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SUMÁRIO
1ª PARTE:.................................................................................................................................................
03
Números Inteiros...................................................................................................................................
03
Múltiplos................................................................................................................................................
07
Divisores...............................................................................................................................................
07
MMC e MDC.........................................................................................................................................
08
2ª PARTE: ................................................................................................................................................
09
Números Racionais e Reais.................................................................................................................
09
Operações com frações, decimais e radicais.......................................................................................
09
3ª PARTE:.................................................................................................................................................
16
Razões, Proporções e Regra de três....................................................................................................
16
4ª PARTE:.................................................................................................................................................
31
Porcentagem e taxas............................................................................................................................
31
5ª PARTE:.................................................................................................................................................
40
Sequências............................................................................................................................................
40
Professor Ivan Zecchin
1
2
Professor Ivan Zecchin
CURSO EXTENSIVO DE MATEMÁTICA
MAIO/JUNHO-2012
CONTEÚDO – 8 ENTRADAS
Números Inteiros
Múltiplos
Divisores
MMC e MDC
Números Racionais e Reais
Operações com frações e decimais.
Razões, Proporções e Regra de três.
Porcentagem e taxas.
Sequências
1ª PARTE:
Números Inteiros
Múltiplos
Divisores
MMC e MDC
NÚMEROS INTEIROS, RACIONAIS E REAIS;
PROBLEMAS DE CONTAGEM
Reforçando o que foi comentado nos naturais,
notem que o conjunto dos números inteiros veio
sanar a dificuldade que tínhamos em relação à
subtração em N.
Os números inteiros podem ser apresentados
graficamente através de uma rua, estabelecendose um sentido positivo, um ponto de origem O,
que representa o inteiro zero, e adotando-se um
segmento unitário cuja extremidade representará
o número 1.
Para cada inteiro positivo, marcamos um
segmento no sentido positivo, cuja extremidade
representará o inteiro mencionado, da mesma
forma para os negativos, no sentido contrário.
Naturais
Chama-se conjunto dos naturais o conjunto
formado pelos números 0, 1, 2, 3, …
É indicado por N.
Observem que não é possível definir nos
conjuntos anteriores a operação de divisão, dando
p
significado à expressão
, onde p e q são
q
Em N são definidas duas operações: adição e
multiplicação.
Outros conjuntos que serão apresentados são
ampliações dos naturais e foram surgindo devido
às “dificuldades” de se trabalhar em N.
inteiros e q ≠ 0.
O conjunto dos racionais vem superar esta
dificuldade.
Chama-se, então, números racionais a todo
Inteiros
número do tipo
Chama-se conjunto dos números inteiros o
conjunto formado pelos números ... -3, -2, -1, 0, 1,
2, 3,
Então:
É indicado por Z
Professor Ivan Zecchin
Q = {x | x =
p
q
, onde p, q ЄZ e q ≠0.
p
, p, q Є Z e q ≠ 0}
q
3
Onde Q é o conjunto dos números racionais.
Importante:
Concluímos que:
a) Todo inteiro é
denominador unitário).
racional
(racional
com
b) Um número decimal exato é racional.
Exemplos:
0,5 =
1
2
;
0,37 =
37
100
; 0,05 =
1
NCZCQCR
20
onde:
c) Toda dízima periódica (número decimal não
exato, mas periódico) é racional.
N = conjunto dos naturais
Exemplos:
Q = conjunto dos racionais
1
0,333... = ;
3
23
0,232323... =
99
Z = conjunto dos inteiros
R = conjunto dos reais
REAIS
Existem certos números que não se “encaixam” no
conjunto anterior (Racionais).
3 = 1,7320508...
Exemplos:
π = 3,141592...
e = 2,7182
Não são decimais exatos, não são periódicos,
portanto, não são racionais; são irracionais.
O conjunto de todos os tipos de números definidos
até agora, racionais ou irracionais, representa o
conjunto dos números reais (R).
Notações:
R+ = { x ∈ R | x ≥ 0}
*
R+ = { x ∈ R | x > 0}
R− = { x ∈ R | x ≤ 0}
*
R− = { x ∈ R | x > 0}
4
INTERVALOS
Introdução
Vimos anteriormente que é possível representar
graficamente os números inteiros (pontos de uma
reta). O mesmo ocorre com os números racionais
e irracionais.
No entanto, esses conjuntos (racionais, irracionais
e inteiros), isoladamente, não preenchem
completamente a reta. Quando, no entanto,
colocamos sobre a reta a união desses três
conjuntos, a reta fica totalmente tomada por esses
pontos; esta reta, que representa R, é chamada
de reta real.
R* = R − {0}
Intervalos
São
subconjuntos
dos
números
determinados por desigualdades.
reais,
Na reta real, os números compreendidos entre 4 e
7, incluindo 4 e 7, constituem o intervalo fechado
[4, 7], ou seja, [4, 7] = {x ЄR | 4 ≤x≤ 7).
Na reta real teríamos:
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Se retirarmos 4 e 7 (extremos) do intervalo,
teremos o intervalo aberto [4,7], ou seja,
[4, 7] = {x ЄR | 4 < x < 7).
Comparação de Números Inteiros
Comparação de números no conjunto dos
Números Inteiros (Z) pode ser representado por
uma reta:
Na reta:
No caso de encontrarmos [4, 7], seria fechado à
direita e aberto à esquerda e teria a representação
gráfica:
Ao compararmos dois números inteiros, o maior
será sempre
sempre o que estiver mais a direita na reta.
+7>+3
+5>0
-2>-6
Outras situações importantes:
[- ∞,
∞ 2]= {x ЄR
R | x < 2}, que podemos representar
por:
Adição de Números Inteiros
[3, ∞[ = {x ЄR | x >3}
Adição de Três ou mais Números Inteiros
Consideremos os seguintes casos:
NÚMEROS INTEIROS
Módulo de um Número Inteiro
1º) Asdrobaldo tinha R$ 800,00 de saldo bancário.
Se durante o dia ele deu um ccheque
heque de R$ 500,00
e fez um depósito de R$ 200,00, qual será o seu
saldo no final do dia?
É à distância ou afastamento desse número até o
zero, na reta inteira, se representa por | |
O módulo de + 8 é 8 e indica-se
indica se por |+ 8| = 8
2º) (+ 4) + (( 3) + (( 5) + (+ 8)
O módulo de - 3 é 3 e indica-se
indica se por || 3| = 3
Somar as quantidades positivas
Números Inteiros Opostos ou Simétricos
É o número que possui o mesmo módulo, mas
sinal diferente.
O oposto de 6 é – 6, ou seja,
seja
| 6 | = || 6| = 6
(+ 4) + (+ 8) = + 12
Somar as quantidades negativas
(- 3) + (- 5) = - 8
Somar os resultados obtidos
(+ 12) + (( 8) = + 4
O oposto de – 9 é 9, ou seja,
|- 9| = | 9 | = 9
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5
Calcular:
c) (5 + 5) – (4 – 6) + (– 3 + 4)
a) 132 + 34 – 78 + 5
d) (–
( 4 + 3) + (4 – 8) – (–
– 5 + 6 – 3)
b) 3 – 56 + 75
e) (5 + 4 – 3) – (– 9 – 23 + 16) – 6
c) 234 – 78 + 67 – 45
a. 27 b. 2 c. 13 d. -3
3 e. 16
d) – 31 – 67 – 56 + 45
Multiplicação de Números Inteiros
Sinais iguais, o produto é positivo
(+ 3) . (+ 4) = + 12
(–
( 5) . (– 6) = + 30
Propriedades da Adição
A adição de dois números inteiros é sempre
um número inteiro;
Sinais diferentes, o produto é negativo
(–
– 2) . (+ 8) à – (+ 2) . (+ 8) = – (+ 16) = – 16
(+ 5) . (–
( 4) = – 20
A adição de dois números inteiros é cumulativa;
A adição de três números inteiros é associativa;
O número 0 (zero) é elemento neutro da adição
em Z.
Multiplicação com mais de dois fatores
(+ 6) . (+ 2) . (–
( 3) = – 36
(–
– 2) . (+ 3) . (–
( 4) = + 24
Subtração de Números Inteiros
Subtrairr dois números inteiros “a” e “b” nessa
Subtrai
ordem, significa adicionar “a” ao oposto de “b”.
(+
(+ 6) – (+ 5) = (+ 6) + (( 5) = + 1
Propriedades da Multiplicação
Multiplicação
A multiplicação de dois números inteiros é
sempre um número inteiro;
(+ 4) – (- 2) = (+ 4) + (+ 2) = + 6
A multiplicação de dois números inteiros é
cumulativa;
Adição Algébrica
A multiplicação de três números inteiros é
associativa;
Toda expressão numérica que contém adição e
subtração representa uma adição algébrica.
– 6 + 45 – 67 + 34 = + 6
+ 6 + (–
( 6 + 5) = + 6 – 6 + 5 = + 5
– 4 – (– 2 + 6 – 4) = – 4 + 2 – 6 + 4 = – 4
Calcular: (Adição/Subtração)
Resolva primeiro o que está dentro dos
parênteses( ( ) )depois colchetes ( [ ] ), depois
chaves( { } ).
O número “+ 1” é elemento neutro da
multiplicação
multiplicação de números inteiros.
Calcular: (Multiplicação de inteiros)
a) (–
( 4) . (– 2) . (+ 8)
b) (+ 7) . (–
( 2) . (+ 4)
c) 12 . (–
( 4) . (+ 2)
d) – 54 . (– 2) . (+ 12)
a. 64 b. -56
56 c. -96
96 d. 1296
a) 34 + [–
[ 4 + (–
( 5 + 4) – 2]
b) 4 – {5 – [– 4 + (+ 4 – 5)] + 8}
6
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Expressões Numéricas
a é múltiplo de c
Calcular:
1.2. Divisor (em Z)
a) 4 . (– 2) + 5 . (+ 3) – (– 7)
Se a = b . c então
b) 14 – 2 . (– 6) + (– 4) . (+ 6)
b é divisor de a
c) Dada a expressão 4a – 3b, determine o seu
valor para a = – 2 e b = – 4.
c é divisor de a
d) Sendo x = – 6, qual é o valor numérico da
expressão 2x + 50?
1.3. Decomposição de um número
Utilizamos o dispositivo prático da seguinte forma:
e) Determine o valor numérico da expressão
2x – 2xy – 6y, quando x = 8 e y = – 3.
60 = 22 . 3 . 5 (forma fatorada)
a. 14 b. 2 c. 4 d. 38 e. 82
Divisão de Números Inteiros
1.4. Divisores de um número
Sinais iguais , o quociente é positivo
1. em IN
(+ 4) : (+ 2) = + 2
(– 10) : (– 2) = + 5
Sinais diferentes, o quociente é negativo.
(– 12) : (+ 2) = – (+ 12) . (+ 2) = – (+ 6) = – 6
(+ 16) : (– 4) = – 4
Os divisores (IN) de 60 são:
Expressões Numéricas Simples
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60
Calcular:
Em Z, os divisores de 60 são:
a) 16 – (– 14) : 2
b) 100 – (+ 48) : 4
-1, -2, -3, -4, -5, -6, -10, -12, -15, -20, -30 e -60,
mais os divisores Naturais.
c) (– 32) : 4 + 6
1.5. Números Primos
a. 23 b. 88 c. -2
Em IN para que um número seja primo só pode
apresentar como divisores a unidade e ele próprio
(2 divisores).
MÚLTIPLOS E DIVISORES
1.1. Múltiplos
Sejam a, b e c números inteiros. Então:
Se a = b . c
Portanto, são primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
1. Reconhecimento de um número primo.
31 é primo?
↓
a é múltiplo de b
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7
Observe que todas as divisões não apresentam
restos nulos e na última, o quociente ficou menor
(pode ser igual) que o divisor, portanto, 31 é
primo.
Outro exemplo: 33 é primo?
Como a 2ª divisão apresenta resto nulo, 33 não é
primo.
1.6. Máximo Divisor Comum (MDC)
O MDC de dois ou mais números é o produto dos
fatores primos comuns, elevando-se cada um dos
fatores ao menor expoente.
1.7. Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
Tomamos como MMC de dois ou mais números o
produto dos fatores comuns e não comuns com o
maior dentre seus expoentes.
Obs.:
Propriedade:
1) Dados os números 60 e 45, temos que o seu
MDC e MMC, serão:
Questões Resolvidas:
1) A editora do livro COMO SER APROVADO NO
CONCURSO PÚBLICO recebeu os seguintes
pedidos, de três livrarias:
Livrarias
Número de exemplares
A
1800
B
2250
C
3150
A editora deseja remeter os três pedidos, em n
pacotes iguais, de tal forma que n seja o menor
possível. O valor de n é:
a) 14
b) 12
c) 15
d) 18
e) 16
RESOL.: O número de livros em cada pacote deve
ser o mesmo, então deverá ser um DIVISOR de
1800, 2250 e 3150.
Como ele deseja o menor número possível de
pacotes, então o nº de livros por pacote deverá ser
o MAIOR possível.
Juntando as duas idéias acima, temos que o nº e
livros por pacote deve ser o MAIOR DIVISOR
COMUM das 3 quantidades.
MDC (1800, 2250, 3150) = 450
MDC (45, 60) = 3 . 5 = 15
Logo, irão 450 livros por pacote.
MMC (45, 60) = 32 . 22 . 5 = 180
Mas, ele pede o nº de pacotes, daí...
Observe a validade da propriedade acima
15 . 180 = 60 . 45
livraria A.................1800/450 = 4
livraria B.................2250/450 = 5
livraria C.................3150/450 = 7
TOTAL de pacotes .......................................... 16
8
Professor Ivan Zecchin
2) Considere todos os múltiplos comuns de 18 e
24. O menor desses múltiplos que supera 500 é:
2ª PARTE:
Números Racionais e Reais
Operações com frações, decimais e radicais.
a) 504
b) 518
c) 572
NÚMEROS RACIONAIS
d) 524
Resolução:
O menor múltiplo comum de 18 e 24
[ mmc(18,24)] é:
18, 24 | 2
Adição e Subtração Algébrica de Números
Fracionários:
- Somente podemos somar ou subtrair frações de
MESMO DENOMINADOR
- Caso não tenham mesmo denominador devemos
escrevê-las com denominadores iguais;
9 12 | 2
9 6 |2
9 3 |3
3 1
|3
1 1.................MMC = 2.2.2.3.3 = 72
-- Acha-se o MMC
-- Divide-se o MMC pelo denominador e multiplicase pelo numerador, de cada fração.
Ex: 3/8 + 1/12 = ?
O MMC de 8 e 12 é 24.
Os próximos múltiplos comuns serão obtidos
somando-se 72
Múltiplos comuns de 18 e 24:
72....144...216....288....360....432....504......
24 : 8 = 3.....3 x 3 = 9 ( novo numerador da 1ª
fração )
24 : 12 = 2....2 x 1 = 2 ( novo numerador da 2ª
fração )
Fica, então......9/24 + 2/24 = 11/24 ( Resposta )
O menor deles, acima de 500 é o 504.
Calcular:
4 7
a) − +
6 4
b) −
2
+ 0,4
5
c) − 7 +
8
3
d) 0,27 – 1,46
3 2
e) 0,27 − 1,46 + 0,1 − − + 1,19
5 4
14
1
f) 5 − 6 + 2
4 3 1
g) − + −
6 4 5
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9
Multiplicação de Números Fracionários
- Numerador vezes numerador e denominador
vezes denominador, simplificando antes, sempre
que possível, qualquer numerador com qualquer
denominador, pelo mesmo número.
Ex: 3/8 x 12/5 = ?
6
4
d) 8
2
−
 3  4
e)  + 4  :  − 6 
   
- observe que 8 e 12 são divisíveis por 4, ficando 2
e 3, respectivamente.
Fica, então......3/2 x 3/5 = 9/10 ( Resposta )
 3 8
a)  + 4 . − 7 
  
 8  3
b)  − 2 . − 5 
  
 6
c)  + 3 .(+0,4)
 
d) (+ 2,5) . (– 4,7)
 3
 8 3
e)  − 2 .(+3,1) −  + 7 . − 4 
 
  
Simplificação de Frações
Simplificar uma fração é dividir seus termos por
um mesmo número e obter termos menores que
os iniciais.
4
1
:4=
8
2
Adição e Subtração de números DECIMAIS.
- Coloca-se vírgula debaixo de vírgula e iguale o
número de casas acrescentando-se zeros e
opera-se “normalmente”.
Ex........31,256 + 4, 48 = ?
31, 256
 4
 3
f)  + 5 .(6) −  − 2 
 
 
 2 4 
g) ( −8). − 6 . + 18 
 

+
04, 480
---------------------35, 736
Divisão de Números Fracionários
Calcular;
- Conserva-se a 1ª fração e Multiplica-se pelo
inverso da 2ª fração.
a) 2, 3 + 13, 21
- Procede-se, a seguir, como no tópico anterior.
b) 4, 58 – 12, 2
Ex.......5/12 : 1/3 = ?
c) 500,008 – 19,0006
5/12 x 3/1 = 5/4 x 1/1 = 5/4
d) 0, 234 + 80,3 – 100
Respostas:
 3  4
a)  + 4  :  − 6 
   
a) 15,51 b) – 7,62 c) 481,0074 d) – 19,466
b) (– 8,25) : (– 3,5)
 2
c) (+2,5) :  + 4 
 
10
Professor Ivan Zecchin
Multiplicação de Decimais
4........sobra 7488
- Faz-se a multiplicação como se existissem as
vírgulas.
134.832.900 / 31.836
- O resultado terá tantas casas decimais quantas
forem as casas decimais dos números.
7488
4
Abaixe o próximo número (9)
Ex....... 2,32 x 12,9 = ?
134.832.900 / 31.836
(observe que há um total de 3 casas decimais)
74889
232 x 129 = 29928
Coloca-se a vírgula,
decimais.......29,928
com
as
3
casas
4
Continue a divisão..........dá 2 e sobra..11217
134.832.900 / 31.836
Calcular:
a) 12,5 x 32,8
b) 0,345 x 86,3
74889
11217
42
Abaixe a próxima casa ( 0 )
c) 35,35 x 45,4
134.832.900 / 31.836
d) 6,999 x 1,56
Respostas:
74889
112170
42
a) 410 b) 29,7735 c) 1604,89 d) 10,91844
Continue.......dá 3 e sobra...16662
Divisão de Decimais
- Iguala-se o nº de casas decimais dos dois
números, acrescentando-se zeros onde houver
menos casas e.....vamos a exemplos !
134.832.900 / 31.836
74889
112170
16662
423
13483,29 / 3,1836
Abaixe a próxima casa ( 0 )
Divisão de decimais:
134.832.900 / 31.836
1ª passo: iguale o número de casas decimais
(casas à direita da vírgula) colocando zeros do
lado que tiver menos casas.
13483,2900 / 3,1836
2ª passo: Elimine as vírgulas
134.832.900 / 31.836
3ª passo: Faça a conta "normalmente"
134.832 dá para dividir por 31.836......dá
Professor Ivan Zecchin
74889
112170
166620
4235
Continue.....dá 5 e sobra...7740
134.832.900 / 31.836
74889
112170
166620
7740
4235
11
Como não há próxima casa para baixar,
acrescente um zero no resto e coloque vírgula no
quociente.
2º passo: Elimine as vírgulas.
1916300 / 2625
3º passo: faça a conta normalmente..
134.832.900 / 31.836
74889
112170
166620
74400
4235,
19163 é suficiente para dividir por 2625........dá 7 e
sobra 788
1916300 / 2625
788
7
Continue.....dá 2 e sobra...10728
Abaixe a próxima casa ( 0 )
134.832.900 / 31.836
1916300 / 2625
74889
112170
166620
74400
10728
4235, 2
7880
7
7880 por 2625.......dá 3 e sobra...5
1916300 / 2625
Continue, acrescente 0 no resto (depois de
colocada a vírgula, acrescenta-se UM zero em
cada resto. Se não for suficiente, acrescente um
segundo zero, mas a partir desse, coloca-se zero
no quociente também ). Dá 3 e sobra 11772...
134.832.900 / 31.836
74889
112170
166620
74400
107280
11772
4235, 23
7880
5
73
Atenção agora!!
abaixe a próxima casa ( 0 ) e faça a conta
normalmente, Se não der para dividir ( e não dá,
pois fica 50 por 2625) acrescente zero no
resultado e abaixe a próxima casa.
1916300 / 2625
7880
50
730
Etc..etc...etc......até o resto dar zero ou......
perceber que o resultado será uma DÍZIMA
Como não há próxima casa para baixar,
acrescente zero ao resto e coloque vírgula
OUTRA “CONTA”
Divisão
1916300 / 2625
1º passo: iguale o n[úmero de casas decimais
(casas à direita da vírgula) colocando "zeros" do
lado que tiver menos casas.
191,6300 / 0,2625
12
1916300 / 2625
7880
500
730,
Como ainda não dá para dividir, acrescente outro
zero ao resto, mas lembre-se; à partir do segundo
zero colocado no resto, coloca-se zero no
resultado também !
Professor Ivan Zecchin
1916300 / 2625
7880
5000
2. A expressão a seguir é igual a:
730,0
3
5000 por 2625 dá 1 e sobra 2375
2 28 + 2 30
10
a) 28/5
b) 29/5
c) 28
1916300 / 2625
7880
5000
2375
730,01...
d) 29
3. Sejam X e y dois números reais não nulos e
distintos entre si. Das alternativas a seguir, a única
necessariamente verdadeira é:
E por aí vai...
Calcular:
a) x < y
a) 6,25 / 0,2
b)x < x + y
b) 0,444 / 12,3
c)y < xy
c) 21,8 / 2,5
d) x2 ≠ y2
d) 3,0309 / 1,5
e)x2 - 2xy + y2 > 0
e) 2400,024 / 8
Respostas:
a) 31,25
4. A soma de três números naturais consecutivos
é um número:
b) 0,03097..
a) par
c) 8,72
b) ímpar
d) 2,0206
c) primo
e) 300,003
d) quadrado perfeito
e) múltiplo de 3
TESTES
1. Dividir um número por 0,0125 equivale a
multiplicá-lo por:
a) 1/125
b) 1/8
c) 8
d) 12,5
e) 80
Professor Ivan Zecchin
13
5. A jornada do soldado Saldanha é de 12 horas
de trabalho por 24 horas de folga e a de seu
sobrinho, Sardinha, que é motorista de transporte
coletivo, é de 9 horas de trabalho por 18 horas de
folga. Se, em certo dia, os dois iniciarem suas
jornadas de trabalho em um mesmo momento,
então essa coincidência voltaria a ocorrer em:
a) 96 horas
b) 108 horas
c) 132 horas
8. Se um retângulo de lados 12 cm e 30 cm for
dividido em quadrados iguais de maior lado
possível, serão obtidos quantos quadrados?
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 20
d) 144 horas
e) 156 horas
6. Duas peças de madeira de 4m e 6m serão
cortadas em pedaços iguais de maior
comprimento possível, sem haver sobras. Quantos
pedaços serão, assim obtidos:
9. Se em duas ruas paralelas forem instalados
postes, do início ao fim de cada uma (que medem
112 m e 154 m, respectivamente), separados pela
mesma distância entre si, de modo que esta
distância seja máxima, então serão colocados, ao
todo quantos postes?
a) 17
a) 8
b) 18
b) 5
c) 19
c) 4
d) 20
d) 9
e) 21
7. Considerando os conjuntos A = {1, 3, 5, 15} e
B = {2, 6, 10, 30}, é FALSO afirmar que:
b) Qualquer que seja y ЄB, temos que y = 2x,
para algum x Є A.
10. Paulo e seu amigo José jogam sinuca em um
dia em que os dois estão de folga em seus
trabalhos. Combinaram, então, que jogariam
novamente na próxima folga dos dois. Se Paulo
tem folga a cada 15 dias e José a cada 12, então
quantos dias depois jogarão sinuca juntos,
novamente?
c) Os números 5 e 15 são primos entre si.
a) 45
d) A = {x ЄN | x é divisor de 15}
b) 50
a) Para todo a, b Є A, o mmc (a, b) Є A.
c) 60
d) 75
e) 90
14
Professor Ivan Zecchin
11. (FCC) Para participar de um programa de
treinamento, todos os funcionários de uma
empresa serão divididos em grupos, obedecendo
ao seguinte critério:
- Todos os grupos deverão ter o mesmo numero
de componentes.
- Em cada grupo, os componentes deverão ser do
mesmo sexo.
13. Dispondo de 3 bobinas de papel de,
respectivamente, 135m, 225m e 360m, todos com
12cm de largura, deseja-se obter folhas de 12cm
de largura e de comprimento máximo. Assim
sendo, o comprimento de cada folha e o número
de folhas que podem ser obtidas, nas condições
citadas, serão:
a) 15
b) 17
Se nessa empresa trabalham 132 homens e 108
mulheres, a menor quantidade de grupos que
poderão ser formados é:
c) 19
d) 21
a) 15
e) 23
b) 18
c) 20
d) 24
e) 26
12. Para participar de
um
programa
de
treinamento, todos os funcionários de uma
empresa serão divididos em grupos, obedecendo
ao seguinte critério:
- Todos os grupos deverão ter o mesmo número
de componentes.
- Em cada grupo, os componentes deverão ser do
mesmo sexo.
14. Em um corredor há 30 armários numerados de
1 a 30, inicialmente todos fechados. Suponha que
30 pessoas, numeradas de 1 a 30 passem
sucessivamente por esse corredor, comportandose da seguinte maneira: a pessoa de número K
reverte o estado de todos os armários cujos
números são múltiplos de K. Por exemplo; a de
número 3, reverte o estado dos armários de
números 3, 6, 9, 12.......30, abrindo os que
encontra fechados e fechando os que encontra
abertos. Nessas condições, após todas as
pessoas passarem uma única vez pelo corredor, o
número de armários que estarão abertos, é:
a) 4
b) 5
Se nessa empresa trabalham 132 homens e 108
mulheres, a menor quantidade de grupos que
poderão ser formados é:
a) 15
c) 6
d) 7
e) 8
b) 18
c) 26
d) 24
e) 20
Professor Ivan Zecchin
15
3ª PARTE:
RAZÕES INVERSAS
Razões, Proporções e Regra de três.
Duas razões são inversas entre si quando uma é
igual ao inverso multiplicativo da outra.
Note que:
RAZÕES
se a e b são números reais não-nulos,
não
O quociente entre dois números quaisquer, não
necessariamente inteiros, chama-se
chama se razão. A
razão entre duas grandezas é uma generalização
do conceito de fração. Sendo a e b as duas
grandezas
randezas anotamos a razão de a para b como
a:b. a é chamado também de antecedente e b de
conseqüente.
Razão do número a para o número b (b ≠ 0) é o
quociente de a por b, isto é:
Então
a b
e são razões inversas;
b a
a b
⋅ =1
b a
Exemplo:
As razões
razõ
8 4
e são chamadas inversas entre si.
4 8
8 1
=
Note que: 4 4 ,isto é,uma das razões é igual ao
8
inverso multiplicativo da outra.
a
ou a: b
b
Exemplos:
Obs.:
8
1) A razão de 8 para 2 é
, que é igual a 4.
2
2) A razão de 50 para 20 é
2,5. (ou
O produto de duas razões inversas é, sempre,
igual a 1.
, que é igual a
5
)
2
PROPORÇÕES
Questão Resolvida
A soma de dois números é 28 e a razão entre eles
é 75%. Qual o maior?
X/Y = 75/100 (que simplificados....3/4)
X+Y = 28
Isolando x na primeira.....x = 3Y/4
Substituindo na segunda......3Y/4 + Y = 28
3Y + 4Y = 112
7Y = 112
Y = 112/7.................Y = 16
Substituindo Y por 16 em X+Y=28............X
X+Y=28............X = 12
Resposta: o maior é 16.
Uma igualdade entre
“proporção” observe:
duas
razões
é
dita
A razão
zão de 3 para 4 e a razão de 9 para 12
exprimem mesmo quociente, então dizemos que
essas razões formam uma proporção.
Lemos:
3 está para 4, assim como, 9 está para 12.
Genericamente:
Os números a, b, c e d, todos diferentes de zero,
formam nessa ordem uma proporção se, e
somente se,
a razão
a
c
é igual à razão
.
b
d
Essa proporção é indicada por:
a c
=
b d
16
Professor Ivan Zecchin
onde a e d são chamadas extremos e b e c são
chamados meios.
Exemplo:
A razão de 15 para 45 é
15
1
, que é igual a
;
3
45
A razão entre 10 e 30 é
10
1
, que é igual a
.
30
3
Logo,
15 10
=
45 30
.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Em uma sala há 30 mulheres e 40 homens.
Qual a razão entre o nº de mulheres e o nº de
pessoas, na sala?
Solução:
mulheres
30
30 3
=
=
=
pessoas 30 + 40 70 7
Resposta:
3
(três para sete)
7
Portanto, os números 15, 45, 10 e 30 formam,
nessa ordem, uma proporção.
2. Qual o valor de “x” abaixo?
Propriedade Fundamental das Proporções
x 6
=
5 30
Resolução pelo raciocínio:
Se 6 é a 5ª parte de 30, então x é a 5ª parte de 5,
logo x = 1.
Resolução algébrica:
Pela propriedade fundamental, temos:
Exemplo:
30 . x = 5 . 6
10 2
e formam uma proporção, pois 10 . 3 =
15 3
15 . 2
X=
30
30
Propriedade das Proporções Múltiplas
x=1
Somando-se ou subtraindo-se os numeradores de
uma proporção, em qualquer ordem, e fazendo o
mesmo com os respectivos denominadores, a
proporção se manterá:
Resposta: 1
Exemplo:
Se
2 4
=
5 10
fazendo
3. As idades de Pedro e Luís formam, nessa
ordem, uma razão, igual a
, obteremos uma nova razão
2+4
5 + 10
ou
2 4
2+4
=
=
5 10 5 + 10
ou ainda
5
7
.
A soma de suas idades é 48 anos. Qual a idade
dessas pessoas?
2
4
6
=
=
5 10 15
que guarda evidente proporção com as razões
anteriores.
Professor Ivan Zecchin
17
Resolução pelo raciocínio:
2. Qual os valores de x e y, abaixo:
Na razão dada, 5 e 7 representam as idades.
Como sua soma é 12 e a soma real é 48, temos
que o “real” é 4 vezes maior que a soma dos n°s
dados, então as idades “reais” serão 4 x 5 e 4 x 7
respectivamente.
a)
x 12
=
5 21
b)
5 x+3
=
4 8
c)
x 5
=
e x + y = 18
y 4
d)
y
2x
1
=
ex+y=
2
3
9
Assim:
idade de Pedro: 4 x 5 = 20 anos
idade de Luis: 4 x 7 = 28 anos
Resolução algébrica:
P: idade de Pedro
P + L = 48 (I) e
P 5
= (II)
L 7
L: idade de Luis
Observe que (II) pode ser escrito :
P L
=
5 7
aplicando-se a propriedades das proporções
múltiplas
Temos
P L P + L 48
= =
=
= 4,
5 7 5 + 7 12
P
=4
5
e
L
=4
7
3. Quatro n°s são proporcionais a 2, 5, 6 e 8
respectivamente. A soma do maior com o menor é
50. Qual o menor desses n°s?
4. Um pai distribui R$ 150,00 entre seu três filhos
de maneira proporcional às suas idades, que são
8,10 e 12 anos. Quanto recebe o caçula?
então:
dai P = 20 e L = 28
Resposta: Pedro tem 20 anos e Luis 28
Obs: O problema poderia ser resolvido como um
“sistema de Equações”
5. Numa indústria química, uma certa solução
contém ao todo 350g de 3 substâncias em
quantidades
diretamente
proporcionais
ao
números 2, 5 e 7. Quantos gramas de cada
substância contém a solução?
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Meu filho é 21 anos mais novo que eu. A razão
entre nossas idades dele e a minha, se tenho hoje
63 anos?
18
6. Três municípios paulistas receberam, do
Ministério da Saúde, um lote de medicamentos
contendo um milhão de unidades, que deve ser
repartido proporcionalmente ao número de
habitantes de cada um desses municípios: 50 mil,
70 mil e 80 mil. Achar a quantidade de
medicamentos que cada município recebeu.
Professor Ivan Zecchin
DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS
Para se dividir um certo valor em partes
proporcionais (ou em partes DIRETAMENTE
PROPORCIONAIS) basta escrever a proporção,
como fizemos até agora.
então:
Exemplo:
Dividir o nº 180 em três partes diretamente
proporcionais a 2, 3 e 5.
Partes: a, b e c
a
1
= 1200 → a = . 1200 → a = 150
1
8
8
b
1
= 1200 → b =
. 1200 → b = 120
1
10
10
a + b + c = 180
a b c a + b + c 180
= = =
=
= 18
2 3 5 2 + 3 + 5 10
então:
a
b
c
a+b+c
370
=
=
=
=
⇒
1
1
1
1 1
1
37
+
+
8 10 12 8 10 12 120
120
⇒ 370 .
= 1200
37
a
= 18 → a = 36
2
(Prop.múltiplas)
b
= 18 → b = 54
3
c
1
= 1200 → c =
. 1200 → a = 100
1
12
12
Resposta: as partes são 36, 54 e 90.
Resposta: as partes são: 150, 120 e 100,
respectivamente.
Assim:
Obs.:
Veja que nas divisões diretas, “ao maior cabe a
maior parte”, e nas inversas, ocorre o contrário!
REGRA DE SOCIEDADE
DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS
Consideremos, agora, o inverso dos números
dados. No restante, mantém-se o que foi visto.
Exemplo:
Dividir o nº 370 em partes
proporcionais a 8, 10 e 12.
Partes: a, b e c, então
Temos agora, apenas, uma aplicação prática das
divisões proporcionais. Não há, portanto,
diferenças nas resoluções dos problemas, mas
somente um contexto diferente.
Exemplo:
inversamente
Em uma sociedade há os capitais de R$
12.000,00 e R$ 18.000,00, investidos por dois
sócios A e B. Havendo, ao final de um período,
lucro de R$ 6.000,00, que parte cabe a cada um?
a + b + c = 370
370 . 1200
Professor Ivan Zecchin
19
Resolução:
DIVISÃO PROPORCIONAL COMPOSTA
O lucro é proporcional ao capital investido (assim
como prejuízo!)
Quando a divisão é feita levando-se em
consideração mais de uma sequência de valores.
Nesses casos devemos converter para uma só
sequência e fazer de maneira DIRETAMENTE
Proporcional a ela.
assim:
A
B
A+ B
6000 1
=
=
=
=
12000 18000 30000 30000 5
então:
A
1
1
= → A = 1200 . → A = 2400
12000 5
5
B
1
1
= → B = 1800 .
→ B = 3600
18000 5
5
Resposta:
A cada um coube R$ 2.400,00 e R$ 3.600,00
respectivamente.
CONSIDERAÇÃO:
Todas as proporções têm um “Coeficiente de
Proporcionalidade” (CP), que é o número que
simplificou o numerador e o denominador da
fração.
Para descobrir o CP, basta dividir a informação
dada sobre os números originais (a soma deles, a
diferença entre eles, etc) pela respectiva
informação extraída dos números aos quais a
divisão será proporcional. Para se obter os valores
originais, multiplica-se o CP pelos números aos
quais a divisão é. No exemplo anterior, teríamos;
Procedimento; mantenha os números aos quais a
divisão é Direta e inverta os números aos quais a
divisão é Inversa, multiplicando-os a seguir,
respectivamente.
Por exemplo, se uma divisão de R$ 500,00 é feita
de forma D.P. aos nº 6 e 15 e I.P. a 3 e 5,
mantemos 6 e 15 e invertemos 3 e 5 (ficando 1/3 e
1/5).
Agora, multiplicamos respectivamente, ou seja, o
1º com o 1º e o 2º com o 2º.
Ficando:
6 x 1/3 = 2
15 x 1/5 = 3
A soma dos lucros é 6000
Pronto!
Como os lucros foram somados, somamos os
valores aos quais a divisão é proporcional, 12000
e 18000, obtendo 30000. O CP será, então,
6000/30000 = 1/5.
A divisão será feita de maneira D.P. aos números
2 e 3.
Os lucros serão:
CP = 500/ (2+3) = 500/5 = 100
1ºsócio......1/5 x 12000 = 2400
2º sócio.....1/5 x
18000 = 3600
Se a divisão for INVERSA, procede-se da mesma
forma, invertendo antes os números dados.
20
Caberá à 1ª pessoa........100 x 2 = R$ 200
Caberá à 2ª pessoa........100 x 3 = R$ 300
Professor Ivan Zecchin
Questão Resolvida
No departamento de expedições de uma
empresa, 3 funcionários resolvem dividir a
confecção de "X" pacotes, de maneira
proporcional ao número de filhos de cada um e, ao
mesmo tempo, inversamente proporcional aos
seus salários, que são R$ 1500,00, R$ 1800,00 e
R$ 2400,00, respectivamente. A Paulo, o primeiro
deles, que tem 5 filhos, coube a confecção de 60
pacotes.
Conhecendo o CP podemos achar as outras
quantidades, multiplicando os nºs de cada um por
ele.
Pedro:
1/450 x 1800 = 40 pacotes
Miguel: 1/400 x 1800 = 45 pacotes
“X” é o total de pacotes, portanto a soma das 3
quantidades;
Sabendo-se que Pedro, o 2º, tem 4 filhos e Miguel
tem 6 filhos. "X", é, então, um valor entre...
X = 60 + 40 + 45
“X” será dividido em partes: (Paulo, Pedro e
Miguel)
D.P. a .........5...4.....6 (mantenha, pois é DP)
E
I.P. a.........1500....1800.....2400.... (inverta, pois é
IP)
.................1/1500...1/1800....1/2400
Multiplique respectivamente;
Nº de Paulo.......5 x 1/1500 = 5/1500 = 1/300
Nº de Pedro......4 x 1/1800 = 4/1800 = 1/450
Nº de Miguel....6 x 1/2400 = 6/2400 = 1/400
X = 145 pacotes
Obs: para agilizar os cálculos, os números 1500,
1800 e 2400 poderiam ter sido simplificados (por
um mesmo nº). Daria na mesma, afinal...........o
assunto é “Proporções”.
EXERCÍCIOS - TESTES
1. A sociedade criada por Pedro, Paulo e Padilha
não durou muito. Padilha permaneceu na
sociedade por 15 meses e Paulo, 21. Pedro, único
sócio que nunca deixara a sociedade, extinguiu a
empresa 28 meses após a sua criação, por causa
do prejuízo acumulado de R$ 32.000,00. Sabendo
que esse prejuízo foi dividido entre os sócios
proporcionalmente ao tempo de permanência de
cada sócio na sociedade, assinale a opção
correta.
a) Pedro arcou com 50% do prejuízo.
Não podemos achar o CP da forma tradicional,
pois não conhecemos o valor (nº total de pacotes)
a ser distribuído (X), mas sabemos que cada
número acima será multiplicado pelo CP para dar
a quantidade que caberá a cada um. Ocorre que
sabemos a quantidade que cabe a Paulo......60
pacotes.
Daí:
b) Paulo arcou com 30% do prejuízo.
c) Padilha arcou com 20% de prejuízo.
d) A soma dos prejuízos de Paulo e de Padilha
corresponde a mais de 50% do prejuízo total.
e) A diferença entre os prejuízos de Pedro e de
Padilha corresponde a menos de 20% do prejuízo
total.
1/300 x CP = 60...........CP = 300 x 60.......CP =
1800
Professor Ivan Zecchin
21
2. Dois negociantes constituíram uma sociedade
com um capital de R$ 800.000,00, com o que
lucraram R$ 150.000,00. Encerrando-se a
sociedade, o primeiro recebeu R$ 570.000,00
entre capital e lucro. Determine o capital do
segundo negociante. (em R$)
d) a =
b
4
e) a = 4b
d) 480.000
5. O proprietário de uma pequena empresa de
transporte resolveu distribuir R$ 6.000,00 entre
seus 3 motoristas, em partes inversamente
proporcionais à quantidade de multas de trânsito
que tiveram durante 1 ano. Quanto coube a cada
motorista, sabendo que 2 deles foram multados 2
vezes cada um e o outro, 5 vezes? (em R$)
e) 500.000
a) 2.000, 2.000 e 2.000
a) 60.000
b) 90.000
c) 320.000
b) 1.500, 1.500 e 3.000
3. Para estimular a assiduidade, uma professora
primária promete distribuir 600 figurinhas aos
alunos de suas três classes. A distribuição será
feita de modo inversamente proporcional ao
número de faltas de cada classe durante 1 mês.
Após esse tempo, as faltas foram: 8, 12 e 24.
Achar a quantidade de figurinhas que cada classe
recebeu:
c) 1.800, 1.800 e 2.400
d) 2.800, 2.800 e 400
e) 2.500, 2.500 e 1.000
GRANDEZAS PROPORCIONAIS,
a) 100, 200, 300
DIRETA E INVERSAMENTE
b) 100, 300, 200
Grandezas são os aspectos que variam no
decorrer de uma situação (nº de pessoas, preços,
idades, força, etc.), sendo que uma pode, ou não,
ter relação com outra. Se o aumento de grandeza
“A” implicar no aumento PROPORCIONAL de
grandeza “B” diremos que essas são entre si,
DIRETAMENTE PROPORCIONAIS, porém se
isso implicar no decrescimento PROPORCIONAL
de
“B,
então
serão
INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS.
c) 200, 300, 100
d) 300, 200, 100
e) 300, 100, 200
4. Os números 2a + b e a + b formam, entre si
6
uma razão de
.
5
Exemplos:
Pode-se afirmar que, se a e b não são nulos,
então:
1) A quantidade de dinheiro e nº de bens que se
pode adquirir com ela.
a) a = b
mais dinheiro, mais bens (proporcionalmente)
b) a =
b
2
c) a =
b
3
22
- grandezas diretamente proporcionais -
Professor Ivan Zecchin
2) Velocidade de um carro e o tempo gasto em
uma viagem.
região a ser pintada.
b) O número de pintores e o tempo que eles
gastam para pintar um prédio são grandezas
inversamente proporcionais.
mais velocidade, menos tempo
(proporcionalmente)
- grandezas inversamente proporcionais Obs.: Não basta o crescimento mútuo,
necessário que haja proporcionalidade
é
Exemplo:
A idade de um pai e a idade do seu filho não são
grandezas diretamente proporcionais, pois apesar
de haver um crescimento das duas num mesmo
período, a proporção não se mantém
c) A medida do lado de um triângulo eqüilátero e
seu perímetro são grandezas diretamente
proporcionais.
d) O número de ganhadores de um único prêmio
de uma loteria e a quantia recebida por cada
ganhador
são
grandezas
inversamente
proporcionais.
e) A velocidade desenvolvida por um automóvel e
o tempo gasto para percorrer certa distância são
grandezas diretamente proporcionais.
EXERCÍCIOS
1. Classificar em Direta (D) ou inversa (I) a
relação entre as grandezas.
a) ( ) nº de operários e quantidade de trabalho
feito
b) ( ) dificuldade para fazer o trabalho e o
tempo preciso para executá-lo
c) ( ) o nº de páginas de um livro e a
quantidade de linhas por página, do mesmo livro
d) ( ) o tamanho do lado de um quadrado e a
sua área
2. Em uma viagem foi levada certa quantidade de
alimentos para um nº fixo de participantes.
Durante a viagem ocorrem imprevistos que
antecipam o fim da mesma. Em relação às
grandezas envolvidas no problema (alimentos x
participantes) e à situação em questão, podemos
dizer que:
a) são inversamente
alimento
1. É comum em nosso cotidiano surgirem
situações-problema que envolvem relações entre
grandezas. Por exemplo, ao se decidir a
quantidade de tempero que deve ser usada na
comida, a quantidade de pó necessária para o
café, a velocidade com que se deve caminhar ao
atravessar uma rua, etc,. está-se relacionando,
mentalmente, grandezas entre si, por meio de
uma proporção. Em relação às proporções, julgue
os itens abaixo.
e
faltará
b) são inversamente proporcionais e sobrará
alimento
c) são diretamente
alimento
TESTES
proporcionais
d) são diretamente
alimento
proporcionais
proporcionais
e
e
sobrará
faltará
e) são diretamente proporcionais e não sobrará
alimento
a) A quantidade de tinta necessária para fazer
uma pintura depende diretamente da área da
Professor Ivan Zecchin
23
TESTES -1 (“C” OU “E”)
a) Daniel é 180.
b) Manoel é 176.
Uma empresa resolve distribuir um prêmio, em
dinheiro, entre seus 4 vendedores, de forma
proporcional ao n° de produtos vendidos por cada
um. Considerando que os vendedores são x, y, z,
e w e que o número de produtos vendidos são,
respectivamente, 8, 10, 10 e 12. Julgue os itens.
c) Daniel é 170.
1) “W” vendeu 50% a mais que “x” e, por isso,
recebe 50% a mais que “x”
2. Ao se dividir um certo valor entre três pessoas,
de forma proporcional às suas idades – 20, 30 e
45 anos, observa-se estar correto que, exceto:
2) Se “y” e “z” recebem juntos R$ 800,00 então a
quantia distribuída foi superior a R$ 1.800,00
3) Se “w” recebe R$ 300,00 a mais que “y” então
“z” recebe R$ 600,00 a mais que “x”.
4) Se “x” recebe R$ 1.000,00 então “y” recebe R$
1 250,00.
5) “x” recebe 20% a menos que “y” e “y” 20% a
mais que “x”
TESTES – 2 (Alternativas)
d) Manoel é 160.
e) Daniel é 162.
a) O mais velho receberá mais de 45% da quantia
a ser distribuída.
b) Um deles receberá, exatamente, 50% a mais
que outro deles.
c) Um deles receberá, exatamente, 50% a menos
que outro deles.
d) O mais velho receberá menos que os outros
dois,juntos.
e) Se o mais novo receber R$ 1000,00, então o
mais velho receberá R$ 2250,00
3. Uma verba pública foi dividida em partes
proporcionais a 1, 2 e 3, para atender,
respectivamente, às despesas relativas a três
rubricas: A, B e C. Tendo sido efetuada uma
transferência, para a rubrica A, de 1/5 do valor
destinado à rubrica C, as partes da verba
destinadas às rubricas A, B e C tornaram-se
proporcionais, respectivamente, a:
a) 2, 3, 4
b) 3, 4, 5
1. Na tabela abaixo têm-se as idades e os tempos
de serviço de três soldados na corporação, que
devem dividir entre si um certo número de fichas
cadastrais para verificação.
c) 4, 5, 6
d) 5, 6, 7
e) 7, 8, 9
Nome dos soldados: Abel, Daniel, Manoel.
Idade, em anos: 20, 24, 30.
Tempo de serviço, em anos: 3, 4, 5.
Se o número de fichas for 504 e a divisão for feita
em partes diretamente proporcionais às suas
respectivas
idades,
mas
inversamente
proporcionais aos seus respectivos tempos de
serviço na corporação, o número de fichas que
caberá a “
24
Professor Ivan Zecchin
4. Dois analistas judiciários devem emitir
pareceres sobre 66 pedidos de desarquivamento
de processos. Eles decidiram dividir os pedidos
entre si, em quantidades que são, ao mesmo
mesmo
tempo, diretamente proporcionais às suas
respectivas idades e inversamente proporcionais
aos seus respectivos tempos de serviço no TRT.
Se um deles tem 32 anos e trabalha há 4 anos no
Tribunal, enquanto que o outro tem 48 anos e lá
trabalha há 16 anos,
anos, o número de pareceres que o
mais jovem deverá emitir é:
6.. Dois funcionários de uma Unidade do Tribunal
Regional do Trabalho − Matilde e Julião − foram
incumbidos de arquivar X processos. Sabe-se
Sabe
que: trabalhando juntos, eles arquivariam 3/5 de X
em 2 horas; trabalhando sozinha,
Matilde seria capaz de arquivar 1/4 de X em 5
horas. Assim sendo, quantas horas Julião levaria
para, sozinho,
sozinho, arquivar todos os X processos?
a)) 8.
b)) 7.
a) 18
c)) 6.
b) 24
d)) 5.
c) 32
e)) 4.
d) 36
e) 48
GABARITO
5. A tabela a seguir mostra as participações dos
três sócios de uma empresa na composição de
suas ações.
Sócio
Total de ações
Paulo Silva..................................
Silva.................................. 15.000
Maria Oliveira ..............................10.000
Carlos Braga................................ 7.000
Os lucros da empresa em determinado ano, que
totalizaram R$ 560.000,00, foram divididos entre
os três sócios proporcionalmente à quantidade de
ações que cada um possui. Assim, a sócia Maria
Oliveira recebeu nessa divisão
a)) R$ 17.500,00.
b)) R$ 56.000,00.
Testes -2
2 (Alternativas)
1–E
2- C
3- C
4–E
5- E
6- E
c)) R$ 112.000,00.
d)) R$ 140.000,00.
e)) R$ 175.000,00.
Professor Ivan Zecchin
25
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
REGRAS DE TRÊS SIMPLES
As regras de três se constituem em um conjunto
de procedimentos para a montagem correta da
proporção que resolverá o problema.
Regras:
1- escreva as grandezas envolvidas no problema;
2 - compare-as (Diretas ou Inversas?);
3 - coloque os dados e a variável na grandeza
procurada;
4 - escreva a proporção de acordo com a regra “2”
Exemplo:
10 homens fazem um serviço em 3 dias. Se
fossem somente 3 homens, fariam o mesmo
serviço, em: quanto tempo?
* existem mais de 2 grandezas;
* cada grandeza é comparada com a grandeza
que possui a variável;
* a proporção é formada entre a razão da
variável e o produto das outras, considerando-se a
proporcionalidade;
* as demais regras anteriores se mantém.
Exemplo
1 – 15 operários trabalham 12 dias de 8 horas
para abrir 400 metros de uma vala. Quantos
metros abrirão 20 operários de competência
dobrada, se trabalhassem 10 dias de 5 horas?
1) escrevendo as grandezas e comparando-as,
teremos:
Resolução:
1 – escrever as grandezas:
Nº homens (h)
nº de dias (d)
2 – comparando:
h ↑d ↓ (mais homens gastam menos dias)
obs.:
Todas as grandezas são Dir. proporcionais à
grandeza “metros de vala”, pois o seu aumento
determina um aumento proporcional em cada uma
das outras. (compare, sempre, a grandeza da
variável a cada uma das outras, separadamente).
2) colocando os dados, teremos:
3 – dados:
h↑d↓
10 - 3
3
-
x
4 – proporção – como são grandezas inversas,
invertemos uma das razões, então:
10 x
=
3 3
3 3

= 
 ou
10 x 

3) Proporção:
400 1 8 12 15
= . . .
x
2 5 10 20
Resposta: 10 dias
Resolvendo:
obs.:
x = 555 metros, aproximadamente.
Se as grandezas fossem diretas, a proporção
seria escrita como está.
26
Professor Ivan Zecchin
Consideração
20/x = 5/9
Na grandeza competência estabelecemos “1” para
o primeiro grupo e, consequentemente, 2 para o
segundo, pois a competência dobrou, mas
qualquer outro valor estaria correto, desde que no
segundo grupo colocássemos o DOBRO (isso é
proporção!)
Questões Resolvidas
1. Certa máquina gasta 20 segundos para cortar
uma folha de papelão de formato retangular em
6 pedaços iguais. Assim sendo, quantos segundos
essa mesma máquina gastaria para cortar em 10
pedaços iguais outra folha igual à primeira se, em
ambas as folhas, todos os cortes devem ter o
mesmo comprimento?
a) 32
b) 33,3
c) 34
d) 35,5
e) 36
5X = 180
x = 180/5
x = 36.segundos.......................................letra"E"
2. Trabalhando individualmente, o funcionário A é
capaz de cumprir certa tarefa em 8 horas, o
funcionário B em 6 horas e o funcionário C em 5
horas. Nessas condições, se trabalharem juntos
na execução dessa tarefa, o esperado é que ela
seja cumprida em, aproximadamente:
a) 1h e 40min
b) 2hs, 2min, 2seg
c) 2hs, 20min
d) 2hs, 22min, 30seg
É uma regra de três... observando que o assunto é
o número de cortes e para se obter 6 pedaços,
serão feitos 5 cortes e para se obter 10pedações
ser]ao feitos 9 cortes na folha.
Tempo(seg.)............nº de CORTES
e) 2hs, 54min
Se faz em 8h.........faz 1/8 por hora
Se faz em 6h..........faz 1/6 por hora
Se faz em 5h..........faz 1/5 por hora
20.......................5
x.......................9
_____________________
Trabalhando juntos, na mesma hora serão
feitos....1/8 + 1/6 + 1/5, ou seja 59/120 do
trabalho
Para cortar mais cortes .... levará mais tempo,
logo as grandezas são Diretamente proporcionais.
Daí, mantenha as frações como estão;
Professor Ivan Zecchin
27
Regra de três....
1h.................................................................59/120
Homens ↓
dias(duração vív.)↑
1600
45
x..........................................1 (o trabalho completo)
----------------------------------------------------------
2000
X
...............................................................
1/x
=
59/120
x = 120/59
Se os víveres duram mais tempo ....... há menos
homens se alimentando.
Grandezas inversas, então mantenha a fração que
contém a variável e inverta a outra
45/x = 2000/1600
fazendo a divisão teremos 2h completas e sobram
2 h que, convertidas para minutos, serão 120
minutos.
Dividindo 120 por 59 teremos 2 minutos completos
e sobram 2 minutos, que convertidos para
segundos serão 120 segundos. Dividindo por
59.....teremos 2 segundos.
Simplificando
45/x = 5/4
5x = 4.45
5x = 180
Daí, 2h 2min 2seg (aproximadamente, pois a
conta não é exata) ........ letra "B"
X = 180/5
X = 36 dias (Resposta)
3. (comentada) A guarnição de uma fortaleza é
formada de 1.600 homens que tem víveres para
60 dias. No fim de 15 dias, chega um reforço de
400 homens. Para Quantos dias deverão durar os
víveres restantes?
Comentários:
TESTES
1. Se 30 galinhas botam 30 dúzias de ovos em 30
dias, e se 20 galinhas comem 20 quilos de ração
em 20 dias, então qual é a quantidade de ração
necessária para se obter duas dúzias de ovos?
a) menos de 2 kg;
b) mais de 2kg e menos de 3,5kg;
c) mais de 3,5kg e menos de 5 kg;
Regras de três.
d) mais de 5kg e menos de 7 kg;
e) mais de 7kg.
28
Professor Ivan Zecchin
2. Uma granja possui 360 aves e cada uma
recebe, diariamente, a mesma quantidade de
ração. Nesse esquema, o estoque de ração
existente hoje na granja é suficiente para
alimentar as aves por, exatamente, 40 dias. Se
hoje forem adquiridas 120 novas aves e, ao
mesmo tempo, a quantidade diária de ração de
cada ave for reduzida em 20%, então o estoque
de ração da granja será suficiente para alimentar
as 480 aves por:
a) mais de 35 dias
b) mais de 30 e menos de 35 dias
c) mais de 25 e menos de 30 dias
5. Um estudante observa que em 8 horas de
estudo contínuo ele resolve uma certa quantidade
de exercícios, mas se gastasse 1 min e meio a
menos na resolução de cada exercício, ele
resolveria todas em 5 horas. O número máximo de
exercícios resolvidos pelo estudante:
a) é divisor de 20
b) é múltiplo de 50
c) é primo
d) tem a forma fatorada 2 (elevado na 2) . 3 .5
(elevado na 2)
e) possui raiz quadrada inferior a 11
d) mais de 20 e menos de 25 dias
e) menos de 20 dias
3. Uma pessoa, datilografando 60 toques por
minuto e trabalhando 6 horas por dia, realiza certo
trabalho em 10 dias. Outra pessoa, datilografando
50 toques por minuto e trabalhando 4 horas por
dia, realizará o mesmo trabalho em quantos dias?
6. Segundo previsões da divisão de obras de um
município, serão necessários 120 operários para
construir 600 m de uma estrada em 30 dias de
trabalho. Sabendo-se que o município poderá
disponibilizar apenas 40 operários para a
realização da obra, os primeiros 300 m da estrada
estarão concluídos em
a) 45 dias.
a) 14
b) 50 dias.
b) 15
c) 55 dias.
c) 16
d) 60 dias.
d) 17
e) 65 dias
e) 18
4. Para chegar ao trabalho, José gasta 2h 30min
dirigindo à velocidade média de 75 km/h. Se
aumentar a velocidade para 90 km/h, o tempo
gasto, em minutos para José fazer o mesmo
percurso é:
a) 50
b) 75
c) 90
d) 125
e) 180
Professor Ivan Zecchin
29
7. Uma obra será executada por 14 operários (de
mesma capacidade de trabalho) trabalhando
durante 11 dias com jornada de trabalho de 6
horas por dia. Decorridos 8 dias do início da obra
4 operários adoeceram e a obra deverá ser
concluída pelos operários restantes no prazo
estabelecido anteriormente. Qual deverá ser a
jornada diária de trabalho dos operários restantes
nos dias que faltam para a conclusão da obra no
prazo previsto?
Resolução:
Vejamos quantos documentos cabe a cada um.
Se a divisão é em partes inversamente
proporcionais, basta trocar os valores e fazer uma
divisão direta.
Jailson.......32
Geildo.......24
CP = 140/(32+24) = 140 / 56 = 2,5
a) 8h 4min
b) 8h 40min
Jailson.............2,5 x 32 = 80 documentos
c) 8h 44min
Geildo............2,5 x 24 = 60 documentos
d) 8h 24min
Regra de três..
e) 8h 20min
Tempo
8. (Questão comentada) Dois funcionários de uma
empresa − Jadilson e Geildo − foram incumbidos
de arquivar os 140 documentos de um lote e
dividiram o total de documentos entre si, na razão
inversa de suas respectivas idades: 24 e 32 anos.
Sabe-se que:
– ambos iniciaram a execução dessa tarefa
quando eram decorridos 17/48 do dia e
trabalharam ininterruptamente até terminá-la;
– durante a execução da tarefa a capacidade
operacional de Geildo foi 75% da de Jadilson.
Nessas condições, se Jadilson terminou de
arquivar a sua parte às
12 horas e 30 minutos,
Geildo terminou de arquivar a dele às
documentos
capacidade ↓
12,5*
80
100
X
60
75
......................................................................
12,5/x = 80/60 . 75/100
......resolvendo....
X = 12,5 horas, ou seja 12h e 30minutos .... letra
“E”
1-*OBS: como o tempo gasta por cada um deles é
contado a partir de um mesmo momento,
podemos já usar esse tempo nos cálculos
a) 13 horas e 50 minutos.
2-12, 5 horas = 12 horas e 30minutos
b) 13 horas e 15 minutos.
c) 13 horas.
d) 12 horas e 45 minutos.
e) 12 horas e 30 minutos.
30
Professor Ivan Zecchin
9. Uma
pessoa
resolve
30 questões de
Matemática em 4 horas. Outra pessoa resolveria o
mesmo n° em 5 horas. Trabalhando juntas, desde
o início da resolução dos problemas, elas
resolveriam as questões acima e mais 30 do
mesmo nível de dificuldade, em:
a) 4h26m40s
4ª PARTE:
Porcentagem e taxas.
PORCENTAGENS
b) 4h18m20s
Uma porcentagem é o resultado da aplicação de
uma taxa sobre certo valor, chamado principal.
c) 3h45m30s
Exemplo:
d) 3h20m50s
Quanto é 20% de 60?
e) 2h40m40s
Solução:
20
. 60/ = 12
10/ 0/
10. O motor de um navio consome 200 litros de
óleo em 5 horas quando faz 1500 rotações por
minuto. Exigindo-se mais do motor, 1800 rotações
por minuto, quantos litros de óleo ele consumirá
em 3 horas de viagem?
a) 125
então teremos:
20%: taxa (na forma percentual)
60: principal
12: porcentagem
b) 136
1) FORMA FRACIONÁRIA
c) 140
Exemplo:
d) 144
e) 150
GABARITO (TESTES)
1–B
2-A
3–E
4–D 5-E
6-A
7- D
8-E
9-A
10 -D
a)
12
100
b)
8
100
c)
2
100
2) FORMA PERCENTUAL
Quando substituímos o denominador 100 pelo
símbolo % (lê-se “por cento”) temos a taxa
percentual.
Então lembre-se: o símbolo % significa dividido
por 100.
3) FORMA UNITÁRIA (nº decimal)
Professor Ivan Zecchin
31
Exemplos:
a) 0,56 =
VEJA:
56
= 56%
100
6
= 6%
100
b)
0,06 =
c)
0,8
0,008 =
= 0,8%
100
a) 0,21 = 0,21×
100 21
=
= 21%
100 100
b) 0,13 = 0,13×
100 13
=
= 13%
100 100
c) 0,06 = 0,06 ×
CONVERSÕES DA TAXA
d) 1,15 = 1,15 ×
A conversão da taxa de uma forma para outra
deve ser imediata e não pode se constituir em um
problema, por isso o domínio dessa unidade é
muito importante, visto que é a base para um nº
enorme de questões em concursos.
Exemplos:
Converter a taxa 18,6% para a forma decimal ou
unitária.
SOLUÇÃO:
18,6% =
100 06
=
= 6%
100 100
100 1,15
=
= 115%
100 100
Aplicações da Taxa
Quando se aplica uma taxa sobre um certo valor,
MULTIPLICA SE a taxa pelo valor, na forma
MULTIPLICA-SE
decimal ou fracionária.
Ex: 28% de 600
= 0,186
0,28 . 600 =m 150
Observe que a questão se resume a deslocar a
vírgula, então:
Ou
28/100 . 600 = 150
Dividiu por 100 ?: A vírgula desloca-se
desloca se duas casas
para esquerda.
O que um nº representa de outro?
VEJA:
a)
78
100
= 0,78
b) 9,1% = 0,091%
Para saber o que um nº representa de outro,
percentualmente,...DIVIDA
percentualmente,...DIVIDA-OS !
c) 124% = 1,24
d) 0,8% = 0,008
Multiplicou por 100?: a vírgula desloca-se
desloca se duas
casas para a direita.
Ex: O que o 4,5 representa de 15:
Divida 4,5 po
porr 15 e obtenha a taxa em sua forma
decimal. Leve a vírgula duas casas para a direita e
coloque o símbolo “%”.
4,5 / 15 = 0,3 = 30%
32
Professor Ivan Zecchin
redução: 0,06 . 1,1X = 0,066X (6,6% de X)
PROPRIEDADE: PORCENTAGENS DE
UM MESMO NÚMERO
No estudo e na utilização da porcentagem, um
detalhe é fundamental: toda taxa se refere a
algum número, isto é, quando falamos que um
atraso num pagamento acarreta multa de 20%,
fica subentendido que os 20% são calculados
sobre o valor devido.
Agora sim, como o aumento e a redução estão
baseados em X, podemos compará-los.
- aumento: 10%
Aumento final de 3,4%
- redução: 6,6%
Uma taxa que não se refira a outro número é
apenas uma outra maneira de escrever um
número. Por exemplo, 5% é uma outra maneira de
escrever o número 0,05 (cinco centésimo). Já 5%
de 1.000 correspondem ao valor 50.
Feita essa distinção, podemos escrever a seguinte
propriedade:
Para a resolução de problemas envolvendo
Reajustes Sucessivos pode-se usar a fórmula:
1+iac = (1+i1)x(1+i2)x(1+i3) x .....
Onde iac = Reajuste Acumulado
e
i1, i2, i3, etc são os reajustes parciais
Exemplo de aplicação da fórmula
REAJUSTES SUCESSIVOS
Quando várias correções ocorrem seguidamente,
acumulando-se. Nesses casos, cada novo
reajuste incidirá sobre o valor anterior já corrigido.
Exemplo:
Se meu aluguel sobe 10% e depois é reduzido de
6%, então ele ainda ficou aumentado de 4%,
certo? ERRADÍSSIMO!
Veja:
O aumento e a redução não incidiram sobre o
mesmo valor, por isso não podemos operar com
as taxas dadas.
A redução incidiu sobre
AUMENTADO, então...
o
SALÁRIO
JÁ
Suponha que os funcionários de um banco
tiveram em 2006 três aumentos salariais
cumulativos, que totalizaram, no ano, 25% resultado de negociações salariais.
Ficou
estabelecido,
ao
final
dessas
negociações que o primeiro reajuste seria em
março de 2006 e seria de 12%. O segundo
reajuste, de 80% do primeiro (percentualmente)
seria em junho/06. O terceiro e último aumento do
ano foi em outubro, o que totalizou a taxa citada
acima. Pode-se dizer que o aumento de outubro
representa do aumento de março:
a) 12%
b) 15,26%
c) 16%
d) 18,50%
e) 25%
valor inicial do salário: X
aumento: 0,1X (10% de X)
novo salário: X + 0,1X = 1,1X
Professor Ivan Zecchin
33
Resolução:
Há uma fórmula para os reajustes sucessivos, que
acumulam uma taxa total ( iacumulada)
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Quanto é, na forma percentual, 20% de 60%?
Solução:
Reajustes sucessivos..
iacumulada + 1 = (1 + i1) . (1 + i2) . ( 1 + i3)
20/
60/
12
.
=
= 12%
10/ 0/ 100 100
Onde, i1 , i2, e i3 são taxas sucessivas.
A taxado segundo período é 80% da primeira, ou
seja 0,8 . 0,12 = 0,096 = 9,6%
Resposta: 12%
2. Quanto é, 18% de 200, mais 3% de 500?
X, é a última taxa, procurada
Solução:
iacumulada = (1 + i1) . (1 + i2) . ( 1 + i3) -1
0,25 = ( 1 + 0,12) , ( 1 + 0,096) . ( 1 + x) - 1
18
3
. 20/ 0/ +
. 50/ 0/ = 36 + 15 = 51
10/ 0/
10/ 0/
Resposta: 51
0,25 = 1,12 . 1,096 . (1 + x) -1
3. Resolva, com respostas na forma percentual:
1,25 = 1,22752 (1 +x)
a)
81%
Solução:
1 + x = 1,25/1,22752
81% =
81
9
=
= 0,9 = 90%
100 10
1 + x = 1,01831
b) (10%)² =
X = 0,01831
Solução:
2
2
1
 10/ 
 1 
=
= 1%
 =  =
10
0
/
10
100


 
O problema pede, porém, o que essa taxa
representa da taxa de março (12%), então
dividimos uma pela outra...
(10% )2
0,01831/0,12 = 0,15258 .....letra “B”
NÃO ESQUEÇA!:
Para operar com as taxas, passe-as para a forma
fracionária ou unitária.
34
Professor Ivan Zecchin
4. De todos os empregados de uma grande
empresa, 3% optaram por realizar um curso de
especialização. Essa empresa tem sua matriz na
capital, uma filial em Ouro Preto e outra em
Montes Claros. 45% dos empregados trabalham
na matriz, 20% em Ouro Preto. 20% dos
empregados da capital optaram pelo curso e 35%
dos empregados de ouro preto, também. O
percentual dos empregados de Montes Claros que
NÃO optaram pelo curso é:
5. (FCC - 2008 - DPE-SP - Oficial de Defensoria
Pública) Uma aplicação em caderneta de
poupança rendeu em dois meses consecutivos de
um
determinado
ano
0,6%
e
0,7%
respectivamente. Sabendo-se que no mês
seguinte aos dois primeiros, o rendimento foi de
x%, o que implicou em um rendimento acumulado
no trimestre de 1,6%, é correto dizer que 1 + x/100
é igual a
a) 1,6 / (0,6 . 0,7)
a)60%
b) 1,16 / (1,06 . 1,07)
b)40%
c) 1,016 / (1,006 . 1,007)
c) 35%
d) 0,016 / (0,006 . 0,007)
d) 21%
e) 1,016 / (1,06 . 1,07)
e) 14%
Reajustes sucessivos : 1+iac = (1+i1)x(1+i2)x(1+i3)
x .....
Resolução:
Usando a fórmula citada.....
A soma(percentual) dos empregados que optaram
pela realização do curso, em cada unidade da
empresa, deve dar 30%, que é o total.
0,016 + 1 = ( 1 + 0,007) . ( 1 + 0,006) . ( 1 + x)
..........linha 1 (considerando "x" na forma decimal)
Matriz....optaram pelo curso.................20% de
45%...........0,2 . 0,45 = 0,09= 9%
Ouro Preto................optaram pelo curso........35%
de 20%..........0,35.0,2 = 0,07= 7%
Veja que trabalham em montes Claros......100% 45%(Matriz) - 20%(O.Preto) = 35% dos
funcionários.
Montes
claros...................optaram
pelo
curso..........X% de 35% = restante dos optantes
(30% - 9% - 7%=14%)....x%.0,35 = 0,14
0,016 + 1 = 1,007 . 1, 006 . ( 1 +
x)...........................linha 2
1,016 = 1,007 . 1,006 . ( 1 + x)
..................................linha 3
( 1 + x) = 1,016 / 1,007.1,006................linha
4(aqui já temos a resposta....”C”)
1,016 = 1,013042 . ( 1 + x)
Ou seja...............x% = 0,14/0,35......x% = 0,4 =
40% (optaram pelo curso em Montes Claros)
( 1 + x) = 1,00292
Mas, a pergunta é: Quantos NÃO optaram pelo
curso em Montes Claros? Ora, o resto!! ou seja;
60%(resposta)......letra “A”
i = 0,00292
i = 0,292% ( taxa"x" desconhecida)
Professor Ivan Zecchin
35
6. Suponha que em 2007 as mensalidades de
dois planos de saúde tinham valores iguais e que
nos
três
anos
subsequentes
elas
sofreram os reajustes mostrados na tabela
seguinte:
Plano 1
2008
10%
2009
10%
2010
10%
Plano 2
5%
5%
X
1+ i = 1,331/1,1025
1 + i = 1,2072
i = 0,2072
i = 20,72 %..............letra "C"
Se em 2010 os valores das mensalidades de
ambos se tornaram novamente iguais, então X é
aproximadamente igual a:
TESTES
a) 15%
01. (Polícia Rod. Fed.) Uma pesquisa realizada na
Grã-Bretanha mostrou que no primeiro semestre
deste ano 295 doentes cardíacos precisaram de
transplantes, mas só 131 conseguiram doadores.
O percentual aproximado de pacientes que não
conseguiram o transplante é:
b) 18,6%
c) 20,7%
d) 27,8%
e) 30%
a) 31%
b) 36%
Inicialmente as duas prestações eram iguais
(chamei de "P") e depois dos reajustes
continuaram iguais.
c) 44%
'SE AUMENTA 10% VAI PARA 110%,OU SEJA,
FICA MULTIPLICADO POR 1,1....%
e) 64%
"SE AUMENTA 5% VAI PARA 105%, OU
SEJA,FICA MULTIPLICADO POR 1,05..."
COMO AUMENTOU 10% TRÊS VEZES E 5%
DUAS VEZES (SENDO A TERCEIRA TAXA DE
AUMENTO DO SEGUNDO PLANO....."i")
d) 56%
02. Considere que o IPVA/99 corresponda a 2,5%
do valor venal do automóvel e que possa ser pago
em uma das seguintes formas:
• à vista, até o dia 15/2/99, com desconto de 5%;
• em 3 parcelas iguais e mensais, vencendo a
primeira em 15/2/99.
TEREMOS:
Em caso de atraso no pagamento de alguma
parcela, o proprietário deverá pagar, ainda, multa
de 2% sobre o valor devido, acrescida de 0,2% de
juros por dia de atraso.
P . 1,1 . 1,1. 1,1 = P . 1,05 . 1,05 . (1 + i)
Cancelando "P"
multiplicações....
36
com
"P"
e
fazendo
as
Com base nessas informações, julgue os itens a
seguir, relativos ao IPVA de um veículo de valor
venal igual a R$ 15.000,00.
Professor Ivan Zecchin
I–
O valor do IPVA desse veículo é de R$
375,00
II – Se o proprietário do veículo optar pelo
pagamento à vista, então o valor devido será de
R$ 356,25
04. PROBLEMA: Um número é reduzido em 55%,
aumentado a seguir em 215% e posteriormente,
reduzido a 40% de seu valor atual, o resultado
final é 1.134. Que número era esse,
originalmente?
a) 1.200
III – Se a opção for pelo pagamento em
parcelas, então o valor de cada parcela será de
R$ 125,00
b) 1.600
c) 1.800
IV – Se o proprietário parcelar o pagamento e
pagar a primeira parcela no dia 20/2/99, então ele
pagará R$ 7,50 de acréscimo
V – Se a primeira parcela for quitada por R$
130,00, então isso significará um pagamento com
menos de 9 dias de atraso
A quantidade de itens certos é igual a:
a) 1
d) 2.000
e) 2.200
05. (TTN/89) Um cliente obteve do comerciante
desconto de 20% no preço da mercadoria.
Sabendo-se que o preço de venda, sem desconto,
é superior em 20% ao do custo, pode-se afirmar
que houve por parte do comerciante um:
b) 2
a) lucro de 5%
c) 3
b) prejuízo de 4%
d) 4
c) lucro de 4%
e) 5
d) prejuízo de 2%
e) lucro de 2%
03. (TTN) Maria vendeu um relógio por R$
18.167,50 com um prejuízo de 15,5% sobre o
preço de compra. Para que tivesse um lucro de
25% sobre o custo, ela deveria ter vendido por
(em R$):
a) 22.709,37
b) 26.875,00
c) 27.675,00
d) 21.497,64
06. A área sombreada representa da figura em
que está contida.
a) 21,5%
b) 18,6%
c) 6,25%
d) 12,50%
e) 26.785,00
Professor Ivan Zecchin
37
07. (INSS) A falta de informações dos micros e
pequenos empresários ainda é o principal motivo
para a baixa adesão ao SIMPLES – o sistema
simplificado de pagamento dos impostos e
contribuições
federais.
Segundo
pesquisa
realizada pelo SEBRAE junto a 1.312 empresas,
entre 19 e 31 de março, a adesão ao SIMPLES
apresentou o resultado mostrado no gráfico
abaixo. Com base nessas informações julgue os
itens a seguir.
08. O salário mensal de um vendedor é
constituído de uma parte fixa igual a R$ 2.300,00
e mais uma comissão de 3% sobre o total de
vendas que exceder a R$ 10.000,00. Calcula-se
em 10% o percentual de descontos diversos que
incidem sobre o seu salário bruto. Em dois meses
consecutivos, o vendedor recebeu, líquido,
respectivamente, R$ 4.500,00 e R$ 5.310,00. Com
esses dados, pode-se afirmar que suas vendas no
segundo mês foram superiores às do primeiro mês
em:
a) 18%
b) 20%
c) 30%
d) 33%
e) 41%
a) O número de empresas consultadas que ainda
não decidiram aderir ao SIMPLES é inferior a 280.
b) Mais de 260 empresas consultadas, não
podem ou não pretendem aderir ao SIMPLES.
c) Entre as empresas consultadas, a porcentagem
das que já decidiram em relação ao SIMPLES é
superior a 74%.
d) Entre as empresas consultadas que podem
aderir ao SIMPLES, MAIS DE 25% ainda não se
decidiram.
e) Se o número de empresas que já haviam
aderido ao SIMPLES a época da consulta era
igual a 900.000, então é correto estimar, com base
na pesquisa, que o número total de empresas
existentes no Brasil, naquele período, era superior
a 2.400.000.
09. De todos os empregados de uma grande
empresa, 30% optaram por realizar um curso de
especialização. Essa empresa tem sua matriz
localizada na capital. Possui, também, duas filiais,
uma em Outro Preto e outra em Montes Claros.
Na matriz trabalham 45% dos empregados e na
filial de Ouro Preto trabalham 20% dos
empregados.
Sabendo-se
que
20%
dos
empregados da capital optaram pela realização do
curso e que 35% dos empregados da filial de
Outro Preto também o fizeram, então a
percentagem dos empregados da filial de Montes
Claros que não optaram pelo curso é igual a:
a) 60%
b) 40%
c) 35%
d) 21%
e) 14%
38
Professor Ivan Zecchin
10. (FCC) Um comerciante comprou de um
agricultor um lote de 15 sacas de arroz, cada qual
com 60kg e, por pagar à vista, obteve um
desconto de 20% sobre o preço de oferta. Se, com
a venda de todo o arroz desse lote ao preço de
R$8,50 o kg, ele obteve um lucro de 20% sobre a
quantia paga ao agricultor, então o preço de oferta
é
a) 6.350,00
13. (FCC) A tabela abaixo representa o número de
atendimentos realizados em um hospital por 40
médicos, durante certo período:
nº de médicos
4
6
8
10
12
nº de atendimentos
5
7
9
6
8
b) 7.650,25
c) 7.968,75
d) 8.450,50
e) 8.675,00
Considerando que o ideal é que cada médico
atenda de 8 a 10 pacientes neste período, qual é a
porcentagem de médicos que não atingiu este
padrão?
a) 40%
b) 25%
11. (FCC) Um analista comprou dois aparelhos
celulares iguais, com abatimento de 5% sobre o
preço unitário P. Vendeu-os no mesmo dia, um
com lucro de 4% e outro com lucro de 3% sobre o
valor que havia pago. Nessa transação, ele teve:
c) 50%
d) 30%
e) 60%
a) lucro correspondente a 6,65% de P
b) lucro correspondente a 3,35% de P
c) lucro correspondente a 2% de P
d) prejuízo correspondente a 3% de P
e) prejuízo correspondente a 2% de P
12. (FCC) Considere que, do custo de produção
de determinado produto, uma empresa gasta 25%
com a mão de obra e 75% com matéria-prima. Se
o gasto com a mão de obra subir 10% e o de
matéria-prima
baixar
6%,
o
custo
do
produto:
14. Publicado o edital de licitação para a compra
de
20
monitores
de
vídeo
para
microcomputadores, duas empresas apresentam
as seguintes propostas:
- R$ 870,00 a unidade; 10% de desconto sobre o
valor total da compra de 10 ou mais unidades.
- R$ 900,00 a unidade; 15% de desconto sobre o
valor total da compra de 15 ou mais unidades.
Optando pela melhor dessas duas propostas, a
entidade economizará.
a) R$ 360,00
b) R$ 375,00
a) permanecerá inalterado;
c) R$ 380,00
b) baixará de 2%;
d) R$ 425,00
c) aumentará de 3,2%;
e) R$ 460,00
d) baixará de 1,8%;
e) aumentará de 1,2%
Professor Ivan Zecchin
39
15. (CESGRANRIO) Devido ao calor, o consumo
de energia de certa residência vem aumentando
10% ao mês, desde setembro de 2009, chegando
a 732,05 KWh, em janeiro de 2010. Qual foi, em
KWh, o consumo de energia dessa residência, em
outubro de 2009?
5ª PARTE:
Sequências
SEQUÊNCIAS
a) 500
b) 525
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
c) 533
Definição
d) 550
Chamamos de PA qualquer seqüência onde cada
termo, a partir do segundo, é igual ao anterior
adicionado a uma constante denominada razão
(r).
e) 566
Se a1, a2, a3, ... an é P.A.
GABARITO
1–D
2–C
3–B
4–D
5–B
6–A
PA crescente e decrescente
7–FVVVF 8–C
9-A
1. Uma PA é crescente se, e somente se,
10 – C
11 – A
12 – B
an > an-1
13 - C
14 - A
15 - D
ex.: 2, 6, 10, 14, 18
Então: an = an-1 + r (n > 1)
2. Uma PA é decrescente se, e somente se,
an < an-1
ex.: 18, 14, 10, 6, 2
nesses casos, a razão será um número negativo.
Propriedades
1. se PA é crescente r > 0
2. se PA é decrescente r < 0
3. se PA é estacionária r = 0
4. Dados três termos consecutivos de uma PA, 0
do meio é a média aritmética entre o anterior e
posterior.
Veja: se: (a, b, c) é uma P.A., então b = (a+c) / 2
40
Professor Ivan Zecchin
Fórmula do Termo Geral
3. PG crescente
Há dois casos
onde:
a1 > 0 e q > 1 ou
-
an é o último termo
a1 < 0 e 0 < q < 1
-
a1 é o primeiro termo
4. PG decrescente
- n é a quantidade de termos e r é a razão
(constante)
a1 > 0 e 0 < q < 1ou
a1 < 0 e q > 1
Fórmula do Termo Geral em função de um termo
qualquer
Fórmula do Termo Geral
Particularmente: an = a1 + ( n – 1 ) . r
Generalizando esta fórmula para qualquer termo
Mais propriedades
1. A soma de dois termos equidistantes
equidistantes dos
extremos é igual à soma dos extremos.
Soma dos Termos
Sn =
(a1 + a n )
.n
2
onde Sn é a soma dos termos.
Propriedades
1. Dados três termos consecutivos (PG), o termo
central é a média geométrica entre anterior e
posterior.
2. O produto de dois termos eqüidistantes dos
do
extremos é igual ao produto dos extremos.
Soma dos Termos (P.G. finita)
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
GEOMÉTRICA (P.G.)
1. Quando q = 1 temos
Definição
Chamamos de PG qualquer seqüência onde cada
termo, a partir do segundo, é igual ao anterior
multiplicado por uma constante denominada razão
(q).
2. Caso
Caso a razão seja indeterminada
(0, 0, 0, ...) teremos:
3. Se q 1,, existem
e
dua
uas fórmulas:
s:
Então: an = an-1
-1 . q (n > 1)
Classificação da PG
1. PG estacionária
Sn =
a n .q − a1
ou Sn =
q −1
Ocorre quando q = 1 onde q é a razão da PG
Soma dos Termos (PG infinita)
ex.: 5, 5, 5, 5, 5, 5
Neste caso, -1
-1 < q < 1 (q 0)
2. PG oscilante ou alternante. (q < 0)
Neste caso, os termos consecutivos tem sinais
opostos (ou simétricos).
ex.: 2, -4, 8, -16,
16, 32
Professor Ivan Zecchin
41
EXERCÍCIOS PROPOSTOS / TESTES - PA
EXERCÍCIOS PA / PG
1. Seja A o conjunto dos 1993 primeiro números
inteiros estritamente positivos.
1. Numa progressão geométrica, o primeiro termo
é igual a 7500, e o quarto termo é igual a 20% do
terceiro. Determine o quinto termo da progressão.
a) Quantos múltiplos inteiros de 15 pertencem ao
conjunto A?
2. Do conjunto de todos os números naturais n, n
< 200, retiram-se os múltiplos de 5 e, em seguida,
os múltiplos de 6. Calcule a soma dos números
que permanecem no conjunto.
2. Se o primeiro termo vale 2 e a razão é 3, então
os termos gerais da PA e da PG correspondentes
são:
a) 2 + 3n e 2.3n/3
b) 2 + 3n e 3n-1/2
c) 3n - 1 e 2.3n
3. A média aritmética dos 20 números pares
consecutivos, começando em 6 e terminado em
44, vale:
d) 3 + 2n e 3.2n
e) 3n - 1 e (2/3).3n
a) 50
b) 40
c) 35
3. O terceiro e o sétimo termos de uma P.G valem,
respectivamente, 10 e 18. O quinto termo dessa
Progressão é:
d) 25
a)
14
b)
30
e) 20
4. Uma criança anêmica pesava 8,3 kg. Iniciou
um tratamento médico que fez com que
engordasse 150 g por semana durante 4 meses.
Quanto pesava ao término da 15° semana de
tratamento?
c) 2. 7
d) 6. 5
e) 30
a) 22,50 kg
b) 15 kg
c) 10,7 kg
d) 10,55 kg
e) 10,46 kg
4. Seja (b1, b2, b3, b4) uma progressão geométrica
de razão 1/3. Se b1 + b2 + b3 + b4 = 20, então b4 é
igual a:
a) 1/2
b) 3/2
c) 5/2
d) 7/2
42
Professor Ivan Zecchin
5. A seqüência (2x + 5, x + 1, x/2, ...) com x Є R, é
uma progressão geométrica de termos positivos.
O décimo terceiro termo dessa seqüência é:
a) 2
b) 3-10
c) 3
d) 310
e) 312
c) As áreas dos quadrados estão em P. G. de
razão 1/4.
d) O lado do décimo quadrado mede
a
512
8. Um estacionamento cobra R$ 1,50 pela
primeira hora. A partir da segunda, cujo valor é R$
1,00 até a décima segunda, cujo valor é R$ 0,40,
os preços caem em progressão aritmética. Se um
automóvel ficar estacionado 5 horas nesse local,
quanto gastará seu proprietário?
a) R$ 4,58
6. Sendo x um número real não nulo, a soma do
3º termo da P.A (x, 2x, ...) com o 3º termo da P.G
(x, 2x, ...) é igual a:
b) R$ 5,41
c) R$ 5,14
a) 4x
d) R$ 4,85
b) 5x
e) R$ 5,34
c) 6x
d) 7x
e) 8x
7. Considere os quadrados de vértices Ai, Bi, Ci e
Di e os arcos de circunferências AiCi de centros Di
e raios Ci, Di. Sabendo que os lados dos
quadrados estão em P. G. de razão 1/2 e que o
lado do primeiro quadrado mede a. É FALSO
afirmar que:
9. No projeto urbanístico de uma cidade, o
paisagista previu a urbanização do canteiro central
de uma das avenidas, com o plantio de 63 mudas
de Flamboyant, todas dispostas em linha reta e
distantes 5m uma da outra. No dia do plantio, o
caminhão descarregou as mudas no início do
canteiro central, no local onde seria plantada a
primeira muda. Um jardineiro foi designado para
executar o serviço. Para isso, partindo do lugar
onde as mudas foram colocadas, ele pegou três
mudas de cada vez, plantou-as nos locais
designados, enfileirando-as uma após a outra.
Calcule, em hectômetros, a distância total mínima
percorrida pelo jardineiro após finalizar o trabalho.
a) 64,1 hm
b) 67,2 hm
c) 69,4 hm
d) 70,8 hm
a) As áreas hachuradas estão em P. G. de razão
1/2.
e) 76,5 hm
b) A área hachurada do quinto quadrado é
 4 −π  2

a
 1024 
Professor Ivan Zecchin
43
10. Uma bola é solta de uma altura de 16 metros
e, ao bater no solo, volta a subir a uma altura de
8m, quando cai novamente, voltando a subir a
uma altura de 4m e assim sucessivamente.
Teoricamente, a bola nunca irá parar de descer e
subir, uma vez que sempre haverá metade de um
número positivo, mas na prática ela para. Sendo
assim qual a distância total percorrida por essa
bola, desde o momento em que é solta da altura
de 16 metros ?
a) 32 m
b) 48 m
c) 56 m
d) 68 m
e) 72 m
11. Qual o milésimo múltiplo positivo ímpar de 11?
a) 19877
b) 21923
c) 21989
d) 22055
e) 22143
GABARITO
PA
1 – 132
2 – 13264
3–D
4–D
1 – 12
2–E
3–D
4–A
5–B
6–D
7–A
8-C
9–A
10-B
11-C
PA / PG
44
Professor Ivan Zecchin