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GAAL
Lista 4
Data da lista:
Preceptora:
Cursos atendidos:
Coordenador:
12/06/2016
Marcela
Engenharia Civil
Francisco Sobral
1. Escreva equações vetorial e paramétricas para os planos descritos abaixo:
a) π passa por A = (1, 1, 0) e B = (1, −1, −1) e é paralelo ao vetor
~v = (2, 1, 0);
b) π passa pelos pontos A = (1, 0, 1), B = (2, 1, −1) e C = (1, −1, 0).
2. Ache os pontos A e B da interseção dos planos π1 e π2 , e escreva uma
equação vetorial para a reta que passa por A e B; com
π1 : (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(0, 1, 1) + µ(1, 2, 1)
e
π2 : (x, y, z) = (0, 0, 0) + λ(0, 3, 0) + µ(−2, −1, −1).
3. Obtenha equações paramétricas do plano π que passa pelo ponto
A = (1, 1, 2) e é paralelo ao plano
π1 : (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(1, 2, −1) + µ(2, 1, 0).
4. Obtenha equações gerais para os planos π descritos abaixo:
1
a) π passa pelos pontos A = (1, 0, 1) e B = (0, 1, −1) e é paralelo ao
segmento CD, com C = (1, 2, 1) e D = (0, 1, 0);
b) π passa pelos pontos A = (1, 0, 2), B = (−1, 1, 3) e C = (3, , −1, 1).
x−1
y
5. Dadas as retas r :
=
e
s : x − 1 = y = z,
2
2
obtenha uma equação geral para o plano determinado por r e s.

 x=1+λ−µ
y = 2λ + µ
6. Obtenha uma equação geral do plano π :
.

z =3−µ
7. Verifique se a reta r : (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(2, −1, 0) está contida no
plano π : x + 2y + 3z = 1.
8. Obtenha um vetor normal ao plano π nos seguintes casos:
a) π passa pelos pontos A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 1) e C = (1, 2, 3);

 x=1+α
y =2−α+β .
b) π tem equações paramétricas

z = α − 2β
9. Obtenha uma equação geral do plano π que passa pelo ponto
P = (1, 1, 2) e é paralelo a π1 : x − y + 2z + 1 = 0.
10. Dê uma equação geral do plano π que passa pela origem e é perpendicular à reta que passa por A = (1, 1, 1) e B = (2, 1, −1).
11. Estude a posição relativa das retas r e s nos seguintes casos:
a) r : (x, y, z) = (1, −1, 1) + λ(−2, 1, −1)
s:
y+z =3
;
x+y−z =6
2
b) r :
y
z+1
x+1
= =
2
3
2
s : (x, y, z) = (0, 0, 0) + λ(1, 2, 0);
x+1
c) r :
= y = −z
2
s:
x + y − 3z = 1
.
2x − y − 2z = 0
12. Dadas as retas
r:
x = my − 1
,
z =y−1
s:x=
y
= z,
m
t : −x + z = y = −z − 1;
encontre m ∈ R, para que:
a) r e s sejam paralelas;
b) r, s e t seja paralelas a um mesmo plano;
c) r e s sejam concorrentes;
d) s e t sejam coplanares;
e) r e s sejam reversas.
13. Determine m para que as retas r : (x, y, z) = (1, 0, 2) + λ(2, 1, 3) e
s : (x, y, z) = 0, 1, −1) + λ(1, m, 2m) sejam coplanares e, nesse caso,
estude sua posição relativa.
14. Estude a posição relativa da reta r e do plano π nos seguintes casos:
a)r : (x, y, z) = (1, 1, 0) + λ(0, 1, 1) e π : x − y − z = 2;
b)r :
x−1
= y = z e π : (x, y, z) = (3, 0, 1) + λ(1, 0, 1) + µ(2, 2, 0);
2
c)r : (x, y, z) = (0, 0, 0) + λ(1, 4, 1) e
π : (x, y, z) = (1, −1, 1) + λ(0, 1, 2) + µ(1, −1, 0).
3
15. Calcule m para que a reta r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(2, m, 1) seja paralela ao plano π : x − 3y + z = 1.
16. Estude a posição relativa de π1 e π2 nos seguintes casos:
a)π1 : (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(0, 1, 1) + µ(−1, 2, 1) e
π2 : (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(1, −1, 0) + µ(−1, −1, −2);
b)π1 : 2x − y + 2z − 1 = 0 e π2 : 4x − 2y + 4z = 0;
c)π1 : x−y+2z−2 = 0 e π2 : (x, y, z) = (0, 0, 1)+λ(1, 0, 3)+µ(−1, 1, 1).
17. Calcule m para que os planos
π1 : (x, y, z) = (1, 1, 0) + λ(m, 1, 1) + µ(1, 1, m)
e
π2 : 2x + 3y + n = 0
sejam paralelos distintos, nos casos:
a)n = −5;
b)n = 1.
18. Verifique se as retas r e s são ortogonais; em caso afirmativo, se são
também perpendiculares.
a) r : (x, y, z) = (1, 2, 3)+λ(1, 2, 1) e s : (x, y, z) = (2, 4, 4)+λ(−1, −, −1);
b)
y−3
z
x−1
=
= e s : (x, y, z) = (1, 3, 0) + λ(0, −7, 5);
2
5
7
c)r : (x, y, z) = (0, 1, 0)+λ(3, 1, 4) e s : (x, y, z) = (−1, 1, 0)+λ(1, 0, 1).
19. Verefique se r é perpendicular a π nos casos:
a) r : (x, y, z) = (3, 1, 4) + λ(1, −1, 1) e
π : (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(0, 1, 0) + µ(1, 1, 1);
b)r : (x, y, z) = (3, 1, 4) + λ(−1, 0, 1) e
π : (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(0, 2, 0) + µ(1, 1, 1).
4
20. Ache equações paramétricas da reta que passa por P = (1, −1, 0) e é
perpendicular ao plano π : (x, y, z) = (1, −1, 1) + λ(1, 0, 1) + µ(1, 1, 1).
21. Ache o simétrico de P = (1, 4, 2) em relação ao plano π : x−y+z−2 = 0.
22. Verefique se os planos dados são perpendiculares nos casos:
a)(x, y, z) = (1, −3, 4) + λ(1, 0, 3) + µ(0, 1, 3) e
(x, y, z) = (0, 0, 0) + λ(1, 1, 6) + µ(1, −1, 0);
b)(x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(−1, 0, −1) + µ(4, 1, 1) e
(x, y, z) = (3, 1, 1) + λ(1, −3, −1) + µ(3, 1, 0);
23. Dados os planos π1 : x − y + z + 1 = 0, π2 : x + y − z − 1 = 0 e
π3 : x + y + 2z − 2 = 0 ache a equação do plano que contém π1 ∩ π2 e
é perpendicular a π3 .
24. Ache o co-seno de ângulo entre as retas:
a) (x, y, z) =
, 2, 0)
( −5
2
+
λ( 12 , 1, 1)
e
3x − 2y + 16 = 0
;
3x − z = 0


 x = −2 + λ
 x=3+λ
y = 3+λ√
−2 − λ e
;
b) y = √


z = 2λ
z = −5 + 2λ
1−y
z
3x + y − 5z = 0
c) x =
= e
.
2x
+ 3y − 8z = 1
2
3
25. Ache a medida em radianos do ângulo entre a reta e o plano dados:
a)
x=0
e z = 0;
y=z
b) (x, y, z) = (0, 0, 1) + λ(−1, 1, 0) e z = 0;

 x=1+λ
y=λ
c)
.

z = −2λ
5
26. Ache a medida em radianos do ângulo entre os planos:
a) 2x + y − z − 1 = 0 e x − y + 3z − 10 = 0;
b)(x, y, z) = (0, 0, 0) + λ(1, 0, 0) + µ(1, 1, 1) e
(x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(−1, 2, 0) + µ(0, 1, 0);
c)(x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(1, 0, 1) + µ(−1, 0, 0) e x + y + z = 0.
27. Ache uma reta que passa por P = (1, 2, 3), e que forma ângulos de 45o
e 65o respectivamente com o eixo x e y.
28. Calcule a distância entre os pontos P e Q nos casos:
a)P = (0, −1, 0) e Q = (−1, 1, 0);
b) P = (−1, −3, 4) e Q = (1, 2, −8).
29. Calcule a distância do ponto P á reta r nos casos:
a)P = (0, −1, 0) e r :
x = 2z − 1
;
y =z+1

 x=λ
y = λ2 ;
b)P = (1, 0, 1) e r :

z = λ3
c) P = (1, −1, 4) e r :
x−2
y
z−1
=
=
.
4
−3
−2
30. Calcule a distância entre as retas paralelas dadas:
a)
y
x−1
= 1 = z e (x, y, z) = (0, 0, 2) + λ(−2, 12 , 1);
−2
2
b)x =
y−3
y+1
=z−2 e x−3=
= z − 2.
2
2
6
31. Calcule a distância do ponto P ao planos π nos casos:
a)P = (0, 0, −6) e π : x − 2y − 2z − 6 = 0;
5
, 1) + µ(1, 0, 0);
b) P = (9, 2, −2) e π : (x, y, z) = (0, −5, 0) + λ(0, 12
c)P = (0, 0, 0) e π : 2x − y + 2z − 3 = 0.
32. Calcule a distância entre os planos paralelos:
a) 2x − y + 2z + 9 = 0 e 4x − 2y + 4z − 21 = 0;

 x=2−λ−µ
b) y = µ
e x + y + z = 52 .

z=λ
7