Eq. 2o grau - Aldo Vieira

Prof. Dr. Aldo Vieira
1. (Ufpr 2011) Durante o mês de dezembro, uma loja de cosméticos obteve um total de R$
900,00 pelas vendas de um certo perfume. Com a chegada do mês de janeiro, a loja decidiu
dar um desconto para estimular as vendas, baixando o preço desse perfume em R$ 10,00.
Com isso, vendeu em janeiro 5 perfumes a mais do que em dezembro, obtendo um total de R$
1.000,00 pelas vendas de janeiro. O preço pelo qual esse perfume foi vendido em dezembro
era de:
a) R$ 55,00.
b) R$ 60,00.
c) R$ 65,00.
d) R$ 70,00.
e) R$ 75,00.
2. (Unicamp 2011) Quarenta pessoas em excursão pernoitam em um hotel.
Somados, os homens despendem R$ 2.400,00. O grupo de mulheres gasta a mesma quantia,
embora cada uma tenha pago R$ 64,00 a menos que cada homem.
Denotando por x o número de homens do grupo, uma expressão que modela esse problema e
permite encontrar tal valor é
a) 2400x = (2400 + 64x)(40 − x).
b) 2400(40 − x) = (2400 - 64x)x.
c) 2400x = (2400 − 64x)(40 − x).
d) 2400(40 − x) = (2400 + 64x)x.
3. (Espm 2011) Define-se max(a; b) = a, se a ≥ b e max(a; b) = b, se b ≥ a . A soma dos
valores de x, para os quais se tem max(x 2 − 2x + 2; 1 + x 2 ) = 50, é igual a:
a) 1
b) 0
c) 2
d) –13
e) 15
4. (Eewb 2011) A adição de um número real positivo x com o seu quadrado dá um resultado
igual 42. Então esse número é:
a) Ímpar
b) é maior que 15
c) é múltiplo de 3
d) é menor que 5
5. (Ueg 2011) O dono de uma lanchonete comprou uma certa quantidade de sanduíches
naturais por R$ 180,00 e vendeu todos, exceto seis, com um lucro de R$ 2,00 por sanduíche.
Com o total recebido, ele comprou 30 sanduíches a mais que na compra anterior, pagando o
mesmo preço por sanduíche. Nessas condições, o preço de custo de cada sanduíche foi de:
a) R$ 6,00
b) R$ 5,00
c) R$ 3,00
d) R$ 2,00
6. (Fgv 2010) Deslocando-se a vírgula 4 posições para a direita na representação decimal de
um número racional positivo, o número obtido é o quádruplo do inverso do número original. É
correto afirmar que o número original encontra-se no intervalo real
3 
 1
a) 
,

10000
10000


3 
 1
b) 
,

1000
1000


3 
 1
c) 
,

 100 100 
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1 3 
d)  , 
 10 10 
e) [1,3]
2
7. (Pucrj 2010) Se A e B são as raízes de x + 3x – 10 = 0, então
1
( A − B )2
vale :
1
10
1
−
49
1
49
1
10
1
7
a) −
b)
c)
d)
e)
8. (Espm 2010) Uma costureira pagou R$ 135,00 por uma certa quantidade de metros de um
tecido. Ao passar pela loja vizinha, notou que o metro desse mesmo tecido estava R$ 2,00
mais barato que na anterior. Comprou, então, um metro a mais do que na primeira compra,
gastando R$ 130,00. Considerando as duas compras, o total de metros de tecido que ela
comprou foi:
a) 15
b) 17
c) 19
d) 21
e) 23
9. (Espm 2010) O produto da média aritmética pela média harmônica entre dois números reais
positivos é igual ao produto desses números.
2
Dessa forma podemos dizer que a média harmônica entre as raízes da equação 2x − 15x + 3
= 0 é igual a:
a) 0,4
b) 1,3
c) 0,7
d) 1,5
e) 0,6
10. (Ibmecrj 2010) Um grupo de amigos, numa excursão, aluga uma van por 342 reais. Ao fim
do passeio, três deles estavam sem dinheiro e os outros tiveram que completar o total,
pagando cada um deles 19 reais a mais. O total de amigos era:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
11. (Mackenzie 2009) Vinte apostadores compareceram a uma casa lotérica para participar de
um "bolão", cabendo a cada um pagar ou um mínimo de R$ 10,00, ou um valor maior, mas
igual para todos, múltiplo de R$ 5,00; entretanto, para cada R$ 5,00 de aumento no valor da
aposta, haverá a saída de um apostador. Dentre os valores abaixo, para se fazer um jogo de
R$ 525,00, cada apostador deverá participar em reais, com a quantia de:
a) 45
b) 50
c) 25
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d) 35
e) 105
12. (Puc-rio 2008) Se
3 − (b b ). 3 + (b b ) = 1, então b é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d)
1
2
e)
1
3
2
13. (Fuvest 2008) A soma dos valores de m para os quais x = 1 é raiz da equação x + (1 + 5m
2
2
- 3m )x + (m + 1) = 0 é igual a
a) 5/2
b) 3/2
c) 0
d) - 3/2
e) - 5/2
2
14. (Fgv 2008) O menor valor inteiro de k para que a equação algébrica 2x (kx - 4) - x + 6 = 0
em x não tenha raízes reais é
a) -1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
15. (Unesp 2008) Um grupo de x estudantes se juntou para comprar um computador portátil
(notebook) que custa R$ 3.250,00. Alguns dias depois, mais três pessoas se juntaram ao
grupo, formando um novo grupo com x + 3 pessoas. Ao fazer a divisão do valor do computador
pelo número de pessoas que estão compondo o novo grupo, verificou-se que cada pessoa
pagaria R$ 75,00 a menos do que o inicialmente programado para cada um no primeiro grupo.
O número x de pessoas que formavam o primeiro grupo é:
a) 9.
b) 10.
c) 11.
d) 12.
e) 13.
2
16. (Fuvest 2007) A soma e o produto das raízes da equação de segundo grau (4m + 3n) x 5nx + (m - 2) = 0 valem, respectivamente, 5/8 e 3/32. Então m + n é igual a
a) 9
b) 8
c) 7
d) 6
e) 5
17. (Ufla 2007) Para que o sistema de equações
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2x − y + 5 = 0


 2
x + y − a = 0
a) 2
b) -5
c) -2
d) 4
2
18. (Ufc 2007) Os reais não nulos p e q são tais que a equação x + px + q = 0 tem raízes ∆ e
1 - ∆, sendo que ∆ denota o discriminante dessa equação. Assinale a opção que corresponde
ao valor de q:
a) -1
b) -1/2
c) 1/4
d) 3/16
e) 7/8
2
19. (Ufc 2006) O produto das raízes reais da equação 4x - 14x + 6 = 0 é igual a:
a) - 3/2
b) - 1/2
c) 1/2
d) 3/2
e) 5/2
20. (Ufrrj 2006) A soma de dois números é 6, e a soma de seus quadrados é 68. O módulo da
diferença desses dois números é
a) 2.
b) 4.
c) 6.
d) 8.
e) 10.
21. (Pucmg 2006) Sejam p e q números reais não-nulos tais que [p/(2q)] + [(2q)/p] - 2 = 0 e p +
q = 6. Então, o valor de p é igual a:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
2
22. (Pucmg 2006) A diferença entre as raízes reais da equação x + bx + 40 = 0 é igual a 6.
Então, o valor absoluto de b é:
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
23. (Pucmg 2006) A soma dos possíveis valores de x que verificam a igualdade (x - 1)/4 = 5/(x
- 2) é:
a) um número par.
b) um múltiplo de 8.
c) um divisor de 8.
d) um número primo.
24. (Pucpr 2005) Sejam "x1" e "x2" números reais, zeros da equação
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(2 - k)x + 4kx + k + 1 = 0.
Se x1 > 0 e x2 < 0, deve-se ter:
a) k > 0
b) 0 < k < 3
c) k < -1 ou k > 2
d) -1 < k < 2
e) k > 2
2
25. (Ufrrj 2004) Se a e b são raízes não nulas da equação x - 6ax + 8b = 0, calculando 2a + b,
temos
a) 5.
b) 42.
c) 48.
d) 56.
e) 40.
26. (Fuvest 2003) No segmento AC , toma-se um ponto B de forma que
o valor de
a)
AB
BC
=2
. Então,
AB
BC
BC
é:
AB
1
2
b)
c)
d)
e)
3 −1
2
5 −1
5 −1
2
5 −1
3
27. (Fuvest 2003) As soluções da equação
onde a ≠ 0, são:
a a
e
2 4
a
a
b) - e
4
4
1
1
c) - a e a
2
2
a) -
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1 1
e a
a 2
1 1
e) - e
a a
d) -
28. (Pucsp 2002) Um funcionário de certa empresa recebeu 120 documentos para arquivar.
Durante a execução da tarefa, fez uma pausa para um café e, nesse instante, percebeu que já
havia arquivado 1/(n - 1) do total de documentos (n ∈ IN - {0, 1}).
Observou também que, se tivesse arquivado 9 documentos a menos, a quantidade arquivada
corresponderia a 1/(n + 2) do total. A partir do instante da pausa para o café, o número de
documentos que ele ainda deverá arquivar é
a) 92
b) 94
c) 96
d) 98
e) 100
29. (Ufmg 2002) O quadrado da diferença entre o número natural x e 3 é acrescido da soma
de 11 e x. O resultado é, então, dividido pelo dobro de x, obtendo-se quociente 8 e resto 20.
A soma dos algarismos de x é
a) 3
b) 4
c) 5
d) 2
2
30. (Fgv 2002) A soma das raízes da equação (x - 2x 2 +
2
3 ) . (x - x 2 -
3 ) = 0 vale:
a) 0
b) 2 3
c) 3 2
d) 5 6
e) 6 5
2
2
31. (Pucmg 2001) Os números m e n são as raízes da equação x - 2rx + r - 1 = 0. O valor de
2
2
m + n é:
a) 2r + 1
b) 2 + r
2
c) r + 1
2
d) 2 (r + 1)
2
32. (Mackenzie 2001) Para que a equação kx + x + 1 = 0, com k inteiro e diferente de zero,
admita uma raiz inteira, deveremos ter k igual a:
a) -4
b) 2
c) 4
d) -2
e) 8
33. (Puccamp 2001) Em agosto de 2000, Zuza gastou R$ 192,00 na compra de algumas
peças de certo artigo. No mês seguinte, o preço unitário desse artigo aumentou R$ 8,00 e, com
a mesma quantia que gastou em agosto, ele pode comprar duas peças a menos. Em setembro,
o preço de cada peça de tal artigo era
a) R$ 24,00
b) R$ 25,00
c) R$ 28,00
d) R$ 30,00
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e) R$ 32,00
34. (Ita 2001) O conjunto de todos os valores de m para os quais a função
está definida e é não-negativa para todo x real é:
1
7
1

a)  ,

4 4
b)  , ∞ 
4

 7

 4
1

d)  −∞, 
4

1 7
e)  ,

4 4
c)  0,
35. (Ufv 2000) Sobre a equação irracional x 2 + 1 = x - 1 é CORRETO afirmar que:
a) não possui raízes reais.
b) possui apenas uma raiz real.
c) possui duas raízes reais distintas.
0
d) é equivalente a uma equação do 2 . grau.
0
e) é equivalente a uma equação do 1 . grau.
36. (Ufpi 2000) Seja f: IR
→ IR a função definida por:
f ( x ) = x 2 − 1, se x < 1

2
f ( x ) = − x + 2x, se x ≥ 1
A equação f(x) = 0 possui:
a) 1 solução
b) 2 soluções
c) 3 soluções
d) 4 soluções
e) nenhuma solução
37. (Ufpe 2000) Os alunos de uma turma resolveram comprar um presente custando R$ 48,00
para o professor de Matemática, dividindo igualmente o gasto entre eles. Depois que 6 alunos
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recusaram-se a participar da divisão, cada um dos alunos restantes teve que contribuir com
mais R$ 0,40 para a compra do presente. Qual a percentagem de alunos da turma que
contribuíram para a compra do presente?
a) 85%
b) 65%
c) 60%
d) 80%
e) 75%
38. (Pucsp 2000) Se x e y são números reais tais que 2x + y = 8, o valor máximo do produto
x.y é
a) 24
b) 20
c) 16
d) 12
e) 8
2
39. (Ufpel 2000) Se y é uma constante e x1 e x2 são raízes da equação x + 6x . cosy + 9 = 0
em U = C (Conjunto dos Números Complexos), o módulo de (x1 + x2) é
a) 3 (sen y + cos y)
b) 18
c) 6 sen y
d) 3 cos y
e) 6 cos y
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[B]
Sejam n e p, respectivamente, o número de perfumes vendidos e o preço unitário do perfume
em dezembro. Desse modo,
n ⋅ p = 900
np = 900
n = 15
.
⇒
⇒ n ⋅ (n + 15) = 450 ⇒ 

(n + 5) ⋅ (p − 10) = 1000 p = 2n + 30
p = 60
Resposta da questão 2:
[C]
Se o número de homens no grupo é x, então o número de mulheres é 40 − x. Além disso, o
2400
valor pago por cada homem é
reais. Como cada mulher pagou R$ 64,00 a menos que
x
2400
cada homem, temos que cada uma pagou
− 64 reais. Portanto, sabendo que a despesa
x
das mulheres também foi de R$ 2.400,00, segue que:
 2400

 2400 − 64x 
(40 − x) 
− 64  = 2400 ⇒ (40 − x) 
 = 2400
x
 x



⇒ (40 − x)(2400 − 64x) = 2400x.
Resposta da questão 3:
[A]
Se x 2 − 2x + 2 ≥ 1 + x 2 ⇔ x ≤
1
, então
2
x 2 − 2x + 2 = 50 ⇒ x 2 − 2x + 1 + 1 = 50
⇒ (x − 1)2 = 49
⇒ x − 1 = ±7
⇒ x = −6 ou x = 8.
Logo, x = −6.
Por outro lado, se 1 + x 2 ≥ x 2 − 2x + 2 ⇔ x ≥
1
, então 1 + x 2 = 50 ⇒ x = −7 ou x = 7 .
2
Desse modo, x = 7.
Portanto, a soma pedida é igual a 7 + ( −6) = 1 .
Resposta da questão 4:
[C]
x + x2 = 42
x2 + x − 42 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau, temos x = -7 ou x = 6.
Como o número é real positivo, temos x = 6 (múltiplo de 3).
Portanto, alternativa C.
Resposta da questão 5:
[C]
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Sejam n e p, respectivamente, o número de sanduíches comprados inicialmente e o preço de
custo unitário.
Logo, segue que:
n ⋅ p = 180
(n − 6) ⋅ (p + 2) = (n + 30) ⋅ p
⇔
n ⋅ p = 180
n = 18p + 6
⇔ 3p2 + p − 30 = 0
⇒ p = 3.
Portanto, o preço de custo de cada sanduíche foi de R$ 3,00.
Resposta da questão 6:
[C]
10.000x = 4.
1
4
2
⇔ x2 =
⇔x=
x
10000
100
Resposta da questão 7:
[C]
2
Resolvendo a equação x + 3x – 10 = 0, temos x= 2 ou x = - 5, logo:
1
(A − B)
2
=
1
(2 − (−5))
2
=
1
7
2
=
1
49
Resposta da questão 8:
[C]
x = quantidade de tecido em metros da loja 1
x +1 = quantidade de tecido em metros da loja 2.
135 130
−
= 2 ⇔ 135( x + 1) − 130.x = 2 x.( x + 1) ⇔ 2 x 2 − 3 x − 135 = 0
x
x +1
Resolvendo, temos x = 9 ou x = -7,5 (não convém)
Logo, foram comprados 9 + 9 + 1 = 19m de tecido.
Resposta da questão 9:
[A]
M A .M H = P
S
.M H = P
2
− (−15)
3
2
.M H =
2
2
15
3
.M H =
4
2
6
MH =
= 0,4
15
Resposta da questão 10:
[D]
X = Número de amigos.
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342
⇔ x.( x − 3) = 3.
⇔ x 2 − 3x − 54 = 0
x
19
Resolvendo temos x = 9 ou x = -6 (não convém)
( x − 3).19 = 3.
Resposta da questão 11:
[D]
Resposta da questão 12:
[C]
Resposta da questão 13:
[A]
Resposta da questão 14:
[B]
Resposta da questão 15:
[B]
Resposta da questão 16:
[A]
Resposta da questão 17:
[D]
Resposta da questão 18:
[D]
Resposta da questão 19:
[D]
Resposta da questão 20:
[E]
Resposta da questão 21:
[A]
Resposta da questão 22:
[D]
Resposta da questão 23:
[D]
Resposta da questão 24:
[C]
Resposta da questão 25:
[D]
Resposta da questão 26:
[B]
Resposta da questão 27:
[E]
Resposta da questão 28:
[C]
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Resposta da questão 29:
[A]
Resposta da questão 30:
[C]
Resposta da questão 31:
[D]
Resposta da questão 32:
[D]
Resposta da questão 33:
[E]
Resposta da questão 34:
[D]
Resposta da questão 35:
[A]
Resposta da questão 36:
[B]
Resposta da questão 37:
[D]
Resposta da questão 38:
[E]
Resposta da questão 39:
[E]
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