Matemática 7º ano

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MATEMÁTICA
7
MATEMÁTI
CA
Alexandre
Luís Trovo
n de Car v
Lourisnei
alho
For tes Re
is
O
s livros de Matemática da coleção Interativa
apresentam os conteúdos de modo inovador,
possibilitando a construção do conhecimento
matemático de forma significativa, prática e
contextualizada.
Nos quatro volumes, a Matemática é relacionada a
problemas atuais e aos interesses dos alunos, por meio
da apresentação de situações de investigação nas quais o
uso de ferramentas matemáticas é indispensável. Assim,
as ideias e os conceitos são aplicados a fim de satisfazer
essa necessidade.
A proposta inova ao introduzir as funções e o
estudo da geometria em todos os anos escolares. Além
disso, estão disponíveis desafios, projetos e atividades
complementares que favorecem a compreensão e o
aprofundamento do conhecimento matemático.
29486_29490_Matemática_7A
7
7
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Proj. Gráf.
Editor(a)
Coor. Ped.
LIVRO DO PROFESSOR
C. Q.
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MATEMÁTI
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29486 / Matemática 7º ano
Alexandre
Luís Trovo
n de Carva
Lourisnei
lho
Fortes Re
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LIVRO DO PROFESSOR
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Tatuí, SP
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Direitos de publicação reservados à
Casa Publicadora Brasileira
Rodovia SP 127 – km 106
Caixa Postal 34 – 18270-970 – Tatuí, SP
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E-mail: [email protected]
Autores |
Alexandre Luís Trovon de Carvalho
• Graduado em Matemática pela Unicamp – Campinas – SP
• Mestre em Matemática Aplicada pela Unicamp – Campinas – SP
•D
outor em Matemática pela Unicamp – Campinas – SP
Gerência de Didáticos
Alexander Dutra
Coordenação Pedagógica
Carmen Souza
Lourisnei Fortes Reis
• Graduado em Ciências com Habilitação em Matemática pela
Unijuí – Ijuí – RS
•G
raduado em Pedagogia pela Famo – São Paulo – SP
Coordenação Editorial
Adriana Teixeira
Editoração
Cristhiane Chagas e Fernanda Loiola Barbosa
Revisão
Cecília Ortolan e Priscila Rostirolla
Projeto Gráfico e Capa
Enio Scheffel Jr., Fernando Lima e Sandra Ferreira Barbosa
Imagens da Capa
Fotolia
Programação Visual
Leonardo Alves e Rone Souza
Ilustrações
Ilustra Cartoon
Consultoria Pedagógica
Antonio Marcos Alves
Carlo Magnus Melo Bergamaschi
Rodrigo Augusto Santos Silva
IMPRESSO NO BRASIL/Printed in Brazil
6a edição – 1a impressão
2015
29486 / Matemática 7º ano
5a edição – 1a impressão
2015
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Carvalho, Alexandre Luís Trovon de
Matemática, 7 / Alexandre Luís Trovon de
Carvalho, Lourisnei Fortes Reis. – 6. ed. –
Tatuí, SP : Casa Publicadora Brasileira, 2015.
Suplementado pelo Livro do professor.
ISBN 978-85-345-2172-7 (aluno)
ISBN 978-85-345-2173-4 (professor)
1. Matemática (Ensino fundamental) I. Reis,
Lourisnei Fortes. II. Título.
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Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Filial Brasília, DF
Fone: (61) 3321-2021
Filial Recife, PE
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Todos os direitos reservados. Proibida a reprodução total
ou parcial, por qualquer meio, sem prévia autorização
escrita do autor e da Editora.
Conheça nossa linha completa de materiais didáticos – da Educação
Infantil ao Ensino Médio – e de literatura infantojuvenil.
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APRESENTAÇÃO
Oi, colega!
Junte-se a nós!
Nossa aventura pela Matemática continua, e queremos
que você participe dela conosco. Ao estudar com esta coleção, você vai se deparar com situações intrigantes que o(a)
ajudarão a conhecer mais sobre o mundo em que vivemos
e a entender como a Matemática aparece nas mais diversas
circunstâncias do dia a dia. No fim de cada unidade, você encontrará uma atividade especial, em que poderá aplicar os conhecimentos que adquiriu às mais variadas áreas, tais como:
ecologia, meio ambiente, artes, entre outras. Lembre-se de
que você não estará sozinho(a) nessa aventura. Seus colegas
de classe e seu professor estarão ao seu lado!
Junto com o professor Roberval, você fará grandes descobertas. Ele sempre estará por perto para dar uma mãozinha
com dicas e explicações. Você explorará a matemática das
abelhas, observará como os conhecimentos matemáticos
facilitam o nosso cotidiano e muito mais. Alguns assuntos
aparecerão diversas vezes nessa jornada a fim de relembrar
o que você já viu e abrir caminho para aquisição de novos
saberes. Você também poderá partilhá-los com os colegas
por meio de trabalhos em grupo. Isso porque a matemática
é algo que as pessoas aprendem e descobrem juntas.
© Budimir Jevtic | Fotolia
Divirta-se!
29486_ABERTURA.indd 3
Esperamos que essa aventura seja divertida e prazerosa.
Muitos jogos e atividades interessantes são apresentados
para que você sinta prazer em aprender. Você construirá
suas próprias obras de arte e solucionará vários desafios.
Lembre-se: aprender pode ser muito divertido, mas exige
tempo e esforço. Mais que isso, requer o pensar constante. Esperamos que você aprenda e pense bastante! Faça da
mente seu laboratório e mãos à obra!
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Descubra!
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SUMÁRIO
UNIDADE 1
Capítulo 5 – Funções e gráficos������������145
Capítulo 1 – Números ������������������������ 6
1. Múltiplos e máquinas���������������������������������������������
2. Divisibilidade ��������������������������������������������������������������
3. Critérios de divisibilidade���������������������������������������
4. Números primos�������������������������������������������������������
5. Múltiplos comuns e operações
com frações����������������������������������������������������������������
6. Multiplicação e divisão de frações �������������������
7. Multiplicação e divisão de decimais������������������
Ciências – A matemática das abelhas�����������������
6
12
18
25
31
35
41
49
Capítulo 2 – Um mundo de formas
geométricas������������������������������������� 52
29486 / Matemática 7º ano
1. Representações e decomposições���������������������
2. Olhando de maneiras diferentes������������������������
3. Experiências com sólidos �������������������������������������
4. Contornos e polígonos �����������������������������������������
5. Paralelas e perpendiculares�����������������������������������
6. Medindo e utilizando ângulos���������������������������
7. Simetrias�����������������������������������������������������������������������
Cidadania – Brasileiros em Ruanda�����������������������
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52
59
65
66
73
78
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94
Capítulo 3 – Números negativos����������� 95
1. O que são números negativos?���������������������������
2. Representação de números negativos�������������
3. Somando e subtraindo������������������������������������������
4. Multiplicando e dividindo ������������������������������������
Saúde – Alimentos e suas calorias��������������������������
Projeto��������������������������������������������������������������������������������
95
102
106
113
119
120
UNIDADE 2
Capítulo 4 – Expressões e equações������122
1. Modelos para expressões��������������������������������������
2. Sentenças envolvendo letras��������������������������������
3. Equações – Que bichos são esses?��������������������
4. Sistemas – Tentativa e erro ����������������������������������
Criptografia – A matemática dos códigos���������
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122
127
132
139
144
1. Pontos e coordenadas��������������������������������������������
2. Representação cartesiana��������������������������������������
3. Forma algébrica das funções�������������������������������
Cidadania – Funções no dia a dia �������������������������
Projeto�������������������������������������������������������������������������������
145
152
160
168
169
UNIDADE 3
Capítulo 6 – Tudo nas devidas
proporções��������������������������������������� 174
1. Grandezas e relações entre elas��������������������������
2. Funções e grandezas diretamente
proporcionais�������������������������������������������������������������
3. Fotos, mapas e plantas�������������������������������������������
4. Proporções que variam inversamente��������������
5. Equações, proporções e regra de três���������������
Ciências – As proporções do corpo���������������������
Projeto�������������������������������������������������������������������������������
174
180
186
191
196
202
203
UNIDADE 4
Capítulo 7 – Medindo superfícies e volumes�210
1. Calculando a área de figuras��������������������������������
2. Blocos e volumes������������������������������������������������������
3. Calculando o volume de blocos�������������������������
Ciências – Deslocamento e volume���������������������
210
216
225
231
Capítulo 8 – Tratamento da informação ���232
1. Porcentagem na análise de informações���������
2. Moda, mediana e ferramentas para
a análise de informações���������������������������������������
3. Pictogramas e gráficos de setores���������������������
Cidadania – Expectativa de vida����������������������������
Projeto�������������������������������������������������������������������������������
Atividades complementares ���������������
Glossário ���������������������������������������
Referências�������������������������������������
Material de apoio�����������������������������
232
239
246
255
256
259
289
293
297
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UNIDADE
1
Imagens: © Famveldman. Chunumunu, Agsandrew e Barneyboogles | Fotolia
ü Múltiplos e divisores de um
número
ü Múltiplos comuns
ü Operações com frações e
números decimais
ü Representações e
decomposições de formas
geométricas
ü Retas perpendiculares,
paralelas e oblíquas
ü Simetria de rotação,
translação e reflexão
ü Representação de números
negativos
ü Operações com números
negativos
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TEMAS DESTA UNIDADE
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NÚMEROS
© Vlastimil Šesták | Fotolia
Por meio da ideia de máquinas e funções, este estudo tem por objetivo construir a sequência de múltiplos de um dado número
explorando o fato de que essa sequência é infinita.
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1. MÚLTIPLOS E MÁQUINAS
Na natureza, diversas formas seguem padrões.
Elas se organizam de maneira regular, seguindo
princípios que podem ser geométricos ou numéricos. Recentemente, descobriu-se que alguns tumores se desenvolvem mais ou menos de acordo
com certas regras matemáticas. Por essa razão,
hoje os cientistas estudam propriedades de formas geométricas, chamadas fractais, buscando
um diagnóstico mais rápido e preciso para esses
tipos de câncer.
O que são fractais? Essa
figura colorida é bem legal, mas
não me diz muita coisa...
Fractais são
formas geométricas
construídas de acordo com
determinada regra, como
uma sequência.
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Fractal produzido em computador.
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Nas situações a seguir, conheceremos alguns
fractais.
Na página 13 das “Orientações ao Professor”, as atividades 1, 2 e 3 exploram as regularidades, a multiplicação e o uso de calculadora.
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Situação 1
Partindo de um triângulo, podemos formar a
sequência abaixo.
Podemos também associar uma sequência
numérica à sequência de figuras contando o número de triângulos em cada etapa.
1
figura 2
9
27
figura 3
Você saberia dizer como essa sequência foi
formada? Confira o processo passo a passo.
1. Desenhamos um triângulo equilátero (figura 1).
2. Marcamos a metade do comprimento de
cada lado e unimos esses pontos formando um
triângulo menor. Retirando esse triângulo, obtemos a figura 2.
3. Repetimos o que foi feito no passo anterior
para cada um dos triângulos formados, obtendo
a figura 3.
Podemos repetir o
passo 2 para os triângulos
pequenos da figura 3?
Claro que sim!
Dessa forma, obteremos
um total de 27 triângulos
na nova figura.
Sendo assim, o número de triângulos em cada
etapa é dado pela seguinte sequência numérica:
1, 3, 9, 27
Você é capaz de descobrir qual é o próximo
termo da sequência? Afinal, quantos triângulos a
próxima figura terá? A próxima figura terá 81 triângulos.
Situação 2
Na máquina abaixo, todo número colocado
na entrada sai multiplicado por 5. Assim, dizemos que a regra dessa máquina é “×5” (vezes 5).
Inserindo o número 3, por exemplo, o resultado
obtido será 15; colocando 10, o resultado será 50,
e assim por diante.
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figura 1
3
Ro g
ério
Chim
ello
5
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Observando a figura 3, podemos determinar
o próximo termo (figura 4).
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figura 3
figura 4
Os valores de entrada e saída podem ser representados por meio de uma tabela ou de esquemas, conforme demonstrado a seguir.
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5
Entrada
Mas como saber
se um número é múltiplo
de 5? Por exemplo, 235 é
múltiplo de 5?
Saída
0
0
1
5
2
10
3
15
4
20
5
25
entrada
5
saída
1
5
5
2
5
10
3
5
15
Para saber se
235 é múltiplo de 5,
devemos verificar se existe
algum número inteiro que, ao ser
colocado na entrada da função
, tem como
5
resultado 235.
número procurado
Na entrada da máquina, inserimos os números 0, 1, 2, 3, 4, e assim respectivamente. Na saída,
é observada a seguinte sequência:
5
235
Observe que a função ÷5 desfaz aquilo que
é feito por 5 . Dessa forma, podemos determinar o número procurado:
5
número
procurado
0, 5, 10, 15, 20, ...
235
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÷5
Os números que saem da máquina apresentam intervalos de 5 em 5. E não é só isso: todo
elemento dessa sequência é o resultado da multiplicação de algum número inteiro por 5. Desse
modo, dizemos que ela é a sequência dos múltiplos de 5, ou seja, cada um de seus elementos
é um múltiplo de 5.
Efetuando a divisão, descobrimos que 235 ÷ 5 = 47.
Portanto, o número procurado é 47.
Descobrimos também que 235 é o resultado
da multiplicação de 47 por 5, isto é, ele é múltiplo
de 5. Agora, façamos um teste com o número
238. Você saberia dizer se ele é múltiplo de 5?
Não, pois 238 não é divisível por 5.
ATIVIDADES
1 Observe as etapas na construção da sequência a seguir, em que foram utilizados palitos de fósforo.
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etapa 1
etapa 2
etapa 3
Quantos palitos de fósforo serão necessários para formar o elemento da próxima etapa?
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2 Em um restaurante, as mesas e as cadeiras podem
ser organizadas formando a seguinte sequência:
b) Sem desenhar, tente descobrir como o número
de bolinhas aumenta de uma etapa para a seguinte. Converse com seus colegas a respeito disso.
A diferença entre um termo e o seu anterior
aumenta de 1 em 1. Sendo assim, 3 – 1 = 2,
6 – 3 = 3, 10 – 6 = 4, 15 – 10 = 5, formando a
sequência 2, 3, 4, 5 a partir do resultado dos
termos.
4 Encontre a sequência de múltiplos dos números
a seguir.
a) Complete a tabela de acordo com a sequência
encontrada.
Número de cadeiras
b) 5 = 0, 5, 10, 15, …
c) 9 = 0, 9, 18, 27, 36, …
1
4
d) 10 = 0, 10, 20, 30, …
2
6
e) 11 = 0, 11, 22, 33, …
3
8
4
10
5
12
5 Preencha a tabela.
Sim
b) Quantas cadeiras estarão disponíveis para 10
mesas, organizadas conforme a sequência?
16
20
22
3 Observe o número de bolinhas de cada etapa da
sequência abaixo.
140
336
868
315
é múltiplo de
8?
7?
6?
9?
Não
X
X
X
X
Junte-se a 2 ou mais colegas para realizar as atividades 6, 7 e 8.
6 Algumas vacas estão pastando em um campo.
Cada uma delas carrega três sinos no pescoço.
Contando os sinos das vacas, o resultado poderá
ser 53? Poderá ser 51? Expliquem a resposta.
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Número de mesas
a) 2 = 0, 2, 4, 6, 8, …
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3
6
10
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Editor
a) Quantas bolinhas o próximo elemento da sequência terá?
Coord. Ped.
C. Qualidade
O resultado não poderá ser 53, pois esse número
18
21
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não é múltiplo de 3. Mas poderá ser 51, já que 3 · 17 = 51.
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