Matemática

Matemática
Fundamentos de Matemática
Conhecimento inicial para bom entendimento do conteúdo abordado futuramente
Matemática
Turmas de 1 ano
Curso Pré-Vestibular – Conhecimentos do Ensino Médio
São Carlos
2010
Apresentação
Introdução
Objetivos
Dicas
Sumário
Números e Operações Fundamentais ................................................................................................... 1
Números Primos, Múltiplos e Divisores ................................................................................................ 3
Exercícios ............................................................................................................................................. 6
Divisibilidade .......................................................................................................................................... 7
M.M.C. e M.D.C. .................................................................................................................................... 8
Exercícios ........................................................................................................................................... 12
Frações ................................................................................................................................................. 13
Exercícios ........................................................................................................................................... 15
Números Decimais ............................................................................................................................... 17
Razão .................................................................................................................................................... 20
Porcentagem ........................................................................................................................................ 22
Exercícios ........................................................................................................................................... 23
Grandezas Proporcionais ..................................................................................................................... 25
Potenciação .......................................................................................................................................... 30
Exercícios ........................................................................................................................................... 32
Radiciação ............................................................................................................................................. 33
Exercícios ........................................................................................................................................... 35
Racionalização ...................................................................................................................................... 36
Produtos Notáveis e Fatoração............................................................................................................ 15
1
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Exercícios: Operações Fundamentais
NÚMEROS E OPERAÇÕES
1.
Calcule o valor das expressões numéricas:
a) 2 + 5 + 8 + 7 =
b) – 5 – 8 – 3 – 1 =
c) 6 + 65 + 32 – 87 =
d) – 98 + 65 – 3 =
e) 9 – 10 + 6 – 18 =
f) 287 – 1635 + 74 =
2.
3.
a) Quais são o maior e o menor número natural de dois
algarismos?
b) Quais são o maior e o menor número de dois
algarismos diferentes?
c) Quais são o maior e o menor número natural de três
algarismos diferentes?
Calcule:
a) 10 ∙108 =
b) 11∙ 3 ∙ 5 =
c) 2 ∙ (-5) =
d) 5 ∙ (-2) =
e) (-2) ∙ (-5) =
f) (-3) ∙ (-9) ∙ (-1) =
g) 44  2 =
h) 66  2  3 =
i) 81  (-9) =
j) (-30)  (-10) =
Efetue:
* Atenção para as prioridades das operações e dos
parênteses, colchetes e chaves!
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
4.
Agora Silvio Santos te convida para o jogo do
“BATE E VOLTA”. Então tente responder rapidamente e
ganhe 1 milhão de reais (mentira .. Oeê!!):
10 – 5 + 2.108 =
4 – 9 – 32  4 =
3 ∙ 6  9 – 5 ∙ 2 ∙ 8  20 =
(8 ∙ 6 – 16)  ( – 4 – 2 ∙ 2) =
– 30 – 5 ∙ [(-1) ∙ (15 – 3.6) + 9 – 3 ∙ 4] =
1 – 10 {10 – 1[1 – 10 (10 – 1)]} =
[1 + (-2 + 3 – 5) – 4] – [-1 + (-3 + 4)] =
(-1) ∙ [15 – (-6) ∙ (6 ∙ 3)] – 2(11 – 5) =
[-3(- 6) + 4(-5)] + 3[- 4 + 5 ∙ 2 – (-1)] =
(-6) ∙ 10 – 4  (-2) + (-5) ∙ (-10) =
(7 ∙ 8 – 60)  (-2) + 3 =
(12 + 5 ∙ 6)  [-2 – 3(-1 – 2)] =
4 ∙ 20  (-10) + (-32)  (16) ∙ (-2) =
2 + 2 – 2 ∙ 2  2 + (-2)  (-2) ∙ (-2) =
-5 ∙ (4 – 8  4 + 4) =
d) Quais são o maior e o menor número natural de três
algarismos pares e diferentes?
e) Quais são o maior e o menor número ímpar de quatro
algarismos diferentes?
f) Quais são o maior e o menor número de cinco
algarismos ímpares e diferentes?
g) Determine a diferença entre o menor número par de
quatro algarismos diferentes e o maior número de 3
algarismos ímpares e diferentes.
5.
Daniel me disse para que eu pensasse em um
número. Pensei no número 12. Em seguida ele pediu
para que eu multiplicasse esse número por 5,
acrescentasse 35 ao resultado, subtraísse 13 do total
obtido e novamente multiplicasse o valor encontrado por
5. Qual o dobro do valor que encontrei?
6.
As galinhas do Léo botaram 3 ovos na
segunda feira, 5 na terça, 3 na quarta, 1 na quinta,
nenhum na sexta e, no sábado, metade do que já haviam
botado nos 5 dias anteriores. Sabendo que Léo utiliza 4
ovos para fazer um bolo, quantas receitas deste bolo ele
poderá fazer após recolher os 2 ovos botados pelas
galinhas no domingo, com os ovos que recolheu durante
toda a semana?
2
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Exercícios: Operações Fundamentais
7.
Numa divisão inteira, o divisor é 12, o quociente
é uma unidade maior que o divisor e o resto, uma
unidade menor que o divisor. Qual é o valor do
dividendo?
8.
Certo prêmio será distribuído entre três
vendedores de modo que o primeiro receberá R$ 325,00;
o segundo receberá R$ 60,00 a menos que o primeiro; o
terceiro receberá R$ 250,00 a menos que o primeiro e o
segundo juntos. Qual o valor total do prêmio repartido
entre os três vendedores?
9.
Um dicionário tem 950 páginas; cada página é
dividida em 2 colunas; cada coluna tem 64 linhas; cada
linha tem, em média 35 letras. Quantas letras há nesse
dicionário?
15.
(UFBA- 96) Uma pessoa retira R$ 70,00 de um
banco, recebendo 10 notas, algumas de R$10,00 e outras
de R$5,00. Calcule quantas notas de R$5,00 a pessoa
recebeu.
16.
(Escola Técnica Federal - RJ) Dividindo-se o
número 59093 sucessivamente por 2, 3, 5, 9 e 10, os
restos das divisões serão respectivamente:
a) 0, 2, 3, 6, 3
b) 1, 1, 2, 2, 8
c) 1, 2, 0, 7, 3
d) 1, 2, 3, 8, 3
e) 1, 1, 1, 1, 1

GABARITO:
1)
a) 22 b) -17 c) 16 d) -36 e) -13 f) -1274
2) a) 10.108 b) 165 c) -10 d) -10 e) 10
f) -27 g) 22 h) 11 i) -9 j) 3
10.
Uma pessoa ganha R$ 40,00 por dia de trabalho e
gasta R$ 800,00 por mês. Quanto ela economizará em
uma ano se ela trabalhar, em média, 23 dias por mês?
11.
Em um saco havia 432 balinhas. Dividindo-as em
três montes iguais, um deles foi repartido entre 4
meninos e os dois montes restantes foram repartidos
entre 6 meninas. Quantas balinhas recebeu cada menino
e cada menina?
12.
Renato e Flávia ganharam, ao todo, 23 bombons.
Se Renato comesse 3 bombons e desse 2 para Flávia, eles
ficariam com o mesmo número de bombons. Quantos
bombons ganhou cada um deles?
13.
Os candidatos ao vestibular de uma faculdade
foram distribuídos em 112 salas de 35 lugares cada uma.
Tendo sido necessário, ainda formar uma classe
incompleta com 18 candidatos, quantos candidatos havia
para o vestibular dessa faculdade?
14.
Uma herança de 20.000 reais foi dividida entre
10 homens. Se essa mesma herança fosse dividida
somente entre 8 mulheres, quanto cada uma destas
receberia a mais do que cada homem?
3) a) 2.013 b) -13 c) -2 d) -4 e) -30 f) -989 g) -7 h) -135
i) 19 j) -8 k) 5 l) 6 m) -7 n) 0
o) -30
4) a) 99 e 10 b) 98 e 10 c) 987 e 102
d) 204 e 864 e) 9.875 e 1235
f) 13.579 e 97.531 g) 49
5) 820
6) 5
7) 167
8) R$ 930,00
9) 4.256.000
10) R$ 1.140,00
11) Menino 36 / Menina 48
12) Renato 15 / Flávia 8
13) 3938
14) 500
15) 6
16) d
”Os sinais + e − modificam a
quantidade diante da qual são colocados como o adjetivo
modifica o substantivo”. (Cauchy)
3
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Revisão: Primos, Múltiplos e Divisores
MÚLTIPLOS
Generalizando, podemos escrever
múltiplos de um número n como sendo:
os
𝑀 𝑛 = { 0 ∙ 𝑛, 1 ∙ 𝑛, 2 ∙ 𝑛, 3 ∙ 𝑛, 4 ∙ 𝑛, 5 ∙ 𝑛, … }
O que significa múltiplo de um número?
Numa multiplicação o produto (resultado
da multiplicação) é múltiplo de cada um dos
números que foram multiplicados.
Exemplo:
5 × 3 = 15
Observação: Desse modo, o zero é múltiplo de
qualquer número e todo número é múltiplo de si
mesmo (afinal são as primeiras multiplicações:
por zero e por um).
Observação II: O conjunto dos múltiplos de
zero é um conjunto unitário, cujo único elemento
é o próprio zero. (por que?)
15 é MÚLTIPLO de 5
e
DIVISORES
15 é MÚLTIPLO de 3.
Percebe-se então que MÚLTIPLO de um
número é o produto deste número por outro
qualquer.
Conjunto de Múltiplos de um número
Como existem infinitos números naturais
(1, 2, 3, 4, 5, 6, ... ) um número pode ser
multiplicado por infinitos números.
Observação: Por causa disso, o conjunto dos
múltiplos de um número também é infinito.
Para montar esse conjunto, o indicamos com um
M(x), onde no lugar de x incluímos o número
cujos multiplos se deseja enumerar. A seguir,
multiplicamos esse número por todos os
números naturais, de 0 a infinito.
Divisor de um número natural é aquele
número que consegue dividir esse número de
forma exata, ou seja, de forma que a divisão
tenha resto igual a zero.
Exemplo:
Vejamos se o número 5 é divisor de 15:
15
0
5
3
Note o resto da divisão é igual a zero, ou seja, foi
exata. Assim:
5 é DIVISOR de 15.
Assim como:
3 é DIVISOR de 15.
Exemplos:
 Vamos enumerar os múltilplos de 3:
Assim, multiplicamos 3 por 0, por 1, por 2, por 3,
... E conseguimos com isso o conjunto:
𝑀 3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, … }

O que significa divisor de um número?
Conjunto dos múltiplos de 13:
𝑀 13 = {0, 13, 26, 39, 52, … }
Pois 15 dividido por 3 é uma divisão exata.
Agora, vejamos se o número 2 é divisor de 15:
15
1
2
7
Note o resto da divisão é diferente de zero, ou
seja, a divisão não foi exata. Assim, 2 não é
divisor de 15.
4
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Revisão: Primos, Múltiplos e Divisores
Observação: Note que o número 14 é múltiplo
de 2. Assim, existe uma interdependência entre
múltiplos e divisores, onde o divisor de um
número deve formar esse número, ou seja, o
número sempre deve ser é múltiplo do divisor.
Por exemplo:
Vamos enumerar os divisores do número 15:
Iniciamos com 1: Qual número que multiplicado
por 1 resulta em 15? O próprio 15 (Ou seja, 15
dividido por 1 resulta em 15):
É múltiplo de
1 × 15 = 15
15
5
É divisor de
15 é MÚLTIPLO de 5
5 é DIVISOR de 15.
Agora, o número 2: Qual número que
multiplicado por 2 resulta em 15? Nenhum. Não
existe nenhum número que multiplicado por 2
resulta em 15 (Ou seja, a divisão de 15 por 2 não
é exata), assim ignoramos o número 2.
Agora, o número 3: Qual número que
multiplicado por 3 resulta em 15? O número 5
(Ou seja, 15 dividido por 3 resulta em 5):
Conjunto de Divisores de um número
Indicaremos o conjunto de divisores de
um número x por D(x). Para construirmos o
conjunto de divisores de um número, devemos
descobrir quais são seus divisores.
Para isso, montamos uma lista de
números que, multiplicados entre si, resultam
no número. Essa lista inicia com 1. Nos
perguntamos:
Qual número multiplicado por 1 resulta
em no número que queremos?
Observe que essa pergunta é o mesmo que
dividirmos o número por 1.
Assim, 1 vezes o próprio número é o
primeiro par de divisores da lista. Temos agora
que listar todos os naturais refazendo essa
pergunta (substituindo 1 por 2, 3, 4, ...), de
forma a manter os números que se encaixam na
multiplicação e excluindo os números que
multiplicados não resultam no número. Isso se
repetirá até o momento em que esses números
começam a se repetir.
3 × 5 = 15
Agora, o número 4: Qual número que
multiplicado por 4 resulta em 15? Nenhum. Não
existe nenhum número que multiplicado por 4
resulta em 15 (Ou seja, a divisão de 15 por 4 não
é exata), assim ignoramos o número 4.
O número 5, não é necessário verificar, pois já o
vimos quando multiplicamos o 3, ou seja, os
divisores começaram a se repetir.
Ficamos então com a lista:
1 × 15 = 15
3 × 5 = 15
Colocando os números que encontramos em
ordem:
1
3
5
3x15=15
1x15=15
Assim, os divisores de 15 são:
𝐷 15 = { 1, 3, 5, 15}
15
5
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Revisão: Primos, Múltiplos e Divisores
Exemplo II:
Vamos enumerar os divisores do número 36:
1 × 36 = 36
2 × 18 = 36
3 × 12 = 36
4 × 9 = 36
6 × 6 = 36
Assim, temos:
𝐷 36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
Observação: Note que os divisores de qualquer
número sempre serão menores que o próprio
número. Assim, o conjunto de divisores de um
número sempre será finito, ao contrário do
conjunto dos múltiplos de um número.
NÚMEROS PRIMOS
Dizemos que os números naturais que
admitem como divisores apenas o número 1 e o
próprio número são números primos.
Os números que possuem mais divisores
que si mesmos e o número 1 são chamados
números compostos.
Observação: O número 1 é um número especial
que é divisor de todos os números e possui como
divisor apenas si mesmo. Por não se encaixar
nas definições acima, o número 1 não é primo e
nem composto (característica que pertence
apenas ao número 1).
Se verificarmos quais são os divisores de
um número, podemos classificá-lo como sendo
primo ou composto.
Lembrando: Se o número possuir dois divisores o
número é PRIMO e se possuir mais de dois
divisores o número é COMPOSTO!
Exemplos:
𝐷 2 = {1, 2}
𝐷 3 = {1, 3}
𝐷 4 = {1, 2, 4}
𝐷 5 = {1, 5}
𝐷 6 = {1, 2, 3, 6}
𝐷 7 = {1, 7}
𝐷 8 = {1, 2, 4, 8}
𝐷 9 = {1, 3, 9}
𝐷 10 = {1, 2, 5, 10}
𝐷 11 = {1, 11}
𝐷 12 = {1, 2, 4, 3, 12}
𝐷 13 = {1, 13}
𝐷 14 = {1, 2, 7, 14}
𝐷 15 = {1, 3, 5, 15}
𝐷 16 = {1, 2, 4, 8, 16}
𝐷 17 = {1, 17}
𝐷 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
𝐷 19 = {1, 19}
𝐷 20 = {1, 2, 4,5,10, 20}
𝐷 21 = {1, 3,7, 21}
𝐷 22 = {1, 2, 11, 22}
𝐷 23 = {1, 23}
𝐷 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12,24}
𝐷 25 = {1, 5, 25}
𝐷 26 = {1, 2, 13,26}
𝐷 27 = {1, 3,9,27}
𝐷 28 = {1, 2, 4, 7,14,28}
𝐷 29 = {1, 29}
𝐷 30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
𝐷 31 = {1, 31}
𝐷 32 = {1, 2, 4, 8, 16,32}
𝐷 33 = {1, 3, 11, 33}
.
.
.
2 é PRIMO.
3 éPRIMO.
4 é composto.
5 é PRIMO.
6 é composto
7 é PRIMO.
8 é composto.
9 é composto.
10 é composto.
11 é PRIMO.
12 é composto
13 é PRIMO.
14 é composto
15 é composto
16 é composto
17 é PRIMO.
18 é composto
19 é PRIMO
20 é composto
21 é composto
22 é composto
23 é PRIMO
24 é composto
25 é composto
26 é composto
27 é composto
28 é composto
29 é PRIMO
30 é composto
31 é PRIMO
32 é composto
33 é composto
.
.
.
6
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Exercícios: Primos, Múltiplos e Divisores
PRIMOS, MULTIPLOS E DIVISORES
1.
Sabemos que existem números pares no
conjunto dos números naturais, e que os
números deste conjunto que não são pares são
chamados de ímpares. Neste mesmo conjunto,
temos os conhecidos números primos. Me diga
os números que não são primos são o que? Qual
a relação desses números com os números
primos? E os números 0 e 1 são primos?
2.
Quantos elementos possui e como é
escrito o conjunto dos múltiplos do elemento 0?
3.
Quantos elementos possui e como é
escrito o conjunto dos múltiplos do elemento 18?
E o conjunto de divisores desse elemento?
4.
Para obter os divisores de um número
natural a, basta saber quais os elementos que,
multiplicados entre si, têm por resultado o
número a. Com base nessa afirmação, obtenha o
conjunto de divisores (naturais) de cada um dos
números: 13, 25, 32 e 60.
5.
Qual o elemento do conjunto dos
números naturais que é divisor de todos os
números?
6.
Qual o elemento do conjunto dos
números inteiros que é múltiplo de todos os
números?
7.
O número 5 é divisor do número 16?
Justifique a sua resposta.
8.
Sobre números Primos:
a. O que é um número Primo?
b. Qual é o maior número primo que você
conhece?
9.
Qual é o menor número primo com dois
algarismos? Qual é o menor número primo com
dois algarismos diferentes? Qual é o menor
número primo com três algarismos diferentes?
10.
Conhecendo um método para identificar
os números primos, verifique quais dos
seguintes números são primos:
(a) 49
(b) 37
(c) 12
(d) 11
11.
Escreva três números diferentes cujos
únicos fatores primos são os números 2 e 3.
12.
(Papiro de Rhind) Entre cinco pessoas
foram repartidas 100 medidas de trigo, de modo
que a segunda recebeu a mais do que a primeira
o mesmo que a terceira recebeu a mais do que a
segunda, que corresponde ao mesmo que a
quarta recebeu a mais do que a terceira e
também a mesma quantidade que a quinta
recebeu a mais do que a quarta. Quanto recebeu
cada pessoa?
13.
Descubra quais os números a seguir são
números primos: 19, 27, 97, 130, 253, 255.
14.
Descubra todos os números primos
existentes entre 1 e 100.
Dica:
dede
Erastótenes:
É um
para
Dica:Crivo
Crivo
Erastótenes:
É processo
um processo
obter
números
primos
menores
do
que
para obter números primos menores do que um
um
determinado
número
natural
n. Devemos
construir
determinado
número
natural
n. Devemos
uma
tabelauma
contendo
primeiros
n números
construir
tabela os
contendo
os primeiros
n
naturais. Para determinar os números primos nesta
números naturais. Para determinar os números
tabela, basta seguir os seguintes passos:
primos nesta tabela, basta seguir os seguintes
1)passos:
Antes de iniciar, lembramos que 1 não é um
número primo.
1) Antes de iniciar, lembramos que 1 não é um
2) Marcamos o número 2, que é o primeiro número
número
primo.
primo
e eliminamos
todos os múltiplos de 2 que
2) Marcamos
o número 2, que é o primeiro
encontrarmos
na tabela.
primo
e eliminamos
todos os múltiplos
3)número
Marcamos
o número
3 e eliminamos
todos os
de 2 quede
encontrarmos
na tabela.
múltiplos
3 que encontrarmos
na tabela.
4)3)Determinamos
Marcamos o onúmero
próximo3número
e eliminamos
primo, que
todos
seráos
o
próximo
número
não
marcado
da
tabela
e
eliminamos
múltiplos de 3 que encontrarmos na tabela.
todos os múltiplos desse número primo que
4) Determinamos o próximo número primo, que
encontrarmos na tabela.
será o próximo número não marcado da tabela e
5)eliminamos
Continuamostodos
o processo,
sempre voltando
passo
os múltiplos
desse ao
número
anterior, com o próximo número primo.
primo que encontrarmos na tabela.
6) Os números que não foram eliminados são os
5)
números
primos.
Gabarito:
(1) São números compostos. São números formados a partir
da multiplicação de outros primos (teorema fundamental da
aritmética). 0 e 1 não são primos nem compostos.
(2) Conjunto unitário: M(0)={0}
(3) Infinitos: M(18)={0, 18, 36, ...}. D(18)={1, 2, 3, 6, 9, 18}
(4) D(13)={1, 13} D(25)={1,5,25} D(32)={1, 2, 4, 8, 16,32}
D(60)={1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}
(5) Número 1 (6) Número 0 (7) Não
(8)a. números que possuem apenas dois divisores (na verdade
4, se considerarmos divisores inteiros)
(9) 11, 13, 103
(10) b, d
(11) 6, 12, 18
(12) Pessoa 1 recebeu t, pessoa 2 recebeu t+m, pessoa 3
recebeu t+2m, pessoa 4 recebeu t+3m, pessoa 5 recebeu
t+4m. Temos que (t,m)={(0,20),(1,18),(2,16),...,(9,2),(10,0)}
(13) 19, 97
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Revisão: Divisibilidade
PRINCIPAIS CRITÉRIOS DE
DIVISIBILIDADE:
Critérios de divisibilidade são regras simples que
permitem verificar se determinado número inteiro A é
múltiplo de um inteiro B, baseando-se em propriedades das
suas representações decimais.
A seguir estão apresentados critérios de
divisibilidade (regras práticas) para números inteiros de 1
até 12, representados em sua forma decimal. Outros
números naturais maiores que 12 também têm regras de
divisibilidade, mas em geral pouco práticas.
Divisibilidade por 5
Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em
0 ou 5.
Exemplos:
1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.
2)
90
é
divisível
por
5,
pois
termina
em
0.
3)
5.
87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em
Divisibilidade por 7
Atenção: É importante lembrar alguns
critérios de divisibilidade para facilitar
os cálculos, principalmente dos
números 2, 3 e 5, mas não se
preocupe em decorar os critérios de
todos os números naturais!
Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo,
subtraído do número sem o último algarismo, resultar um
número divisível por 7. Se o número obtido ainda for
grande, repete-se o processo até que se possa verificar a
divisão por 7.
Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:
16592 Número sem o último algarismo
-16 Dobro de 8 (último algarismo)
16576 Diferença
Divisibilidade por 2
Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em
0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.
Exemplos:
1) 5040 é divisível por 2,
pois termina em 0.
2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.
Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores
absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.
Exemplo:
234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual
a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível
por 3.
*Uma dica é somar todos os algarismos do número e se a
resposta contiver mais de um algarismo, somar novamente,
até restar apenas um algarismo, se este algarismo for 3, 6 ou
9 o número inicial é divisível por 3!
Veja: 1647 é divisível por 3? 1+6+4+7=18, e 1+8=9. Então
1647 é divisível por 3.
Repete-se o processo com este último número.
1657 Número sem o último algarismo
-12 Dobro de 6 (último algarismo)
1645 Diferença
Repete-se o processo com este último número.
164 Número sem o último algarismo
-10 Dobro de 5 (último algarismo)
154 Diferença
Repete-se o processo com este último número.
15 Número sem o último algarismo
-8 Dobro de 4 (último algarismo)
7 Diferença
A diferença é divisível por 7, logo o número dado
inicialmente também é divisível por 7.
Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:
426 Número sem o último algarismo
-2 Dobro do último algarismo
424 Diferença
Repete-se o processo com este último número.
42 Número sem o último algarismo
-8 Dobro do último algarismo
34 Diferença
A última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o
número 4261 dado inicialmente não é divisível por 7.
8
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Revisão: M.M.C e M.D.C.
M.M.C.
simultaneamente, as mesmas posições em que se
encontram no momento da observação, trazendo
novamente abundância?
O que significa a sigla M.M.C.?
Alpha Caolin volta a ocupar a posição
observada a cada 3 anos e Beta Donin volta a
ocupar a posição observada a cada 5 anos.
Listando os múltiplos entre 3 e 5, observamos de
quando em quanto tempo esses dois planetas
ocuparão novamente as posições desejadas. Assim,
poderemos observar quando estes planetas
ocuparão,
simultaneamente,
as
posições
observadas:
O significado
Múltiplo Comum.
de
M.M.C.
é
Mínimo
Então o M.M.C. entre dois ou mais
números é o menor (Mínimo) número (diferente
de zero) que é múltiplo simultaneamente
(comum) entre dois ou mais números.
Vejamos, por exemplo, qual é o M.M.C.
entre 3 e 4:
𝑀 3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, … }
𝑀 5 = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, … }
Para isso, precisaremos listar os múltiplos Perceba que os planetas voltarão a ocupar a
de 3 e os múltiplos de 4:
posição em:
𝑀 3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, … }
𝑀 4 = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }
𝑀 3,5 = {0, 15, 30, 45, 60, … }
0 anos: Agora;
15 anos;
Perceba que alguns dos números listados
30 anos;
aparecem em ambas as listagens:
45 anos;
...
𝑀 3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, … }
A próxima vez que os planetas ocuparão
𝑀 4 = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … } estas posições será em 15 anos. Isso acontece a
cada 15 anos (M.M.C.(3,5)=15).
Assim, podemos montar o conjunto dos
múltiplos comuns entre os dois números:
Dica: Os problemas que utilizam puramente
𝑀 3, 4 = {0, 12, 24, 36, 48, … }
M.M.C. para serem resolvidos, como o problema
acima, sempre trazem a idéia de ciclo, ou seja,
Agora, basta selecionarmos o MENOR algo que se repete de tempos em tempos ou que
número, diferente de zero, que pertence ao devemos realizar alguma ação repetidamente a
conjunto de múltiplos comuns listado acima, que, cada período, metro, medição, determinada
no caso, é o número 12.
quantidade, etc...
Escrevemos, assim:
𝑀. 𝑀. 𝐶. 3,4 = 12
Problema:
Os planetas Alpha Caolin e Beta Donin estão
alinhados com sua estrela em uma posição muito bela,
dizendo os místicos que essa formação traz abundância e
felicidade. Estes planetas têm períodos de translação em
torno de sua estrela de aproximadamente 3 e 5 anos,
respectivamente. Quanto tempo decorrerá, depois dessa
observação, para que estes planetas voltem a ocupar,
9
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Revisão: M.M.C e M.D.C.
Método Prático (M.M.C.)
Repetimos esses procedimentos até
resultar apenas o número 1 do lado esquerdo
Veremos como encontrar o M.M.C. do traço.
entre dois ou mais números, pelo método
Veja que não existe mais nenhum
prático, através de um exemplo:
número que pode ser dividido por dois (afinal
1 não pode ser divido por 2 e resultar em um
número inteiro e o mesmo com 5), assim não
Qual o M.M.C. entre 4 e 10 ?
o colocamos mais. Se tentarmos o 3, também
não é possível. O próximo primo que pode ser
Ou seja, qual é o menor múltiplo entre colocado à esquerda é o número 5, pois divide
4 e 10 simultaneamente?
5, assim:
Para isso, passamos um traço vertical
e escrevemos os números 4 e 10 do lado
esquerdo desse traço:
4, 10
4, 10 2
2, 5 2
1, 5 5
1, 1
Chegamos ao fim da decomposição. O
Após esse momento, vamos inserindo
M.M.C. será a multiplicação entre todos os
do lado direito do traço números primos (2, 3,
números do lado direito do traço:
5, 7, 11, 13, 17, 23, ...) que dividam ALGUM
(pelo menos um) dos números à esquerda:
2 ∙ 2 ∙ 5 = 20
Vamos iniciar pelo primo 2: este divide
Portanto, o Mínimo Múltiplo Comum
os números 4 e 10, então:
entre 4 e 10 é 20.
4, 10 2
Como 2 divide 4 e 2 divide 10,
colocamos a resposta das divisões abaixo
desses números:
4, 10 2
2, 5
Agora, colocaremos o próximo primo do
lado direito do traço: Tentemos o número 2
novamente. O número 2 não divide o número
5, mas divide o número 2, então colocamos o
número 2 e a resposta da divisão embaixo,
como no primeiro caso. Como o 5 não será
dividido, ao invés de colocarmos o resultado
da divisão do 5, repetimos esse número
embaixo:
4, 10 2
2, 5 2
1, 5
4, 10 2
2, 5 2
1, 5 5
1, 1 2 ∙ 2 ∙ 5 = 20
M.M.C.(4, 10)= 20
10
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Revisão: M.M.C e M.D.C.
M.D.C
Problema:
Um terreno retangular tem 24 m de
comprimento por 18 m de largura.
O que significa a sigla M.D.C.?
O significado
Divisor Comum.
de
M.D.C.
é
24 m
Máximo
Então o M.D.C. entre dois ou mais 18 m
números é o maior (Máximo) número que é
múltiplo simultaneamente (comum) entre dois
ou mais números.
18 m
24 m
O dono desse terreno deseja cercá-lo com
Vejamos, por exemplo, qual é o M.D.C.
árvores plantadas a iguais distâncias uma da
entre 18 e 24:
outra, e quer manter, entre as árvores, a maior
Para isso, precisaremos listar os divisores distância possível, medida em um número inteiro
de metros. Qual será a distância entre cada
de 18 e os divisores de 24:
árvore a ser plantada?
𝐷 24 = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Note que o problema se resume em dividir
cada canto do retângulo no mesmo tamanho e
𝐷 18 = { 1, 2, 3, 6, 9, 18}
descobrir qual é a maior medida em que isso é
possível.
Vimos a lista dos divisores de 18 e 24 ao
Perceba que alguns dos números listados
lado, e sabemos que os divisores entre 18 e 24 são:
aparecem em ambas as listagens:
𝐷 24 = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
𝐷 18, 24 = {1, 2, 3, 6}
Como o problema quer que peguemos a
MAIOR medida em que podemos dividir os lados
Assim, podemos montar o conjunto dos do retângulo, sabemos que as árvores deverão ser
plantadas a cada 8 metros para manter a maior
divisores comuns entre os dois números:
distância entre cada árvore, nos diferentes lados
do terreno.
𝐷 18, 24 = {1, 2, 3, 6}
𝐷 18 = { 1, 2, 3, 6, 9, 18}
Agora, basta selecionarmos o MAIOR
número que pertence ao conjunto de DIVISORES
COMUNS listado acima, que, no caso, é o número
6.
Escrevemos, assim:
𝑀. 𝐷. 𝐶. 18,24 = 6
𝑀. 𝐷. 𝐶. 18,24 = 6
Dica: Os problemas que utilizam puramente
M.D.C. para serem resolvidos, como o problema
acima, sempre trazem a idéia de ajustamento,
tentando descobrir qual é a Maior medida, ou
tempo, que pode ser ajustado entre dois ou mais
objetos ou idéias.
ATENÇÃO: Nem sempre a palavra MAIOR está
explicitada no texto, nos grandes vestibulares
esses exercícios têm essa idéia implicitamente,
escondida.
11
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Revisão: M.M.C e M.D.C.
Método Prático (M.D.C.)
Dividindo apenas o 12 temos:
18, 24 2
O processo de obtenção do M.D.C. é
9, 12 2
bastante similar ao do M.M.C. Apenas
9, 6
devemos prestar atenção ao fato de quando
Novamente o 2 divide apenas o número
um primo dividir simultaneamente todos os
números devemos colocar uma marcação 6, assim inserimos o 2 sem marcação:
18, 24 2
neste número. Ao final multiplicamos apenas
9, 12 2
os números com marcações.
9, 6 2
9, 3
Exemplo:
Não é mais possível dividir por 2.
Então passemos ao número 3: 3 divide 9 e 6,
Qual o M.D.C. entre 18 e 24 ?
assim colocamos uma marcação no 3 e a
resposta da divisão de 9 por 3 e 6 por 3:
Ou seja, qual é o maior divisor entre 18
18, 24 2
e 24 simultaneamente?
9, 12 2
Iniciamos o processo como no processo
9, 6 2
de obtenção do M.M.C.: Passaos um traço
9, 3 3
vertical e escrevemos os números 18 e 24 do
3, 1
lado esquerdo desse traço:
Agora, o 3 divide apenas o número 3,
18, 24
assim o inserimos sem marcação:
18,
9,
9,
9,
3,
1,
Vamos iniciar a pelo primo 2: este
número divide os números 18 e 24
simultaneamente, então incluímos uma
marcação:
18, 24 2
24
12
6
3
1
1
2
2
2
3
3
Chegamos ao fim da decomposição. O
M.D.C. será a multiplicação de APENAS os
números do lado direito do traço COM
Colocamos agora a resposta da divisão MARCAÇÃO:
de 18 por 2 (9) e 24 por 2 (12) abaixo desses
2∙3=6
números:
18, 24 2
Portanto, o Máximo Divisor Comum
9, 12
entre 18 e 24 é 6.
𝑀. 𝐷. 𝐶. 18,24 = 6
Agora, colocaremos o próximo primo do
lado direito do traço: Tentemos o número 2
novamente. Este divide apenas o número 12,
assim não colocamos marcação:
18, 24 2
9, 12 2
18,
9,
9,
9,
3,
1,
24
12
6
3
1
1
2
2
2
3 M.M.C.(18, 24)= 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 = 72
3
M.D.C.(18, 24)= 2 ∙ 3 = 6
12
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Exercícios: M.M.C e M.D.C.
EXERCÍCIOS: MMC E MDC
1. Determine MMC(10,20) e MDC(10,20).
2. Determine MMC(10,14) e MDC(10,14).
3. Determine MMC e o MDC de 4, 10, 14, 60.
4. Determine MMC(97, 2, 10) e MDC(97, 2, 10).
5. MMC(2,4)∙MDC(2,4)=?
6. É verdadeiro que
MMC(10,20)∙MDC(10,20)=10∙20 ?
7. É sempre verdadeiro que
MMC(a,b)∙MDC(a,b)= a∙b ? Justifique.
8.
Desejo construir uma parede externa de um
prédio com vidros quadrados de forma que não seja
necessário quebrar nenhum vidro para isso. Sabendo-se
que a parede do prédio deve ter as medidas de largura
igual a 16 m e de altura igual a 32 m, qual a maior
medida do lado do vidro quadrado que posso utilizar
(em metros)? Quais as outras medidas que satisfazem
também tais exigências (em metros)?
9.
Tendo em vista o prédio anteriormente visto
com formato retangular e considerando todas as
paredes do prédio para serem instalados vidros
externos, desconsiderando os pilares de sustentação,
com medidas 16m de comprimento das paredes frontal
e de trás do prédio, 32m de altura e 10m de
comprimento das paredes laterais. Qual a maior medida
do lado do vidro (em metros) a ser colocado nas
paredes externas desse prédio? E se o prédio tiver um
formato pentagonal (com 5 paredes) de 21 metros de
altura e paredes de comprimentos 18m, 27m, 36m, 12m
e 42m cada. Quanto será a maior medida do lado do
vidro (em metros)?
10.
(FUVEST) Maria quer cobrir o piso de sua sala
com lajotas quadradas, todas com lado de mesma
medida inteira, em centímetros. A sala é retangular, de
lados 2m e 5m. Os lados das lajotas devem ser
paralelos aos lados da sala, devendo ser utilizados
apenas lajotas inteiras. Quais são os possíveis valores
do lado das lajotas?
11.
Em uma sala retangular de piso plano nas
dimensões 8,80m por 7,60m deseja-se colocar ladrilhos
quadrados iguais, sem necessidade de recortar nenhuma
peça. A medida do lado de cada ladrilho é:
a) 10 cm
d) 40 cm
b) 20 cm
e) 50 cm
c) 30 cm
12.
Os planetas Júpter, Saturno e Urano têm
períodos de revolução em torno do sol de
aproximadamente 10, 30 e 84 anos, respectivamente.
Quanto tempo decorrerá, depois de uma observação,
para que eles voltem a ocupar, simultaneamente, as
mesmas posições em que se encontravam no momento
da observação?
13.
Sejam os números m e n naturais, não primos
entre si, cujo produto é 420. Qual é o maior número
possível que seja máximo divisor comum de n e m
(dica: enumere alguns mdc’s possíveis)?
14.
Dois livros, um dos quais tem 256 páginas e
outro 160 páginas, são formados por fascículos com o
mesmo número de páginas (superior a 10 e inferior a
50). Cada fascículo:
a) pode ter 32 páginas
b) pode ter 24 páginas
c) tem 16 páginas
d) tem 18 páginas
e) pode ter 12 páginas
15.
(FUVEST) No alto da torre de uma emissora
de TV, duas luzes ―piscam‖ com freqüências diferentes.
A primeira ―pisca‖ 15 vezes por minuto e a segunda
―pisca‖ 10 vezes por minuto. Se, num certo instante, as
luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos
elas voltarão a piscar simultaneamente?
16.
Estou numa estação de trem e noto que neste
momento dois trens em trilhos diferentes partem da
estação no mesmo instante. Percebendo que o primeiro
trem retorna à estação a cada 21 minutos e o segundo
trem a cada 35 minutos, pergunto-me: de quanto em
quanto tempo estes dois trens partem simultaneamente
da estação?
17.
Três cidades, A, B e C, realizam grandes festas:
de 5 em 5 meses em A, de 8 em 8 meses em B e de 12
em 12 meses em C. Estas festas coincidiram em
setembro de 2008. Coincidirão novamente em:
a) outubro de 2009
b) algum mês de 2011 c)
setembro de 2015
d) setembro de 2018 e)
depois de 2020.
Gabarito:
(1) 20,10 (2) 70,2
Sim
(7) Sim
(3) 420,2
(8) 16 m. 2, 4 e 8 m
(4) 970,1
(5) 8 (6)
(9) 2 m, 3m
(10) 1x1, 2x2, 4x4, 5x5, 10x10, 20x20, 25x25,
50x50,100x100
(11) d (12) 420 anos
segundos
(16) a cada 105 minutos
(13) 2
(17) d
(14) a
(15) 6
13
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Revisão: Frações
7
8
2
9
1
10
2
11
5
12
...
1
100
1
1000
FRAÇÕES
O que é uma fração?
Fração é um número que exprime
uma ou mais partes iguais em que foi
dividida uma unidade ou um inteiro.
Assim, por exemplo, se tivermos uma
pizza inteira e a dividimos em quatro partes
iguais, cada parte representará uma fração
da pizza.
Sete oitavos
Dois nonos
Um décimo
Dois onze avos
Cinco doze avos
...
Um centésimo
Um milésimo
Frações equivalentes:
Uma pizza inteira
𝟏
Quatro pedaços de
pizza
𝟏
𝟒 ×
𝟒
Frações equivalentes são frações que
representam a mesma parte de um todo,
como o próprio nome já diz, são
equivalentes.
Qual o significado de uma fração?
Uma fração significa dividir algo em
𝑎
partes iguais. Assim a fração
significa o
𝑏
número a ser dividido pelo número b, sendo
a e b números naturais e b diferente de 0.
O número a é chamado de numerador e b é
chamado de denominador:
Nome de frações:
1
2
1
3
2
4
3
5
1
6
4
7
𝑎  Numerador
𝑏  Denominador
Metade
Um terço
Dois quartos
Três quintos
Um sexto
Quatro sétimos
1
2
8
16
2
4
Para conseguir frações equivalentes,
basta multiplicarmos o numerador e o
denominador da fração por um mesmo
número:
1
2
=
1 ∙8
2 ∙8
=
Sabemos assim que
são equivalentes.
1
2
8
16
=
8
16
, ou seja,
14
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Revisão: Frações
Simplificação de frações:
Para simplificarmos uma fração,
devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo número
inteiro.
Observe
as
operações
de
simplificação abaixo:
a)
b)
2
4
=
8
=
16
2 ∶2
4 ∶2
=
8 ∶8
16 ∶8
2
a)
=
63
35 ∶7
63 ∶7
=
4
3
10
=
=
2 ∙5
4 ∙5
3 ∙2
20
6
=
2
2
20
3
+
4
10
=
10
20
+
6
20
=
16
20
Simplificando temos:
5
2
9
4
3
b)
10
=
10 ∙2
1
Outros exemplos:
35
2
Podemos agora somar, pois as frações
possuem o mesmo denominador. Após a
soma, se possível, simplifique!
1
=
apresentadas em frações equivalentes de
denominador 20:
+
3
10
=
16
20
=
16 ∶4
20 ∶4
=
4
5
Não é possível a simplificação, por
4
isso, é uma fração irredutível.
Adição e subtração de frações:
1) Verificar se os denominadores são iguais.
Se forem iguais, basta somar ou subtrair o
numerador. Vejam os exemplos:
a)
b)
2
8
2
8
+
3
−
3
8
8
=
5
=
1
8
Multiplicação de frações:
Multiplicar
numerador
com
numerador
e
denominador
com
denominador. Se necessário, simplifique o
produto.
8
1
2
2) Caso os denominadores sejam diferentes,
devemos encontrar o mmc e transformar em
frações de mesmo denominador para depois
efetuarmos as operações.
a)
2
4
+
3
10
=
Temos que o M.M.C. entre de 4 e 10 é
igual a 20. Assim, transformemos as frações
×
3
4
=
1×3
2×4
=
3
8
Divisão de frações:
Na divisão de frações, vamos
multiplicar a primeira fração pelo inverso
da segunda. Se necessário, simplifique.
1
2
÷
3
4
=
1
2
×
4
3
=
1×4
2×3
=
4
6
15
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Exercícios: Frações
EXERCÍCIOS: FRAÇÕES
6. Considere as frações: 6/5, 7/3, 1/4 e 3/8. É
verdade que:
a) 1 é maior que 6/5?
b) 2 é maior que 7/3?
c) 6/5 é menor que 7/3?
d) 3/9 é menor que 3/8?
1. A tabela relaciona as frações com três situações
diferentes. Complete-a:
1 HORA
minutos)
(60
2.000
HABITANTES
1 LITRO
(1.000 ml)
1
=
4
3
=
4
1
=
5
2
=
5
1
=
4
3
= 750 ml
4
1
=
5
2
=
5
1
= 15 minutos
4
3
=
4
1
=
5
2
=
5
7. Escreva cada fração abaixo como soma de um
número inteiro e uma fração com numerador
menor que o denominador:
Exemplo:
a)
7
2
8
= 3+
a)
2
b)
3
3
3. Simplifique:
a)
e)
4
20
c)
5
b)
45
6
c)
15
3
d)
4
18
42
d)
3
c)
2
1
3
7
3
2
5
10
5. Calcule:
a)
c)
e)
1
3
1
2
4
−
5
k)
1
2
7
3
3
3
+
8
1
5
2
5
g) 1 −
i)
2
+
−
∙
b)
d)
f)
h)
1
10
5
4
j)
L)
1
5
1
3
2
3
7
8
3
4
3
8
3
+
5
+1+4
1
−
−
∙
2
5
6
1
6
÷
2
6
12
23
5
8. Que fração da semana corresponde a um dia?
5
9. Com 12 litros de leite, quantas garrafas de 2/3
de litro poderão ser cheias?
120
4. Organize as seguintes frações de forma a
sabermos qual é a menor fração e qual a maior
fração:
18
4
80
180
2
b)
2. Escreva pelo menos duas frações equivalentes
a:
1
10. Que fração do ano corresponde a dois meses?
11. O tanque de gasolina do carro estava vazio.
Colocamos 48 litros de combustível. O marcador
ficou assim:
1
4
1
2
3
4
Quantos litros de combustível cabem nesse
tanque?
12. Dois candidatos, A e B, disputam a prefeitura
de uma cidade. Uma pesquisa realizada com 200
3
eleitores indicou que preferem o candidato A e
5
que o restante prefere o candidato B.
a) Quantos eleitores consultados preferem o
candidato A?
b) Quantos eleitores consultados preferem o
candidato B?
c) Que fração dos eleitores consultados prefere o
candidato B?
16
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Exercícios: Frações
13. Uma pesquisa, sobre a preferência de
3
refrigerantes, revelou que do total das pessoas
5
consultadas, isto é, 6.975 pessoas bebem o
refrigerante MuitoAmargo. Calcule o número de
pessoas consultadas pela pesquisa.
14. Para ladrilhar 2/3 de um pátio empregaramse 5.456 ladrilhos. Para ladrilhar 5/8 do mesmo
pátio, quantos ladrilhos seriam necessários?
15. Um reservatório é alimentado por duas
torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e
a segunda, em 12 horas. Quantos litros do
reservatório terão enchido as duas torneiras
juntas em uma hora se o reservatório possui 1.200
litros de capacidade? Dica: Que fração do
reservatório encherão em uma hora, as duas juntas?
16. Claudia fez 2/9 de um trabalho em 7 horas e
Mariana, 4/7 desse mesmo trabalho em 12 horas.
Quantas horas levarão para fazer a mesma obra,
se trabalharem juntas?
17. Em certo país, os trabalhadores recebem dois
salários mínimos em dezembro: o salário normal e
o 13º salário. Se a pessoa trabalhou os 12 meses
do ano, os dois salários serão iguais. Se a pessoa
trabalhou uma fração do ano, o 13º salário
corresponderá a essa fração do salário normal. Se
o salário normal de uma pessoa é R$516,00 e ela
trabalhou 7 meses nesse ano, quanto ela vai
receber de 13º salário?
18. João Carlos é operário e seu salário é de
R$520,00 por mês. Ele gasta 1/4 de seu salário
com aluguel e 2/5 do salário com alimentação da
família. Esse mês ele teve uma despesa extra: 3/8
do seu salário foram gastos com remédios. Sobrou
dinheiro? Se sobrou ou faltou dinheiro, qual foi
esse valor?
Gabarito: (3)a.1/5 b.2/5 c.3/7 d.2/3 e.1/4 (4) 1/2, 3/5, 2/3, 7/10
(5)a.1 b.4/5 c.7/8 d.16/3 e.3/5 f.1/6 g.3/5 h.2/48 i.2/5 j.3/12
k.35/12 l.9/8 (6) a.Sim b.Não c.Sim d.Sim (7) a. 2+
4+
3
5
2
3
b. 1+
1
2
c.
(8) 1/7 (9) 18 garrafas (10) 1/6 (11) 64 litros (12) a. 120
b. 80 c. 2/5 (13) 11.625 pessoas (14) 5.115 ladrilhos (15) 140
litros (16) 12 horas e 36 minutos (17) R$301,00 (18) Faltou, R$
13,00
17
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Revisão: Números Decimais
NÚMEROS DECIMAIS
O fato do nosso sistema de numeração ser
posicional e ter base dez permitiu que as frações
fossem representadas, na notação decimal, como
números decimais. Foi preciso então criar
uma forma de diferenciar a parte inteira de um
número, da sua parte fracionária. Para isso nós
utilizamos a vírgula ( , ), e os países anglosaxões utilizam o ponto ( . ). Veja como isto
funciona:
A vírgula na nossa representação separa
a parte inteira da parte decimal do número:
à esquerda da vírgula está a parte inteira e à
direita sua parte fracionária ou decimal. Assim,
852
na fração
, temos:
100
Lê-se: 8 inteiros e 52 centésimos.
Veja outros exemplos:
Percebemos
que
nesse
tipo
de
representação que uma posição à direita de
outra vale a décima parte desta outra. Se
dividimos a unidade em 10 partes iguais, cada
1
uma destas partes será um décimo: 0,1 ou .
10
Um décimo dividido por 10 será igual a um
centésimo (0,01), um centésimo dividido por 10
será igual a um milésimo (0,001) e assim por
diante.
Observe algumas frações decimais (cujo
denominador é um múltiplo de 10) e como são
representadas como números decimais:
Operações com números decimais:
Adição e Subtração: Uma vez escrita sob a
forma de notação decimal, as operações com
frações tornam-se muito mais simplificadas,
pois obedecem aos mesmos processos envolvidos
no sistema de numeração decimal. Na adição de
números decimais, devemos adicionar décimos
com décimos, centésimos com centésimos,
milésimos com milésimos, etc., da mesma forma
que adicionamos dezenas com dezenas,
unidades com unidades, etc.
Vamos adicionar 0,8 + 0,13:
18
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Revisão: Números Decimais

O cálculo com frações decimais:

O cálculo com números decimais:
Multiplicação: Para entender as regras práticas
usadas no algoritmo da multiplicação de
números decimais, vamos antes fazer uma
associação destes com as frações decimais e usar
o algoritmo já conhecido:
Agora consideremos a seguinte subtração:
Como nos números decimais o número de
partes em que ficou dividida a unidade é sempre
o mesmo, a adição e a subtração são imediatas,
não sendo necessário mais “reduzir frações ao
mesmo denominador”. Pode ocorrer, apenas, a
necessidade de transformar décimos em
centésimos, o que se consegue simplesmente
adicionando-se quantos zeros se fizerem
necessários. Por exemplo:
0,2 – 0,18
Na prática, a multiplicação de decimais é
feita como se os números fossem inteiros e,
determinado o resultado, a colocação da vírgula
é analisada a partir do número de “casas
decimais” (décimos, centésimos, etc.) dos
fatores. Isso se apóia na seguinte propriedade
da multiplicação:
Em toda multiplicação, quando se
multiplica um dos fatores por um número
natural a diferente de zero e o outro fator
por um número b diferente de zero, o
produto ficará multiplicado por a ∙ b.
Vamos, por exemplo, multiplicar 3,8 x 1,42,
como algoritmo prático, usando a propriedade
enunciada acima:

Multiplicamos os fatores
números inteiros, pois:

Agora analisamos a colocação da vírgula:
como
se
fossem
Como 0,2 = 0,20, temos:
Logo, 0,2 – 0,18 = 0,02.

Uma vez entendido o conceito de fração
decimal e sua correspondente notação decimal,
podemos usar o dispositivo prático que diz para
colocar “vírgulas embaixo de vírgulas” no
momento da soma ou subtração.
Como o primeiro fator, 3,8, foi
multiplicado por 10 e o segundo fator, 1,42, por
100, o produto 5 396 está multiplicado por 10
x 100 = 1000.
Logo, para a multiplicação proposta, este
produto 5396 deverá ser dividido por 1000. Ou
seja:
19
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Revisão: Números Decimais
A vírgula no quociente indica a parte
inteira. O resto será multiplicado por 10 para
obtermos os décimos Continuamos a divisão,
transformando o resto, 25 inteiros, em 250
décimos:
Efetuando este cálculo na vertical, temos:
Portanto, 17,5 ÷ 5 = 3,5.

Divisão de inteiro por decimal.
Por exemplo, para 3 ÷ 0,6. Vamos utilizar a
propriedade das divisões e multiplicar o
dividendo e o divisor por 10 (igualando casas
decimais). Como 0,6 x 10 = 6, temos:
3 ÷ 0,6 = 30 ÷ 6 = 5
Divisão: Numa divisão não exata (resto
diferente de zero) temos um quociente decimal,
quando continuamos a divisão fracionando o
resto em décimos, centésimos, milésimos, etc.
Nesse sentimos temos alguns casos a analisar:

Divisão de número decimal por número
inteiro.

Divisão de decimal por decimal.
Por exemplo, para 31,5 ÷ 2,25. Como o
dividendo e o divisor devem ser multiplicados
por um mesmo número para que o quociente
não se altere, vamos multiplicá-los por 100:
17,5 ÷ 5
Para efetuar essa divisão é preciso utilizar
uma propriedade das divisões: Multiplicandose o dividendo e o divisor por um mesmo
número, diferente de zero, o quociente não
se altera e o resto fica multiplicado por
esse número.
Vamos, então, multiplicar o dividendo e o
divisor por 10, o que significa “eliminar a
vírgula” ou “igualar as casas”. Como 17,5 x 10 =
175, temos:
Assim:
A vírgula separa a parte inteira do
quociente. O resto será multiplicado por 10,
para obtermos os décimos.
Portanto, 31,5 ÷ 2,25 = 14.
20
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Revisão: Razão
Razão? Fração? Divisão? Existe diferença?
Problema: Dos 50 alunos da de uma sala do
cursinho da UFSCar, 20 são homens e 30 são
mulheres. Qual é a relação entre o número de
homens e o número de mulheres?
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠
20
2
=
=
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠
30
3
Dizemos que na sala de aula, o número de
homens está para o número de mulheres assim como
2 está para 3. Isso significa que para cada 2 homens
temos 3 mulheres.
A expressão 2 para 3 é chamada razão entre 2 e 3,
indicada por
2
3
𝑏
(“a está para b”)
𝑜𝑢 𝑎: 𝑏
4. Giovani comprou um carro por R$ 18.000,00 e
vendeu por R$ 24.000,00. Qual é a razão entre o
lucro e o preço de venda desse carro?
5. Luiz Matemático tem dois terrenos retangulares.
O terreno A tem 10 m de largura e 30 m de
comprimento. O terreno B tem 20 m de largura e 90
m de comprimento. Calcule a razão entre:
a) as larguras de A e B
b) os comprimentos de A e B
c) as áreas de A e B
d) os perímetros de A e B
6. O segmento AB da figura está dividido em cinco
partes iguais:
ou 2 : 3.
Então o que é razão?
Se a e b são números racionais e b ≠ 0, a razão
entre os números a e b é a divisão (quociente) de a
por b:
𝑎
3. Quem apresentou melhor desempenho: Léo, que
resolveu 20 problemas e acertou 18, ou Véinho, que
resolveu 30 problemas e acertou 24?
Obtenha as razões:
a)
𝐴𝐶
𝐴𝐵
b)
𝐶𝐵
𝐴𝐵
c)
𝐴𝐶
𝐶𝐵
d)
𝐶𝐵
𝐴𝐶
Pense sozinho: o que seria “razão inversa”?
Algumas razões muito utilizadas
Velocidade Média: Velocidade média de um corpo
em movimento é a razão entre o espaço percorrido e o
tempo gasto para percorrê-lo.
Ex: A velocidade média de um carro que percorreu
300 km em 5 horas é dada pela razão:
300 𝑘𝑚
5ℎ
=
60 𝑘𝑚
1ℎ
= 60 km/h
7. Calcule a velocidade média de um carro que
percorreu 210 km em 3 horas.
8. Quanto tempo um carro leva para percorrer 400
km, mantendo a velocidade média de 80 km/h?
9. Se um carro mantiver a velocidade média de 65
km/h durante 3 horas, quantos quilômetros
percorrerá?
Exercícios
1. Indique a razão:
a) 20 para 50
b) 10 para 40
Densidade demográfica: é a razão entre o número
de habitantes de uma região e a área dessa região.
c) 12 para 24
d) 6 para 8
2. Encontre a razão de a para b, lembrando que as
medidas devem ser colocadas na mesma unidade:
a) a = 8 cm e b = 24 cm
b) a = 30 meses e b = 2 anos
c) a = 30 meses e b = 2 anos
d) a = 15 Kg e b = 25 g
Ex: A cidade de Ribeirão Preto tem uma área
aproximada de 1.058 km2. Segundo o IBGE, de
fevereiro de 1992, a população dessa cidade era de
431.135 habitantes. Então a densidade demográfica
de Ribeirão Preto é dada por:
431.135 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
≅ 408 ℎ𝑎𝑏/𝑘𝑚2
1.058 𝑘𝑚2
21
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Revisão: Razão
10. O censo de 1991 estimou a população do estado
do Rio Grande do Norte em 2.414.000 habitantes.
Calcule a densidade demográfica desse importante
estado do Nordeste, sabendo que sua área total é de
53.015 km2.
Escala: é a razão entre a medida de um
comprimento no desenho e a medida correspondente
ao comprimento real.
Testes de vestibulares
(FUVEST – 2010 – 1ª Fase) O Índice de Massa
Corporal (IMC) é o número obtido pela divisão da
massa de um indivíduo adulto, em quilogramas, pelo
quadrado da altura, medida em metros. É uma
referência adotada pela Organização Mundial de
Saúde para classificar um indivíduo adulto, com
relação ao seu peso e altura, conforme a tabela
abaixo.
Ex: Se a planta de uma casa está desenhada na
escala de 1 : 100 (um para 100), significa que cada 1
cm no desenho corresponde a 100 cm na dimensão
real.
11. A planta ilustrada abaixo foi desenhada na
escala 1 : 100.
a) Calcule as dimensões reais da sala dessa casa.
b) Calcule quantos metros quadrados de carpete são
necessários para acarpetá-la.
12.) Um mapa está desenhado na escala
1 : 10.000.000. Qual é, em quilômetros, a distância
real entre Salvador e Maceió, se, no mapa, a
distância é de 5 cm?
Levando em conta esses dados, considere as
seguintes afirmações:
I. Um indivíduo adulto de 1,70 m e 100 kg apresenta
Obesidade Grau 1.
II. Uma das estratégias para diminuir a obesidade
na população é aumentar a altura média de seus
indivíduos por meio de atividades físicas orientadas
para adultos.
III. Uma nova classificação que considere obesos
somente indivíduos com IMC maior que 40 pode
diminuir os problemas de saúde pública. Está correto
o que se afirma somente em
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e II.
e) I e III.
(FUVEST – 2010 – 1ª fase) Um automóvel, modelo
flex, consome 34 litros de gasolina para percorrer 374
km. Quando se opta pelo uso do álcool, o automóvel
consome 37 litros deste combustível para percorrer
259 km. Suponha que um litro de gasolina custe R$
2,20. Qual deve ser o preço do litro do álcool para que
o custo do quilômetro rodado por esse automóvel,
usando somente gasolina ou somente álcool como
combustível, seja o mesmo?
a) R$ 1,00
b) R$ 1,10
c) R$ 1,20
d) R$ 1,30
e) R$ 1,40
22
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Revisão: Porcentagem
Cálculo de uma porcentagem
A porcentagem faz parte de nossas vidas, a
vemos quando vamos às compras, quando vemos
anúncios sobre economia, quando cuidamos de nossa
dieta, enfim, sempre nos deparamos com essa tal
porcentagem. Mas, afinal, o que é porcentagem?
Porcentagem é uma razão que nos informa qual
é a quantidade de uma determinada parte em relação ao
todo e é dada em relação ao número 100, ou seja, é um
modo de compararmos dois números tomando o 100
como padrão. Esse modo de comparação é utilizado
desde o século XVII e é um padrão em nossos dias.
Representamos porcentagem pelo símbolo % e
lê-se ―por cento‖. A porcentagem equivale a uma
fração de denominador 100 e ao número decimal
Seja a porcentagem a% de T.
(1) Podemos, simplesmente, multiplicarmos a fração
a
por T :
100
a% de T 
a
T
100
Exemplo:
23% de R$ 240,00 
23
 240  55, 2 , ou seja,
100
23% de R$ 240,00 é o mesmo que R$ 55,20.
50
correspondente. Deste modo a fração
é uma
100
(2) Podemos conseguir o mesmo resultado através da
regra de três simples, fazendo-se corresponder 100% a
T e a% a x (a% de T):
porcentagem que podemos representar por 50%.
Interpretamos a razão 50% dizendo que se um aluguel
de casa fosse de R$100,00 e existisse um aumento de
50% nesse aluguel, o aumento teria sido de R$50,00.
T ——— 100%
x ——— a %
E, multiplicando-se em cruz, temos:
T  a  x 100  x 
a T
a
x
T
100
100
Conseguindo assim a multiplicação do caso (1).
Exemplo:
23% de R$ 240,00:
240 ——— 100
x ——— 23
Observe: A parte preenchida dos quadrinhos pode ser
representada por:
Fração
40
100
Número decimal
0,4

Porcentagem
40%


240  23  100  x
240  23
240  23
5520
xx
x
100
100
100
Razão
 x  55, 2
Considere um aumento de R$ 50,00 no aluguel
de um imóvel cujo aluguel é de R$ 1000,00. Para se
obter uma razão entre o aumento e o total do aluguel
devemos dividir o valor do aumento pelo valor total do
Assim 23% de R$ 240,00 é equivalente a
R$55,20.
imóvel ( r 
valor aumento
). Essa razão pode ser
valor total
expressa de diversas formas, como no exemplo desse
aluguel r 
50
5
50

 0,5 
 50% .
1000 10
100
23
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Exercícios: Porcentagem
9) Mário compra um equipamento eletrônico por R$
2.000,00 e vende por R$ 3.000,00.
1) Escreva os números de duas maneiras: usando a
a) Qual foi o lucro obtido?
notação decimal e o símbolo de porcentagem:
a)
d)
5
5
6
3
b)
e)
3
c)
4
4
f)
5
3
8
3
d) 12% de 200
b) 20% de 800
e) 3,5% de 150
c) 5% de 1000
f) 4,7% de 600
c) Em porcentagem, qual a relação entre o lucro e o
preço de venda?
2
2 ) Determine:
a) 10% de 100
b) Em porcentagem, qual a relação entre o lucro e o
preço de custo?
3) Descubra o número em cada item:
a) 10% do número é igual a 27
10) Numa competição de salto em altura, um atleta
conseguiu melhorar em 10% sua marca, que era de
4,80 m. Qual é a nova marca desse atleta?
11) Uma escola tem hoje 4.600 alunos. Esse número é
15% maior que o número de alunos do ano passado.
Quantos alunos estudavam nessa escola no ano
passado?
12) Os alunos de uma escola foram comemorar o fim
de ano em um restaurante. A conta, incluindo os 10%
do garçom, foi de R$ 165,00. Qual seria o valor da
conta sem a gorjeta para os garçons?
b) 1% do número é igual a 15
c) 25% do número é igual a 100
d) 5,5% do número é igual a 11
4) Indique que porcentagem representa:
a) 15 de 150
c) 17 de 200
b) 24 de 48
d) 65 de 1000
5) Um jornal publicou a seguinte manchete: “30% da
população brasileira vive em estado de subnutrição”.
Sabendo que a população brasileira é de cerca de 150
milhões de habitantes, quantos brasileiros são
subnutridos?
6) Na eleição para prefeito de uma cidade estavam
inscritos 300.000 eleitores. Se o índice de abstenção
foi de 15%, quantos eleitores votaram nessa eleição?
7) 25% dos alunos da sala de Vanessa praticam
natação. Quantos alunos há nessa classe, se 27 não
nadam?
8) Um comerciante quer ter um lucro equivalente a
10% do preço de custo de uma mercadoria. Sabendo
que ele pagou R$ 27,00 por essa mercadoria, por
quanto deve vendê-la? (LEMBRETE: Lucro = Preço de
venda – Preço de custo)
13) 15% de um rebanho bovino são vacas e o restante
são bois. Qual é o total de cabeças desse rebanho, se
há 17.000 bois?
14) Num campeonato de fórmula 1, Ayrton Senna
venceu 10 das 16 provas de que participou. Que
porcentagem representa o total de vitórias de Senna
nesse campeonato?
15) Uma praça retangular tem lados medindo 100
metros. No centro da praça vai ser construído um
canteiro também quadrangular, com lados medindo 20
metros. Quantos por cento da área da praça o terreno
vai ocupar?
16) Uma lanchonete vendeu 2.000 sanduíches em
janeiro. Em fevereiro, vendeu 25% a mais que em
janeiro e, em março, 20 % a mais que em fevereiro.
Calcule o número de sanduíches vendidos em
fevereiro e março.
17) Para vender um aparelho eletrônico com um certo
lucro, Letícia acrescenta 35% ao valor que pagou.
Sabendo que ela vendeu esse aparelho por R$
2.700,00, quanto pagou por ele?
24
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Exercícios: Porcentagem
140 - (ENEM – 2009) Uma resolução do Conselho
Nacional de Política Energética (CNPE) estabeleceu a
obrigatoriedade de adição de biodísel ao óleo dísel
comercializado nos postos. A exigência é que, a partir
de 1.º de julho de 2009, 4% do volume da mistura final
seja formada por biodísel. Até junho de 2009, esse
percentual era de 3%. Essa medida estimula a
demanda de biodísel, bem como possibilita a redução
da importação de dísel de petróleo. Disponível em:
http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 12 jul. 2009 (adaptado).
Estimativas indicam que, com a adição de 4% de
biodísel ao dísel, serão consumidos 925 milhões de
litros de biodísel no segundo semestre de 2009.
Considerando-se essa estimativa, para o mesmo
volume da mistura final dísel/biodísel consumida no
segundo semestre de 2009, qual seria o consumo de
biodísel com a adição de 3%?
a) 27,75 milhões de litros.
b) 37,00 milhões de litros.
c) 231,25 milhões de litros.
d) 693,75 milhões de litros.
e) 888,00 milhões de litros.
141 - (ENEM – 2009) O governo cedeu terrenos para
que famílias construíssem suas residências com a
condição de que no mínimo 94% da área do terreno
fosse mantida como área de preservação ambiental.
Ao receber o terreno retangular ABCD, em que
, Antônio demarcou uma área quadrada no
vértice A, para a construção de sua residência, de
acordo com o desenho, no qual
quadrado.
é o lado do
173 - (ENEM – 2009) A resolução das câmeras digitais
modernas é dada em megapixels, unidade de medida
que representa um milhão de pontos. As informações
sobre cada um desses pontos são armazenadas, em
geral, em 3 bytes. Porém, para evitar que as imagens
ocupem muito espaço, elas são submetidas a
algoritmos de compressão, que
reduzem em até 95% a quantidade de bytes
necessários para armazená-las. Considere 1 KB = 1.000
bytes, 1 MB = 1.000 KB, 1 GB = 1.000 MB. Utilizando
uma câmera de 2.0 megapixels cujo algoritmo de
compressão é de 95%, João fotografou 150 imagens
para seu trabalho escolar. Se ele deseja armazená-las
de modo que o espaço restante no dispositivo seja o
menor espaço possível, ele deve utilizar:
a) um CD de 700 MB.
b) um pendrive de 1 GB.
c) um HD externo de 16 GB.
d) um memory stick de 16 MB.
e) um cartão de memória de 64 MB.
179 - (ENEM – 2009) Um médico está estudando um
novo medicamento que combate um tipo de câncer
em estágios avançados. Porém, devido ao forte efeito
dos seus componentes, a cada dose administrada há
uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos
efeitos colaterais observados no estudo, tais como
dores de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos
sintomas da doença. O médico oferece tratamentos
compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento,
de acordo com o risco que o paciente pretende
assumir. Se um paciente considera aceitável um risco
de até 35% de chances de que ocorra algum dos
efeitos colaterais durante o tratamento, qual é o maior
número admissível de doses para esse paciente?
a) 3 doses.
b) 4 doses.
c) 6 doses.
d) 8 doses.
e) 10 doses.
Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria
exatamente o limite determinado pela condição se ele:
a) duplicasse a medida do lado do quadrado.
b) triplicasse a medida do lado do quadrado.
c) triplicasse a área do quadrado.
d) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%.
e) ampliasse a área do quadrado em 4%.
GABARITO ENEM:
140) d
141) c
173) e
179) b
25
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Grandezas Proporcionais
Grandezas Diretamente e
Inversamente Proporcionais
Problema: Um forno tem sua produção de ferro
fundido de acordo com a tabela abaixo:
Tempo (minutos)
5
10
15
20
Produção (em Kg)
100
200
300
400
Observe que uma grandeza varia de acordo com a
outra. Essas grandezas são variáveis dependentes,
ou seja:
- Se duplicamos o tempo, a produção também
duplica:
5 min ---------- 100 Kg
10 min ---------- 200 Kg
- Se triplicamos o tempo, a produção também
triplica:
5 min ---------- 100 Kg
15 min ---------- 300 Kg
Observe também que a razão entre os valores de
uma grandeza é igual a razão entre os valores
correspondentes da outra grandeza.
Problema: Um ciclista faz um treino para a prova
de “1000 metros contra o relógio”, mantendo em
cada volta uma velocidade constante e obtendo,
assim, um tempo correspondente, conforme a
tabela abaixo:
Velocidade (m/s)
5
8
12
20
Tempo (s)
200
125
100
50
Novamente uma grandeza varia de acordo com a
outra e, portanto, são variáveis dependentes. No
entanto observe que:
- Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica
reduzido à metade:
5 m/s --------- 200 s
10 m/s ---------- 100 s
- Quando quadruplicamos a velocidade, o tempo
fica reduzido à quarta parte:
5 m/s ----------- 200 s
20 m/s ----------- 50 s
Note que a razão entre dois valores de uma
grandeza é o inverso da razão entre os dois
valores correspondentes da outra grandeza.
5
100 1
=
=
15 300 3
10 200 1
=
=
20 400 2
Duas grandezas variáveis dependentes são
diretamente proporcionais quando a razão entre
os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os
valores correspondentes da 2ª grandeza.
Duas grandezas variáveis dependentes são
inversamente
proporcionais
quando
a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao
inverso
da
razão
entre
os
valores correspondentes da 2ª grandeza.
Essa razão igual é chamada constante de
proporcionalidade.
Essa razão é chamada
proporcionalidade inversa.
de
constante
de
26
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Grandezas Proporcionais
CUIDADO: Nem sempre existe proporcionalidade.
Por exemplo: A tabela abaixo mostra o aumento
da altura de Paulinho em função da idade:
Idade de 4 anos
Paulinho
Altura de 1 m
Paulinho
8 anos
12 anos
1,40
1,60
Perceba que mesmo havendo uma possível
relação de aumento de uma grandeza de acordo
com a outra, verifica-se que não existe
proporcionalidade nesse caso. Veja:
4
8
12
≠
≠
1 1,40 1,60
Resolvendo problemas: a Regra de Três
Exemplo 1: Se um padeiro faz 60 pães com 4 Kg de
farinha, quantos pães ele fará com 6 Kg de
farinha?
- Primeiramente construímos uma tabela com as
grandezas do problema, analisando o que
acontece com uma delas caso a outra varie,
aumentando ou diminuindo. Usamos uma
incógnita para representar o valor desconhecido:
Exemplo 2: Para reformar a quadra de esportes de
uma escola, 2 pedreiros vão trabalhar 24 dias. No
mesmo ritmo de trabalho, em quantos dias 6
pedreiros podem fazer esse serviço?
- Novamente construímos uma tabela:
Número de pedreiros
2
6
Agora, as setas indicam que se uma das grandezas
(por exemplo, o número de pedreiros) aumenta,
então a outra diminui na mesma razão (inversa).
Portanto as grandezas são inversamente
proporcionais.
Nesse caso, antes de aplicarmos a “multiplicação
em cruz”, devemos lembrar que ela aconteceria se
montássemos a proporção da maneira que está na
tabela, no caso de proporcionalidade direta. No
entanto, a relação de proporção inversa faz com
que tenhamos que “inverter” uma das setas antes
de escrever a proporção, fazendo com que ela
pareça de forma direta. Observe:
2
𝑥
=
6 24
6𝑥 = 48
48
𝑥=
6
𝑥=8
Farinha (Kg) Quantidade de pães
4
60
6
As setas representam que: se a aumentarmos a
quantidade de farinha, a conseqüência será o
aumento no número de pães que podem ser
feitos.
Além disso, verificamos que se uma grandeza
duplicar, a outra também duplica. Então as
grandezas são diretamente proporcionais e
podemos escrever:
4
6
=
60 𝑥
Multiplicando em cruz, temos:
4 ∙ 𝑥 = 60 ∙ 6
4𝑥 = 360
360
𝑥=
4
𝑥 = 90
Portanto, com 6 Kg de farinha é possível
fazer 90 pães.
Tempo (dias)
24 (x)
x
(24)
Portanto, 6 pedreiros demoram 8 dias para
efetuar a reforma.
Exercícios
1) Se 300 g de um metal custam R$ 600,00,
quanto custam 700 g desse metal?
2 ) Um carro faz, na estrada, 8 km com 1 litro de
álcool.
a) Quantos litros de álcool são necessários para
esse carro percorrer 100 km?
b) Quantos quilômetros ele percorre com 45 litros
de álcool?
3) Um recordista olímpico corre a prova dos 100
metros em 10 segundos. Em quanto tempo ele
pode correr 10.000 metros?
27
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Grandezas Proporcionais
4) Luiz Matemático bebeu 10 copos de catuaba
em 20 minutos. Em quanto tempo ele pode beber
100 copos de catuaba?
5) A secretária de uma escola preenche 10 fichas
de matrícula em 30 minutos.
a) Quanto tempo ela leva para fazer 50
matrículas?
b) Quanto tempo demorou em fazer a matrícula
de uma classe com 45 alunos?
6) Em 600 ml de uma cerveja há 20 ml de álcool.
a) Quanto ingere de álcool uma pessoa que bebe
5 cervejas de 600 ml cada uma?
b) Quantas cervejas de 300 ml pode ingerir uma
pessoa que deseja ingerir, no máximo, 30 ml de
álcool?
7) Uma foto 3 x 4 foi aumentada para um
tamanho 6 x 8. A foto maior representa uma
ampliação da foto menor? Por quê?
8) Uma torneira, despejando 5 litros de água por
minuto, enche uma caixa d’água em 6 horas. Em
quanto tempo duas torneiras iguais a essa
encherão a mesma caixa?
Também sabemos que as duas partes somadas
devem resultar no número 60. Então temos um
sistema com as equações:
𝑥
= 𝑘 (𝐼)
2
𝑦
= 𝑘 (𝐼𝐼)
3
𝑥 + 𝑦 = 60
𝐼𝐼𝐼
Isolamos x e y nas equações (I) e (II), obtendo:
𝑥 = 2𝑘
𝑦 = 3𝑘
Substituindo esses valores de x e y na equação (III)
temos:
𝑥 + 𝑦 = 60 𝐼𝐼𝐼
2𝑘 + 3𝑘 = 60
5𝑘 = 60
60
𝑘=
5
𝑘 = 12
Se k = 12, então:
𝑥 = 2 ∙ 12 = 24
𝑦 = 3 ∙ 12 = 36
9) Numa fazenda, cada boi come a mesma
quantidade de ração todos os dias. O fazendeiro,
que tinha armazenado ração suficiente para
alimentar seus 40 bois durante 25 dias, comprou
mais 10 bois. Nesse caso, quantos dias a ração
deve durar?
Portanto, a divisão proporcional resulta nos
números 24 e 36.
10) Um corredor de fórmula 1 dá uma volta na
pista em 1 minuto e 30 segundos, a uma média de
200 km/h.
a) Em quanto tempo fará a volta na pista, se
mantiver velocidade média de 180 km/h?
b) Para fazer a volta em 1 minuto e 30 segundos,
qual deve ser sua velocidade média?
𝑥 1
𝑦 1
= 𝑒 =
2 𝑘
3 𝑘
CUIDADO: E se tivéssemos que ter uma divisão
inversamente proporcional? Então basta lembrar
que a razão é inversa, ou seja, teríamos:
Isolando x e y da mesma maneira e substituindo
em x + y = 60 teríamos:
Divisão Proporcional
𝑘 𝑘
+ = 60
2 3
Exemplo: Divida o número 60 em partes
diretamente proporcionais a 2 e 3.
Fazendo as operações necessárias chegamos ao
resultado.
Vamos pensar que o número 60 seja
dividido em duas partes x e y, proporcionais a 2 e
3. Então podemos escrever:
𝑥 𝑦
= = 𝑘 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒)
2 3
11) Divida o número 100:
a)
Em partes proporcionais a 3 e 7.
b)
Em partes inversamente proporcionais a 4
e a 12.
28
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Grandezas Proporcionais
12) Divida o número 560:
a)
Em partes proporcionais a 2, 4 e 8.
b)
Em partes inversamente proporcionais a 2,
4 e 8.
Proporção é uma igualdade entre duas razões.
Uma proporção envolve quatro números: a, b c e
d. Nessa ordem, temos a proporção:
13) Na formação de uma sociedade, Clóvis entrou
com R$ 120.000,00 e Oliveira com R$ 80.000,00.
Depois de algum tempo, dividiram o lucro de R$
18.000,00 proporcionalmente ao capital que cada
um empregou. Como foi feita essa divisão?
onde b e d são diferentes de zero.
14) O Ministério da Saúde vai distribuir 500
ambulâncias entre dois estados, numa divisão que
será proporcional ao número de hospitais de cada
um deles. Se um dos estados tem 400 hospitais e
o outro 600, quantas ambulâncias cada um terá?
Organizando em uma tabela:
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑟 çõ𝑒𝑠
2. A igualdade
7
8
=
21
24
é uma proporção? Por
quê? Escreva outra proporção que envolva essa
razão.
a)
b)
Dizemos que há proporcionalidade entre o
número de caixas de gelatina em pó e o número
de porções de gelatinas obtidas. Em outras
palavras, as duas grandezas variam na mesma
razão, então dizemos que elas são proporcionais.
Veja:
=
Lemos: “a está para b, assim como c está para d”
3. Escreva como se lêem as seguintes proporções:
Número de caixas Número de porções
1
4
2
8
5
20
7
28
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎𝑠
𝑎 𝑐
= 𝑜𝑢 𝑎 ∶ 𝑏 = 𝑐 ∶ 𝑑
𝑏 𝑑
1
4
2
5
= = =
7
8 20 28
Exercícios
1. No café da manhã, para fazer um omelete, Bete
usa 3 ovos para 2 pessoas.
a) Nessa situação, qual é a razão entre o número
de ovos usados e o número de pessoas?
d) As razões dos itens a) e c) são iguais?
e) As grandezas número de ovos e número de
pessoas são grandezas proporcionais? O quê?
8
4
6
=
3
=
6
4
9
Propriedade Fundamental das Proporções: Em
toda proporção, vale a propriedade da
“multiplicação em cruz”, por exemplo:
7 14
=
𝑝𝑜𝑖𝑠 7 ∙ 8 = 4 ∙ 14
4
8
Portanto, se
𝑎
𝑏
𝑐
= então 𝑎 ∙ 𝑑 = 𝑏 ∙ 𝑐.
𝑑
4. Determine o valor de x nas proporções abaixo:
a)
b)
b) Certo dia, 6 pessoas tomaram o café da manhã.
Quantos ovos ela usou nessa manhã?
c) Nesse dia, qual foi a razão entre o número de
ovos e o número de pessoas?
6
c)
d)
𝑥
4
2
𝑥
1
4
=
30
20
=
4
=
𝑥
15
25
3
5
=
6
𝑥
29
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Grandezas Proporcionais
Exercícios
Proporção na resolução de problemas
Exemplo: Uma caixa tem 35 bombons. Para cada 2
bombons comidos por Léo, Luiz comeu 3. Quantos
bombons comeu cada um?
X: número de bombons comidos por Léo
Y: número de bombons comidos por Luiz
Podemos formar a proporção:
𝑥
𝑦
=
2
3
Multiplicando em cruz temos: 3x = 2y
5. Determine x e y na proporção
𝑥
2
𝑦
= , sabendo
3
que x + y = 100.
7
6. A razão entre dois números é . Sabendo que a
3
diferença entre eles é 40, quais são esses
números?
7. Duas pessoas apostaram juntas na loteria e
ganharam 60.000.000,00. Quanto coube a cada
uma, se as importâncias que jogaram estão na
2
razão ?
Como a caixa tem 35 bombons: x + y = 35
Então temos um sistema com duas equações:
𝑥 + 𝑦 = 35 (𝐼)
3𝑥 = 2𝑦 (𝐼𝐼)
Na equação (I), isolamos uma das incógnitas:
𝐼 𝑥 + 𝑦 = 35
𝑥 = 35 − 𝑦
Então substituímos esse valor de “x” no lugar de
“x” na outra equação:
𝐼𝐼 3𝑥 = 2𝑦
3 ∙ 35 − 𝑦 = 2𝑦
105 − 3𝑦 = 2𝑦
105 = 2𝑦 + 3𝑦
105 = 5𝑦
105
𝑦=
5
𝑦 = 21
Colocando esse valor de “y” em qualquer uma das
equações, encontramos o valor de “x”:
𝐼 𝑥 + 𝑦 = 35
𝑥 + 21 = 35
𝑥 = 35 − 21
𝑥 = 14
Portanto, Léo comeu 14 bombons e Luiz comeu 21
bombons.
3
8. Numa cantina escolar, de cada 4 refrigerantes
vendidos, 3 são da marca X. Na última quinta-feira
foram vendidos 100 refrigerantes. Qual a venda
de refrigerantes X, nesse dia?
9. No carnaval passado, a escola de samba
Vaidade desfilou com 5.000 componentes. De
cada 5 integrantes dessa escola, 2 eram mulheres
e 3 eram homens. Quantas mulheres e quantos
homens desfilaram pela Vaidade?
10. Em uma bandeira, a altura está para o
comprimento assim como 7 está para 10. Qual
deve ser o comprimento de uma bandeira com
1,40 m de altura? Qual área terá essa bandeira?
30
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Revisão: Potenciação
POTENCIAÇÃO
É importante ressaltar que:
𝑏1 = 𝑏
Definição de Potenciação (O que significa potenciação):
Sejam números representados pelas letras b e n de
forma que 𝑏 ∈ ℝ e 𝑛 ∈ ℕ, ou seja, sejam um número
qualquer pertencente ao conjunto dos números reais*,
representado pela letra b, e um número qualquer
pertencente ao conjunto de números naturais**,
representado pela letra n.
Assim, chamamos de potência de base b e
expoente n ao número:
𝑛 fatores de b multiplicados por b
𝑏𝑛 =
Exemplos:
51 = 5
91 = 9
12354671 = 1235467
(−35)1 = −35
𝟏𝟏 = 𝟏
𝟎𝟏 = 𝟎
Outra Observação:

Se 𝑏 < 0 e n par ⇒ 𝑏 𝑛 > 0
Exemplo:
Sendo −2 (menor que 0) a base da potência e 4
(par) o expoente, temos:
(−2)4 = −2 ∙ −2 ∙ −2 ∙ −2
𝑏 ∙ 𝑏 ∙ 𝑏 ∙ ... ∙ 𝑏
(−2)4 = 16
Ou seja:
Exemplos:
(−2)4 é maior que zero: (−2)4 > 0
3 fatores 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑖
23 =

= 32
Exemplo:
Sendo −2 (menor que 0) a base da potência e 3
(ímpar) o expoente, temos:
5 fatores 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑖
25 =
2∙2∙2∙2∙2
(−2)3 = −2 ∙ −2 ∙ −2
5 fatores 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑖
35 =
3∙3∙3∙3∙3
Se 𝑏 < 0 e n ímpar ⇒ 𝑏 𝑛 < 0
=8
2∙2∙2
(−2)3 = (−8)
= 243
Ou seja:
12 fatores 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑖
(−2)3 é menor que zero: (−2)4 < 0
112 = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1
E em particular: (Sendo 𝑏 ∈ ℝ e 𝑏 ≠ 0 )
2 fatores 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑖
2
7 =
7∙7
𝑏0 = 1
= 49
Explicação:
Peguemos por exemplo o número 5, quanto será 50 ?
*Números reais (de forma não
formal) são todos os números
inteiros e ―quebrados‖, positivos e
negativos,
pares
e
ímpares,
fracionários ou irracionais. O
conjunto dos números reais é
representado pelo símbolo ℝ.
Vejamos: quanto seria 50 ∙ 51 ? Note no verso dessa ficha de
revisão a primeira propriedade da potenciação dizendo que:
50 ∙ 51 = 50+1 . Assim:
50 ∙ 51 = 50+1
5
Logo, essa equação fica assim:
50 ∙ 5 = 5
**Números Naturais:
ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
…}
51
5
50 =
⇒
Ou seja:
0
5
5
5 =1
31
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Revisão: Potenciação
Generalizando:
Tomando qualquer número real representado aqui
pela letra b veja:
Como 1 + 0 = 1 temos que:
𝑏
1+0
=𝑏
1
0
𝑏 ∙𝑏 =𝑏
⇒
54
=
52
5∙5∙5∙5
 (𝑎 ∙ 𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚 ∙ 𝑏 𝑚
= 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 = 32 ∙ 52
1
Resolvendo a equação acima, dividindo os dois lados da
equação por 𝑏1 , ou seja, o famoso “passando 𝑏1 que está
multiplicando 𝑏 0 para o outro lado da igualdade dividindo”,
temos:
𝑏1
⇒
𝑏0 = 1
𝑏

𝑚
𝑎
=
𝑏
𝑎𝑚
𝑏𝑚
5 2
Exemplo:
3
𝑏1
𝑏1
= 1. Então:
5
5
∙
3
5
3
5
∙
3
=
=
3
52
32
𝑏1
𝑏0 =
𝑏1
𝑏0 =
⇒
=
=
Sabemos que qualquer número dividido por ele
mesmo é igual a 1, neste caso
= 5 ∙ 5 = 54−2
5∙5
Exemplo: 3 ∙ 5 2 = 3 ∙ 5 ∙ 3 ∙ 5 =
De acordo com a propriedade 𝑏 𝑚 +𝑛 = 𝑏 𝑚 ∙ 𝑏 𝑛 temos:
1
Exemplo:

1
𝑏𝑚
𝑛
= 𝑏 𝑚 ∙𝑛 = 𝑏 𝑛
𝑚
Exemplo: 53 2 = 53 ∙ 53 =
= 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 52∙3
***Isso é válido para qualquer número real, ou
seja, b pode ser substituído por qualquer número real
que a resposta permanecerá 1, exceto para b = 0, pois
não existe divisão por zero, o que significa que
0
0
possui resposta e assim também a potência 00 =
Exemplos:
não
0
0
.
Atenção: Pega-Ratão:

−22 ≠ (−2)2
−22 = −2 ∙ 2 = −4
(−2)2 = −2 ∙ −2 = 4
e
50 = 1
90 = 1

12321240 = 1
4
23 ≠ (23 )4
4
23 = 281
(23 )4 = 8
e
0
4
= 4.096
1 =1
Potência de expoente negativo:
Propriedades da Potenciação:
Sejam números representados pelas letras b e n de
forma que 𝑏 ∈ ℝ e 𝑛 ∈ ℕ. Definimos a potência 𝑏 −𝑛 como:

𝑏 𝑚 ∙ 𝑏 𝑛 = 𝑏 𝑚 +𝑛
2 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
2
3
Exemplo: 5 ∙ 5 =
𝑏 −𝑛 =
3 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
5∙5 ∙ 5∙5∙5 =5
2+3 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
2+3
Explicação:
Seja o número b pertencente aos números reais e diferente
de zero. Observe que 𝑏 𝑛−𝑛 = 𝑏 0 , ou seja:
𝑏 𝑛 ∙ 𝑏 −𝑛 = 𝑏 0

𝑏𝑚
𝑏𝑛
1
𝑏𝑛
⇒
𝑏
−𝑛
=
1
𝑏𝑛
“Passando-se” 𝑏 𝑛 para o outro lado obtemos a
= 𝑏 𝑚 −𝑛
resposta!
−3
Exemplos: 7
=
1
73
=
1
343
2−5 =
1
25
=
1
32
32
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Exercícios: Potenciação
EXERCÍCIOS: POTENCIAÇÃO
9. Reduza a expressão a uma só potência:
2
1. Calcule:
4
a) 5
e) (-2)3
i) 4 3
1
b) 3
f) -23
j) 0 20
3
q)  2
3
c) 83
g) 230
k) 2-5
2
n)  
5
2
o)  2
5
s)  
2
3
u) 30  31   3   3
0
d) 2
h) (-81)0
L) 3-3
p)  2
4
r)  3
2
2
2
t)  
7
4

3 3
.
 
3. Escreva em uma só potência:
3
312
a) 5 2  57  5 4
b) 17
c) 22
3
2
2
35  3 7
e) 23
f) 23
g)
2  211
 
d) 2
23
 
3a   9a   b 
i)
27a   b 
k) x y 
2 5
4 2
2 3
3 5
5 3
da
expressão:
6. Qual a metade de 2 ?
b)
a) 
  a
a   a
a2  a5
2
3 2
4
10 3  10 5  0,01
0,001
2
8. Reduza a uma só potência: 2 4  .
32
4
 a 
  2 
a 
1
4
b)
1
40
c)
1
20
d)
1
2
1
4
15. Quais são os valores de 4 , 81
,
1
8
2 
1
10 10
,
1
4
e)
1
10
1024 ?
16.
Qual o valor de: (0,2) 4 e (0,1)5 .
17.
(FUVEST) O valor de 0,2  0,16 é:
3
b) 0,0336
e) 0,6256
2
c) 0,1056
(1) a.25 b.81 c.83 d.8 e.-8 f.-8 g.1 h.1 i.1/64 j.0
k.1/32 L.1/27 m.1/27 n.4/25 o.16 p.-16 q.1/4 r.-1/27
s.4/25 t.343/8 u.6 v.11/24
(2) B
(3) a.513 b. 3−5 c.26 d.28 e.26 f.29 g.
12
22
7. Simplificar:
(Fatec) Se 53a  64 o valor de 5  a é:
14.
Gabarito
4. Calcule os valores para as potencias seguintes:
24, 42, 4-2, (-4)2, (-2)4, (-2)-4.
5.
Calcule
o
valor
0
4
 1   6   2  2 .
13.
Tenho
as
sentenças
matemáticas
2m
10
5k
20
20
10  2  24 e 10  2  5 . Pergunta-se:
quais os valores de m e k?
a) 0,0264
d) 0,2568
2 5
3
6a 3b5c 2
a)
3ab 4
11.
PUC-SP) O número de elementos distintos
da sequência 24, 42, 4-2 (-4)2, (-2)4, (-2)-4 é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
1
1
j) y 2  y 8  y 4
2
12.
Tenho a sentença matemática 2 k  210 .
Pergunta-se: qual o valor de k?
2
4 6  85
h)
16 3
3
10.
Sendo x = 2 2 , y = 2 2 e z = 2 3 , escreva
o produto x  y  z na forma de uma só potência.
3
1
v) 2  3   
 3
2. (FEI-SP) O valor da expressão B = 5 . 108 . 4 .
10-3 é:
a) 206
b) 2 . 106
c) 2 . 109
-4
d) 20 . 10
3
c)

 22  2
3
2
1
m)  
3
9
2
14
15
10
i.𝑎
j.𝑦
k. 𝑥 ∙ 𝑦
(4) 32, 16, 1/16, 16, 32, 1/32
(5) -28
(6) 221
(7) a. 2𝑎2 𝑏𝑐 2 b. 1 c. 1.000.000.000
(8) 236
(9) 2−9
(10) 223
(11) B
(12) 10
(13) m=3/2 e k=4
(14) E
(15) 2, 3, 2, 2
(16) 0,0016 e 0,00001
(17) B
3 12
2
h.215
33
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Revisão: Radiciação
RADICIAÇÃO
Casos da radiciação:
𝑛
1.
Na expressão
𝑎 = 𝑏 se
𝑎 ≥ 0 então
necessariamente 𝑏 ≥ 0 qualquer que seja o índice n:
Definição de Radiciação (O que significa radiciação):
Nomenclatura:
2
Índice
𝑛
𝑎
3
Raiz
3
𝑛
Para um número real a, a expressão
𝑎
𝑛
representa o único número real 𝑏 que verifica 𝑏 = 𝑎 .
Em outras palavras, sendo 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑛 ∈ ℕ e 𝑛 ≠
0, ou seja, sendo dois números quaisquer pertencentes ao
conjunto dos números reais, representados pela letra a e b,
e um número qualquer pertencente ao conjunto dos
números naturais diferente de zero, representado pela letra
n, temos que:
Chamamos de raiz “n-ésima” de a o número b de
forma que 𝒃𝒏 = 𝒂.
𝑛
⇔
𝑏 =𝑎
Isso quer dizer que se elevarmos um número b à
potência n e depois tirarmos a raiz n do resultado, voltamos
ao número b.
Por exemplo, se elevarmos 2 à quinta potência
(25 = 32) e depois tirarmos a raiz quinta do resultado
5
5
( 32), voltamos ao número 2. Logo, 32 (raiz quinta de 32)
é igual a 2 porque a potência 25 é igual ao radicando 32:
5
32 = 2
25 = 32
porque
Observação: Quando o número n do radical (radical é o
nome dado ao símbolo
) é omitido, em expressões como
5 por exemplo, isso significa que 𝑛 = 2. Esta é chamada de
raiz quadrada e dizemos, neste caso, raiz quadrada de cinco
( 5).
Exemplos:
𝑛
Para descobrirmos o valor da expressão 𝑎 =? sempre
devemos nos perguntar: Qual valor elevado a n resulta em
a?
2
49 =?
23 = 8
−125 = −5
porque
2
49 = 7 .

27 =?
Qual valor elevado ao cubo (3) resulta em
3
27 = 3.

1 =?
(−5)3 = −125
𝑛
Casos que devemos prestar atenção:
𝑛
0 = 0 Isso acontece porque zero vezes zero
sempre será zero, não importa quantas “n” vezes o zero for
multiplicado.

𝑛
1 = 1 Como acima, isso acontece porque um
vezes um sempre será um, não importa quantas “n” vezes o
um for multiplicado.

1

𝑎 = 𝑎 porque 𝑎1 = 𝑎
Isso vale para
qualquer número real, representado aqui pela letra a. Isso
acontece porque qualquer número elevado a 1 sempre será
1
o próprio número, ou seja, para resolver 5, por exemplo,
devemos nos perguntar “qual número elevado a 1 resulta
em 5? Ora, o número 5, pois 51 = 5, então
1? Temos que 112 = 1 então
12
1 = 1.
1
5 = 5.
Cálculo da raiz por decomposição:
(Utilizamos aqui propriedades da radiciação)
Exemplos:

Vamos calcular:
144 :
Devemos primeiramente fatorar 144 ⇒
Descobrimos então que:
144 = 24 ∙ 32
Temos que:
144 2
72 2
36 2
18 2
9 3
3 3
4
2
1 2 4  32
24 ∙ 32 = 24 ∙ 32 = 22 ∙ 32 =
= 22 ∙ 31 = 4 ∙ 3 = 12
Então:
Qual valor elevado a 12 resulta em
𝑎 ≤ 0 então
3.
Na expressão 𝑎 = 𝑏 se 𝑎 ≤ 0 e n for par,
então não existe resposta para a radiciação no conjunto dos
2
números reais, pois, por exemplo, para −4 = 𝑏 qual o
número b que satisfaz a equação 𝑏 2 = −4? Se 𝑏 = 2
temos que 𝑏 2 = 4 e se 𝑏 = −2 a resposta permanece
𝑏 2 = 4, então, no conjunto dos números reais, não existe
2
solução para a expressão −4. Note que se utilizarmos um
conjunto numérico mais abrangente a expressão possui
solução: No conjunto dos números Complexos, a solução
2
seria: −4 = 2𝑖.
Qual valor elevado ao quadrado (2) resulta em
27? Temos que 33 = 27 então
12
porque

49? Temos que 72 = 49 então
3
42 = 16
𝑛
A radiciação é a operação inversa à potenciação.
𝑎=𝑏
8=2
porque
2.
Na expressão
𝑎 = 𝑏 se
necessariamente 𝑏 ≤ 0 se n for ímpar:
Radicando
𝑛
16 = 4
144 = 12
34
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Revisão: Radiciação
Atenção: Nem sempre conseguimos eliminar o radical:

⇒
Fatorando 27 temos que:
Descobrimos então que:
27 3
9 3
27
Vamos calcular:
2
2

𝑛 𝑚
𝑛 ∙𝑚
2
3
1 33  3 2  31
5=
2
1
53
27 = 32 ∙ 31 = 3 ∙ 3 =
= 31 ∙ 3 = 3 3
𝑛

𝑎𝑚
Exemplo:
Potência de Expoente Racional:
𝑚
𝑎𝑛
=
𝑛
𝑎𝑚
1
2
4 =

2

2
3
3 =
3
32
=
3
9
1
=
1
10
1024
10
4
𝑛

𝑎∙
Exemplo:
𝑛
𝑏=
𝑛
=
10
10
1
1
=
𝑏
𝑛
1024
=
𝑛
2
4∙2
= 10 6∙2 =
4 ½
∙
6 ½
2
= 10 3
103
= 𝑎 (se 𝑎 ≥ 0 para n par)
3
2
3
Note que
27
3
=?
3
27 = 3 assim:
3
𝑎∙𝑏
1
5∙7
1
3
=
3
5∙7
27
3
= (3)3 = 27
3
𝑎
2
=
2
𝑎2 = 𝑎
onde
𝑎 =
O número a
sempre positivo
Exemplos:

32 = 3 = 3
pois 3 ≥ 0
𝑎

42 = 4 = 4
pois 4 ≥ 0
𝑏

(−3)2 = −3 = − −3 = 3
pois −3 < 0

(−5)2 = −5 = − −5 = 5
pois −5 < 0

(2 − 3)2 = 2 − 3 = 2 − 3
Exemplo:
=
𝑎
2
2
Portanto:
27 = 27

Raiz quadrada do quadrado de um número
5 ∙ 7 = 53 ∙ 73 =
𝑎
𝑛
∙
= 10
=
1
2
3
4
Vejamos um exemplo numérico para que essa expressão
fique clara:
1024−1
Propriedades da Radiciação:
7
5
104 = 10 6 = 10 6
4∙2
106∙2

 1024−0,1 = 1024−10 =
4
=
1
2∙3
5
𝑎𝑚 ∙𝑝
1
4 = 42
5
𝑛 ∙𝑝
Utilidade na simplificação:
4
6
104 = 10 6
41 = 4

4
=
6
(com 𝑎 ∈ ℝ+ e 𝑛 ≠ 0)
Exemplos:
 𝑛
2∙3
=
11
53∙2
Simplificação de radicais
27 = 3 3
𝑛
1
1 2
53
=
=
Então:
3
𝑎
Exemplo:
3 3
1
2
𝑎=
1
(5) 4
1
(7) 4
5
7
=
1
4
=
4
5
7
pois
2− 3≥0
𝑛
 ( 𝑎 )𝑚 =
3
5
52
2
𝑎𝑚

(2 − 5)2 = 2 − 5 = − 2 − 5 = 5 − 2
pois
Exemplo:
3
𝑛
1
= 53
2
1
= 53
∙2
2
= 53
=
2− 5<0
35
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Exercícios: Radiciação
1)
Calcule:
a)
b)
25
e) 121
3
i)
8)
3
f)
8
81
c)
23
g)
4
k)
27
70
j)
4
81
m)
o) ( 2 )8
p) ( 3 2 )9
r)
s)
3
d)
3
64
h)
4
1
0
64x128
l) ( 4 64x128 )4
16
3
6
3
27
64
3
q)
t)
expressão:
valor
da
expressão:
1
2
2
1
1


125 3  16 2  343 3  .




9
6
25
4
23
9) Escreva na forma de uma única raiz:
.
64
312
10) Se 1  1 e
para 2 ?
Escreva sob a forma de potência a
2)
o
64
n)
29
Calcule
4  2 , qual seria uma aproximação
5 .
25  16  16 0  3  27 ?
3) Qual é o valor de
Gabarito da Lista de Radiciação
4)
Calcule o valor da expressão:
5)
32 x 4 .
1) a) 5
b) 9
c) 3
d) 4
e) 11 f) 2
g) 0 h) 1
i) –2
j) 2
k)
o) 2
p) 8
Assinale verdadeiro (V) ou falso (F):
l) 8192
1
1

64 4
d) - 25  5
a) 16 = 4 ou –4
b)
c) 8 1  1
3
2
9
3
4
n)
r) 2 s) 8
2) 5
6)
m)
t)
3
3
213
q) 2
34
1
8
Calcule o valor de:
3) 6
a) x = 3 1 49
5
b)
4) 6
1 2  3  1
3
3
c) 1 + 32 ∙
4
5+
27 ∙
3
5) a) V
b) V
c) V
6) a) 2
b) 1
c) 3
25 + 7 − 9
93
7) a)
b)
16
7)
Escreva sob a forma de raízes:
3
4
2
a) 9 2
b) 8 3
c) 64 3
5
d) ( 16 4 )
2
5
d) V
8) 6
9)
12
2
10) 1,5 ou 1,4
3
84
c)
3
64 2
d)
36
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Revisão: Racionalização
RACIONALIZAÇÃO DE
DENOMINADORES
Considere
o
2
número
2
,
utilize
uma
calculadora para calcular essa operação, ou seja, divida
2 por 2 , note que o resultado será equivalente ao
número 2 (2 ÷ 2 = 1,4142136 …
e
2=
1,4142136 …). Observamos que a fração
2
2
é
2
 2 , ou seja, a fração dada
1
equivalente a
originalmente, cujo denominador é um número
irracional
2
(
Portanto, racionalização de denominadores
significa obter uma fração de mesmo valor da fração
original, cujo denominador é irracional, mas que possua
um denominador racional.
A racionalização pode ser feita multiplicandose o numerador e o denominador da fração original por
um mesmo fator (que é o mesmo que multiplicar a
fração por 1), obtendo assim uma fração equivalente a
anterior. Esse fator é chamado fator de racionalização
ou fator racionalizante.
Racionalizar os denominadores:
3


b)
6
5 2

3
3
3

3
3 3

3 3

3 3
9

3 3

3
5 2
3
c)
5
2
d)
3
5

2

2

6 2
5 2  2

6 2

5 2

6 2 3 2

5
5 2 1
3
5
2
3
5

5
5

2

3
52
3
52
3 5
5 5


2 3 25
3
53
35
 5
2

2 3 25

5
15
5
2
2
.
 1 . E perceba que ao efetuarmos a
2
multiplicação, na verdade, não estamos realizando
2
nenhuma mudança:
equivalente a
2:
2
2
1 
2

2
2

2
2
2
2
, que como vimos é
2 2
 2.
2

Note também que nosso objetivo é eliminar a
raiz do denominador e para isso devemos multiplicar a
fração original por várias frações equivalentes a um até
conseguirmos tal eliminação:
4
3
3
4

3
3
3
3
3
3
3
3
3
3

4 3 32
3
33
43 9

3
Genericamente temos:
N
am

N
n
am

n
anm
n
anm

N n anm
n
amnm

Ou seja:
n
3

2
, por exemplo, multiplicamos a fração por
N
3 3
 3
3
6
2
Note que
n
Exemplos:
3
Em
), foi transformada em uma fração
2
em que o denominador é racional, possibilitando um
cálculo mais simples e rápido.
a)
Observação: Na racionalização realizamos a
multiplicação da fração por outra com o mesmo valor
no numerador e no denominador (com o mesmo valor
em baixo e em cima), que equivale a um, pois não
queremos alterar o valor da fração e sim seu formato.
am

N n anm
a
N n anm
n
an
N n a nm

a
37
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Revisão: Racionalização
Outro tipo de fração que pode ser necessário
racionalizar e que pode gerar confusão é a do tipo com
denominador possuindo raiz e a operação de adição,
6
como por exemplo
2 1
. Note que se realizarmos o
Exemplos:
processo idêntico ao anterior, ou seja, se
multiplicarmos a fração por outra com numerador e
denominador iguais a
2 , a fração resultante
continuará apresentando o termo raiz de 2 no
denominador (Verifique!). Temos então que encontrar
uma técnica que resolva o problema...
Lembraremos inicialmente o seguinte produto
notável: (a  b)(a  b)  a2  b2 . Como queremos que a
raiz quadrada seja eliminada, ela deve ser elevada ao
quadrado, que é o que acontecerá se utilizarmos essa
expressão:
( 3  2)( 3  2) 
Curiosidade: as expressões a b  c d e
a b  c d recebem o nome de conjugado uma da
outra.
 3
2
6
a)
2 1
6( 2  1)
 2
,
5
32

5
32

32
32

5( 3  2)
( 3  2)( 3  2)
5 3  10

 10  5 3
1
c)

Perceba que o processo aqui é o mesmo, o que
muda é só o formato do número a ser colocado no
numerador e denominador da fração, equivalente a um,
a ser multiplicada.
d)
4

5 1

5 2
2( 5  1)
 5
2
 12
2
5 1

2 3 3 2

5 2

5 2

4( 5  2)
 5  2
5 1
2
2

2( 5  1)

5  1 ( 5  1)( 5  1)
6


2 3 3 2
2 3 3 2 2 3 3 2
6(2 3  3 2)
(2 3  3 2)(2 3  3 2)



2( 5  1)
2( 5  1)

5 1
4

6
Podemos,
com
isso,
determinar
um
procedimento geral: sempre que o denominador da
fração a ser racionalizada for da forma a b  c d ,
multiplicaremos por outra fração, equivalente a um,
cujo numerador e denominador deve ser a b  c d . Se
o denominador for do tipo a b  c d , utilizaremos
expressão a b  c d .
( 2  1)( 2  1)
4( 5  2) 4( 5  2)

52
3
2

6( 2  1)

2 1
( 5  2)( 5  2)

multiplicaremos a fração por outra que possua como
numerador e o denominador o número 3  2 :
2 1
4( 5  2)
 ( 3  2)( 3  2)  1
32

6( 2  1)
 6( 2  1)
2 1
5 2
b)

5
 12

2 1
4
 22  3  4  1
Tendo então uma fração do tipo
2
6



12 3  18 2
 
2
2 3
 3 2

2


12 3  18 2 12 3  18 2 12 3  18 2



43 9 2
12  18
6
2
3
12 3  18 2  12 3  18 2



 2 3  3 2
6
61
61
38
Curso Pré-Vestibular CPV UFSCar – Fundamentos de Matemática
Revisão: Produtos Notáveis e Fatoração
PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO
Esqueminha:
Produto Notável
𝑎 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏 2
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3
(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 − 𝑏 3
𝑎 + 𝑏 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑎3 + 𝑏 3
𝑎 − 𝑏 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑎3 − 𝑏 3
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐
Fatoração