1 - Os Fantásticos Números Primos

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Ternos pitagóricos e sequências numéricas
Ricardo J. da Silva
Ternos pitagóricos
e sequências numéricas
Ricardo J. da Silva
São Paulo
março de 2017
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Ternos pitagóricos e sequências numéricas
Ricardo J. da Silva
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Ternos pitagóricos
e sequências numéricas
Capa, Diagramação e Produção Gráfica
Ricardo J. da Silva
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São Paulo
março de 2017
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Ternos pitagóricos e sequências numéricas
I
Ricardo J. da Silva
magine esta situação:
Você se depara hoje com o seguinte grupo (3, 4, 5), começa a analisar, vê que são três
números, um seguido do outro, dois números ímpares, um número par.
Alguns milênios atrás, nem alfabeto e números existiam, você hoje, é um privilegiado, você
enxergou três números e os caracterizou-os como pares e ímpares.
Estou falando de uma sequência numérica, com números que têm nomes: três, quatro e
cinco, que podem ser classificados como pares e ímpares; formam um terno (conjunto de três
números), vejam quantas informações elementares consegue-se extrair deste exemplo.
Este (3, 4, 5) faz parte hoje do que é denominado: Terno Pitagórico, Trinca Pitagórica,
Tripla Pitagórica, etc., e já era conhecido pelas civilizações mais remotas como: babilônios,
egípcios, indianos e chineses que o utilizavam de forma prática em seus dia-dia e deixaram
raros escritos ou inscrições em tabuletas de argila, papiros, pergaminhos, ossos, etc.
A civilização grega apareceu e em seu explendor começou a formalizar o conhecimento,
isto é, escrever como e porque eventos físicos, mecânicos, químicos, astronômicos,
matemáticos, etc, aconteciam, e com a matemática não foi diferente, devemos a Euclides de
Alexandria a reunião de conhecimento matemático em sua obra Os Elementos.
Então, passei também a fazer análises a partir da sequência (3, 4, 5), dela surgiu este
estudo: Ternos Pitagóricos e sequências numéricas, que discorre sobre regularidades e
padrões numéricos encontrados em ternos pitagóricos.
Com vários exemplos práticos, você leitor, neste estudo inédito verá que ternos primitivos
estão relacionados com a ordem de números triangulares e que eles formam um grupo
especial dentro do conjunto de todos os ternos primitivos e derivados.
Há também a ocorrência de um outro grupo especial de ternos primitivos, os quais neste
estudo são denominados de Ternos Raros, pois não ocorrem com frequência em relação aos
demais ternos pitagóricos, sejam eles primitivos ou derivados.
Aprenderá a formar um terno pitagórico sem o uso da Fórmula Padrão, simplesmente
escolhendo um determinado número.
Aprenderá também a deduzir como um terno primitivo ou derivado foi formado, observando
as posições dos seus termos.
Espero que você goste e aprecie este estudo com as belezas que a matemática nos
proporciona.
Boa leitura!
Ricardo J. da Silva
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Ricardo J. da Silva
CAPÍTULO
1
NÚMEROS
8
1.01 - Números naturais ............................................................................................... 9
1.02 - Números pares ................................................................................................... 9
1.03 - Números ímpares ............................................................................................... 9
1.04 - Números primos ................................................................................................. 9
1.05 - Números compostos........................................................................................ 10
1.06 - Número primos entre si ................................................................................... 10
1.07 - Números quadrados perfeitos .........................................................................11
1.07.01 - Podem ser gerados através de uma multiplicação. .................................................11
1.07.02 - Podem ser gerados através de uma potenciação. ...................................................11
1.07.03 - Podem ser gerados pela soma consecutiva de números ímpares. ..........................12
1.07.04 - Podem ser gerados pela soma consecutiva de números triangulares. ....................12
1.08 - Números figurados .......................................................................................... 12
1.08.01 - Números figurados triangulares ................................................................................13
1.08.02- Podem ser gerados pela soma consecutiva de números naturais a partir de 1. .......13
1.08.03 - Números figurados quadrados..................................................................................13
CAPÍTULO
2
TRIÂNGULOS
14
2.01- Triângulos .......................................................................................................... 15
2.02 - O triângulo retângulo isóceles........................................................................ 16
2.03 - O triângulo equilátero ...................................................................................... 17
2.04 - O triângulo retângulo escaleno ...................................................................... 18
2.05 - Os ângulos agudos no triângulo retângulo escaleno .................................. 21
2.06 - Os ângulos agudos no triângulo retângulo escaleno de lados (3, 4, 5) ..... 21
CAPÍTULO
3
TERNO PITAGÓRICO
22
3.01 - O que é um terno pitagórico ........................................................................... 23
3.02 - O clássico terno pitagórico 3, 4, 5 .................................................................. 23
CAPÍTULO
4
TERNOS PITAGÓRICOS GERADOS SEM FÓRMULA
25
4.01 - A soma de dois números quadrados consecutivos ..................................... 26
4.02 - Método de construção da tabela com a soma de números quadrados ...... 27
5
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CAPÍTULO
5
FÓRMULAS PARA GERAR TERNOS PITAGÓRICOS
30
5.01 - Gerando ternos pitagóricos primitivos e derivados .....................................31
CAPÍTULO
6
ESTRUTURA DA TABELA DE TERNOS PITAGÓRICOS
35
6.01- Coluna Triangulares...........................................................................................36
6.02 - Coluna Ordem....................................................................................................36
6.03 - Colunas m e n ....................................................................................................36
6.04 - Coluna m2 e n2 ...................................................................................................36
6.05 - Coluna Primitivo ou Derivado ..........................................................................36
6.06 - Coluna Par ou Ímpar .........................................................................................37
6.07- Coluna a .............................................................................................................39
6.08 - Coluna b .............................................................................................................39
6.09 - Coluna c .............................................................................................................39
6.10 - Colunas a2, b2 e c2 .............................................................................................40
CAPÍTULO
7
TABELA DE TERNOS PITAGÓRICOS
41
7.01 -Tabela de ternos pitagóricos primitivos e derivados .....................................42
CAPÍTULO
8
TERNOS PRIMITIVOS DE ORDEM TRIANGULAR
46
8.01 - Ternos primitivos de ordem triangular ...........................................................47
8.02 - Os intervalos entre ternos primitivos de ordem triangular ...........................48
8.03 - O primeiro termo dos ternos primitivos de ordem triangular .......................49
8.04 - A soma do segundo e terceiro termos de ternos primitivos ........................49
8.05 - Os números primos entre si e os ternos de ordem triangular.....................50
8.06 - Método prático para gerar terno primitivo de ordem triangular ...................51
8.07- Os primeiros 31 ternos primitivos de ordem triangular .................................54
8.08 - Ternos primitivos de ordem triangular e os múltiplos de 4 .........................55
8.09 - O produto de um número triangular por 4 .....................................................56
8.10 - Método para se gerar terno primitivo triangular a partir de um . .................56
6
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CAPÍTULO
9
TERNOS PRIMITIVOS DE ORDEM NÃO TRIANGULAR
58
9.01 - Ternos primitivos de ordem não triangular - modelo base (15, 8, 17) ........59
9.02 - Ternos primitivos de ordem não triangular (ímpar, par, ímpar) ....................59
9.03 - Método para se gerar ternos primitivos com múltiplos de 4 ........................61
CAPÍTULO
10
TERNOS PRIMITIVOS RAROS
63
10.01 - Ternos primitivos de ordem não triangular - ternos raros ..........................64
CAPÍTULO
11
TERNOS PITAGÓRICOS DERIVADOS
66
11.01 - Ternos derivados .............................................................................................67
11.02 - Ternos derivados cujos termos são todos pares .........................................67
11.03 - Ternos derivados cujo primeiro termo é ímpar ............................................70
CAPÍTULO
12
NÚMEROS TRIANGULARES E TERNOS PITAGÓRICOS .........................................72
12.01 - Números triangulares e ternos pitagóricos ..................................................73
12.02 - Como encontrar um terno primitivo de ordem triangular ...........................73
12.03 - Como encontrar um terno primitivo de ordem não triangular ....................73
12.04 - Como encontrar um terno derivado cujo o termo do meio é ......................74
12.05 - Números triangulares e a quantidade de ternos pitagóricos .....................75
13
BIBLIOGRAFIA.............................................................................................................77
7