Untitled
Propaganda
PREFÁCIO Ao longo dos séculos, a convivência em sociedade provocou na humanidade a necessidade da criação de um mecanismo capaz de gerenciar numerais. Existem indicações de que os sistemas de numeração surgiram para registrar objetos, que inicialmente eram pedaços de pau e ossos talhados, peças de barro e cordas com nós. Com o passar do tempo, teve início o agrupamento de determinados números de unidades. Primeiro os grupos eram relacionados às mãos e aos pés: cinco em cinco, dez em dez, vinte em vinte. Contudo, em se tratando de quantidades maiores, era difícil juntar paus e ossos ou identificar o número de traços facilmente. As civilizações antigas começaram, então, a criar símbolos que representavam esses agrupamentos de objetos. Surgiram assim os sistemas numéricos destas civilizações, como é o caso do sistema egípcio, o sistema romano, o sistema chinês. E desde o surgimento das primeiras contagens até o aparecimento do nosso sistema numérico decorreram milhares de anos. A origem do nosso sistema de numeração posicional, assim como hoje nós usamos, remonta do século V, e chama-se Indo-Arábico devido aos méritos de duas grandes civilizações: Indiana e Arábica. Neste livro, o Prof. Ivan Mendes procura abordar de maneira ampla o sistema de numeração decimal posicional, abrangendo conhecimentos obtidos através de pesquisas realizadas em livros didáticos de outros países, graduando as dificuldades através de níveis, e esgotando os temas através de exercícios exaustivos de fixação cuidadosamente selecionados, que auxiliam o leitor a fixar os conceitos e a materializar sua aplicação prática, enriquecendo assim a formação obtida pela leitura. O leitor também terá a oportunidade de acompanhar o crescimento das dificuldades entre os seus diversos níveis, participando da construção do conhecimento pelo preenchimento de lacunas com a teoria, que direcionam a leitura. Quem, como eu, conhece o Prof. Ivan Mendes, sabe da sua satisfação pessoal em transmitir conhecimentos adquiridos ao longo de sua carreira como professor, estabelecendo de forma didática uma relação entre o assunto e a História das Civilizações. É uma carreira coroada de êxitos e de aprovações, que agora culminam na publicação da sua terceira obra, que ora tenho o prazer e a honra de prefaciar. Aos leitores, meus parabéns por estarem adquirindo uma obra de qualidade, que com certeza vai transformar, em quem a lê, a visão tradicional do sistema de numeração posicional, o que irá contribuir significativamente para a desmistificação deste tópico da aritmética, apontando também o caminho a seguir para que os conhecimentos sejam utilizados no cotidiano com maior segurança pelo conhecimento pleno do conteúdo. Profª Sonia Santos TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 1 APRESENTAÇÃO O livro “ARITMÉTICA – SISTEMA DE NUMERAÇÃO” foi dividido em dois níveis: Nível 1: Questões fáceis e regulares sobre o tema e Nível 2: Questões difíceis ou que dependem de outros temas. Registramos que este material é o primeiro de uma coleção de quatro temas da Aritmética que serão publicados futuramente e que aparecem em vários editais de concursos públicos civis e militares Agradecemos desde já as críticas e as sugestões dos nossos leitores no e-mail: [email protected]. Prof. Ivan Mendes AGRADECIMENTOS Esta obra é dedicada, em memória, aos meus pais, Walter Larsen Mendes e Izabel Figueira Mendes por sempre terem lutado pelo meu aprendizado, dando-me a liberdade de escolher uma profissão sem restrições. A minha esposa Martha e aos nossos filhos, Marcelo e Gabriel, pela compreensão aos meus estudos, que por algumas vezes, retirou-me do cenário familiar. Aos meus alunos, que são minha fonte de aprendizado, em especial, Thiago Severgnini, Thiago Silva e Iury Kersnowsky por revelarem a sua gratidão de forma singular. Prof. Ivan Mendes TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 2 PRINCIPAIS SIGLAS EPCAR Escola Preparatória de Cadetes do Ar CN Colégio Naval CMRJ Colégio Militar do Rio de Janeiro CMB Colégio Militar de Brasília CMBH Colégio Militar de Belo Horizonte CMS Colégio Militar de Salvador CMSM Colégio Militar de Santa Maria CMR Colégio Militar de Recife CMJF Colégio Militar de Juiz de Fora CMF Colégio Militar de Fortaleza CMCG Colégio Militar de Campo Grande CMC Colégio Militar de Curitiba CMPA Colégio Militar de Porto Alegre CMM Colégio Militar de Manaus IME Instituto Militar de Engenharia UFMG Universidade Federal de Minas Gerais ÍNDICE BASE DE UM SISTEMA DE NUMERAÇÃO POSICIONAL 5 REPRESENTAÇÕES DE BASES DE NUMERAÇÃO 5 DECOMPOSIÇÃO DOS NÚMEROS 5 VALOR DO ALGARISMO NO NÚMERO 5 SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL 6 IDENTIFICAÇÃO DE UM SISTEMA DE NUMERAÇÃO POSICIONAL 8 BASES DE NUMERAÇÃO COM MENOS DE DEZ ALGARISMOS 8 BASES DE NUMERAÇÃO COM MAIS DE DEZ ALGARISMOS 8 A CRIAÇÃO DE SÍMBOLOS NO INTERIOR DE UM SISTEMA DE NUME- 8 RAÇÃO O MAIOR NÚMERO EM UMA CERTA QUANTIDADE DE ALGARISMOS 9 INTERVALO NO QUAL ENCONTRAMOS OS NUMERAIS COM UMA 10 CERTA QUANTIDADE DE ALGARISMOS CÁLCULO DA QUANTIDADE DE NÚMEROS COM UMA CERTA QUANTIDADE DE ALGARISMOS EM QUALQUER BASE DE NUMERAÇÃO POSICIONAL 11 PARIDADE DE UM NUMERAL ESCRITO EM UMA BASE QUALQUER 12 BASE DE NUMERAÇÃO MISTA 12 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC) 16 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 3 CARACTERÍSTICAS DO NOSSO SISTEMA DE NUMERAÇÃO OPERANDO NA ADIÇÃO OU NA SUBTRAÇÃO DE DOIS NÚMEROS DE DOIS ALGARISMOS CADA UM COM A INVERSÃO DAS ORDENS FÓRMULA PARA CALCULAR A QUANTIDADE DE ALGARISMOS EM UMA SUCESSÃO DE 1 ATÉ n QUANTIDADE DE VEZES QUE UM ALGARISMO SIGNIFICATIVO APARECE EM UMA SUCESSÃO QUANTIDADE DE VEZES QUE O ALGARISMO ZERO APARECE EM UMA SUCESSÃO TRANSPOSIÇÃO DE SISTEMAS DE NUMERAÇÕES COM BASES DIFERENTES TRANSPOSIÇÃO DE UMA BASE PARA OUTRA SENDO ESTA UMA POTÊNCIA DAQUELA TRANSPOSIÇÃO DE UMA BASE PARA OUTRA SENDO ESTA UMA EXTRAÇÃO DAQUELA 18 18 19 26 29 34 35 TRANSPOSIÇÕES UTILIZANDO-SE DOS NÚMEROS MÁXIMOS 36 TRANSPOSIÇÕES DE BASES PELO MÉTODO DE HORNER 36 TRANSPOSIÇÃO DE UM NÚMERO DECIMAL FRACIONÁRIO PARA 43 UMA BASE QUALQUER E VICE-VERSA NÚMEROS POSITIVOS MENORES DO QUE 1(UM) 46 EXERCÍCIOS DE NÍVEL 1 48 EXERCÍCIOS DE NÍVEL 2 85 GABARITOS 103 BIBLIOGRAFIA 110 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 4 Tema 1 SISTEMA DE NUMERAÇÃO É constituído por um conjunto de regras e símbolos por meio dos quais pode-se ler, falar e escrever os números. BASE DE UM SISTEMA DE NUMERAÇÃO POSICIONAL É o número de unidades necessárias de uma certa ordem, para que possa formar uma unidade de ordem imediatamente superior, ou seja, é o número de elementos do conjunto tomado como padrão. REPRESENTAÇÕES DE BASES DE NUMERAÇÃO Número 52 na Base 10: 52 ou 52(10) ou 52[10] ou 5210 ou (52)10 Número 52 na Base 7: 52(7) ou 52[7] ou 527 ou (52)7 DECOMPOSIÇÃO DOS NÚMEROS ( FORMA POLINOMIAL) 2 Número 347 no nosso sistema de Base 10:3x10 + 4x10 + 7; 2 Número 347 na Base 8: 3x8 + 4x8 + 7, sendo, em ordem, os algarismos do sistema: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. 2 Número 347 na Base 9: 3x9 + 4x9 + 7, sendo, em ordem, os algarismos do sistema: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8. 2 Número 347 na Base 6: 3x6 + 4x6 + 7, sendo, em ordem, os algarismos do sistema: 0, 1, 4, 3, 7 e 5. Observe que o símbolo “7” representa a quantidade 4, assim como o símbolo “4” representa, 2. VALOR DO ALGARISMO NO NÚMERO VALOR ABSOLUTO: Não depende da sua posição no numeral. Ex1.: O valor absoluto do algarismo 4 no número 3.406 é 4; TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 5 Ex2.: O valor absoluto do algarismo 4 no número (3.406)7 é 4. VALOR RELATIVO ou POSICIONAL: Depende da sua posição no numeral. 2 Ex1.: O valor relativo do algarismo 4 no número 3.406 é 4x10 = 400; 2 Ex2.: O valor relativo do algarismo 4 no número (3.406)7 é 4x7 = 196.. NÚMERO: É uma ideia de quantidade. NUMERAL: É qualquer símbolo que usamos para representar uma quantidade. Desta forma, a quantidade dez pode ser representada pelos numerais 10, X, dez, ten, etc.... NÚMERO CARDINAL: É o que exprime quantos elementos há em um conjunto de elementos. Ex.: Trinta e três NÚMERO ORDINAL: É o que assinala a posição(ordem) de um elemento no conjunto. Ex.: Trigésimo terceiro (33º) NÚMERO MULTIPLICATIVO: É o que exprime a multiplicidade dos valores. Ex1.: duas vezes: duplo ou dobro Ex2.: três vezes: triplo ou tríplice Ex3.: quatro vezes: quádruplo Ex4.: cinco vezes: quíntuplo Ex5.: seis vezes: sêxtuplo Ex6.: sete vezes: séptuplo SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL Para se escrever os numerais são necessários apenas dez símbolos, chamados de algarismos, a saber: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0, sendo os nove primeiros algarismos significativos e o zero insignificativo. TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 6 Historicamente, os algarismos foram inventados pelos Hindus e divulgados pelos Árabes, por isso chamamos de algarismos Indo-Arábicos. ALGARISMOS: São sinais numéricos ou letras que representam os números. Os algarismos indo-arábicos são chamados também de dígitos, palavra que vem do latim “digitus”, o que significa dedo. No sistema decimal, adotamos o princípio da posição decimal para a colocação dos algarismos. O número um é a unidade simples. A reunião de dez unidades simples forma a dezena que é a unidade de 2ª ordem. Dez dezenas constituem uma centena, unidade de 3ª ordem e assim sucessivamente. Em uma classe completa há três algarismos. Qualquer número é igual a soma dos valores relativos de seus algarismos. O número que encerra 7 dezenas de milhares, 9 centenas e 6 unidades é 70.906. Colocar um zero à direita de um número inteiro, corresponde a torná-lo 10 vezes maior. Suprimir um zero à direita de um número inteiro, corresponde a torná-lo 10 vezes menor. Em trinta unidades há 3 dezenas. Qualquer algarismo significativo só pode ocupar a 1ª ordem se desejarmos que sejam iguais seus valores relativo e absoluto. Visando a formar oito unidades de terceira ordem, preciso de 80 unidades de 2ª ordem. Com duzentas unidades formo 2 centenas ou vinte dezenas. O número 8.347.029 possui 3 classes, 7 ordens, 7 algarismos e a classe mais elevada é a dos milhões. A soma do valor absoluto do algarismo 2 com o valor relativo do algarismo 3 do nº 324 é 302. Em 8.576 há 8 unidades de milhares, 85 centenas, 857 dezenas e 8.576 unidades. Uma centena corresponde a 100 unidades, uma dezena corresponde a 10 unidades, uma dúzia corresponde a 12 unidades, meia centena corresponde a 50 unidades, meia dezena corresponde a 5 unidades, meia dúzia corresponde a 6 unidades e uma centena corresponde a 20 meias dezenas. O resultado da soma do maior número de quatro ordens com o menor de cinco algarismos é 19.999. O maior número que se pode escrever com os sete algarismos romanos, sem repetir nenhum deles, nem lhes sobrepor traços horizontais é o MDCLXVI. TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 7 IDENTIFICAÇÃO DE UM SISTEMA DE NUMERAÇÃO POSICIONAL A identificação de uma base de numeração nem sempre é a quantidade de símbolos criados, pois o que determina a base de numeração é o número de unidades necessária, em uma certa ordem, para a formação de uma unidade de ordem imediatamente superior. Existem sistemas de numeração com uma certa base, mas pautada em outra base auxiliar ou, ainda, combinada e com quantidade de símbolos diferente tanto da base principal quanto da base auxiliar. Por exemplo, o sistema de numeração dos Maias é de base vigesimal com auxílio da base quinária. Este sistema possui três símbolos, sendo o zero representado por uma concha e os outros dois símbolos, a saber, o ponto e a barra horizontal correspondendo, respectivamente, a quantidade um e cinco. A utilização destes dois últimos símbolos é, no máximo, até quatro vezes seguidos. Números superiores a dezenove são escritos na vertical, segundo potências de vinte, em ordem, de baixo para cima. BASES DE NUMERAÇÃO COM MENOS DE DEZ ALGARISMOS Ex2: Base 8 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Ex1: Base 7 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} BASES DE NUMERAÇÃO COM MAIS DE DEZ ALGARISMOS Em função do aumento da base, criam-se símbolos (algarismos) em ordem crescente. Ex1: Base 12 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B} Ex2: Base 13 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ?, , } A CRIAÇÃO DE SÍMBOLOS NO INTERIOR DE UM SISTEMA DE NUMERAÇÃO Para descobrirmos que base de numeração é o criado, devemos observar quando aparecem dois símbolos que representa uma quantidade no nosso sistema de numeração. Ex1.: NOSSO CRIADO 0 0 1 1 2 2 3 # 4 3 5 8 6 6 7 11 8 12 9 1# 10 13 11 14 Resposta: Base 7 e, conforme o sistema de numeração acima, existe o numeral (82) 7. TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 8 Ex2.: NOSSO CRIADO 0 0 1 1 2 2 3 3 4 7 5 4 6 A 7 5 8 8 9 B 10 10 11 11 Resposta: Base 10 NOMENCLATURA DE ALGUMAS BASES DE NUMERAÇÃO Base 2 : Binária Base 10 : Decimal Base 3: Terciária Base 12 : Duodecimal Base 4: Quaternária Base 16 : Hexadecimal Base 5: Quinária Base 20 : Vigesimal Base 8: Octal Base 60 : Sexagesimal O MAIOR NÚMERO EM UMA CERTA QUANTIDADE DE ALGARISMOS BASE 10 1 algarismo 9 10 – 1 101- 1 2 algarismos 99 100 – 1 102- 1 3 algarismos 999 1000 – 1 103- 1 BASE 7 1 algarismo 6 7–1 71- 1 2 algarismos 66 7x7 – 1 72- 1 3 algarismos 666 7x7x7 – 1 73- 1 n Desta forma, se na base 10, 10 possui n+1 algarismos, sendo n a n quantidade de zeros no final do número, onde 10 - 1 é o último número com n n algarismos. Então, na base 7, 7 possui n+1algarismos, sendo n a quantidade de n zeros no final do número, onde 7 – 1 é o último número com n algarismos. TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 9 x Por isso que a , na base a, será 1 x , sendo a -1 um nú- mero com vários símbolos x – 1, ou seja, , representando o maior número de x algarismos. INTERVALO NO QUAL ENCONTRAMOS OS NUMERAIS COM UMA CERTA QUANTIDADE DE ALGARISMOS BASE 10 2 algarismos 3 algarismos 4 algarismos 10 até 99 100 até 999 1000 até 9999 2 ou [10; 10 [ ou [10 ; 10 [ ou [10 ; 10 [ 2 3 3 4 BASE 4 2 algarismos 3 algarismos Total de algarismos 100 – 10 = 90 90 x 2 = 180 1.000 – 100 = 900 10.000 – 1.000 = 9000 900 x 3 = 2700 9000 x 4 = 36000 Total de números Total de algarismos 1 2 16 – 4 = 12 12 x 2 = 24 2 3 64 – 16 = 48 48 x 3 = 144 Total de números Total de algarismos 10 até 33 ou [4 ; 4 [ 100 até 333 ou [4 ; 4 [ BASE 7 2 algarismos 3 algarismos Total de números 1 2 49 – 7 = 42 42 x 2 = 84 2 3 343 – 49 = 294 294 x 3 = 882 10 até 66 ou [7 ; 7 [ 100 até 666 ou [7 ; 7 [ Comentário 1:Nas bases de numeração, a contagem de números ou algarismos, que estão em uma certa ordem, é mais fácil quando utilizamos a potência dessas bases. Observe: Quantos números eu escrevo, na base 5, com três algarismos? Solução: Utilizando as potências, o intervalo será: [5 2; 53[ Subtraindo, teremos: 53 – 52 = 100 números. TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 10 Repare que o número 53= 125 não serve, por isso que a diferença é 100 e não 101. A quantidade de números com uma certa quantidade de algarismos, excetuando 1(um) algarismo, será: a) Par, se a base de numeração for par somente; b) Ímpar, se a base de numeração for ímpar somente; c) Par, se a base de numeração for par, e a quantidade de algarismos for par somente; d) Sempre par, independentemente da base de numeração ou da quantidade de algarismos. No sistema de numeração nosso, o total de números com 100 al99 99 garismos é dado por 9x10 , enquanto que, no sistema de base oito, será 7 x 8 . Comentário 2:Na questão anterior, trabalhamos a evidência na diferença. Observe: No sistema de base 6, o total de números com 20 algarismos é: Solução: Utilizando as potências, o intervalo será: [619; 620[ Subtraindo, teremos: 620- 619 619(6 – 1) 5 x 619. CÁLCULO DA QUANTIDADE DE NÚMEROS COM UMA CERTA QUANTIDADE DE ALGARISMOS EM QUALQUER BASE DE NUMERAÇÃO POSICIONAL Tn= (b – 1) x bn-1 Qn= (b – 1) x bn-1x n Tn= Total de números, Qn= Quantidade de algarismos e b = A base de numeração Todos de 1(um) algarismo: T1=( b – 1)x b0 Q1=( b – 1)x b0x 1 Todos de 2(dois) algarismos: T2= (b – 1)x b1 Q2=( b – 1)x b1x 2 Todos de 3(três) algarismos: T3= (b – 1)x b2 Q3=( b – 1)x b2x 3 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 11 Todos de 4(quatro) algarismos: T4= (b – 1)x b3 Q4=( b – 1)x b3x 4 Ex1.:Todos os números de três algarismos, além da quantidade de algarismos, na base: a) Dez T3= (b – 1)x b n-1 T3 = (10 -1) x 10 T3 = 9 x 10 e Q3 = 9 x 10 x 3 b) Cinco T3= (b – 1)x b c) Sete T3= (b – 1)x b 2 n-1 n-1 2 2 T3 = (5 -1) x 5 T3 = 4 x 5 e Q3 = 4 x 5 x 3 2 2 2 T3 = (7 -1) x 7 T3 = 6 x 7 e Q3 = 6 x 7 x 3 2 2 2 PARIDADE DE UM NUMERAL ESCRITO EM UMA BASE QUALQUER Para descobrirmos se um numeral é par ou ímpar, devemos distinguir se a base do sistema de numeração é par ou ímpar. Se a base de numeração é par, sua paridade dependerá do último algarismo, ou seja, se o último algarismo for par, o número será par; se o último algarismo for ímpar, o número será ímpar. Ex1.: (4301)8Este número é ímpar, pois termina em algarismo ímpar. Ex2.: (562)8Este número é par, pois termina em algarismo par. Se a base de numeração é ímpar, sua paridade dependerá da soma dos algarismos do numeral, ou seja, se a soma dos algarismos do numeral for par, o número será par; se a soma dos algarismos do numeral for ímpar, o número será ímpar. Ex1.: (6011)7Este número é par, pois a soma dos algarismos 6 + 0 + 1 + 1 é par. Ex2.: (124)7Este número é ímpar, pois a soma dos algarismos 1 + 2 + 4 é ímpar. BASES DE NUMERAÇÃO MISTA A identificação de uma base de numeração nem sempre é a quantidade de símbolos criados, pois o que determina a base de numeração é o número de unidades necessária, em uma certa ordem, para a formação de uma unidade de ordem imediatamente superior. Existem sistemas de numeração com uma certa base, mas pautada em outra base auxiliar ou, ainda, combinada e com quantidade de símbolos diferente tanto da base principal quanto da base auxiliar. Por exemplo, o sistema de numeração dos Maias é de base vigesimal com auxílio da base quinária. Este sistema possui três símbolos, sendo o TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 12 zero representado por uma concha e os outros dois símbolos, a saber, o ponto e a barra horizontal correspondendo, respectivamente, a quantidade um e cinco. A utilização destes dois últimos símbolos é, no máximo, até quatro vezes seguidos(base auxiliar 5). Números superiores a dezenove são escritos na vertical, segundo potências de vinte, em ordem, de baixo para cima (base principal 20). Observe a ilustração abaixo: Outro exemplo é o sistema de numeração dos esquimós (Inuítes) que se utiliza da base vigesimal combinada com a base quinária, porém com 20 símbolos, incluindo a representação do zero. APLICAÇÃO DA BASE DE NUMERAÇÃO MISTA 01. Foi criado um sistema de numeração posicional e horizontal com o crescimento das ordens da direita para a esquerda. No entanto, nas ordens pares, os símbolos são as nossas vogais {a, e, i, o, u}. Enquanto que, nas ordens ímpares, os símbolos são os nossos sete primeiros algarismos {0,1, 2, 3,4, 5, 6}. Desta forma, o crescimento numérico seria {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,e0, e1, e2, e3, e4, e5, e6, i0, i1, i2, i3, i4, i5, i6, o0, o1,….}. Perguntamos: a) Como seria o número 94 do nosso sistema decimal transposto para o sistema acima? Solução: Repare que a=0, e=1, i=2, o=3 e u=4. 94 7 1ª ordem(base 7) 24 13 5 3 3 2 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2ª ordem(base 5) Página 13 233 → 2o3 b) E o numeral e0a4 transposto para o sistema decimal nosso? 0 0 1 0 1 1 2 1 Solução: (e0a4) 7 x5 x4 + 7 x5 xa + 7 x 5 x0 + 7 x5 xe 4 + 0 + 0 + 245 249 Observe que, na multiplicação das bases mistas pelos algarismos, há um crescimento nos expoentes de cada base, alternadamente. NÚMEROS NATURAIS () É o conjunto de todos os números inteiros e positivos, além do zero. = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ............} NÚMEROS INTEIROS () = {........., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .........} SUCESSÃO DOS NÚMEROS É um conceito dos números naturais ou inteiros pelo acréscimo de mais uma unidade. Ex1.: O sucessor(consecutivo) do nº 7 é o nº 8; Ex2.: O antecessor do nº 7 é o nº 6. NÚMEROS PARES (2k) É um conceito dos números naturais ou inteiros, sendo estes números múltiplos de 2(dois). Ex1.:34 é par Ex2.: 3,14 não é par NÚMEROS ÍMPARES (2k+1) É um conceito dos números naturais ou inteiros, sendo aqueles que não são múltiplos de 2. TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 14 Ex1.: 19 é ímpar Ex2.: 1,9 não é ímpar SUCESSÃO DOS NÚMEROS PARES OU ÍMPARES A sucessão se dá pelo acréscimo de duas unidades. Ex1.: O par sucessor(consecutivo) do nº 4 é o nº 6. Ex2.: O ímpar consecutivo do nº 3 é o nº 5. QUANTIDADE DE NÚMEROS EM UMA SUCESSÃO DE NATURAIS É igual ao último número menos o primeiro mais um. Ex1.: De 4 até 13 13 – 4 + 1 = 10 números Nota1: A utilização das palavras inclusive (não altera a sucessão) e exclusive (exclui-se o número designado). Ex2.: De 4 exclusive a 13 inclusive = 13 – 4 + 1 – 1 Ex3.: De 4 a 13 exclusive = 13 – 4 + 1 – 1 Ex4.: De 4 a 13, ambos exclusives = 13 – 4 + 1 – 2 Nota2: Cuidado com a palavra entre, pois excluímos o primeiro e o último número. Ex5.: Quantos números há entre 4 e 13? Resposta: 13 – 4 + 1 – 2 8 números QUANTIDADE DE NÚMEROS PARES OU ÍMPARES EM UMA SUCESSÃO Começando por um número par e terminando por um número ímpar ou vice-versa, a metade dos números escritos é par e a outra metade é ímpar. Ex.: De 41 a 54 54 – 41 + 1 14 14 : 2 7 pares e 7 ímpares. TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 15 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC) Se um acontecimento é composto de etapas sucessivas, sendo que o primeiro pode ocorrer de “a” modos, se para cada um deles o segundo pode ser feito de “b” modos, se para cada um deles o terceiro pode ser feito de “c” modos, e assim por diante, o número de modos de realizar o acontecimento é o produto entre a x b x c x d x…… Ex1.: Com os algarismos 1, 2, 3 e 4, quantos números de três algarismos podem ser escritos? Solução: Um número de três algarismos Para a 1ª ordem podem ocorrer 4 possibilidades (1,2, 3, 4) Para a 2ª ordem, também: Para a 3ª ordem, também: Então: 4 x 4 x 4 = 64 números. Ex2: Na base 7, quantos números de três algarismos existem? Solução: Um número de três algarismos DEVEMOS INICIAR SEMPRE PELA ORDEM QUE NÃO PODE UTILIZAR TODOS OS ELEMENTOS DISPOSTOS. NESTE CASO, PELA 3ª ORDEM POR NÃO PODERMOS UTILIZAR O ALGARISMO ZERO. Na 3ª ordem, as possibilidades entre (0, 1, 2, 3, 4, 5, e 6) são 6(seis) Para a 2ª ordem, já podemos utilizar o zero, ou seja, 7(sete) possibilidades Por fim, na 1ª ordem, 7(sete) possibilidades Então:6 x 7 x 7 = 294 números de três algarismos na base 7. TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 16 Ex2: Na base 7, quantos números de três algarismos distintos existem? Solução: Um número de três algarismos Na 3ª ordem restrita, as possibilidades entre (0, 1, 2, 3, 4, 5, e 6) são 6(seis) Para a 2ª ordem, já podemos utilizar o zero, porém já utilizamos um dos algarismos de 1a7 Por fim, na 1ª ordem, 5(cinco) possibilidades Então:6 x 6 x 5 = 180 números de três algarismos na base 7. Ex3: Na base 8, quantos números pares distintos de três algarismos existem? Solução: Um número de três algarismos A PARIDADE DE BASES DE NUMERAÇÃO PAR É DEFINIDA PELO ÚLTIMO ALGARISMO, OU SEJA, SE O ALGARISMO FOR PAR, O NÚMERO SERÁ PAR. DESTA FORMA HÁ RESTRIÇÃO NA 1ª ORDEM (0, 2, 4, 6), ALÉM DA RESTRIÇÃO NA 3ª ORDEM (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), POIS NA BASE OITO OS ALGARISMOS SÃO: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. POR QUAL ORDEM DEVEMOS INICIAR AS POSSIBILIDADES? OBSERVE QUE EXISTE UM ALGARISMO, ISTO É, O ZERO, QUE É UM ELEMENTO DE RESTRIÇÃO TANTO NA 1ª ORDEM QUANTO NA 3ª ORDEM, POR ISSO DEVEMOS CRIAR A SUA POSSIBILIDADE ISOLADAMENTE. VEJA: Supondo como algarismo da 1ª ordem, o zero, encontraremos Na 3ª ordem, as possibilidades entre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e7)são 7(sete) Na 2ª ordem, as possibilidades entre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e7)são 6(seis) 7x6 x 1 = 42 números Agora podemos supor os outros três algarismos (2, 4, 6) como algarismo da 1ª dem TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 17 Na 3ª ordem, as possibilidades entre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e7)são 6(seis) Na 2ª ordem, as possibilidades entre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7)são 6(seis) 6x6x 3 = 108 números Resultado:42 + 108 = 150 números CARACTERÍSTICAS DO NOSSO SISTEMA DE NUMERAÇÃO OPERANDO NA ADIÇÃO OU NA SUBTRAÇÃO DE DOIS NÚMEROS DE DOIS ALGARISMOS CADA UM COM A INVERSÃO DAS ORDENS 1ª) ADIÇÃO: ab + ba Será sempre um múltiplo de onze. Demonstração: ab + ba 10a + b + 10b + a 11a + 11b 11 x (a + b) 2ª) SUBTRAÇÃO: ab – ba Será sempre múltiplo de nove. Demonstração: 9 x (a – b ) ab - ba 10a + b – (10b + a) 10a + b – 10b – a 9a – 9b FÓRMULA PARA CALCULAR A QUANTIDADE DE ALGARISMOS EM UMA SUCESSÃO DE 1 ATÉ n 11 Q = (n + 1).Kn – 111 ........ Kn Q Quantidade de algarismos n último número Kn Quantidade de algarismos de n Ex1.: Quantos algarismos eu utilizo para escrever de 1 até 315? n = 315 Kn = 3 Q = (315 + 1). 3 – 111Q = 316. 3 – 111Q = 948 – 111 Q = 837 algarismos TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 18 Ex2.: Quantos algarismos eu utilizo para escrever de 1 6 até (315)6? Solução: Esta fórmula serve para qualquer base de numeração posicional, todavia não devemos esquecer que o último número e a expressão “1111......111” deverão ser convertidos para a base decimal. Vejamos: n= (315)6 Kn = 3 Q = [(315)6 + 1]. 3 – (111)6Q = 120. 3 – 43Q = 360 – 43 Q = 317 algarismos Ex3.: Quantos algarismos eu utilizo para escrever de 113 até (72)13? n= (72)13 Kn = 2 Q = [(72)13 + 1]. 2 – (11)13Q = 94. 2 – 14Q = 188 – 14 Q = 174 algarismos QUANTIDADE DE VEZES QUE UM ALGARISMO SIGNIFICATIVO APARECE EM UMA SUCESSÃO 1º caso: Um número com apenas um algarismo significativo: Ex1.: Quantas vezes o algarismo 7 aparece na sucessão dos números naturais de 1 a2.000? Solução: Sendo de 1 até um número que possui um algarismo significativo. Dividir o número por 10 para descobrir quantas vezes ele apareceu em cada ordem, exceto a última, ou seja, 2000 : 10 = 200 2 0 0 0 200 vezes 200 vezes 200 vezes TOTAL: 600 vezes Façamos a análise do algarismo que está na última ordem. O algarismo 2 que aparece na última ordem é menor do que o algarismo que desejamos contar. Então a quantidade é zero. Se fosse o algarismo 7, por exemplo, a quantidade seria 600 + 1 = 601 vezes. TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 19 Se fosse maior do que o 7, por exemplo, o algarismo 9, a quantidade seria 600 + 1000 (milhar) , pois está na ordem das unidades de milhar, sendo a resposta 1600 vezes. 2º caso: Um número com mais de um algarismo significativo: Ex1.: Quantas vezes o algarismo 6 aparece na sucessão dos números naturais de 1 a5.400? Devemos decompor o número: 5 0 0 0 + 4 0 0 500 vezes 40 vezes 500 vezes 40 vezes 500 vezes Análise: È menor do que o algarismo solicitado. 0 Análise: È menor do que o algarismo solicitado 0 A resposta será 540 vezes na unidade simples + 540 vezes na dezena simples + 500 vezes na centena = 1.580 vezes. Ex2.: Quantas vezes o algarismo 6 aparece na sucessão dos números naturais de 1 até 3970? 3 0 0 0 + 9 0 0 + 7 0 300 vezes 90 vezes 7 vezes 300 vezes 90 vezes 300 vezes Análise É o algarismo solicitado. Observe o número que fica a direita do 9, ou seja, 70. A este número somamos a unidade. 70 + 1 71 Análise: È maior do que o algarismo solicitado. 10 vezes(dezena) Análise: È menor do que o algarismo solicitado. 0 A resposta será 397 vezes na unidade simples + 400 vezes na dezena simples + 371 vezes na centena = 1.168 vezes. TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 20 Ex3.: Quantas vezes o algarismo 6 aparece na sucessão dos números naturais de 1 até 3860? 3 0 0 0 + 8 0 0 6 0 300 vezes 80 vezes 6 vezes 300 vezes 80 vezes 300 vezes Análise: È maior do que o algarismo solicitado. 100 vezes(centena) Análise É o algarismo solicitado. Observe o número que fica a direita do 6, ou seja, 0. A este número somamos a unidade. 0 + 1 =1 Análise: È menor do que o algarismo solicitado. 0 A resposta será 386 vezes na unidade simples + 381 vezes na dezena simples + 400 vezes na centena = 1.167 vezes. Existem questões em que o examinador diz ter uma quantidade de vezes um certo algarismo significativo, e deseja saber até quando pode escrever uma sucessão de números inteiros positivos a partir do número 1. O QUADRO APLICATIVO disposto abaixo garantirá, salvo os casos em que o algarismo estiver compondo o número, uma solução para 3, 4 ou 5 algarismos, porém ressaltamos que é imprescindível que o valor de “a”, ou seja, o algarismo de maior valor relativo do numeral esteja entre 1 e 9, inclusives. QUADRO APLICATIVO NÚMERO QUANTIDADE DE ALGARISMOS EXCLUSÃO DO MAIOR VALOR RELATIVO INCLUSÃO DO MAIOR VALOR RELATIVO abc 3 20a (1≤ a ≤ 9) 20a + 100 (1≤ a ≤ 9) abcd 4 300a (1≤ a ≤ 9) abcde 5 4000a (1≤ a ≤ 9) 300a + 1000 (1≤ a ≤ 9) 4000a + 10000 (1≤ a ≤ 9) Comentário 3: Como utilizar o quadro aplicativo: 1º) A suposição de quantos algarismos possui um número deve ser menor que a quantidade de vezes dada: Ex.: “Utilizou-se do algarismo 8 por 131 vezes..........” TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 21 Resposta: Não posso supor que o número tenha 4 algarismos, porque teremos o valor de “a” menor que 1. 300a = 131 2º) Se o resultado do valor “a” for maior que 9, devemos considerar a inclusão do maior valor relativo: Ex.: “Utilizou-se do algarismo 3 por 200 vezes.........” Resposta: Supondo 3 algarismos, teremos: 20a = 200 a = 10 (não pode) INCLUSÃO DO MAIOR VALOR RELATIVO 20a + 100 = 200 a = 5 2º) Se a suposição do número for de: a) 3 algarismos, a sua configuração será: b) 4 algarismos, a sua configuração será: Ex1.: Utilizou-se do algarismo 8 por 143 vezes para enumerar as páginas de um livro. Quantas páginas possui este livro? Solução: Supor 3 algs 20a = 143 143 20 é menor do que 3 7 o algarismo 8 utilizado Verificação 730 7 0 0 + 70 vezes Resposta: 730 páginas 3 0 3 vezes 70 vezes 0 vezes Análise: È menor do que o algarismo solicitado 0 Análise: È menor do que o algarismo solicitado. 0 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO TOTAL: 143 vezes Página 22 Ex2.: Utilizou-se do algarismo 6 por 97 vezes para enumerar as páginas de um livro. Quantas páginas possui este livro? Solução: Supor 3 algs 20a = 97 é menor do 97 20 que o algaris17 4 mo 6 utilizado Repare que o resto é maior do que 9. Isto significa que o algarismo das dezenas será maior do que o algarismo 6 utilizado. Então, devemos dividi-lo por 10: 17 10 7 1 Verificação 470 4 0 0 + 7 0 40 vezes 7 vezes 40 vezes 10 vezes Análise: È menor do que o algarismo solicitado 0 TOTAL: 97 vezes Resposta: 470 páginas Ex3.: Utilizou-se do algarismo 4 por 221 vezes para enumerar as páginas de um livro. Quantas páginas possui este livro? Solução: Supor 3 algs 20a = 221 a = 11,05 (1≤ a ≤ 9) Devemos incluir o maior VR. 20a + 100 = 221 20a = 121 Verificação 610 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO 121 20 1 6 é maior do que o algarismo 4 utilizado, pois foi incluído o maior VR Página 23 6 0 0 + 1 0 60 vezes 1 vez 60 vezes 0 vezes Análise: È menor do que o algarismo solicitado. 0 Análise: È maior do que o algarismo solicitado 100 TOTAL: 221 vezes Ex4.: Utilizou-se do algarismo 1 por 154 vezes para enumerar as páginas de um livro. Quantas páginas possui este livro? Solução: Supor 3 algs 20a = 154 154 20 14 7 É maior do que o algarismo 1 utilizado, devemos então incluir o maior VR Incluindo o maior VR 20a + 100 = 154 20a = 54 54 20 14 2 Repare que o resto é maior do que 9. Isto significa que o algarismo das dezenas será maior do que o algarismo 1 utilizado. Então, devemos dividi-lo por 10: 14 10 4 Verificação 240 2 0 Resposta: 240 páginas 0 + 1 4 0 20 vezes 4 vezes 20 vezes 10 vezes Análise: È maior do que o algarismo solicitado 100 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO TOTAL: 154 vezes Página 24 Ex4.: Utilizou-se do algarismo 1 por 211 vezes para enumerar as páginas de um livro. Quantas páginas possui este livro? Solução: Supor 3 algs 20a = 211 a = 10,55 (1≤ a ≤ 9) Devemos incluir o maior VR. Incluindo o maior VR 20a + 100 = 211 20a = 111 111 20 11 5 Repare que o resto é maior do que 9. Isto significa que o algarismo das dezenas será maior do que o algarismo 1 utilizado. Então, devemos dividi-lo por 10: 11 10 1 1 Verificação 510 5 0 Se o número possui o algarismo utilizado, neste caso o 1, a verificação será incorreta. 0 + 1 0 50 vezes 1 vez 50 vezes 1 vez Análise: È maior do que o algarismo solicitado 100 TOTAL: 202 vezes Resposta: Sendo a quantidade utilizada em 211 vezes, e a calculada em 202 vezes, faltam 9 vezes. Daí, o certo seria 518 páginas, pois acrescentaríamos as páginas 511, 512, 513, 514, 515, 516, 517 e 518, ou seja, 9 algarismos 1. Ex5.: Utilizou-se do algarismo 7 por 623 vezes para enumerar as páginas de um livro. Quantas páginas possui este livro? TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 25 Solução: Supor 3 algs 20a = 623 a = 31,15 (1≤ a ≤ 9) Devemos incluir o maior VR. Incluindo o maior VR 20a + 100 = 623 20a = 523 (1≤ a ≤ 9) Devemos supor um número com 4 algarismos. Supor 4 algs 300a = 623 623 300 23 2(1º quociente) Agora devemos dividir o resto por 20 para acharmos o algarismo das centenas: 23 20 3 1(2º quociente) (1º resto ) Verificação 2130 2 0 0 0 + 1 0 0 3 0 200 vezes 10 vezes 3 vezes 200 vezes 10 vezes 200 vezes 0 vezes Análise: È menor do que o algarismo solicitado. 0 vezes Análise: È menor do que o algarismo solicitado. 0 TOTAL: 623 vezes Resposta: 2130 páginas QUANTIDADE DE VEZES QUE O ALGARISMO ZERO APARECE EM UMA SUCESSÃO A pergunta que muitos alunos nos fazem é: “Professor, numa sucessão de números inteiros de 1 até n, quantas vezes aparecem o algarismo zero? Vamos resolver uma questão, sendo n = 1.000, ou seja, de 1 até 1.000 para depois explicar melhor os porquês. TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 26 1º passo: vo. Verificar se o número n possui apenas 1(um) algarismo significatiSendo a resposta ‘sim”, pois n = 1.000, passaremos para o próxi- mo passo; 2º passo: Encontrar quantas vezes aparece o algarismo zero nas ordens inferiores, dividindo o número por dez. Observe: 1.000 : 10 = 100 vezes em cada ordem inferior: 1 0 0 0 100 100 100 Total: 300 vezes Com relação à ordem maior (milhar), devemos atribuir 1.000 vezes o aparecimento do algarismo zero, pois o algarismo no milhar 1 é maior do que 0, significando que os zeros (inúteis) já passaram pelo milhar, totalizando, até aqui, 1.000 + 300 = 1.300 vezes. Como o raciocínio é feito considerando, neste caso, de 000 a 999 (explicaremos depois), temos que analisar o(s) próximo(s) número(s), ou seja, 1.000, adicionando ao total os três zeros do número 1.000. Totalizando, até aqui, 1.300 + 3 = 1.303 vezes. 3º e último passo: Subtrair do resultado encontrado 1.111, pois o número n (1.000) possui 4 algarismos, caso fossem 3 algarismos seria 111, 5 algarismos seria 11.111 e assim por diante. 1.303 – 1.111 = 192 vezes. Vamos resolver outra questão, mas agora de 1 até 620. 1º passo: vo. Verificar se o número n possui apenas 1(um) algarismo significati- Sendo a resposta “não”, pois n = 620 (dois algarismos significativos), vamos decompor o número: 620 = 600 + 20 2º passo: Encontrar quantas vezes aparece o algarismo zero nas ordens inferiores, dividindo por dez cada parcela. Observe: TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 27 1ª parcela: 600 : 10 = 60 vezes. 6 0 0 60 60 Total: 120 vezes 2ª parcela: 20 : 10 = 2 vezes. 2 0 2 Total: 2 vezes Com relação à ordem maior, na 1ª parcela (centena), devemos atribuir 100 vezes o aparecimento do algarismo zero, enquanto que, na 2ª parcela (dezena), devemos atribuir 10 vezes. Desta forma, até aqui, totalizamos: 120 + 2 + 100 + 10 = 232 vezes. Como o raciocínio é feito considerando, neste caso, de 000 a 619 (explicaremos depois), temos que analisar o(s) próximo(s) número(s), ou seja, 620, adicionando ao total apenas um zero do número 620. Totalizando, até aqui, 232 + 1 = 233 vezes. 3º e último passo: Subtrair do resultado encontrado 111, pois o número n (620) possui 3 algarismos. 233 – 111 = 122 vezes. Por quê? Para definirmos a quantidade de um certo algarismo, estamos acostumados na contagem de 1 a 10, de 1 a 100, de 1 a 1.000 e assim por diante. Mas estes limites são desprovidos de igualdade de aparecimento dos dez algarismos do nosso sistema de numeração. Por isso, para o cálculo do algarismo zero, utilizaremos os limites como: TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 28 1 algarismo De 0 até 9 2 algarismos De 00 até 99 (ou suas variantes: 89, 79, 69, 59, 49,.............) 3 algarismos De 000 até 999 (ou suas variantes: 899, 799, 699, 599,.............) Com esta mudança das extremidades, encontraremos zeros inúteis se somando com a quantidade de zeros úteis, porém facilmente deduzidos. Observe: 2 algarismos: 00 até 99 11 zeros inúteis 3 algarismos: 000 até 999 111 zeros inúteis 4 algarismos: 0000 até 9.999 1.111 zeros inúteis OBS.: Já que a contagem natural inicia pelo 1, consideraremos o número 0 como inútil. Esta lógica nos leva a crer que a quantidade de zeros que aparecem numa sucessão de 1 até 1.000, por exemplo, seja igual ao aparecimento de todos os outros algarismos, excetuando o algarismo 1, somado a três zeros do número 1.000, quantidade de zeros do sucessor, neste caso, de 999, subtraído da quantidade de zeros inúteis, ou seja, 111. TRANSPOSIÇÃO DE SISTEMAS DE NUMERAÇÕES COM BASES DIFERENTES 1ª) BASE 10 PARA OUTRA BASE QUALQUER Consiste em transpor um número que esteja na base 10 para outra que você queira. Esta transposição é feita pela simples divisão do número que está na base 10 pela base desejada, sendo o quociente novamente dividido pela base desejada e assim sucessivamente, até a impossibilidade da divisão. Desta forma, o número transposto para outra base será composto do último quociente com os restos das divisões anteriores. Veja o exemplo: Ex.: 55 da base 10 para a base 4. 55 4 15 13 4 2 1 3 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO (312)4 Página 29 2ª) BASE QUALQUER PARA BASE 10 FORMA POLINOMIAL Consiste em transpor um número de uma base diferente de dez para a base dez. Esta transposição é feita pelo somatório das multiplicações da base pelos algarismos, obedecendo à ordem destes algarismos. Veja o exemplo: Ex.: 32 da base 5 para a base 10. (3 2)5 5 x 2 + 5 x 3 2 + 15 17 0 1 MÉTODO DE RUFFINI Consiste em uma reta vertical e duas horizontais dispostas da seguinte forma: 1ª linha Local do número A base de numeração que se encontra o número 2ª linha Parcela 3ª linha Multiplicador O cálculo pelo método de Ruffini: 1º passo: Baixamos o primeiro algarismo da esquerda do número para a 3ª linha; 2º passo: Multiplicamos a base pelo o algarismo que entrou na 3ª linha; 3º passo: O resultado da operação acima, colocamos na 2ª linha abaixo do segundo algarismo da esquerda do número; 4º passo: Somamos o segundo algarismo da esquerda do número com o resultado da operação que ficou na 2ª linha abaixo do mesmo; 5º passo: O resultado da adição acima colocamos na 3ª linha; 6º passo: Multiplicamos a base pelo resultado acima e colocamos na 2ª linha abaixo do terceiro algarismo da esquerda do número, e assim por diante.............. Último passo: Somamos o último algarismo da esquerda do número com o resultado da operação(base x 3ªlinha). O resultado é a transposição do número para a base dez. TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 30 APLICAÇÃO DO MÉTODO DE RUFFINI 1. Transpor o número (315)8 para a base dez: 1º passo 3 A base de numeração que se encontra o número 1 5 1ª linha Local do número 2ª linha Parcela 8 3 3ª linha Multiplicador 2º passo 3 1 5 1ª linha Local do número 2ª linha Parcela 8 x 3 3ª linha Multiplicador 3º passo 3 8 1 5 2ª linha Parcela 24 x 3 3ª linha Multiplicador 4º passo 3 8 1 24 x TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO 3 1ª linha Local do número 24 + 1 5 1ª linha Local do número 2ª linha Parcela 3ª linha Multiplicador Página 31 5º passo 3 8 x 1 5 1ª linha Local do número 24 200 2ª linha Parcela 3 25 3ª linha Multiplicador 3 1 5 1ª linha Local do número 24 200 2ª linha Parcela 25 205 6º passo 8 3 x 3ª linha Multiplicador Resposta: 205 3ª) BASE QUALQUER PARA OUTRA BASE QUALQUER Consiste em transpor um número de uma base diferente de dez para outra também diferente de dez. Esta transposição poderá ser feita de duas maneiras. Observe: Ex.: 432 da base 5 para a base 6. 1ª) Resolução Indireta. Consiste em transpor, primeiramente, para a base dez. (4 3 2)5 5 x 2 + 5 x 3 + 5 x 4 2 + 15 + 100 117 0 1 2 Depois transpor para a base desejada, neste caso, base 6. 117 6 57 19 6 3 1 3 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO (313)6 Página 32 2ª) Resolução Direta. A transposição direta entre bases quaisquer deve ser feita através da divisão. No entanto, a divisão é a realizada desde o primeiro algarismo de maior ordem até o último algarismo, obedecendo à base de numeração em que o número se encontra, ou seja, se o algarismo for menor que a base, devemos multiplicar este algarismo pela base que ele se encontra para que depois possamos somar com o próximo algarismo e efetuar a divisão. Veja o exemplo abaixo: Ex.: Transpor (432)5 para a base 6. 432 6 4 O número 4 não pode ser dividido por 6, por isso devemos multiplicá-lo pela base 5 para, depois, somarmos com o próximo algarismo, isto é, 3. 432 4 x 5 = 20 20 + 3 = 23 - 18 6 3 5 O número 5 não pode ser dividido por 6, por isso devemos multiplicá-lo pela base 5 para, depois, somarmos com o próximo algarismo, isto é, 2. 432 4 x 5 = 20 20 + 3 = 23 - 18 6 3 4 5x5= 25 + 2 -24 3 - 24 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 33 432 6 4 x 5 = 20 20 + 3 = 23 - 18 3 4 6 5x5= 25 + 2 3 x 5 = 15 15 + 4 19 3 -24 3 - 24 -18 1 (313)6 TRANSPOSIÇÃO DE UMA BASE PARA OUTRA SENDO ESTA UMA POTÊNCIA DAQUELA Para passar da representação b-ária de um número natural N à k sua representação b -ária, deve-se reunir, partindo da direita para a esquerda, os algarismos b-ários de N em grupos k e substituir cada um destes grupos pelo algak rismo b -ário que o representa. 2 Ex1: Transpor (102)3 para a base 9 = 3 . Sendo o expoente igual a 2, devemos agrupá-los de dois a dois algarismos, iniciando pela direita, operacionalizando como se fosse transpor de uma base qualquer para a base dez, cada grupo. 1 02 É menor que 3, então= 1 30x2 + 31x0 = 2 (12)9 Ex2: Transpor (2102)3 para a base 27 = 33 O símbolo representa a quantidade 11 2 102 É menor que 3, então= 2 30x2 + 31x0 + 32x1 = 11 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO (2)27 Página 34 Ex3: Transpor (12021)4 para a base 16 = 42 1 20 21 É menor que 4, então= 1 40x0 + 41x2 = 8 40x1 + 41x2 = 9 (189)16 TRANSPOSIÇÃO DE UMA BASE PARA OUTRA SENDO ESTA UMA EXTRAÇÃO DAQUELA Se para cada elemento da base 9 são necessários dois elementos da base 3, a recíproca é verdadeira, ou seja, a cada dois elementos da base 3 é necessário um elemento da base 9. Se para cada elemento da base 27 são necessários três elementos da base 3, a recíproca é verdadeira, ou seja, a cada três elementos da base 3 é necessário um elemento da base 27. Ex4: Transpor (36)9 para a base 3 = 3 3 0 6 3 1 6 0 (1020)3 3 2 Ex5: Transpor (11)8 para a base 2 = 1 1 É menor que 2, então =1 É menor que 2, então = 001 (1001)2 Ex6: Transpor (247)8 para a base 2 = 2 2 0 4 2 1 4 0 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2 2 0 (10100111)2 7 2 1 7 1 2 3 1 2 1 Página 35 Observe as respostas a seguir: 1ª) O quíntuplo de (103)5 é (1030)5; 2ª) O quádruplo de (2331)4 é (23310)4; 3ª) Se somarmos 7 no numeral (42)7, ele ficará com (52)7; 4ª) Se subtrairmos 6 no numeral (1231)6, ele ficará com (1221)6; 5ª) Multiplicando o numeral (211)3 por 81, teremos (2110000)3. Agora responda. Um aluno somou 64 a um numeral e encontrou o resultado (2133)4.No entanto, deveria ter multiplicado o numeral por 64, dando um valor, na base quatro, igual a (2.103.000)4. TRANPOSIÇÕES UTILIZANDO-SE DOS NÚMEROS MÁXIMOS )x xn – 1 Ex1.: Transpor o número ( )6 para a base 36, sendo a quantidade 35 representada por: Solução: 612- 1 - 1 366- 1 ()36 Ex2.: Transpor o número ( )6 para a base 216, sendo a quantidade 215 representada por : Solução: 612- 1 - 1 2164- 1 ()216 TRANSPOSIÇÃO DE BASES PELO MÉTODO DE HORNER A utilização do método de Horner nos permite expressar qualquer número de uma base qualquer para outra base qualquer. No entanto, para aplicarmos este método, é necessário que façamos uso da correção dos algarismos, quando estes estiverem maiores do que a base ou negativos. Observe: 1º) ALGARISMO MAIOR DO QUE A BASE: Ex1.: (415)3 = 32 x 4 + 3 x 1 + 30 x 5 Repare que os algarismos 5 e 4 são maiores do que a base 3. TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 36 Devemos iniciar a correção pela menor ordem, dividindo o algarismo pela base. (41 3 (4 1 3x1 + 2)3 (4 1+1 2)3 ( 2 2 )3 (3x1 + 1 2 2 )3 (1 1 2 2 )3 = 33 x 1 + 3 2 x 1 + 3 x 2 + 3 0 x 2 Ex2.: (1918)4 (1 9 1 4x2 + 0)4 (1 9 3 0)4 (1 4x2 + 13 0)4 (3 1 3 0)4 43 x 3 + 42 x 1+4x3 2º) ALGARISMO “NEGATIVO”: Ex1.: (2 1 -3 2)5 53 x 2 + 52 x 1 – 5 x 3 + 50 x 2 Repare que o algarismo da 2ª ordem é “negativo”. A correção é feita pela cessão das unidades da ordem imediatamente superior. (2 1 -3 2)5 (2 0 5 – 3 2)5 (2 0 2 2)5 53 x 2 + 5 x 2 + 50 x 2 Ex2.: (4 3 -8)6 (4 1 12 – 8 )6 (4 1 4)6 62 x 4 + 6 x 1 + 60 x 4 Agora podemos aprender o método de Horner que se utiliza de um fator, que pode ser positivo ou negativo, para multiplicar os algarismos de um número dado para a transposição. Toda vez que representarmos uma quantidade, em bases diferentes, a base maior ficará sempre com um número menor que a base menor. Observe: (311)4 = (203)5 = (125)6 = (104)7. Desta forma, se estivermos em uma base menor querendo passá-la para uma base maior, o fator será negativo. Mas se estivermos em uma base maior querendo transpô-la para uma base menor, o fator será positivo. Veja: Ex1.: Passar da base 4 para a base 5 4 -5 = -1 (fator negativo); Ex2.:Passar da base 6 para a base 4 6 – 4 = 2 (fator positivo). Entenda a engenhoca de Horner: 1ª linha Local do número O fator x Vamos transpor o número (311)4 para a base 5: 1º passo: Baixar o algarismo 3 para ser multiplicado pelo fator -1: TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 37 3 1 1 4 – 5 = -1 -1 x 3 2º passo: Colocar o resultado da multiplicação em baixo do próximo algarismo da direita para adicioná-lo. 3 1 3 -3 -2 -1 x 1 3º passo: O resultado da adição será multiplicado pelo fator e colocado em baixo do próximo algarismo da direita para adicioná-lo. 3 1 1 - -1 3 x 3 -2 2 3 4º passo: O resultado é o primeiro algarismo encontrado na base 5 (1ª ordem). 3 1 3 -3 -2 -1 x 1 2 3 5º passo: Tracemos uma nova linha para acharmos agora o algarismo da 2ª e da 3ª ordem. TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 38 3 1 3 -3 -2 -1 x 1 2 3 -3 -1 x 3 -5 Terminada a faina, vamos, caso necessite, corrigir o numeral que está na base 5. (3 -5 3)5 (2 5 – 53)5 (2 0 3)5 COMENTÁRIO 4:O método de Horner é mais apropriado para mudanças entre bases grandes com diferenças pequenas. Observe o exemplo abaixo: Ex: Convertendo (35423)1498 para a base 1500, encontraremos como soma de seus algarismos, na base dez, igual a: Solução: 3 5 4 2 3 3 -6 -1 2 6 -12 -10 20 23 3 5 4 2 3 3 -6 -1 2 6 -12 -10 20 23 3 -6 -7 14 20 -40 -50 -2 x -2 x TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 39 3 5 4 2 3 3 -6 -1 2 6 -12 -10 20 23 3 -6 -7 14 20 -40 -50 3 -6 -13 26 46 3 5 4 2 3 3 -6 -1 2 6 -12 -10 20 23 3 -6 -7 14 20 -40 -50 3 -6 -13 26 46 3 -6 -19 -2 x -2 x (3 -19 46 -50 23)1500 Corrigindo os “algarismos”, teremos um número com “5 algarismos”: (2 1481 46 1450 23)1500 A soma será 2 + 1481 + 46 + 1450 + 23 = 3.001 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 40 Imagine como seria a solução pela Resolução Direta ou Indireta. Resolva as equações abaixo pelas Resoluções Direta, Indireta e pelo Método de Horner: 1) (132)4 =x5 Resolução Indireta: (132)4 40x 2 + 41x 3 + 42 x 1 30 30 5 0 6 5 1 1 (110)5 Resolução Direta: 132 5 7 12 5 2 10 0 6 1 1 (110)5 Método de Horner: 4 – 5 = -1 Base 4 para base 5 1 3 2 1 -1 2 -2 0 1 -1 1 -1 x 2) (432)6 = x5 1975 Resolução Indireta: 60x 2 + 61x 3 + 62 x 4 164 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO (110)5 Página 41 a) 164 5 14 32 5 4 2 6 5 1 1 (1124)5 Resolução Direta: 432 5 27 52 5 14 4 12 2 12 8 3 5 (1124)5 1 Método de Horner: 6 – 5 = 1 4 3 2 7 4 4 7 4 4 11 1 (4 11 9)5 (1124)5 x 9 Comparando os sistemas de numeração decimal e romano, podemos afirmar que: IIIIIIIVV- a) b) c) d) A base é dez em ambos; São posicionais; Possuem o Princípio Aditivo; Possuem o Princípio Multiplicativo; Possuem um símbolo para o nada. São verdadeiras: II, III e IV I, II e III II, IV e V I, III, IV TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 42 Preencha com (V) Verdadeiro ou (F) Falso as sentenças abaixo: I- Entre as bases 6 e 8 teremos sempre a igualdade: 06 = 08, 16 = 18, 26 = 28, 36 = 38, 46 = 48, 56 = 58. ( V ) II- Todo numeral escrito em uma base ímpar com algarismos ímpares representará um número ímpar. ( F ) III- Sendo a, b, c e d algarismos, então: (0, a b c d)11 = . (V) IV- Se ab é um número com dois algarismos, podemos afirmar que ab = 3(a + b) e possui três soluções. ( F ) V- Todo numeral escrito em uma base par com algarismos ímpares representará um número par. ( F ) VI- Todo número inteiro positivo pode ser base de um sistema de numeração. (F) VII- Numa base b, utilizam-se b algarismos diferentes para representar a todos os números. ( V ) VIII- A decomposição em bloco de dois algarismos do número (abcde) n é abc x 2 n + cd. ( V ). IX- É correta a igualdade (88888)12 = 2 x (44444)12 . ( V ). TRANSPOSIÇÃO DE UM NÚMERO DECIMAL FRACIONÁRIO PARA UMA BASE QUALQUER OU VICE-VERSA Base 10 Dízima Finita (nº decimal exato) Dízima Periódica Simples (nº decimal inexato) Dízima Periódica Composta (nº decimal inexato) TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 43 I- TRANSPOSIÇÃO DE BASES RACIONAIS FRACIONÁRIAS 1º) Base qualquer para base 10 A base qualquer sendo uma dízima finita ou dízima periódica simples: Ex1: (24,3)5 para base 10. (Uma casa após a vírgula) Solução: 14,6 Ex2: (1,32)4 para base 10. (Duas casas após a vírgula) Solução: 1,875 Ex3: (4,3333.....)6. para a base 10. Solução: (4)6 + 4 + 0,6 = 4,6 Ex4: (11,12121212.....)4. para a base 10. Solução: (11)6 + 7+ = 7 + 0,4 = 7,4 2º) Base 10 para base qualquer A base 10 sendo uma dízima finita: Ex5: 32,5 para a base 8. (Uma casa decimal) Solução: Dividimos em duas partes: Parte Inteira (dividimos pela base desejada) e Parte Decimal (multiplicamos pela base desejada), veja: PARTE INTEIRA: 32 8 0 4 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO 40 Página 44 PARTE APÓS A VÍRGULA: 1ª ordem: 0,5 x 8 = 4,0 algarismo 4 RESULTADO (40,4)8 Ex6: 8,25 para a base 6. (Duas casas decimais) PARTE INTEIRA: 8 6 2 1 12 PARTE APÓS A VÍRGULA: 1ª ordem: 0,25 x 6 = 1,5 algarismo 1 (parte decimal 0,5 vai ser multiplicado na próxima ordem) 2ª ordem: 0,5 x 6 = 3,0 algarismo 3 RESULTADO (12,13)6 1º) Base qualquer para base qualquer: Ex5: (20,15151515.....)7. para a base 5. 14 + Solução: (20)7 + PARTE INTEIRA: = 14 + 0,25 = 14,25 14 5 4 2 24 PARTE APÓS A VÍRGULA: 1ª ordem: 0,25 x 5 = 1,25 algarismo 1 (parte decimal 0,25 vai ser multiplicado na próxima ordem) 2ª ordem: 0,25 x 5 = 1,25 algarismo 1 (vai continuar repetindo....) RESULTADO (24,11111......)5 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 45 NÚMEROS POSITIVOS MENORES DO QUE 1(UM) ……………. (0,abcde……………) k= NÚMERO EXATO: NÚMERO EXATO CONVERSÃO PARA FRAÇÃO CONVERSÃO PARA BASE DEZ SISTEMA DECIMAL (0,4)7 (0,42)7 (0,421)5 (0,ab)n (0,abc)n NÚMERO INEXATO: NÚMERO INEXATO CONVERSÃO PARA FRAÇÃO CONVERSÃO PARA BASE DEZ SISTEMA DECIMAL (0,4444......)7 (0,42424242......)7 (0,421421421........)5 (0,abababab......)n (0,abcabcabcabc..........)n TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 46 Passar (0,36)8 para a base 10 Ex1.: (0,36)8= = = 0,46875 Outra solução: (0,36)8= = = 0,46875 DECOMPOSIÇÃO DE NÚMEROS POR BLOCO Existem problemas que se apresentam com numerais com blocos de dois ou mais algarismos repetidos. Nestes casos, é importante realizarmos uma decomposição por blocos: Ex1.: 4545 4.500 + (bloco)45 102x 45 + 45. Ex2.: 201201 201000 + (bloco)201 103x 201 + 201. Ex3.: 232323 102x 2323 + 23 ou 104x 23 + 2323. Ex4.: (1414)6 62x (14)6 + (14)6. Ex5.: (abcabcabc)5 53x (abc)5 + (abc)5. COMENTÁRIO 5: A decomposição em blocos poderá ser feita independentemente da repetição dos algarismos: 35147 102x 351 + 47 ou 103x 35 + 147 ou 104x 3 + 5147. (35147)8 82x (351)8 + (47)8 ou 83x (35)8 + (147)8 ou 84x (3)8 + (5147)8. PROPRIEDADE NAS TRANSPOSIÇÕES DE BASES COM SUAS POTÊNCIAS Nas transposições de números de bases com suas potências, a soma dos algarismos será maior quanto maior for a reunião do grupo de algarismos realizados da direita para a esquerda(expoente da base). Ex1.: (abcabcabcabc)n Soma dos algarismos de n = (bc)n + (ca)n + (ab)n + (bc)n + (ca)n + (ab)n = (abc)n + (abc)n + (abc)n + (abc)n = (cabc)n + (bcab)n + (abca)n = TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO < < < <........... Página 47 NÍVEL 1 001. Transpor da base 10 para outra base qualquer menor que 10: a) 20 para base 3(terciária): Resp.: ________________________________________ b) 740 para a base 4(quaternária): Resp.: _____________________________________________ c) 5105 para a base 5(quinária): Resp.: _______________________________________________ d) 7 para a base 8(octal): Resp.: _______________________________________________ e) 5 2 para a base 2(binária): Resp.: ____________________________________________ f) 17 9 para a base 9: Resp.: ___________________________________________ g) 4 3 para a base 7: Resp.: _____________________________________________ 002. Transpor da base 10 para outra base qualquer maior que 10, adotando os seguintes símbolos, em função do aumento da base: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E,..........} a) 2210 para a base 11: Resp.: ________________________________________________ b) 36110 para a base 12: Resp.: _______________________________________________ TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 48 c) 9 para a base 15: Resp.: __________________________________________ d) 12 para a base 14: Resp.: ___________________________________________ e) 6 13 para a base 13: Resp.: ___________________________________________ 003. Transpor de uma base qualquer menor que 10 para a base 10: a) (2101)3 para a base 10: Resp.: _________________________________________ b) (10012)5 para a base 10: Resp.: ___________________________________________ c) (111)2 para a base 10: Resp.: _________________________________________ d) 79 para a base 10: Resp.: ___________________________________________ e) 4 (35) para a base 10: Resp.: ___________________________________________ f) 2 (123) para a base 10: Resp.: ____________________________________________ 004. Transpor de uma base qualquer maior que 10 para a base 10,adotando os seguintes símbolos, em função do aumento da base: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, , , θ, Ω, ☼,♀, ♫, α,.........}: TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 49 a) (107)13 para a base 10: Resp.: _______________________________________ b) (♀3)17 para a base 10: Resp.: ___________________________________________ c) (4)14 para a base 10: Resp.: ______________________________________________ d) 515 para base 10: Resp.: ____________________________________________ e) ()12 para a base 10: Resp.: ___________________________________________ f) ()16 para a base 10: Resp.: ______________________________________________ 005. Transpor de uma base qualquer para outra base qualquer, adotando os seguintes símbolos, caso haja o aumento da base: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e,..........}: a) (234)5 para a base 8: Resp.: __________________________________________ b) (1301)6 para a base 4: Resp.: __________________________________________ c) (512) para a base 8: Resp.: __________________________________________ d) (511) para a base 13: TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 50 Resp.: _________________________________________ e) (514) para a base 3: Resp.: ____________________________________________ f) 4 (57) para a base 12: Resp.: ___________________________________________ g) 3 (112) para a base 5: Resp.: ______________________________________________ h) (1b4)13 para a base 6: Resp.: ___________________________________________ i) (ca2)15 para a base 16: Resp.: ___________________________________ j) (ca2)15 para a base 11: Resp.: _________________________________________ k) (1 )3 para a base 9: Resp.: ______________________________________ 006. Passando para o sistema decimal, o maior número que se pode escrever na base 5 de quatro algarismos é o: Resp.: _________________________________________ 007. Passando para o sistema decimal, o maior número que se pode escrever na base 11 de dois algarismos é o: Resp.: _________________________________________________ TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 51 008. Passando para o sistema binário, o maior número que se pode escrever na base 4 de três algarismos é o: Resp.: __________________________________________________ 009. Quantos números de dois algarismos existem na: a) Base 10? ____________________________ b) Base 8? _____________________________ c) Base 12? ____________________________ 010. Quantos números pares de dois algarismos existem na: a) Base 10? _____________________________ b) Base 7?______________________________ c) Base 11? _____________________________ 011.Quantos números de três algarismos existem na: a) Base 10? ______________________________ b) Base 5?________________________________ c) Base 13? _______________________________ 012.Quantos números ímpares de três algarismos existem na: a) Base 10? __________________________________ b) Base 3? ____________________________________ c) Base 15? __________________________________ 013. De 1 até 2.000, na base 10, quantos: a) números existem? ________________________________ b) algarismos existem?________________________________ c) números pares existem? _____________________________ d) algarismos 1 aparecem na unidade? ___________________________ e) algarismos 1 aparecem na dezena? ____________________________ f) algarismos 1 aparecem na centena? ____________________________ TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 52 g) algarismos 1 aparecem na unidade de milhar? ___________________ h) algarismos 1 aparecem? _______________________________ i) números múltiplos de quatro aparecem? ______________________ j) algarismos 2 aparecem na unidade de milhar? ___________________ k) algarismos 3 aparecem na unidade de milhar? ______________________ 014. De 1 até 4.300, na base 10, quantos: a) números existem? ________________________________ b) algarismos existem?________________________________ c) números pares existem? _____________________________ d) algarismos 1 aparecem na unidade? ___________________________ e) algarismos 1 aparecem na dezena? ____________________________ f) algarismos 1 aparecem na centena? _____________________________ g) algarismos 1 aparecem na unidade de milhar? _____________________ h) algarismos 1 aparecem? _______________________________ i) números múltiplos de quatro aparecem? ______________________ j) algarismos 3 aparecem na centena? _________________________ k) algarismos 3 aparecem na unidade de milhar? ____________________ l) algarismos 4 aparecem na centena? _____________________________ m) algarismos 4 aparecem na unidade de milhar? _______________________ 015. De 1 até 4.500, na base 10, quantos: a) números existem? ________________________________ b) algarismos existem?________________________________ c) números pares existem? _____________________________ d) algarismos 1 aparecem na unidade? ___________________________ e) algarismos 1 aparecem na dezena? ____________________________ f) algarismos 1 aparecem na centena? ____________________________ g) algarismos 1 aparecem na unidade de milhar? __________________ h) algarismos 1 aparecem? _______________________________ i) números múltiplos de quatro aparecem? ______________________ TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 53 j) algarismos 3 aparecem na centena? _________________________ k) algarismos 3 aparecem na unidade de milhar? _________________ l) algarismos 4 aparecem na centena? _________________________ m) algarismos 4 aparecem na unidade de milhar? __________________ 016. De 1 até 7.777, na base 10, quantos: a) números existem? ________________________________ b) algarismos existem?________________________________ c) números pares existem? _____________________________ d) algarismos 1 aparecem na unidade? ___________________________ e) algarismos 1 aparecem na dezena? ____________________________ f) algarismos 1 aparecem na centena? ___________________________ g) algarismos 1 aparecem na unidade de milhar? __________________ h) algarismos 1 aparecem? _______________________________ i) números múltiplos de quatro aparecem? ______________________ j) algarismos 7 aparecem na centena? _________________________ k) algarismos 7 aparecem na unidade de milhar? ___________________ l) algarismos 6 aparecem na centena? ___________________________ m) algarismos 6 aparecem na unidade de milhar? ____________________ 017. De 400 até 7.777, na base 10, quantos: a) números existem? ________________________________ b) algarismos existem?________________________________ c) números pares existem? _____________________________ d) algarismos 1 aparecem na unidade? _________________________ e) algarismos 1 aparecem na dezena? ____________________________ f) algarismos 1 aparecem na centena? ____________________________ g) algarismos 1 aparecem na unidade de milhar? ____________________ h) algarismos 1 aparecem? _______________________________ i) números múltiplos de quatro aparecem? ______________________ j) algarismos 7 aparecem na centena? _________________________ TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 54 k) algarismos 7 aparecem na unidade de milhar? ______________________ l) algarismos 6 aparecem na centena? ______________________________ m) algarismos 6 aparecem na unidade de milhar? ____________________ 018. De 16 até 2.0006, na base 6, quantos: a) números existem? _____________________________ b) algarismos existem? ___________________________ c) números ímpares existem? _________________________ 019. De 3005 até 2.0005, na base5, quantos: a) números existem? _______________________________ b) algarismos existem? ____________________________ 020. Quantos números existem: a) de 22 inclusive até 222 inclusive? __________________________ b) de 22 exclusive até 222 inclusive? __________________________ c) de 22 inclusive até 222 exclusive? __________________________ d) de 22 até 222, ambos exclusives? ___________________________ e) entre 22 e 222? ________________________________________ 021. Transpor os números abaixo da base 3 para a base 9: a) (2222)3 : _______________________________________ b) (11111)3: _________________________ c) (1202011)3: __________________________ d) (202021121211220011012)3: _______________________________ 022. Transpor os números abaixo da base 9 para a base 3: a) (2222)9: __________________________________________ b) (1752)9: __________________________________________ TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 55 c) (888)9: _____________________________________________ d) (1234456708)9: _______________________________________ 023. Transpor os números abaixo da base 2 para a base 8: a) (10100111)2: _____________________________ b) (100110111000)2: ____________________________ c) (11)2: ___________________________ d) (1000000000000)2: ___________________________ 024. Transpor os números abaixo da base 8 para a base 2: a) (777)8: ____________________________________ b) (11)8: _____________________________________ c) (24601357)8: _______________________________ d) (1000000)8: _______________________________________ 025. Quantos números que se escrevem com três algarismos, simultaneamente, nas bases: a) 3 e 4? _____________________________________ b) 3 e 5? _____________________________________ c) 4 e 5? ______________________________________ d) 4 e 6? ______________________________________ e) 4 e 7? ________________________________ f) 4 e 8? ________________________________ g) 5, 6 e 7? _______________________________ 026. Quantos tipos são necessários para numerar as 354 páginas de um livro? Resp.:________________________________ 027. Para numerar um livro, da página de menor número de dois dígitos distintos até a de maior número de três dígitos exclusive, de quantos tipos precisamos? TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 56 Resp.:_______________________________ 028. Qual é o menor número de dois algarismos significativos? Resp.: _____________________________ 029. Qual é o menor número de dois algarismos significativos e distintos? Resp.: _____________________________ 030. Qual é o maior número de três algarismos significativos? Resp.: _____________________________ 031. Qual é o maior número de três algarismos significativos e distintos? Resp.: _____________________________ 032. Na base octal, quantos números de 4(quatro) algarismos: a) existem? _____________________________________ b) distintos existem? _______________________________ c) terminam no algarismo 3? _________________________________ d) distintos que terminam no algarismo 3? _____________________ e) ímpares existem? ________________________________________ f) distintos ímpares existem? _______________________________ g) pares existem? _________________________________________ h) distintos pares existem? ___________________________________ 033. Quantos algarismos serão necessários para escrever os números inteiros de 1 até 8.736 exclusive? Resp.: ____________________________ 034. Quantos algarismos serão necessários para escrever a sucessão dos números inteiros de 23 até 4.297? Resp.:_____________________________ 035. Quantos algarismos são necessários para escrevermos os números naturais entre 42 e 2.976? Resp.: _____________________________ TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 57 036. Quantos algarismos serão utilizados para escrever do menor número de três algarismos diferentes ao maior número de quatro algarismos significativos e distintos? Resp.:_______________________________ 037. Quantos algarismos serão necessários para escrever todos os números inteiros de 425 exclusive a 722 exclusive? Resp.:_______________________________ 038. Quantos números pares há de 21 a 238? Resp.: __________________________ 039. Quantos números ímpares há de 211 a 1.476? Resp.: _________________________ 040. Quantos números pares há de 140 a 2.470? Resp.: __________________________ 041. Quantos números ímpares há de 230 a 3.124? Resp.:__________________________ 042. Quantos algarismos eu necessito para escrever os números ímpares de 122 a 1.717? Resp.: __________________________ 043. Quantos algarismos eu necessito para escrever os números pares de 203 a 4.298? Resp.:__________________________ 044. Quantos algarismos necessito para escrever os números ímpares de 300 a 1.740? Resp.: __________________________ TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 58 045. Escrevendo a sucessão dos números naturais a partir de 1, gastei 1.236 algarismos. Até que número escrevi? Resp.: ______________________________ 046. Escrevendo a sucessão dos números naturais a partir de 1, gastei 9.265 algarismos. Qual foi o último número escrito? Resp.: __________________________ 047. Escrevendo a sucessão dos números naturais sem separar os algarismos, qual o algarismo que irá ocupar o: I- 1422º lugar: ________________________ II- 4137º lugar: ________________________ III- 50399º lugar: _______________________ 048. Escrevi de 23 até um certo número e empreguei 1.507 algarismos. Quantos números e até que número eu escrevi? Resp.:_________________________________ 049. Gastei 613 algarismos para escrever de certo número até 1.021. Qual foi o primeiro nº escrito? Resp.: _______________________________ 050. Gastei 16.151 algarismos para escrever de certo número até 4.376. Qual foi o primeiro número escrito? Resp.: ________________________________ 051.Qual é o número, no sistema decimal, que transposto para dois outros sistemas de numeração consecutivos se apresentam como a seguir? a) (443) e (333): ___________________________________ b) (606)e (454): ____________________________________ c) (733) e (577): ___________________________________ 052. Qual é o número, no sistema decimal, que transposto para dois outros sistemas de numeração pares consecutivos se apresentam como (234) e (136)? Resp.: _______________________________________________ TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 59 053. Qual o número que possui a seguinte decomposição polinomial abaixo? 4 2 3x5 +2x5 +1x5 a) (321)5 b) (3021)5 c) (30210)5 d) (3210)5 054. Convertendo para a base binária, o menor número de três algarismos: a) na base 10 que seja capicua, encontraremos: _________________ b) na base 6 que seja capicua, encontraremos: ________________ c) distintos, na base 8, encontraremos: ______________________ 055. Determinar a base do maior número de dez algarismos que é igual a ( )4: Resp.: ___________________________________________________ 50 056. Quantos algarismos teremos no resultado de 7 50 e 7 - 1, convertido para o sistema de base 7? Resp.: ___________________________________________________ 057. O número (abc3)5, quando transformado para a base 7, apareceram três algarismos iguais. A soma dos algarismos a + b + c vale: Resp.: ______________________________________________ 058. Até que quantidade de páginas podemos numerar um livro que se utilizou do dígito: a) 5 por 200 vezes na numeração das páginas? _________________ b) 2 por 200 vezes na numeração das páginas? ___________________ c) 4 por 632 vezes na numeração das páginas?_____________________ 059. Dos algarismos do nosso sistema de numeração, algumas gráficas tinham restrições de produção diária com um certo algarismo, conforme descrito abaixo. Até que número poderá fornecer por dia? TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 60 a) Gráfica ‘SEIMAT” restrição de setenta algarismos 4: __________________ b) Gráfica “GENI” restrição de sessenta algarismos 5: ___________________ c) Gráfica “TORPEDO” restrição de oitenta e dois algarismos 3: ________________ d) Gráfica “REQUENGUELA” restrição de noventa e um algarismos 1: ___________ 060. Foram digitados três trabalhos de 150 páginas cada um, numeradas de 1 até 150. Três impressoras, conforme tabela a seguir, imprimiram todo o trabalho, mas com uma certa impropriedade. Observe: IMPRESSORAS TRABALHOS DEFEITOS HG A Troca o algarismo 3 pelo 5 e vice-versa HT B Troca o algarismo 4 pelo 7 e vice-versa HB C Troca o algarismo 2 pelo 4 e vice-versa Resolvidos os defeitos de cada impressora, reimprimiram somente as páginas defeituosas de cada trabalho, que foram: a) HG = 54, HT = 55 e HB = 62; b) HG = 62, HT = 55 e HB = 54; c) HG = 55, HT = 54 e HB = 62; d) HG = HT = HB = 54. 061. Determine o número de algarismos necessários para enumerarmos um livro de: a) 200 páginas, na base 6? _______________________________________ b) 250 páginas, na base 7?_______________________________________ c) 300 páginas, na base 8? ______________________________________ d) 330 páginas, na base 9? _______________________________________ 062. De 34 a 693, qual é o inteiro que tem a sua direita: a) o dobro da quantidade de inteiros que possui a sua esquerda? ___________ b) o triplo da quantidade de inteiros que possui a sua esquerda? ___________ c) o quádruplo da quantidade de inteiros que possui a sua esquerda? _________ 063. O número α ø $ representa o número 51 escrito na base 5, então o número 35 escrito nesta mesma base ficará representado por: TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 61 Resp.: _____________________________________ 064. O número Ω ∞ representa o número 52 na base 6, então o número 62 escrito nesta mesma base ficará representado por: Resp.: _____________________________________ 065. O número abcd representa o número 360 na base 7, então o número 756 escrito nesta mesma base ficará representado por: Resp.: ______________________________ 066. (ENCCEJA) O sistema de numeração que utilizamos hoje foi criado pelos hindus e divulgado a outros povos pelos árabes, em suas viagens. Por isso, eleé conhecido como indo-arábico. Uma das características desse sistema é o chamado princípio do valor posicional. Assim, na escrita 555, o algarismo 5 pode valer 5, 50 ou 500, dependendo de sua posição. Quando escrevemos 60.789, o “valor posicional” do algarismo 6 é: a) 60 b) 600 c) 6.000 d) 60.000 067. (OM/SP) No sistema decimal de numeração, um número tem 3 classes e 7 ordens. Então, esse número tem: a) b) c) d) 3 algarismos 7 algarismos 10 algarismos 9 algarismos 068. (CESCEA/SP) A diferença entre o maior número de 4 algarismos diferentes e o menor número também de 4 algarismos diferentes é: a) 8.642 b) 8.853 c) 8.999 d) 9.000 069. (IFRN) Assinale a alternativa que apresenta o número de algarismos utilizados para numerar as 180 páginas de um livro: a) 417 algarismos TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 62 b) 427 algarismos c) 432 algarismos d) 451 algarismos 070. (UNICAMP) Um determinado ano da última década do século XX representado, na base 10, pelo número abba e outro, da primeira década do século XXI, representado, também na base 10, pelo número cddc. a) Escreva esses dois números: _________________________________ b) A que século pertence o ano representado pela soma abba + cddc? ______ 071. (OM/RN) Se o dígito 1 aparece 151 vezes na numeração das páginas de um livro, quantas páginas tem o livro? Resp.: ______________________________________ 072.(TTN) Nos sistemas de numeração posicional, cada dígito da sequência que representa o número pode ser interpretado como o coeficiente de uma potência da base, em que o valor do expoente depende da posição do dígito na sequência. Entre tais sistemas, um dos mais importantes é o binário, ou de base 2, que utiliza apenas os dígitos 0 e 1 na anotação dos números. Por exemplo, o número que corresponde a 11 do sistema decimal, é indicado por 1011 no sistema binário, pois 3 2 1 0 11(decimal) é igual a: (1 x 2 ) + (0 x 2 ) + (1x 2 ) + (1 x 2 ). Assim, o resultado, expresso no sistema decimal, da adição dos números binários 1011 e 101 será igual a: a) 16 b) 13 c) 14 d) 15 073. (CN) Se, ao efetuarmos o produto do número 13 por um número inteiro N de dois algarismos e, por engano, invertermos a ordem dos algarismos desse número N, o resultado poderá aumentar de: a) b) c) d) e) 130 260 65 167 234 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 63 074. (CMRJ) Determine o número constituído por três unidades simples, oito unidades de quinta ordem, duas centenas simples e quinze unidades de terceira ordem: a) 81.703 b) 80.353 c) 81.353 d) 80.703 075. (CMRJ) Determine qual o número formado de 14 centenas, meia unidade de 4ª ordem e 73 unidades simples: a) 14.573 b) 15.473 c) 1.973 d) 683 076. (CMRJ) Ficou resolvido que, num loteamento, a numeração contínua dos lotes teria início no número 34 e terminaria no número 576 e seria colocado um poste de luz em frente a cada lote que tivesse o algarismo 7 na casa das unidades. Sabe-se que foram comprados 73 postes, assim sendo, podemos afirmar que: a) b) c) d) e) O número de postes comprados foi igual ao número de postes necessários; Sobraram 19 postes; O número correto de postes seria 52; Deveriam ser comprados mais 458 postes; Ficariam faltando 470 postes. 077. (CMRJ) Considere a soma dos cinco maiores números naturais menores que 500, cujos numerais são escritos com algarismos diferentes. A diferença entre o valor relativo e o valor absoluto do algarismo das dezenas nessa soma é: a) b) c) d) e) 0 54 63 72 81 078. Dadas as afirmativas: I- 520 é ( )5 ; TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 64 620 – 1 é ( )6 ; III- 720 + 1 é ( )7 ; IV- 820 + 8 é ( )8 . II- Marque a opção correta: a) b) c) d) e) Todas são verdadeiras; Apenas uma é verdadeira; I e II são verdadeiras; I e III são verdadeiras; II e III são verdadeiras. 079. (CN) Se, ao multiplicarmos o número inteiro e positivo N por outro número inteiro e positivo de dois algarismos, invertermos a ordem deste segundo número, o resultado fica aumentado de 207. A soma dos algarismos que constituem o número N dá: a) b) c) d) e) 5 6 7 8 9 080. (CMRJ/96) Considere as seguintes condições: 1a) x Є {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 2a) y Є {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 3a) z Є {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 4 a) X XX + Y YY X XX Z Levando-se em conta as condições dadas, qual é o valor de X + Y + Z ? a) b) c) d) e) 11 10 9 8 7 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 65 081. (CMRJ) Em um número de dois algarismos, troca-se o algarismo das dezenas com o das unidades. O número assim obtido tem 54 unidades as menos. Sabendo que o máximo divisor comum entre os algarismos que formam o número procurado é 2, podemos afirmar que este número é: a) b) c) d) e) divisível por 31; primo; múltiplo de 41; múltiplo de 13; múltiplo de 17. 082. (CN) Um número natural de seis algarismos começa, à esquerda, pelo algarismo 1. Levando-se este algarismo 1, para o último lugar, à direita, conservando a sequência dos demais algarismos, o novo número é o triplo do número primitivo. O número primitivo é: a) b) c) d) e) 100.006 Múltiplo de 11 Múltiplo de 4 Múltiplo de 180.000 Divisível por 5 083. (CMRJ/99) Um teatro possui 785 poltronas para acomodar os espectadores, todas enumeradas de 1 a 785. Para enumerar as poltronas de numeração par são necessários: a) b) c) d) e) 785 algarismos 1.123 algarismos 2.245 algarismos 1.210 algarismos 2.355 algarismos 084. (CMRJ) Um numeral é escrito com 6 algarismos, sendo que o algarismo 1 ocupa a ordem das centenas de milhar. Se esse algarismo 1 for colocado à direita dos outros 5 algarismos, o valor do numeral original fica multiplicado por três. A diferença entre o maior e o menor dos números correspondentes a esses dois numerais é: a) b) c) d) e) 285.714 342.857 358.471 374.853 428.571 085. (CMRJ) Uma escola agrícola está participando do projeto de reflorestamento de uma estrada. Ficou decidido que a escola ficaria encarregada de plantar mudas TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 66 de árvores no trecho compreendido entre os quilômetros 54 e 285, cabendo-lhe plantar 50 mudas em cada quilômetro cuja numeração tivesse o algarismo 6 na ordem das unidades. Para isso, foram preparadas 1.000 mudas de árvores. Assim sendo, podemos afirmar que: a) b) c) d) e) deveriam ser preparadas mais 150 mudas de árvores; sobrarão 150 mudas de árvores; seriam necessárias 1.200 mudas de árvores; seriam necessárias 1.600 mudas de árvores; o número de mudas de árvores preparadas é igual ao número de mudas que serão plantadas. 086. (CMS) Nosso sistema de numeração é decimal, pois existem dez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Os computadores utilizam um sistema de numeração binário, ou seja, só utilizam dois símbolos: 0 e 1. Dessa forma, o primeiro número desse sistema é 1, o segundo é 10, o terceiro é 11, o quarto é 100, e assim por diante. O número 10.000 do sistema binário corresponde, no sistema decimal, ao número: a) 10 b) 12 c) 15 d) 16 e) 18 087. (CN) Um livro de 200 páginas vai ser renumerado no sistema de numeração de base 8. O número na base 10 de algarismos que serão utilizados é: a) b) c) d) e) 520 525 530 535 540 088. (CMS) Dado o número 256.184.309, quantas vezes o valor relativo do algarismo 8 é maior que seu valor absoluto? a) 10 b) 100 c) 1.000 d) 80.000 e) 10.000 089. (CMB) Determine o quociente e o resto, respectivamente, da divisão entre a quantidade de ordens e a quantidade de classes do número 9.876.543.210: a) 3 e 1 b) 3 e 0 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 67 c) 1 e 2 d) 2 e 1 e) 2 e 2 090. (CN) Os números naturais M e N formados por dois algarismos não nulos. Se os algarismos de M são os mesmos algarismos de N, na ordem inversa, então M + N é necessariamente múltiplo de: a) b) c) d) e) 2 3 5 7 11 091. (CMB) Marque a opção verdadeira no que tange ao número 1234567: a) b) c) d) e) Possui 3 ordens; Possui 7 classes; O valor relativo do algarismo 2 é 200000; O valor absoluto do algarismo 5 é 500; A maior classe é a dos milhares. 092. (CMBH) Um artista foi contratado para numerar as 185 páginas de um álbum, tendo sido combinado que o mesmo receberia R$ 2,00 por algarismo desenhado. Ao final de seu trabalho, este artista recebeu: a) b) c) d) e) R$ 894,00 R$ 890,00 R$ 370,00 R$ 445,00 R$ 447,00 093. (CMBH) Somando-se o antecessor de 108540 com o sucessor de 543299, obtém-se um número cujo valor relativo do algarismo da 3ª ordem é: a) b) c) d) e) 8 80 800 8000 80000 094. (CMBH) Carolina digitou um trabalho de 100 páginas, numeradas de 1 a 100, e o imprimiu. Ao folhear o trabalho, percebeu que sua impressora estava com defeito, pois estava trocando o 2 pelo 5 e o 5 pelo 2. Depois de resolver o problema, reimprimiu somente as páginas defeituosas, que eram, ao todo: a) 18 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 68 b) c) d) e) 22 32 34 36 095. (CN) Foram usados os números naturais de 26 até 575 inclusive para numerar as casas de uma rua. Convencionou-se colocar uma lixeira na frente da casa que tivesse 7 no seu número. Foram compradas 55 lixeiras, assim sendo, podemos afirmar que: a) o número de lixeiras compradas foi igual ao número de lixeiras necessárias; b) sobraram 2 lixeiras; c) o número de lixeiras compradas deveria ser 100; d) deveriam ser compradas mais 51 lixeiras; e) ficaram faltando 6 lixeiras. 096. Se (0,abababab.....)7 = (0,ba)8, os algarismos a e b valem: Resp.: _________________________________ 097. (CMS) Para numerar as páginas de um livro, necessitamos de 2001 algarismos. O número de páginas deste livro é: a) b) c) d) e) 700 701 702 703 704 098. (CMS) A quantidade de centos de laranja que há em 9682 laranjas é igual a: a) b) c) d) e) 120 60 82 96 53 099. (CMF) Uma adição é composta de quatro parcelas. Se acrescentarmos 4 ao algarismo das unidades e 5 aos algarismos das dezenas de cada parcela, então a soma será aumentada de quanto? a) 216 b) 54 c) 36 d) 9 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 69 100.(CN) Um número é composto de três algarismos, cuja soma é 18. O algarismo das unidades é o dobro do das centenas e o das dezenas é a soma do das unidades e das centenas. Qual é o número? Resp.: ____________________________________________ 101. (CMSM) Os números 48.371 e 71.834 são formados pelos mesmos algarismos. Ao determinarmos o maior e o menor número formado pelos cinco algarismos (4, 8, 3, 7 e 1), sem repeti-los, qual algarismo ocupa a mesma posição? a) b) c) d) e) 1 3 7 4 8 102. (CMB) Marcela possui uma grande quantidade de adesivos com os algarismos 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. No entanto, ela só dispõe de vinte e dois adesivos com o algarismo 2 e quinze adesivos com o algarismo 3. Até que número Marcela poderá numerar as páginas do seu novo diário usando os adesivos dos algarismos que dispõe? a) 119 b) 112 c) 62 d) 52 e) 43 103. (CMSM) Em um campeonato de ciclismo partiram mil trezentos e nove atletas. Desses, cinco centenas e quatro dezenas desistiram no meio do percurso. Quantos ciclistas completaram o percurso? a) b) c) d) e) 1.255 769 850 499 985 104. (CMR) Paulo, ao efetuar a soma entre o maior número de 5 algarismos diferentes e o menor número também de 5 algarismos diferentes, obteve o seguinte resultado: a) b) c) d) e) 67.023 69.134 108.999 111.110 153.086 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 70 105. (CMR) Subindo a escada e chegando assim ao 1º andar, as crianças encontraram uma operação escrita na parede, como o que segue: + M C M R C C M R C C M R C C M R R Na operação acima, C, M e R são algarismos distintos. Então, o valor de (C + M). R é: a) b) c) d) e) 17 18 80 81 72 106. (CN) Determinar o número de algarismos necessários para escrever os números ímpares de 5 a 175 inclusive: Resp.: _______________________________________ 107. (CMB) O número natural antecessor do algarismo das unidades do número que é o produto de 224.563.718 por 31.235.888.963.654 é igual a: a) 0 b) 1 c) 2 d) 31 108. (CMC) Renata possui uma grande quantidade de adesivos com os algarismos 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, mas dispõe somente de dezenove adesivos com o algarismo 3. Até que número Renata poderá numerar as páginas de seu fichário, começando pela página 1, usando os adesivos de que dispõe? a) 92 b) 83 c) 102 d) 93 e) 103 109. (CN) Se a, b e c são algarismos distintos, no sistema de numeração decimal 2 2 2 existe um único número de dois algarismos (ab) tal que (ab) – (ba) = (cc) . O valor de (a + b + c) é igual a: TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 71 a) b) c) d) e) 11 12 13 14 15 110. (CMPA) José deseja escrever todos os números ímpares maiores do que 10 e menores do que 1000. Ele só pode usar os algarismos 5, 6, 7, e 8; não podendo repetir algarismos num mesmo número. Quantos números ele escreverá? a) b) c) d) e) 20 18 12 8 6 111. (CMR) Rita sonhava em comprar muitos livros, pois ela adorava ler. O último livro que ela leu era numerado começando da página 1 e foram utilizados 261 algarismos. A quantidade de páginas numeradas foi: a) b) c) d) e) 123 132 237 261 321 112. (CN) Se tirarmos nove unidade de um número, encontraremos esse número escrito em ordem inversa. Se dividirmos o primeiro número pela soma de seus algarismos, encontraremos para quociente seis. Determine o primeiro número: Resp.: __________________________________________ 113. (CMCG) O produto de quatro números naturais resultou em 2.400, depois que multiplicamos o primeiro número por 2, multiplicamos o segundo número por 3, dividimos o terceiro número por 4 e dividimos o quarto número por 5. Antes dessas alterações, o valor do produto era de: a) 80 b) 720 c) 800 d) 8.000 114. (CMC) Com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 7 podemos escrever números de cinco algarismos sem repetir os algarismos. Considere o maior número par e o menor número par escritos dessa maneira, utilizando apenas os algarismos acima listados. A diferença entre eles é: a) 51.750 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 72 b) 51.768 c) 51.585 d) 51.858 115. Seja o número 1010101 numa base x qualquer, podemos afirmar que: I- a base desse número é dois; II- a base pode ser três; III- se a base for dois, o equivalente ao número dado na base dez é oitenta e dois; IV- se a base for três, o equivalente ao número dado na base dois é 1100110100. Em relação às afirmações acima, a opção correta: a) b) c) d) e) I e II I e III II e III II e IV III e IV 116.Quantos algarismos eu utilizo para escrever de 15 até (1243)5? a) b) c) d) e) 640 algarismos 440 algarismos 660 algarismos 460 algarismos 444 algarismos 117. Um instrutor do CIAA, ministrando uma aula sobre os sistemas de numeração a uma turma de especialização, disse que no sistema de numeração de base quatro, a contagem é feita do seguinte modo: 1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 23, 30, ......... e assim por diante; então, o instrutor perguntou aos alunos qual das opções abaixo é verdadeira em relação ao número quarenta e dois na base dez, quando escrito na base quatro? a) b) c) d) e) possui quatro algarismos iguais; possui três algarismos iguais; possui dois algarismos; possui três algarismos distintos; possui dois algarismos distintos. 118.(CN) Um aluno escreveu todos os números naturais de 1 até 2850. Quantas vezes escreveu o algarismo 7? TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 73 Resp.: _____________________________________________ 119.(CMPA) O produto (multiplicação) do antecessor do maior número natural par com dois algarismos iguais, pelo sucessor do maior número natural ímpar com três algarismos diferentes, será igual a: a) b) c) d) e) 85.956 97.902 85.000 86.856 95.836 120. (CMPA) A diferença entre o maior número par de cinco algarismos diferentes e o menor número ímpar de cinco algarismos diferentes é: a) b) c) d) e) 88529 78925 77777 88531 97529 121. (CMPA) No sistema de numeração decimal, o numeral que representa cinco unidades de bilhão mais duas centenas de milhão mais três dezenas corresponde a: a) b) c) d) e) 5.002.030 5.200.030 5.200.000.030 5.002.000.003 5.020.000.003 122. Achar um número de dois algarismos que seja igual a soma de todos os algarismos do sistema decimal, menos os algarismos do próprio número: Resp.: ________________________________________________ 123. (CMPA) Colocando o algarismo zero entre os algarismos 4 e 9, no número 495, o valor relativo do algarismo 4, no novo número obtido, ficará: a) b) c) d) e) aumentado de 400 centenas; diminuído de 36 centenas; aumentado de 3600 unidades; diminuído de 4000 unidades; aumentado de 1000 unidades. TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 74 124. (CN) Escrever, na base 8, o número que na base 10 se escreve 378: Resp.: _____________________________________________ 125. Passando o número (11100001011)2 para a base oito encontramos: a) b) c) d) e) 3410 3411 3412 3413 3414 126. (CMF) A quantidade de dezenas de milhar que existem em 2/5 de um bilhão é: a) b) c) d) e) 40 400 4000 40000 400000 127.(EPCAR) Sejam os números inteiros MNPQ e NMPQ, onde M, N, P e Q são algarismos distintos e diferentes de zero e N > M. Sobre a diferença (NMPQ – MNPQ), pode-se afirmar que, necessariamente, será: a) b) c) d) Ímpar Divisível por (M – N) Sempre negativa Par menor que 800 128.(CMF) Tenho um saco com 39 laranjas. A quantidade de laranjas que faltam para completar 4 dúzias é: a) b) c) d) e) 6 7 8 9 10 129. (CMS) As cadeiras de um teatro foram devidamente numeradas a partir do número 1. No total, foram pintadas a quantidade de 5.889 algarismos. Determine a soma dos algarismos do número pintado na última cadeira: a) b) c) d) 20 21 29 671 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 75 130. (CPII) As tecnologias atuais, além de tornar os equipamentos eletroeletrônicos mais leves e práticos, tem contribuído para evitar desperdício de energia. Por exemplo, o ENIAC (Eletronic Numerical Integratorand Computer) foi o primeiro computador eletrônico digital e entrou em funcionamento em fevereiro de 1946. Sua memória permitia guardar apenas 200 bits, possuía milhares de válvulas e pesava 30 toneladas, ocupando um galpão imenso da Universidade da Pensilvânia – EUA, consumia energia correspondente a de uma cidade pequena. O ENIAC utilizava o sistema numérico decimal, o que acarretou grande complexidade ao projeto de construção do computador, problema posteriormente resolvido pelo matemático húngaro John Von Neumann, que idealizou a utilização de recursos do sistema numérico binário, simplificando o projeto e a construção dos novos computadores. O sistema de numeração posicional e decimal, conhecido como base 10, utiliza dez algarismos (0 a 9) para representar números. Já o sistema de numeração posicional binário, conhecido como base 2, utiliza apenas dois algarismos (0 e 1) para representar números. Considere o número 10101101 escrito na base 2. Esse número corresponde, na base 10, ao número 1n3 em que n representa um algarismo desconhecido. Nessas condições, o algarismo n é: a) b) c) d) e) 2 3 5 6 7 131. (CMCG) O número constituído por 4 unidades de 5ª ordem, 3 unidades de milhar, 8 centenas, 4 dezenas e 7 unidades de 1ª ordem é: a) b) c) d) e) 43847 403847 538407 5384700 53874 132. Sabendo-se que (0,512512512512........)9 = (0,3232323232.......)n, o valor de n é: Resp.: ____________________________________________ 133.(CMCG) Um livro tem 137 páginas. A quantidade de algarismos necessária para numerar todas as páginas deste livro foi de: a) 137 b) 274 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 76 c) 293 d) 303 e) 411 134. (CMM) O consecutivo do maior número formado por três algarismos distintos é: a) 999 b) 988 c) 1.000 d) 987 e) 986 135. (CMM) três números naturais e múltiplos consecutivos de 5 são tais que o triplo do menor é igual ao dobro do maior. Dentre esses números, o maior é: a) ímpar; b) múltiplo de 3; c) quadrado perfeito; d) divisor de 500; e) divisível por 4. 136. (CMM) O número natural que é decomposto como 7 x 10.000 + 9 x 1.000 + 3 x 10 + 5, foi assinalado por Ivani como: a) 7935 b) 79305 c) 79350 d) 79035 e) 79053 137. (CMC) Um grande hotel, com 100 quartos, está sendo construído na praia dos Amores. Os quartos serão numerados de 1 a 100, com algarismos de metal. Seu Geraldo foi encarregado de comprar os algarismos necessários. Quantos algarismos 7 seu Geraldo deverá encomendar? a) 20 b) 10 c) 7 d) 17 e) 27 138. (UFMG) Considere-se o conjunto M de todos os números inteiros formados por exatamente três algarismos iguais. Pode-se afirmar que n ϵ M é múltiplo de: TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 77 a) b) c) d) e) 15 7 13 17 37 139. (UECE) De um número de dois algarismos, forma-se um novo de três algarismos, colocando “1” à direita do número original. O novo número é: a) b) c) d) Dez vezes o número original, mais um; Cem vezes o número original, mais um; Cem vezes o número original; O número original, mais um. 140. Um número de 3 dígitos tem, da direita para esquerda, os dígitos c, b e a, sendo c > a. Quando o número com os dígitos em posição reversa é subtraído do número original, o dígito da unidade da diferença é 4. Então os dois dígitos seguintes, da direita para a esquerda, são: a) b) c) d) 5e9 9e5 5e4 4e5 141. Considere um inteiro x e um inteiro y, este com dois algarismos. Justapondose o número y à direita do número x, encontramos um valor que excede em 248 unidades. Determine a soma x + y: Resp.: __________________________________________________ 142. A soma de todos os números inteiros positivos de dois algarismos que sejam iguais ao quádruplo da soma dos seus algarismos é: Resp.: ___________________________________________________ 143. Um estudante ao efetuar a multiplicação de 432 por certo número, obteve o número 16.416, por ter trocado, por engano, os algarismos das dezenas do multiplicador, tomando 3 em vez de 7. Encontre o verdadeiro produto: (Lembre-se que no produto, a x b, o 1º fator “a” é o multiplicando, sendo o 2º, “b” o multiplicador) Resp.: ____________________________________________________ 144. Um número é composto de dois algarismos, cuja soma é 9. Invertendo a ordem dos algarismos, obtemos um novo número igual a 4/7 do original. Qual é o número? Resp.: _____________________________________________________ TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 78 145. Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos algarismos, obtém-se um número com 18 unidades menor do que o primeiro. Se o produto de seus algarismos é 8, determine o primeiro número: Resp.: __________________________________________________ 146. Um número é composto de dois algarismos dos quais o algarismo das unidades é o triplo das dezenas. Se somarmos a esse número 18 unidades, obteremos o número escrito em forma inversa. Qual é o número? Resp.: ________________________________________________________ 147. Escrevendo a sucessão de números 0123456789101112.......... até n, utilizamos 2.053 algarismos. O último algarismo escrito foi o: Resp.: _________________________________________________________ 148. Se o quadrado de um número de dois algarismos é diminuído do quadrado do mesmo número em ordem inversa, então o resultado nem sempre é divisível: a) b) c) d) e) por nove; por onze; pela soma dos algarismos pelo produto dos algarismos pela diferença dos algarismos 149. Considere os números inteiros abc e bac, onde a, b e c são algarismos distintos e diferentes de zero, e a > b. A diferença abc – bac será sempre múltiplo de: a) b) c) d) e) 4 8 9 12 20 150. Quantos sistemas de numeração o número 200 se escreve com três algarismos? Resp.: __________________________________________________ 151. (CMRJ) Se, ao multiplicarmos o número inteiro e positivo n por outro número inteiro e positivo de dois algarismos, invertermos a ordem dos algarismos deste segundo número, o resultado fica aumentado de 261. A soma dos algarismos que constituem o número n será: a) 10 b) 11 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 79 c) 12 d) 13 e) 14 152. (CMR) Um pintor recebeu R$ 65,35 do Colégio Militar do Recife para numerar seguidamente de 48 em diante, inclusive, todas as cadeiras do auditório. Sabendo que esse serviço foi pago à razão de R$ 0,05 por algarismo, podemos afirmar que o número de cadeiras trabalhadas é: a) b) c) d) e) 453 452 1307 1259 1260 153. (CEFET/RJ) A tabela abaixo está escrito no sistema binário. Determine o último elemento que satisfaça à sequência: Resp.: _____________________________ 1010 101 10 1 1011 110 11 100 1100 111 1000 1001 1101 1110 1111 ? 154. (CMB) Um número tem dois algarismos, dividindo-os pela soma dos algarismos resulta em 4. O produto dos algarismos adicionado a 52 é igual ao próprio número escrito na ordem inversa. Qual é a diferença entre os algarismos deste número? a) b) c) d) e) 2 3 4 5 6 155.(CEFET) “O setor público registra déficit de R$ 33,091 bilhões em 1994”. Se x é igual ao número de zeros dessa quantia, desprezados os zeros dos centavos, então o número x escrito no sistema binário é: Resp.: ___________________________________ 156. Usando lâmpadas elétricas, de modo que as que estiverem acesas ( ) representem o dígito binário 1, e as apagadas o dígito binário 0. (Veja a figura abaixo) TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 80 Determine o número correspondente na base 5: Resp.: _____________________________________________________ 157. (CEFET)O número 27 está escrito no sistema de numeração decimal. Quando escrito no sistema de numeração cuja base é 4, representamo-lo por abc(4). Qual é a representação do número cba(4) no sistema decimal? Resp.: ____________________________________________________ 158. Escrevi de 18 até (abc)8. Sabendo que gastei 485 algarismos, determine a soma dos algarismos a + b + c: Resp.: ____________________________________________________ 159. Um número de quatro algarismos na base cinco é maior do que qualquer número de: a) b) c) d) e) Três algarismos na base quatro; Três algarismos na base seis; Quatro algarismos na base quatro; Quatro algarismos na base três; Dois algarismos na base doze. 160. No país do triângulo, os números 14 e 123 são escritos como indicados nas figuras A e B, respectivamente. Encontre o número representado pela figura C: Resp.: __________ 5 3 1 4 Figura A 1 2 Figura B 2 Figura C 161. Observe a igualdade: (ab)x = (cde)y . Sabendo-se que a, b, c, d e e são algarismos e x e y as bases de numeração, marque a opção correta: a) b) c) d) e) x<y x>c y< a y< d x< b TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 81 162. A soma de dois números inteiros e positivos, com dois algarismos cada um, é 58. Os quatro algarismos são distintos entre si. A soma desses quatro algarismos é: Resp.: ______________________________________________ 163. O quociente da divisão de um número N de dois algarismos pela soma de seus algarismos é 7. Qual é o número, se o dobro do algarismo das dezenas excede de 3 o triplo das unidades? Resp.: _______________________________________________ 164. Um número N é escrito na base 7 utilizando dois dígitos. Ao escrevermos o número N na base 5, encontramos os mesmos dígitos, só que em ordem invertida. Escrevendo o número N na base 3, acharemos: Resp.: ________________________________________________ 165. Considere o número decimal x,y onde x e y são algarismos diferentes de zero. Se esse número é igual a (x + y), ele está entre: a) b) c) d) 0e1 1e2 2e3 3e4 166. (CEFET) No País da Matemática, todos os números são escritos numa determinada base b. Sérgio, um de seus habitantes, compra um produto anunciado por 440 unidades monetárias, paga com uma nota de 1.000 unidades monetárias e recebe de troco 340 unidades monetárias. Determine a base b do País da Matemática: Resp.: ______________________________________________________ 167. Quantos são os números de dois algarismos que são iguais ao dobro do produto de seus algarismos? Resp.: ______________________________________________________ 168. Quantos números de dois algarismos que são iguais ao sêxtuplo do produto de seus algarismos? Resp.: _______________________________________________________ 169. Determine o valor de x, sabendo-se que (xxxx)3 = 80 : Resp.: ___________________________________________________ TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 82 170. Quantos números de dois algarismos diferentes de zero são maiores que o triplo do número que resulta da troca da posição de seus algarismos? Resp.: ____________________________________________________ 171. Sejam A e B dois números de dois algarismos cada um e A B. Sabendo-se que cada um desses números é igual ao triplo do produto de seus algarismos, qual a razão entre A e B? Resp.: _____________________________________________________ 172. Os números a = 25 e b = 52 estão escritos em um sistema de numeração cuja base é diferente de 10. Se b é o dobro de a, então a base é: Resp.: ______________________________________________________ 173. Para que (37)a= (73)b, a menor base de numeração “a” será: Resp.: _______________________________________________________ 174. Após cair no chão, uma máquina de calcular passou a apresentar o resultado das contas em outra base de numeração. AO tentar utilizá-la foram os seguintes resultados: 3 x 5 = 17 6 x 5 = 36 Se for feita a conta 4 x 5, qual será o resultado? Resp.: ____________________________________________ 175. A soma de dois algarismos de um número N é 9. Sendo N + 45 um outro número, escrito com os mesmos algarismos de N. O valor de N – 45 é: Resp.: ______________________________________ 176. Sendo x e y < 10, quantos valores podem assumir x para que 43 x=34y ? Resp.: _______________________________________ 177. Sabendo-se que a, b e c são algarismos distintos e diferentes de zero, a equação aa + bb + cc = abc, ou seja, a soma de três números de dois algarismos cada um é igual a um número de três algarismos, só acontecerá quando a soma a + b + c for igual a: Resp.: ___________________________________________ TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 83 178. Com os algarismos x, y e z formam-se os números de dois algarismos xy e yx, cuja soma é o número de três algarismos zxz. Qual é o valor da soma dos algarismos x, y e z? Resp.: ___________________________________________________ 179. Um número natural N tem três algarismos. Quando dele subtraímos 396 resulta o número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Se, além disso, a soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de N é igual a 8, então o algarismo das centenas de N é: Resp.: __________________________________________________ 180. Um sistema de numeração consiste dos símbolos , e com regras: 1ª- Não podemos ter três ou mais símbolos repetidos; 2ª- Cada vale , cada vale . Se tivéssemos a quantidade de 23 unidades de contagem (), a escrita desse sistema seria: Resp.: _______________________________________ 181. Seja o número inteiro ab, onde a e b são algarismos das dezenas e das unidades, respectivamente. Invertendo-se a posição dos algarismos a e b, obtém-se um número que excede em 27 unidades. Se a + b é um quadrado perfeito, então o algarismo b é igual a: Resp.: _______________________________________ 182. O professor Sérgio Lins, para trabalhar sistema de numeração na sala de aula, simula um motor de empacotamento de uma fábrica de lápis. Para isso, pede aos alunos que adotem o seguinte procedimento. Juntar todos os lápis que possuem, colocar cada conjunto de cinco lápis em um estojo, reunir cada conjunto de cinco estojos em um pacote e acondicionar cada conjunto de cinco pacotes em uma caixa. Num certo dia, ao final do exercício de simulação, estavam formados uma caixa, três estojos, dois pacotes e ainda sobraram quatro lápis. O total de lápis embalados pelos alunos, nesse dia, é igual a: Resp.: _____________________________________ 183. Ivan escreveu, em ordem crescente, todos os números inteiros de 1 a 2002 e obteve um número enorme: 12345678910111213141516........................200020012002 Qual é o dígito central deste número? Resp.: ______________________________________ TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 84 NÍVEL 2 184. Numa base “x”, o maior número de quatro algarismos é representado por (aaaa)x. Sendo “a” um algarismo e “x” um número natural maior do que 1, a expressão que representa este número na base decimal nossa é: 3 2 a) a(x + x + x) 2 b) (x + 1).(x + 1).(x – 1) 2 c) a(x + x + 1) 2 d) a(x + 1).(x + 1).(x – 1) 3 2 e) x + x + x +1 185.(Mag.Natal) Quando se escrevem os inteiros de 1 a 2.222, a quantidade de vezes que o algarismo zero é escrito é: a) b) c) d) 1.000 642 600 220 186. As páginas 13 e 80 estão na mesma folha (dupla) de um jornal. Quantas páginas possui o jornal? Quantas folhas? Resp.: _______________________________________________ 187. Na base dez, existem 10 números de um algarismo, 90 números de dois algarismos, 900 números de três algarismos, etc. Considere agora cada número cujo último algarismo à direita representa o número de algarismos desse número. Por exemplo: 8.104, pois o 4 é o número de seus algarismos; outro exemplo: 293, porque o 3 é o número de seus algarismos. Quantos desses números, na base dez, existem? Resp.: ________________________________________________ 188. Na base cinco, existem cinco números de um algarismo, 20 números de dois algarismos, 100 números de três algarismos, etc. Considere agora cada número TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 85 cujo último algarismo à direita representa o número de algarismos desse número. Por exemplo: (32)5, pois o 2 é o número de seus algarismos; outro exemplo: (203)5, porque o 3 é o número de seus algarismos. Quantos desses números, na base cinco, existem? Resp.: _________________________________________ 189. Numerando os setenta capítulos de um livro em algarismos romanos, quantas vezes a letra “I” precisa ser escrita? Resp.: __________________________________________ 190. Qual o número que possui a seguinte decomposição polinomial abaixo? 3 2 5 0 8x7 –2x7 +2x7 +1x7 +4x7 Resp.: __________________________________________ 191. (CMB) Um calígrafo cobra, para numerar as páginas do original de uma obra. A quantia de R$ 0,85 por cada algarismo que escreve. Para numerar uma obra, desde a página 115 até a página 1.115, ele cobrará: a) R$ 850,85 b) R$ 849,15 c) R$ 2.645,20 d) R$ 2.651,15 192. (UFMG) Sabe-se que: 1º) para escrever os números naturais de 1 a 11, são necessários 13 dígitos; e 2º) para escrever os números naturais de 1 a o número natural n, são necessários 1.341 dígitos. Assim sendo, é correto afirmar que n é igual a: a) b) c) d) 448 483 484 447 193. (CMPA) Ana escreveu, em ordem crescente, na parede de seu quarto, todos os números naturais de 1 a 100, que são múltiplos de 8 ou tem o algarismo 8. Quantos números ela escreveu? a) 31 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 86 b) c) d) e) 30 29 28 27 194. Um gigante, com mais de 2.222 algarismos, foi obtido escrevendo por ordem crescente os números naturais cujo primeiro algarismo é 2. Observe: 22021222324...........200201202...... Qual foi o 2004º algarismo a ser escrito? a) b) c) d) e) 1 2 4 9 0 195. Seja AB e BA dois números de dois algarismos, se a média aritmética entre eles é 66, então o valor de A + B é: a) b) c) d) e) 10 11 12 13 14 196. (UECE) Se a, b e c são dígitos escolhidos, aleatoriamente, no conjunto {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, então o número de seis dígitos abcabc: a) b) c) d) possui pelo menos três fatores primos; possui somente dois fatores primos; não é múltiplo de três; não é divisível por 11. 197. (FUVEST) Determine os números naturais a, b e c, sabendo que 2040 = 8a + 48b + 384c, sendo a < 6 e b < 8: Resp.: _________________________________________ 198. (UNICAMP) Os números a = 2121 e b = 136 estão escritos nos sistemas de numeração de bases 3 e 7, respectivamente. Perguntamos: 1ª) Como se procede para descobrir qual desses números é o maior? Resp.: _____________________________________________ 2ª) Determine, então, o maior deles: Resp.: ______________________________________________ TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 87 199. (IME) Calcule quantos números naturais de três algarismos distintos existem no sistema de base 7: Resp.: ______________________________________________ 200. Converta 12313210214 para a base 8: Resp.: ______________________________________________ 7 201. Determine a quantidade de algarismos que tem 64 , quando convertido para a base dois: Resp.: _______________________________________________ 3 202. O numeral 24321a ao ser convertido para a base a , a soma dos algarismos ficou igual a 180. Determine a base a: Resp.: ________________________________________________ 203. Um numeral capicua de cinco algarismos na base 3, quando convertido para a base 9, obtém-se um numeral cuja soma dos algarismos vale 11. Determine a soma dos algarismos do numeral inicial, ou seja, na base 3: Resp.: ________________________________________________ 204. Quantos numerais da forma (ababab........ab)9 com 100 algarismos existem, tal que ao ser multiplicado por (23)9, resulta em nove vezes o numeral acima, mas escrito em ordem inversa, ou seja, (bababa........ba) 9 com 100 algarismos também? Resp.: __________________________________________________ 205. Sabendo-se que o numeral (aaaa) n equivale a 78 vezes (n + 1), determine o valor da soma de a + n: Resp.: ________________________________________________ 206. Com os algarismos de um numeral N de três algarismos, na base 6, formamse todos os possíveis numerais de dois algarismos diferentes, também na base 6. Sabendo-se que N é igual a soma de todos esses numerais de dois algarismos possíveis, determine a soma dos algarismos de N: Resp.: __________________________________________________ TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 88 207. Se o número 24110, quando convertido em duas bases de numeração consecutivas obtém-se os números 361 e 287, o valor da soma desses dois sistemas de numeração consecutivos é: Resp.: ____________________________________________________ 208. Um número da forma (abab)5 é igual a um outro número de três algarismos iguais, na base 9. Além disso, os algarismos iguais da base 9 é um dos dois algarismos, a ou b, da base 5. Esse número, na base 9, poderá ser: a) b) c) d) (111)9 (222)9 (333)9 (555)9 209. Um dado foi lançado cinco vezes. O professor Iury montou uma equação com base nos cinco números sorteados no dado. Multiplicou por sete o primeiro número sorteado e somou com o segundo número sorteado. Do resultado, ele multiplicou por sete e somou com o terceiro número sorteado. Desse novo resultado, ele multiplicou por sete e somou com o quarto número sorteado. Por fim, desse novo resultado, ele multiplicou por sete e somou com o quinto número sorteado, igualando ao número 4.231. Diante das informações dadas, determine o valor do segundo número sorteado: Resp.: ________________________________________________ 2 3 210. Expressando o numeral (212113) n nas bases n e n , descobriu-se que a 3 soma dos algarismos do numeral, na base n , era o triplo da soma dos algarismos 2 do numeral, na base n . Determine n: Resp.: _____________________________________________ 211.Convertendo a soma abaixo, para uma base de numeração, que produza a maior quantidade de algarismos possível, a soma destes algarismos será igual a: (124)5 + (345)7 Resp.: ________________________________________________ 212. (CN) O cubo de 12b é 1750b. A base de numeração é: a) b) c) d) e) primo ímpar e não primo par menor que 5 par entre 5 e 17 par maior que 17 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 89 213. Se (abab)n = 221, determine o valor da base n: Resp.: ________________________________________________ 214. (CN) Considere um sistema de numeração, que usa os algarismos indoarábicos e o valor posicional do algarismo no numeral, mas numera as ordens da esquerda para a direita. Por exemplo: no número 3452 tem-se: 1ª ordem: 3 2ª ordem: 4 3ª ordem: 5 4ª ordem: 2 Além disso, cada 7 unidades de uma ordem forma uma unidade da ordem registrada imediatamente à direita. Com base nesse sistema, coloque (E) quando a operação for efetuada erradamente e (C) quando efetuada corretamente. Lendo o resultado final da esquerda para a direita, encontramos: 245 - a) b) c) d) e) 461 620 + 555 360 x 4 543 416 543 ( ( ( ) ) ) E, E, E E, C, C C, E, C C, C, E C, C, C 215. (CN) Um número de seis algarismos começa, à esquerda, pelo algarismo 1. O novo número, de seis algarismos, que se obtém transpondo o algarismo 1 para a direita é o triplo do número primitivo. Calcular o número primitivo. Resp.: _______________________________________________ 216. (IME) Seja N um número inteiro de 5 algarismos. O número P é construído agregando-se o algarismo 1 à direita de N e o número Q é construído agregandose o algarismo 1 à esquerda de N. Sabendo-se que P é o triplo de Q, o algarismo das centenas do número N é: Resp.: _______________________________________________ TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 90 217. (CN) O número natural 198 está escrito na base 10. Em quantas bases de numeração o número dado é escrito com três algarismos? a) b) c) d) e) 1 3 5 7 9 218.(CMB) Um número de três algarismos é tal que a soma dos valores absolutos desses algarismos é 12 e o algarismo das unidades é 5. Se o algarismo das unidades for colocado no lugar das centenas, o algarismo das centenas for colocado no lugar das dezenas e o algarismo das dezenas for colocado no lugar das unidades, o número diminui 54 unidades. Qual é esse número? a) b) c) d) e) 615 435 345 255 165 219. (CMCG) Quantos números racionais da forma , sendo k um número natu- ral, existem entre 1 e 100, excluindo os números 1 e 100? a) b) c) d) e) 1680 1681 1682 1683 1684 220. (CMBH) Considere um número N de dois algarismos, ab, e o número obtido após inverter a ordem destes algarismos, ba. Se efetuarmos a subtração ab – ba obtemos como resultado um cubo perfeito positivo. Assim, podemos afirmar que: a) b) c) d) e) N não pode terminar em 5; N pode terminar em qualquer algarismo, exceto 5; N não existe; Há exatamente 7 valores para N; Há exatamente 10 valores para N. 221. (CMR) A soma dos três algarismos de um numeral é 19. O algarismo das dezenas é o quádruplo do algarismo das centenas e o algarismo das unidades é o consecutivo das dezenas. A raiz quadrada desse numeral é igual a: a) 13 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 91 b) c) d) e) 14 15 16 17 222. Dado dois números ímpares p e q, com p > q, a quantidade de números pares entre eles é sempre: a) b) c) d) 223. A soma S de dois números consecutivos de dois algarismos cada um é igual ao número que se obtém pela permutação dos algarismos do maior número. A soma dos algarismos de S é: Resp.: ____________________________________________________ 224. Ao somar várias parcelas com uma máquina de calcular, cometi um erro para menos de 36 unidades. Conferindo as contas, verifiquei que havia feito uma inversão ao escrever uma das parcelas. Sabendo que um dos algarismos invertidos é o triplo do outro, podemos afirmar que o algarismo das dezenas do número que foi invertido é: Resp.: _________________________________________________ 225. Um número cujo último algarismo à direita representa o número de algarismos desse número é o 9.074, pois 4 é o número de seus algarismos, assim como os números 52 e 375.266. Quantos números desse tipo existem? Resp.: ________________________________________________ 226. A diferença entre dois números inteiros e positivos é 20. Ao multiplicar um pelo outro, um estudante cometeu um engano, tendo diminuído em 5 unidades o algarismo das dezenas do produto. Para conferir seus cálculos, dividiu o resultado obtido pelo menor dos fatores, obtendo 40 como quociente e 19 como resto. A soma dos algarismos do menor número é: Resp.: ________________________________________________ TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 92 227. O numeral 47 na base a representa o mesmo que 74 na base b. O menor valor possível para a + b é: Resp.: __________________________________________________ 228. As entradas de um circo são numeradas com 4 algarismos, assim: 0001 – 0002 – 0003 - ....... até 2000. Quantos zeros inúteis há na numeração dessas entradas? Resp.: ______________________________________________ 229. Nas divisões a seguir N = ab e P = ba são números naturais formados pelos algarismos a e b. Então N – P vale: Resp.: _____________________ N a+b P a–b 8 6 2 15 230. Escrevemos todos os números ímpares a partir do 2003 até 3003 sem separar: 200320052007.....30013003. Qual o algarismo que ocupará o 2004º lugar? Resp.: _________________________________________________ 231. A soma de todos os números de três algarismos tais que ao dividirmos cada um deles pelo número obtido ao permutarmos o primeiro e o último algarismo obtemos quocientes 3 e a soma dos algarismos dos números originais como resto é igual a: Resp.: _______________________________________________ 232. Se um número de dois dígitos é cinco vezes a soma de seus dígitos, então o número formado pela troca dos dígitos é a soma dos dígitos multiplicada por: Resp.: ________________________________________________ 233. Achar um número de dois algarismos tal que o algarismo das dezenas seja o triplo das unidades, e que subtraindo ao número 12 unidades, o resto seja igual ao quadrado do algarismo das dezenas: Resp.: _________________________________________________ 234. Um número natural N tem três algarismos, todos não-nulos. A soma dos três algarismos de N é igual a 12 e o quadrado de um desses algarismos é igual à soma dos outros dois. Assinale a única afirmativa falsa em relação a essa situação: a) N é sempre múltiplo de três; TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 93 b) O produto dos três algarismos de N sempre menor que 56; c) Três é sempre um dos algarismos de N; d) Existem 21 valores possíveis para N. 235. Chamamos de números capicuas àqueles que são lidos da esquerda para a direita, ou da direita para a esquerda, da mesma forma. Por exemplo: 404, 1221,3553, ........ Os números capicuas de quatro algarismos, tomando como base para o sistema de numeração a base b, será sempre múltiplo de: a) b) c) d) b b+1 b–1 onze 236. A soma dos três algarismos de um número é 11; o algarismo das centenas é o dobro das unidades. A raiz quadrada do número escrito em ordem inversa aumentado de 2, é igual ao quádruplo do algarismo das centenas do número dado inicialmente. Calcule este número: Resp.: ______________________________________ 237. Paulo André escreveu todos os números de três algarismos com as seguintes propriedades: Cada número consiste de três algarismos distintos e o algarismo das unidades é o quadrado do quociente do algarismo das dezenas pelo algarismo das centenas. Quantos números Paulo André escreveu? Resp.: ___________________________________________ 238. Achar um número de três algarismos significativos, na base decimal, sabendo que ao convertermos este número para a base sete, encontraremos um número, também, de três algarismos, que posicionalmente possui uma correspondência com aqueles algarismos, ou seja, o algarismo da direita da base sete é o dobro do algarismo da direita da base 10; o algarismo da esquerda da base sete é o dobro do algarismo da esquerda da base dez e, por fim, o algarismo do meio da base sete é o dobro do algarismo do meio da base dez: Resp.: __________________________________________ 239. Um certo número de três algarismos no sistema decimal aumenta de 36 unidades se invertermos a posição dos dois algarismos da direita e diminui de 270 unidades se invertermos os dois algarismos da esquerda do referido número. O que acontece ao número se invertermos os dois algarismos dos extremos? Resp.: ____________________________________________ TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 94 240. Calcule quantos números podem assumir o valor de N, sendo N um número de três algarismos que é igual a sete vezes um número de dois algarismos obtido quando apagamos algum dos algarismos de N: Resp.: ____________________________________ 241. Determine a representação de M= (14654)b na base b + 1: Resp.: ________________________________________ 242. Determine quantos inteiros positivos N de três dígitos tais que a adição de N com a soma dos seus dígitos sejam divisíveis por 11: Resp.: _________________________________________________ 243. Seja N um número de quatro algarismos. Sabe-se que a soma dos quadrados dos algarismos extremos é igual a 13; a soma dos quadrados dos algarismos do meio é 85; e, ao se subtrair 1.089 de N, o resultado é um número que possui os mesmos algarismos de N, mas em ordem contrária. O produto dos algarismos de N vale: Resp.: _________________________________________________________ 244. Se um número inteiro de dois dígitos é k vezes a soma de seus dígitos, então o número formado pela troca dos dígitos é a soma dos dígitos multiplicado por: a) b) c) d) (9 – k) (10 – k) (11- k) (k – 1) 245. Sabendo-se que a quantidade de algarismos escritos de 320 até x é a mesma que a quantidade de algarismos escritos de 1.100 até y. Sendo esta contagem progressiva e que x é um número de três algarismos e y, de quatro algarismos que somados vale 1.635, calcule o valor de y: Resp.: ___________________________________________________ 246. Enumerando-se as últimas 272 páginas de um livro, utilizou-se de 841 algarismos. Quantas vezes apareceu o algarismo 2 no total? Resp.: __________________________________________________ 247. Considere um sistema de numeração na base 9, ou seja, um sistema posicional emque cada ordem é ocupada apenas por um algarismo de 0 a 8. Por exemplo, o número (XYZ)9, onde X, Y e Z são algarismos dessa base, representa o TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 95 2 número 9 . X + 9. Y + Z na base dez usual. Nas perguntas a seguir, A, B, C, e D são algarismos desse sistema de numeração: a) É possível decidir se o número (AB1)9 é par? Justifique. Resp: _________________________________________________ b) Se C + D = 5, é possível decidir se (CD3)9 é par? Justifique. Resp.: __________________________________________________ 248. O preço de um carro usado é mostrado, em reais, em quatro cartões sobre o para-brisa. Cada cartão mostra um dígito. Se o cartão com o dígito do milhar voar com o vento, o preço mostrado será 49 vezes menor que o original. Qual o número no cartão do milhar? Resp.: ______________________________________________ 249. Um número natural de três algarismos inicia-se com 6. Se esse primeiro algarismo for colocado depois dos outros dois, o dobro do novo número formado terá 75 unidades a menos que o original. A soma desses três algarismos é: Resp.: ________________________________________ 250. Um número capicua de 5 algarismos, na base 4, quando escrito na base 16, obtém-se um número cuja soma dos algarismos é igual a 16. Determine a soma dos algarismos do número capicua da base 4: Resp.: _________________________________________________ 251. Foram arrancadas 5 folhas seguidas de um livro com 1005 folhas. As folhas remanescentes possuíam, na contagem das páginas, 6906 algarismos. Determine a primeira página arrancada deste livro: Resp.: _________________________________________________ 252. Existem dois números com as seguintes características: Possuem três algarismos significativos e distintos, podendo obter três números de dois algarismos cada um suprimindo o algarismo das centenas, das dezenas e das unidades. A soma destes três números é a metade do número de três algarismos inicial. O MDC dos dois únicos números com tais características é: Resp.: _______________________________________ TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 96 253. O número ( 27 escrito no sistema de numeração de base 9, teremos como a soma de seus algarismos igual a: Resp.: _________________________________________ 254O número ( )4 escrito no sistema de numeração de base 8, tere- mos como a soma de seus algarismos igual a: Resp.: ______________________________________ 255. Quantos números inteiros e positivos menores do que 1.000.000 existem cujos cubos terminam em 1? Resp.: ___________________________________________ 256. Um motorista viaja a uma velocidade constante e passa por um marco (em km) contendo dois algarismos. Uma hora depois passa por outro marco, contendo os dois algarismos na ordem inversa. Uma hora depois, passa por um terceiro marco, contendo os mesmos algarismos separados por um zero. Qual é a sua velocidade? Resp.: ________________________________________ 257. No Jardim dos Números, os algarismos * e ! passeavam a uma velocidade constante. Às 14 horas já tinham percorrido *! metros e às 14 horas e 42 minutos, !* metros e às 15 horas, *0! metros. Sabendo que o número *0! O algarismo das dezenas é zero, mas o das centenas não, a que horas começou o passeio? Resp.: _______________________ 3 258. O número (3002012001) n escrito na base n , obtém-se um número cuja soma dos algarismos é igual a 13. Determine n: Resp.: _____________________________________ 259. Um número N possui três algarismos na sua representação na base 7. Quando representamos na base 9, os algarismos são os mesmos da representação na base 7 só que invertidos. Qual é a representação de N na base 10? Resp.: _____________________________________ 260. Sendo a, b e c três algarismos distintos pertencentes aos três números abaixo: III- A = (abc)3 B = (abc)4 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 97 III- C = (abc)5 Os valores de 3A, 4B e 5C podem ser: a) b) c) d) (abcc)3 ; (abcb)4 e (abca)5 (abca)3 ; (abca)4 e (abca)5 (abcb)3 ; (abcb)4 e (abcb)5 (abcc)3 ; (abcc)4 e (abcb)5 261. Dois operários vão pintar os números dos armários de uma escola. Enquanto o mais velho dos pintores pinta cinco algarismos, o mais novo só consegue pintar quatro algarismos. O pintor mais novo começou pelos números mais baixo 1, 2, 3, 4, ........ O pintor mais velho começou pelo último armário, que possui três algarismos, e foi pintando em ordem decrescente, até encontrar seu colega. No final, duas coincidências se verificaram: 1ª) Os dois pintores acabaram, ao mesmo tempo, cada um em seu armário; 2ª) Os dois pintaram o mesmo número de armários. Quantos armários há na escola? Resp.: ____________________________________ 262. Se, na base 3, a representação decimal de um número N é igual a 12112211122211112222, o primeiro algarismo (à esquerda) do número N quando escrito na base 9 é igual a: Resp.: _______________________________________ 263. Dois irmãos escrevem as suas idades, uma a seguir à outra, e obtém um número com 4 algarismos que é exatamente o quadrado da idade do seu pai. Nove anos mais tarde voltam a escrever as suas idades, pela mesma ordem, obtendo novamente um número de 4 algarismos que é o quadrado da idade do seu pai. Qual é a diferença de idade entre os dois irmãos? Resp.: __________________________________________ 264. A República do SEIMAT criou um novo sistema de numeração que acrescenta três novos símbolos à nossa escala decimal. Dessa forma, seu sistema de numeração ficou: NOSSO 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 SEIMAT 0 1 2 3 X 4 5 Y 6 7 8 Z 9 10 11 12 Sabendo-se que o nosso número 20 é representado por 1Y, e o número 100 é representado por Y7, o valor do quadrado de 1X, na notação do SEIMAT, é: Resp.: ____________________________________ TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 98 57.885.161 265. Sabe-se que o número 2 – 1 é um número primo com 17.425.170 algarismos. Quando escrito na base 8 o seu primeiro algarismo contado da esquerda para a direita é igual a: Resp.: ___________________________________ 266. Considere os números abaixo, dados na base 2: N1= (1a101a201)2 N2= (1a3011a4)2 N3= (111a50a61)2 Sabendo que N1 + N2= N3, obtém-se então que o número N= (1a6 a3 a4 a2 a5 a1)2 escrito na base 10 é: Resp.: ____________________________________ 267. Um programador precisa criar um sistema que possa representar, utilizando apenas sete dígitos, todos os números naturais que usam até 14 dígitos na base 10. Sua ideia é substituir o sistema de numeração de base 10 por um sistema de base b (ele tem como criar símbolos para os algarismos de 0 até b – 1 ). Exemplo: 00124953318622 número x na base 10, daí número x na base b. Qual o menor valor aceitável para a base b? Resp.: ______________________________________ 268. Quantos números naturais de 4 algarismos, escrito na base 10, que são iguais ao cubo da soma de seus algarismos? Resp.: _____________________________________________ 269. Se o produto (2 resultado é igual a: 2013 + 1).(2 2012 – 1) é escrito na base 2. O número de zeros no Resp.: ___________________________________________ 270. Se nós escrevermos de 1 até n, sendo n um número de: a) 2 algarismos(ab), teremos a seguinte expressão: Solução: QUANTIDADE 1 até 9 10 até ab 1 até ab RESULTADO Números 9 (ab – 10 + 1)= ab – 9 (ab – 1 + 1) ab Algarismos 9x1=9 (ab – 10 +1) x 2 (ab – 9)x 2 + 9 2ab – 18 + 9 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 99 Desenvolvendo o resultado acima: 2ab – 18 + 9 2ab – 9 Utilizando o artifício de somar duas unidades tanto no minuendo quanto no subtraendo, encontraremos: (2ab + 2) – (9 + 2) (ab + 1)x 2 – 11 b) 3 algarismos (abc), teremos a seguinte expressão (pratique): Solução: QUANTIDADE 1 até 9 10 até 99 100 até abc 1 até abc RESULTADO Números Algarismos Desenvolvendo o resultado acima: Utilizando o artifício de somar três unidades tanto no minuendo quanto no subtraendo, encontraremos: 271. Em que sistema de numeração, a quantidade de números de três algarismos que se utilizam somente um algarismo 2(dois), excede em 35 a quantidade de números de três algarismos que se utilizam somente o algarismo 0(zero)? Resp.: _______________________________ 272. Se um número N, que está escrito na base “a”, convertermos para o sistema 4 de base a , obtém-se um número cujo símbolo que está na 2ª ordem representa a quantidade 32. Achar o valor de “a”: (21033301121221)a Resp.: _______________________________ 273. O maior numeral de três algarismos diferentes numa certa base de numeração “n”, escreve-se na base 6(seis) como (313)6. Determine esta base “n”: Resp.: _______________________________ TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 100 274. Um certo número de três algarismos no sistema decimal aumenta de 45 unidades se invertermos a posição do algarismo das unidades com a das dezenas e diminui de 270 unidades se invertermos os algarismo das dezenas com os das centenas do referido número. O que acontece ao número se invertermos os dois algarismos dos extremos? a) b) c) d) e) Aumenta em 162; Diminui em 162; Aumenta em 189; Diminui em 198; Aumenta em 198. 275. Se abcd = 2 x ab x cd, achar a soma de a + b + c + d: Resp.; _______________________________ 276. Quantos números de dois algarismos são iguais a K vezes o produto de seus algarismos (k )? Resp.: ____________________________________________________________ 277. Se um número possui 6 algarismos no sistema de base três. Quantos algarismos terá no sistema de base onze? Resp.: ________________________________ 278. Sendo os seguintes numerais (n32q)m ; (p21)n ; (n3m)6 e (1211)p, calcule o valor máximo da soma m + n + p + q, sabendo que m ≠ n ≠ p ≠ q: Resp.: _________________________________ 279. Determine a base de numeração que tenha como seu maior número de 20 algarismos equivalendo a: Resp.: ______________________________ 280. Observando o número N abaixo, que valor devemos substituir em “a”, para que a conversão do número N para a base decimal termine em zero? N=( a)6 Resp.: _____________________________ 281. Quantas páginas possui um livro, sabendo-se que a numeração das suas 365 últimas páginas se utilizaram 1.340 tipos? Resp.: ______________________________ TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 101 1 2 3 4 5 6 282. Ao escrevermos a seguinte sequência: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ;................; abc (abc) , onde a, b e c são algarismos, empregamos 522 algarismos. Determine o valor da soma a + b + c: Resp.: ______________________________ 283. Em que sistema de numeração existem: a) Vinte números capicuas de três algarismos? Resp.: ________________________________ b) Quarenta e dois números de quatro algarismos? Resp.: _________________________________ c) Cento e oitenta números capicuas de cinco algarismos? Resp.: _________________________________ 284. Sabendo-se que para enumerar a quarta parte da quantidade de páginas de um livro, empregaram-se 342 algarismos. Quantos algarismos empregar-se-iam para enumerar todo o livro? Resp.: __________________________________ 285. Na numeração de 5ab páginas de um livro, utilizou-se 15ab algarismos. Sendo a e b algarismos do sistema decimal, determine a sua soma: Resp.: ____________________________________ 286. Perguntaram a um homem de 59 anos, quais as idades de seus filhos. Ele respondeu: “A idade de um deles é igual a três vezes a soma dos algarismos de sua idade, mais 1(um), e a idade de cada um dos outros é igual a três vezes a soma dos algarismos de cada filho, mais 3(três). Quantos filhos tem o homem e quais suas idades? Resp.: ________________________________________ TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 102 NÍVEL 1 SISTEMA DE NUMERAÇÃO GABARITO 001. a) 202 b) 23.210 c) 130.410 d) 7 e) 100.000 f) 100.000.000.000.000.000 g) 144 002. a) 172A b) 19A92 c) 9 d) C e) 1.000.000 003. a) 64 b) 632 c) 7 d) 7 e) 81 f) 25 004. a) 176 b) 258 c) 67 d) 5 e) 10 f) 10 005. a) 105 b) 11.011 c) 5 d) 5 e) 12 f) 441 g) 102 h) 1.244 i) b24 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO j) 2.163 k) (1 006. 007. 008. 009. 010. 011. 012. 013. 014. ) 624 120 111.111 a) 90 b) 56 c) 132 a) 45 b) 21 c) 55 a) 900 b) 100 c) 2.028 a) 450 b) 9 c) 1.575 a) 2.000 b) 6.893 c) 1.000 d) 200 e) 200 f) 200 g) 1.000 h) 1.600 i) 500 j) 1 k) zero a) 4.300 b) 16.093 c) 2.150 Página 103 ARITMÉTICA EXAUSTIVA d) 430 e) 430 f) 500 g) 1.000 h) 2.360 i) 1.075 j) 500 k) 1.000 l) 400 m) 301 015. a) 4.500 b) 16.893 c) 2.250 d) 450 e) 450 f) 500 g) 1.000 h) 2.400 i) 1.125 j) 500 k) 1.000 l) 500 m) 501 016. a) 7.777 b) 30.001 c) 3.888 d) 778 e) 780 f) 800 g) 1.000 h) 3.358 i) 1.944 j) 78 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO 017. 018. 019. 020. 021. 022. k) 778 l) 800 m) 1.000 a) 7.378 b) 28.912 c) 3.689 d) 738 e) 740 f) 700 g) 1.000 h) 3.178 i) 1.845 j) 78 k) 778 l) 800 m) 1.000 a) 432 b) 1.473 c) 216 a) 176 b) 674 a) 201 b) 200 c) 200 d) 199 e) 199 a) 88 b) 144 c) 1.664 d) 22.247.756.135 a) 2.020.202 b) 10.211.202 c) 222.222 Página 104 ARITMÉTICA EXAUSTIVA 023. 024. 025. 026. 027. 028. 029. 030. 031. 032. 033. 034. 035. d) 1.021.011.111.220.210.022 a) 247 b) 4.670 c) 3 d) 10.000 a) 111.111.111 b) 1.001 c) 10.100.110.000.001.011.101.111 d) 1.000.000.000.000.000.000 a) 11 b) 2 c) 39 d) 28 e) 15 f) NENHUM g) 76 954 2.877 11 12 999 987 a) 3.584 b) 1.470 c) 448 d) 180 e) 1.792 f) 720 g) 1.792 h) 750 33.833 16.046 10.718 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO 036. 037. 038. 039. 040. 041. 042. 043. 044. 045. 046. 047. 048. 049. 050. 051. 052. 053. 054. 055. 38.202 891 109 633 1.166 1.447 2.753 7.794 2.530 448 2.595 I- 4.581 II- 15.441 III- 240.889 528 nos e 551 825 119 a) 171 b) 300 c) 475 94 C a) 1.100.101 b) 100.101 c) 1.000.010 ( )64 056. 51 e 50 057. 5 (a = 1, b = 4 e c = 0) 058. a) 581 b) 501 c) 2.146 059. a) 344 b) 300 Página 105 ARITMÉTICA EXAUSTIVA 060. 061. 062. 063. 064. 065. 066. 067. 068. 069. 070. 071. 072. 073. 074. 075. 076. 077. 078. 079. 080. 081. 082. 083. 084. c) 319 d) 154 c a) 560 b) 696 c) 356 d) 402 a) 254 b) 165 c) 132 $ Ω cabd d b b c a) 1991 e 2002 b) XL 218 a e a c b c b a b c b b a TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO 085. 086. 087. 088. 089. 090. 091. 092. 093. 094. 095. 096. 097. 098. 099. 100. 101. 102. 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116. 117. a d c d e e c a c e d a=4eb=5 d d a 396 d d c c c 207 b a d b a 54 b d d a b Página 106 ARITMÉTICA EXAUSTIVA 118. 119. 120. 121. 122. 123. 124. 125. 126. 127. 128. 129. 130. 131. 132. 133. 134. 135. 136. 137. 138. 139. 140. 141. 142. 143. 144. 145. 146. 147. 148. 149. 150. 865 A A C 36 C 572 d d d d b e a 6 d b b d a e a b 52 (x = 2 e y = 50) 120 (nos 12, 24, 36 e 48) 33.696 63 42 13 0 d c 9 (base 6 até a base 14) TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO 151. 152. 153. 154. 155. 156. 157. 158. 159. 160. 161. 162. 163. 164. 165. 166. 167. 168. 169. 170. 171. 172. 173. 174. 175. 176. 177. 178. 179. 180. 181. 182. 183. b a 10.000 c 111 140 57 10 (a = 2, b = 7 e c = 1) d 20.035 b 13 63 122 c 8 1 (nº 36) 1 (nº 12) 2 6 (51, 61, 71, 81, 91 e 92) 5/8 8 22 24 (base 8) -18 1 (base 7) 18 12 (x = 2, y = 9 e z = 1) 6 Ω Ω 6 194 1 Página 107 ARITMÉTICA EXAUSTIVA NÍVEL 2 184. 185. 186. 187. 188. 189. 190. 191. 192. 193. 194. 195. 196. 197. 198. 199. 200. 201. 202. 203. 204. 205. 206. 207. 208. 209. 210. b b 92 páginas e 23 folhas 100.000.000 125 98 (210.541)7 d b e b c a a = 3, b = 2 e c = 5 1ª) Convertendo para a mesma base; 2ª) b 180 1.557.111 43 7 7 (a = 2, b = c = 1) Dois (a = 1 e b = 3 / a = 2 e b = 6) 8 (a = 3 e n = 5) 10 (a = 3, b = 5 e c = 2) 17 b 5 5 TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO 211. 212. 213. 214. 215. 216. 217. 218. 219. 220. 221. 222. 223. 224. 225. 226. 227. 228. 229. 230. 231. 232. 233. 234. 235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 242. 243. 5 d 4 e 142.857 8 e a c d e b 10 (nº 73) 6 100.000.000 5 (nº 23) 24 1.107 27 3 1.323 6 93 b b 452 4 (nos 481, 518, 592 e 629) 312 Diminui em 99 unidades 2 (nos 105 e 350) 10.012 40 252 Página 108 ARITMÉTICA EXAUSTIVA 244. 245. 246. 247. 256. 257. 258. 259. 260. 261. 262. 263. 264. 265. 266. 267. 268. 269. c 1.192 52 a) Sim, se a soma de A + B for ímpar b) Sim, pois a soma C + D + 3 é par 6 15 (nº 627) 10 (nº 31.213) 97 6 200 232 10 (nos 1, 113, 213, 313, 413, 513, 613, 713, 813 e 913) Todos esses nos são menores que 1003 = 1.000.000 45 km/h 13h 48 min 5 248 c 360 5 5 173 3 100 100 2 (nos 5.832 e 4.923) 1( ) 270. 271. 272. 273. (abc + 1) x 3 – 111 8 5 5 248. 249. 250. 251. 252. 253. 254. 255. TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO 274. 275. 276. 277. 278. 279. 280. 281. 282. 283. e 11 (ab = 13 e cd = 52) 5 (nos 11, 12, 15, 24 e 36) 3 14 105 4 1.184 6 (a = 1, b = 2 e c = 3) a) 5 b) 7 c) 6 284. 1.692 285. 9 (a = 5 e b = 4) 286. 3 filhos; 12, 13 e 39 anos FIM Página 109 ARITMÉTICA EXAUSTIVA REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [01] –A.C. Morgado, E.Wagner, M.Jorge/Álgebra I – Livraria Francisco Alves Editora S.A. [02] – AndreescTitu e Andrica, Doria/360 Problems for MathematicalContests – GIL PUBLISHING HOUSE [03] – Aritmética Teoria com 8.000 Problemas Propuestos y Resueltos – EDITORIAL SAN MARCOS [04] – Arica, Roberto Placencia/ Problemas de Aritmética y CómoResolverlos – RACSO EDITORES [05] –AsociaciónFondo de Investigadores y Editores / Compendio Acadêmico de Matemática. Aritmética – EDITORA LUMBRERAS [06] – AsociaciónFondo de Investigadores y Editores / Análisis Del Número y suas Aplicaciones – EDITORA LUMBRERAS [07] – Ávila, Roberto / Teoria e Questões de Matemática. TQM – [08] – Barros, Dimas Monteiro / Matemática Financeira Para Concursos – EDITORA NOVAS CONQUISTAS [09] - Brandão, Marcius / Matemática Conceituação Moderna – EDITORA DO BRASIL S.A. [10] – De Souza, Francisco / Tópicos de Álgebra e Aritmética – EDITORA MOANDY [11] – De Souza, Renato Carneiro/ Teoria dos Números - EDITORA VESTSELLER [12] – Carneiro, Emanuel; Paiva, Francisco Antônio e Campos, Onofre/ Olimpíadas Cearenses de Matemática – REALCE EDITORA & IND. GRÁFICA LTDA [13] – Carvalho, Thales Mello / Matemática para os Cursos Clássico e Científico – COMPANHIA EDITORA NACIONAL [14] – Compendio de AritméticaS – EDITORIAL SAN MARCOS [15] – Csosta, Benjamim Cesar de Azevedo / Matemática Geral e Financeira – EDITORA OFICINA DO AUTOR TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 110 ARITMÉTICA EXAUSTIVA [16] – De Souza, Francisco / Tópicos de Álgebra e Aritmética – EDITORA MOANDY [17] – Filho, Edgar de Alencar / Teoria Elementar dos Números – LIVRARIA NOBEL S.A. [18] – Garcia, Antonio Carlos de Almeida e Castilho, João Carlos Amarante/ Matemática no Vestibular – EDITORA CIÊNCIA MODERNA [19] – G.N. Medviédev/ Olimpiadas Y Exámenes de Admisión - URSS [20] – Góes, Hilder; Tonar, Ubaldo / Matemática Para Concursos – EDITORA E GRÁFICA ABC FORTALEZA LTDA [21] – Lociks, Julio / Matemática Financeira Para Concursos – EDITORA VESTCOM [22] – Maeder, Algacyr Munhoz / Curso de Matemática (1º Livro Colegial) EDIÇÕES MELHORAMENTOS [23] – Maeder, Algacyr Munhoz / Lições de Matemática – EDIÇÕES MELHORAMENTOS [24] – Marcondes, Oswaldo / Matemática – 1ª série ginasial – EDITORA DO BRASIL S.A. [25] – Mendes, Ivan Figueira / Matemática Para os Concursos de Admissão ao 6º ano dos Colégios Militares – EDITORA CIÊNCIA MODERNA [26] – Mendes, Ivan Figueira; KersnowskyIury / Aritmética Elementar – EDITORA XYZ [27] – Neto, João Lúcio de Alencar / Matemática Vestibulares e Concursos – EDIÇÕES CAE [28] – Netto, Sergio Lima/ A Matemática no Vestibular do IME - EDITORA VESTSELLER [29] – O´Reilly, Newton / Caderno de Aritmética – EDITORA MINERVA. [30] – Pessoa, Paulo / Problemas de Aritmética – EDITORA J. OZON EDITOR [31] – Pessoa, Paulo / Questões de Exames. Aritmética – LIVRARIA FRANCISCO ALVES EDITORA S.A. [32] – Pirajá, Maurício / Problemas Resolvidos de Matemática – LIVRARIA FREITAS BASTOS S.A. [33] – PolcinoMilies; Sonia Pitta Coelho / Números, uma Introdução à Matemática – EDITORA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 111 ARITMÉTICA EXAUSTIVA [34] – Polya, George / A Arte de Resolver Problemas – INTERCIÊNCIA [35] - Quintella, Ary / Matemática – 1ª série ginasial – COMPANHIA EDITORA NACIONAL [36] – Quintella, Ary / Matemática – 3ª série ginasial – COMPANHIA EDITORA NACIONAL [37] – Quintella, Ary / Matemática – 2º ano – COMPANHIA EDITORA NACIONAL [38] – Reunião dos Professores / Elementos de Arithemética – LIVRARIA FRANCISCO ALVES E CIA [39] – Revista do Professor de Matemática – SBM, Rio de Janeiro [40] – Revista Eureka – SBM, Rio de Janeiro [41] – Rodrigues, J.J.Neves / Aritmética – EDITORA LETRAS E ARTES LTDA [42] – Roxo, Euclides / Matemática 2º Ciclo (1ª série) – LIVRARIA FRANCISCO ALVES E CIA [43] – Rufino, Marcelo/ Olimpíadas Paraenses de Matemática – LIVRARIA VESTSELLER [44] – Rufino de Oliveira, Marcelo; Pinheiro, Marcio Rodrigo da Rocha / Coleção Elementos da Matemática [45] – Santos, Antonio Luiz/ Problemas Selecionados de Matemática – EDITORA CIÊNCIA MODERNA [46] – Stavale, Jacomo / Elementos de Matemática 1º volume – COMPANHIA EDITORA NACIONAL. [47] – Thiré, Cecil / Exercícios de Aritmética Teóricos e Práticos – LIVRARIA FRANCISCO ALVES [48] – Trajano, Antônio / Aritmética Progressiva – LIVRARIA FRANCISCO ALVES E CIA [49] – Vieira, Ricardo Rodrigues / Aritmética – COMPANHIA EDITORA NACIONAL [50] – Banco de Questões – OBM [51] –Banco de Questões – OBMEP [52] –Banco de Questões – Colégio Naval TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 112 ARITMÉTICA EXAUSTIVA [53] – Banco de Questões – EPCAR [54] – Banco de Questões – Colégios Militares [55] – Banco de Questões – CEFET/RJ [56] – Banco de Questões – CEFETEQ/RJ [57] – Banco de Questões – FIOCRUZ [58] – Banco de Questões – Vestibulares TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 113
