: FCC - AFTM SP/Pref SP/Gestão Tributária/2012
Considere a multiplicação abaixo, em que letras iguais representam
o mesmo dígito e o resultado é um número de 5 algarismos.
RAMOS
x
9
SOMAR
A soma (S + O + M + A + R) é igual a
a) 25.
b) 27.
c) 29.
d) 31.
e) 33.
Questão 8: ESAF - AUFC/TCU/1999
Em uma escola de música, exatamente 1/4 do número total de
vagas é destinado para cursos de violino, e exatamente 1/8 das
vagas para os cursos de violino são destinadas para o turno diurno.
Um possível valor para o número total de vagas da escola é:
a) 160
b) 164
c) 168
d) 172
e) 185
00000000000
Questão 9: CESGRANRIO - Tec (INSS)/INSS/2005
A razão entre o número de homens e de mulheres, funcionários da
firma W, é 3/5. Sendo N o número total de funcionários (número
de homens mais o número de mulheres), um possível valor para N
é:
a) 46
b) 49
c) 50
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 52 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
d) 54
e) 56
Questão 10: ESAF - Ag Exec (SUSEP)/SUSEP/2006
Obtenha o mínimo múltiplo comum entre 6, 10 e 15.
a) 30
b) 60
c) 90
d) 120
e) 150
Questão 11: FCC - AuxJ TRF2/TRF 2/Administrativa/2007
Um auxiliar judiciário foi incumbido de arquivar 360 documentos:
192 unidades de um tipo e 168 unidades de outro. Para a execução
dessa tarefa recebeu as seguintes instruções:
- todos os documentos arquivados deverão ser acomodados em
caixas, de modo que todas fiquem com a mesma quantidade de
documentos;
- cada caixa deverá conter apenas documentos de um único tipo.
Nessas condições, se a tarefa for cumprida de acordo com as
instruções, a maior quantidade de documentos que poderá ser
colocada em cada caixa é
a) 8
b) 12
c) 24
d) 36
e) 48
Questão 12: FGV - ACI (SEFAZ RJ)/SEFAZ RJ/2011
Quando o número 121 é dividido por um certo divisor, o resto da
divisão é 4. Quando o número 349 é dividido pelo mesmo divisor, o
resto da divisão é 11. Quando a soma dos números 121 e 349 é
dividida pelo mesmo divisor, o resto é 2. O valor do divisor é
a) 15.
b) 19.
c) 9.
d) 13.
e) 17.
00000000000
Questão 13: FCC - AFF (TCE-SP)/TCE-SP/Sistemas/2008
O número 1001011, do sistema binário de numeração, no sistema
decimal de numeração equivale a um número x tal que
a) 0 < x < 26
b) 25 < x < 51
c) 50 < x < 75
d) 74 < x < 100
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 53 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
e) x > 99
Questão 14: FCC - AJ TRT4/TRT 4/Apoio Especializado/Tecnologia
da Informação/2011
No Brasil, o sistema monetário adotado é o decimal. Por exemplo:
205,42 reais = (2 × 102 + 0 × 101 + 5 × 100 + 4 × 10−1 + 2 × 10−2)
reais
Suponha que em certo país, em que a moeda vigente é o “mumu”,
o sistema monetário seja binário. O exemplo seguinte mostra como
converter certa quantia, dada em “mumus”, para reais:
110,01 mumus = (1 × 22 + 1 × 21 + 0 × 20 + 0 × 2−1 + 1 × 2−2)
reais = 6,25 reais
Com base nessas informações, se um brasileiro em viagem a esse
país quiser converter 385,50 reais para a moeda local, a quantia
que ele receberá, em “mumus”, é:
a) 10 100 001,11.
b) 110 000 001,1.
c) 110 000 011,11.
d) 110 000 111,1.
e) 111 000 001,11.
Questão 15: FCC - Tec (BACEN)/BACEN/2006
Suponha que, num banco de investimento, o grupo responsável
pela venda de títulos é composto de três elementos.
Se, num determinado período, cada um dos elementos do grupo
vendeu 4 ou 7 títulos, o total de títulos vendidos pelo grupo é
sempre um número múltiplo de
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
00000000000
Questão 16: FCC - AFF (TCE-SP)/TCE-SP/Sistemas/2008
Dos 50 funcionários que participaram de um curso sobre a
utilização de sistemas aplicativos das atividades meio e fim do
Tribunal de Contas do Estado de São Paulo, sabe-se que:
– todos eram formados em Ciência da Computação ou em
Engenharia de Software, mas apenas em um dos cursos;
– 1/5 do número de mulheres eram formadas em Engenharia de
Software e 7/8 do número de homens eram formados em Ciência
de Computação.
Assim sendo, nesse curso, o total de participantes formados em
Engenharia de Software era
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 54 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
a) 23
b) 17
c) 13
d) 9
e) 7
Questão 17: ESAF - AUFC/TCU/Controle Externo/Controle
Externo/2002
Sabe-se que todo o número inteiro n maior do que 1 admite pelo
menos um divisor (ou fator) primo. Se n é primo, então tem
somente dois divisores, a saber, 1 e n. Se n é uma potência de um
primo p, ou seja, é da forma ps, então 1, p, p2, ..., ps são os divisores
positivos de n. Segue-se daí que a soma dos números inteiros
positivos menores do que 100, que têm exatamente três divisores
positivos, é igual a:
a) 25
b) 87
c) 112
d) 121
e) 169
Questão 18: CESGRANRIO - Tec (BACEN)/BACEN/Área 1/2009
Existe uma regra prática de divisibilidade por 7 com o seguinte
procedimento:
Separa-se o último algarismo da direita. Multiplica-se esse
algarismo por 2 e tal resultado é subtraído do número que restou
sem o algarismo à direita. Procede-se assim, sucessivamente, até
se ficar com um número múltiplo de 7, mesmo que seja zero.
Veja os exemplos a seguir:
00000000000
Seja a um algarismo no número a13.477.307. O valor de a para que
este número seja divisível por 7 é
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 55 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
Questão 19: FCC - Tec MPU/MPU/Apoio Especializado/Controle
Interno/2007
Seja X o menor número positivo que multiplicado por 7 resulta em
um número cujos algarismos são todos iguais a 5. O número X
a) é um quadrado perfeito.
b) é menor que 60 000.
c) é divisível por 9.
d) é tal que o produto 7X tem 5 algarismos.
e) tem a soma dos algarismos igual a 30.
Questão 20: CEPERJ - OF (SEFAZ RJ)/SEFAZ RJ/2010
O produto de dois números naturais é 28, e a soma deles é a menor
possível. A diferença entre eles (o maior menos o menor) é:
a) 2
b) 3
c) 5
d) 9
e) 12
Questão 21: FCC - AuxJ TRT6/TRT 6/Serviços Gerais/2006
Se X é o menor número natural que tem cinco algarismos e Y é o
maior número natural que tem quatro algarismos distintos, a
diferença X − Y é um número
a) divisível por 4.
b) múltiplo de 6.
c) maior que 150.
d) quadrado perfeito.
e) primo.
Questão 22: NCE (UFRJ) - Ag Exec (CVM)/CVM/Suporte
Administrativo/2000
O analista de uma empresa estabeleceu três tipos (A, B e C) de
checagem do sistema de segurança dos computadores. O tipo A
será realizado de 4 em 4 dias e o tipo B de 6 em 6 dias. Os três tipos
terão início simultâneo e coincidirão novamente pela primeira vez
daí a 120 dias.
Assim, a menor freqüência que o tipo C pode ter é de:
a) 10 dias;
b) 12 dias;
c) 24 dias;
d) 36 dias;
e) 40 dias.
00000000000
Questão 23: FCC - EPP (SEPLA DR SP)/SEPLADR (SP)/2009
Na Assembleia Legislativa de um estado, 1/6 dos deputados são
filiados ao partido A, 1/8 ao partido B, 1/9 ao partido C e 1/12 ao
partido D, sendo os restantes filiados ao partido E. A partir desses
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 56 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
dados, é correto concluir que a quantidade de deputados desse
estado filiados ao partido E é, no mínimo, igual a
a) 55
b) 37
c) 33
d) 25
e) 19
Questão
24:
FCC
AJ
TRT6/TRT
6/Judiciária/"Sem
Especialidade"/2012
Os Jogos Pan-americanos ocorrem de 4 em 4 anos, as eleições
gerais na Índia ocorrem de 5 em 5 anos e o Congresso Internacional
de Transportes a Cabo ocorre de 6 em 6 anos. Se esses eventos
aconteceram em 1999, a próxima vez que os três voltarão a ocorrer
num mesmo ano será em
a) 2119.
b) 2059.
c) 2044.
d) 2029.
e) 2023.
Questão 25: FCC - TJ TRF4/TRF 4/Administrativa/"Sem
Especialidade"/2010
Suponha que, sistematicamente, três grandes instituições − X , Y e
Z − realizam concursos para preenchimento de vagas: X de 1,5 em
1,5 anos, Y de 2 em 2 anos e Z de 3 em 3 anos. Considerando que
em janeiro de 2006 as três realizaram concursos, é correto concluir
que uma nova coincidência ocorrerá em
a) julho de 2015.
b) junho de 2014.
c) julho de 2013.
d) janeiro de 2012.
e) fevereiro de 2011.
00000000000
Questão 26: FCC - Tec MPU/MPU/Informática/2007
Em uma sede da Procuradoria da Justiça serão oferecidos cursos
para a melhoria do desempenho pessoal de seus funcionários.
Considere que:
- essa sede tem 300 funcionários, 5/12 dos quais são do sexo
feminino;
- todos os funcionários deverão fazer um único curso e, para tal,
deverão ser divididos em grupos, cada qual composto com pessoas
de um mesmo sexo;
- todos os grupos deverão ter o mesmo número de funcionários;
- cada grupo formado terá seu curso em um dia diferente dos
demais grupos.
Prof. Felipe Lessa
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 57 de 58
Matemática e Raciocínio Lógico p/ ATA-MF
Teoria e exercícios comentados
Prof. Felipe Lessa – Aula 0
Diante disso, a menor quantidade de cursos que deverão ser
oferecidos é
a) 25
b) 20
c) 18
d) 15
e) 12
Questão 27: VUNESP - ETJ (TJM SP)/TJM SP/2011
Ao longo de um dia, um supermercado fez vários anúncios dos
produtos A, B e C, todos eles com o mesmo tempo de duração. Os
tempos totais de aparição dos produtos A, B e C foram,
respectivamente, iguais a 90s, 108s e 144s. Se a duração de cada
anúncio, em segundos, foi a maior possível, então, a soma do
número de aparições dos três produtos, nesse dia, foi igual a
a) 14.
b) 15.
c) 17.
d) 18.
e) 19.
Questão 28: CESGRANRIO - Tec Adm (BNDES)/BNDES/2013
Seja x um número natural tal que o mínimo múltiplo comum entre
x e 36 é 360, e o máximo divisor comum entre x e 36 é 12.
Então, a soma dos algarismos do número x é
a) 3
b) 5
c) 9
d) 16
e) 21
1
2
3
4
5
6
7
8
D
E
A
E
C
D
B
A
9
10
11
12
13
14
15
16
E
A
C
D
D
B
A
E
17
18
19
20
21
22
23
24
B
C
E
B
A
E
B
B
25
26
27
28
D
E
E
A
Prof. Felipe Lessa
00000000000
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
Página 58 de 58