Lista 1 - Instituto de Matemática

Instituto de Matemática - IM/UFRJ
MAW365 – Fundamentos de Aritmética e Álgebra
Prof. Rodrigo Cardoso
Lista 1
1) Seja
um número natural fixado. Prove que, dado qualquer
, existem
números naturais
, com
e
, unicamente determinados,
tais que
∑
2) O que é correto afirmar sobre a representação deum número natural
relação ao sistema de numeração posicional de base nos casos abaixo?
a)
b)
d)
e)
é múltiplo de
c)
em
é potência de
, com
3) Considere o sistema posicional de base 5 cujos algarismos são dados abaixo.
Escreva os números 15, 25 e 28 neste sistema.
0
1
2
̅
3
4
4) No algoritmo das divisões sucessivas, um número é decomposto de forma que
sejam encontrados primeiro os algarismos correspondentes às menores ordens
de grandeza no sistema posicional de base . Descreva um processo para
expressar um número no sistema posicional de base em que a decomposição
seja de tal forma que sejam encontrados primeiro os algarismos
correspondentes às maiores ordens de grandeza.
Sugestão: Comece encaixando
entre duas potências consecutivas de .
5) Quantos números naturais existem entre
6) V ou F? Justifique.
a)
.
b)
.
e
? Justifique.
7) Construa tabelas de adição e de multiplicação para as bases 3, 8 e 12.
8) Efetue as seguintes operações, sem converter para base 10:
a)
b)
9) Existe alguma base
tal que
c)
represente um número par? Em caso
afirmativo, determine todas.
10) Considere o sistema de numeração posicional de base . Determine um critério
para decidir se um numeral expresso na base representa um número par ou
um ímpar, nos casos em que:
a)
é um número par;
b)
é um número ímpar.
11) Considere
.
a) Mostre que
é múltiplo de 4 se, e somente se, ∑
é múltiplo de 4.
b) Existe algum outro (diferente de 2 e de 4) ára o qual se aplique este mesmo
critério de divisibilidade na base 9? Isto é, existe algum outro
para o
∑
qual valha que: é múltiplo de
é múltiplo de ?
12) i) O numeral
é múltiplo de 3? E
?
ii) Qual é o critério para determinar se um numeral na base 9 representa um
múltiplo de 3?
13) Considere o sistema de numeração posicional de base
um número natural expresso neste sistema.
a) Seja
b) Seja
∑
um divisor de . Mostre que
.
tal que
deixa resto 1 na divisão por
.
. Considere
. Mostre que
14) Como saber se um número é divisível ou não por 11 na base 10?
15) Mostre por indução que:
(
a)
)
b)
16) Observe as linhas abaixo:
1
1
=
1
1+2
=
3
1+2+4
=
7
1+2+4+8
=
15
=
31
+ 2 + 4 + 8 + 16
a) Considerando que existe um certo padrão na sequência de números, como
seria a próxima linha?
b) Com ajuda do exemplo acima, exprima uma lei geral.
i) Com palavras.
ii) Utilizando símbolos matemáticos.
c) Prove esta lei.
17) Observe a seguinte sequência:
a) Considerando que existe um certo padrão na sequência, como seria a
próxima figura?
b) Com ajuda do exemplo acima, exprima uma lei geral.
i) Com palavras.
ii) Utilizando símbolos matemáticos.
c) Prove esta lei.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
DOMINGUES, H. H. Fundamentos de Aritmética. São Paulo: Atual, 1991.
RIPOLL, C., RANGEL, L., & GIRALDO, V. Livro do Professor de Matemática na
Escola Básica – Números – Volumes I. Rio de Janeiro: SBM, 2016.
VIEIRA, A. C. Fundamentos de Álgebra I – Belo Horizonte: Editora UFMG, 2011.