Módulo 2

10 Semestre de 2000
Módulo 2 EQ-502/A
Módulo 2
Purificação do Tolueno contendo Ácido Benzóico – Regime Transiente.
O exemplo do módulo 2 refere-se ao regime transiente do problema do módulo
1.
Imaginemos a seguinte situação:
Uma indústria química deseja purificar o tolueno, conforme exemplo da aula
anterior. O início do processo é a preparação do sistema para a partida da operação
contínua. Esta etapa ocorre através da adição de um volume V1 de tolueno conhecido no
tanque de separação. Após isto, adiciona-se um volume V2 de água.
Após o volume V2 de água ser atingido, o sistema é agitado vigorosamente e
inicia-se a adição de uma corrente R (m3 de tolueno/s) a uma concentração c (kg de
ácido benzóico/m3 de tolueno) e uma corrente de S (m3 de água/s), isenta de ácido
benzóico. Uma corrente R(m3/s) de tolueno deixa o sistema com uma concentração x
(kg ácido benzóico/m3 de tolueno), que varia com o tempo, e uma corrente S (m3 de
água/s) com uma concentração y (kg ácido benzóico/m3 de água) também sai do
sistema. Pede-se para determinar a variação das concentrações x e y em função do
tempo e para analisar o resultado obtido.
Solução:
A solução do problema propriamente dito se inicia a partir do momento em que
o volume V2 da água foi completado. A partir deste momento uma agitação vigorosa é
iniciada e duas fases em equilíbrio são formadas. No entanto, o que acontece antes disso
é fundamental na determinação das condições iniciais.
No instante inicial tem-se então uma concentração x0 para a fase orgânica e uma
concentração y0 para a fase aquosa, que podem ser obtidos diretamente de um balanço
de massa:
Estado 1 – Tanque com volume V1 de tolueno.
V1,c
1
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Figura 2.1. Representação do estado 1 anterior ao início da operação.
Estado 2 – Tanque com volume V1 de tolueno e volume V2 de água.
V1,x0
c
V2,y0
c
Figura 2.2. Representação do estado 2 anterior ao início da operação.
Nas duas situações, as quantidades de ácido permanecem as mesmas, pois o
ácido foi adicionado com o tolueno, enquanto a água estava isenta de ácido. As
quantidades são então relacionadas da seguinte maneira para que seja possível calcular
as concentrações iniciais:
Quantidade de ácido no Estado 1:
 kg ácido benzóico
Estado 1  V1(m3 tolueno ).c
 m3 tolueno


  V1.c (kg ácido benzóico )


Quantidade de ácido no Estado 2:
 kg ácido benzóico 

  V2 (m3 água ).y0  kg ácido benzóico
Estado 2  V1(m3 tolueno ).x 0 
 m3 tolueno


m3 água



 Estado 2  V1.x 0  V2 .y0
(kg ácido benzóico )




Como as quantidades são iguais:
V1.c  V1.x 0  V2.y0
Lembrando ainda da Lei de Henry do módulo 1 (y=m.x), tem-se que y0=m.x0.
Portanto:
x0 
V1.c
m.V1.c
 y0 
V1  m.V2
V1  m.V2
Os valores x0 e y0 são condições iniciais da resolução do nosso problema. Após
esta condição inicial iniciam-se as correntes R e S.
A partir de então estuda-se a operação contínua do tanque extrator, através de
um outro equacionamento referente a esta etapa.
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Voltando ao módulo 1 recordamos que o esquema do sistema pode ser dado pela
Figura 2.3.
R, c
R, x
Fase Orgânica V1
Fase Aquosa V2
S, y
S
Figura 2.3. Esquema representativo da extração do ácido benzóico do tolueno
Assim sendo as variáveis de interesse são:







Quantidade de água que entra em  - S (m3 água/h)
Quantidade de tolueno que entra em  - R (m3 tolueno/h)
Quantidade de água que entra em + - S (m3 água/h)
Quantidade de tolueno que entra em + - R (m3 tolueno/h)
Concentração de ácido benzóico no tolueno – x (kg ácido benzóico/m3 tolueno)
Concentração de ácido benzóico na água – y (kg ácido benzóico/m3 água)
Concentração de ácido benzóico na corrente de tolueno a ser purificada – c (kg
ácido benzóico/m3 tolueno)
Mais uma vez aplica-se a equação geral do balanço para estudar o sistema, ou
seja:
ENTRADA  SAÍDA  GERAÇÃO  ACÚMULO
Resta então escrever cada um dos termos utilizando as variáveis que dispomos,
ou sugerindo outra variável que dê o sentido apropriado. Para tanto algumas hipóteses
são feitas:
1. A agitação é vigorosa e o equilíbrio entre as fases é obtido instantaneamente, caso
contrário teria de ser avaliada a transferência entre as fases e o sistema deveria ser
tratado como duas partes para fim de balanço. Ou seja, a transferência de massa é
rápida não sendo um empecilho;
2. Os termos de entrada e saída dizem respeito a mesma vazão de tolueno R, ou seja, o
tolueno é considerado completamente imiscível com a água, sendo a justificativa do
R e S serem constantes se comparadas entrada e saída. A concentração c também é
constante e a água é isenta de ácido benzóico;
3. O termo de geração é igual a zero. Tal fato deve-se a inexistência de transformações
químicas dentro do sistema, as quais poderiam ser responsáveis por gerar ou
consumir ácido benzóico;
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4. A densidade das fases permanece constante, ou seja, o ácido benzóico tem uma
pequena participação na densidade de cada fase, participação esta que pode ser
desprezada, facilitando os cálculos;
5. O equilíbrio de fases pode ser descrito pela Lei de Henry, com o coeficiente de
distribuição valendo 1/8.
A solução deverá ser feita em um tempo arbitrário () que, entretanto, não pode
ser nem o instante inicial (que corresponde a condição inicial do problema), nem um
tempo infinito, que é um caso limite da nossa solução.
O balanço de massa deverá ser feito em um intervalo de tempo  pequeno, de
forma tal que deseja-se conhecer as quantidades de água, tolueno e ácido benzóico que
entraram no sistema durante o intervalo de tempo  e +.
O balanço de massa do ácido benzóico tem seqüência analisando todos os
termos:
ENTRADA: A entrada de ácido benzóico ocorre somente através da corrente de
tolueno, uma vez que a água está isenta do ácido.
A quantidade de ácido benzóico que entra no intervalo entre  e + será dada
a seguir, considera-se aqui que as variáveis R e c são constantes com o tempo:
 m3 tolueno
R

s

  kg ácido benzóico
.c
  m3 tolueno
 

.s   R.c.  (kg ácido benzóico )


SAÍDA: A quantidade de ácido benzóico que sai no intervalo entre  e + na corrente
orgânica é calculada da seguinte maneira:
Em , a concentração de ácido benzóico no tolueno é x=x();
Em +, a concentração de ácido benzóico no tolueno é x’=x(+);
A quantidade total de ácido que deixa o sistema através da corrente orgânica é
dada por:
 

R.x.d
Apesar de não sermos ainda nesta altura capazes de resolver a integral por não
sabermos como a concentração varia com o tempo, seria muito interessante relacionar a
concentração x no instante , com a concentração x no instante +. Como poderíamos
fazer isso?
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Se utilizarmos um intervalo do tipo  bem pequeno, podemos utilizar o teorema
de Taylor. Da matemática sabe-se que o Teorema de Taylor para uma única variável
independente pode ser dado por:
f x   f x 0   f ' x 0 
. x  x0  
1
.f " x 0 
. x  x 0 2  ....
2!
Um detalhe interessante deste teorema é que o valor de f(x) em um ponto x
próximo de x0 é dado único e exclusivamente em função do ponto x0. Em outras
palavras, se sei o valor de uma função em um ponto x 0 qualquer, bem como suas
derivadas neste ponto, posso então relacionar ao valor da função em um ponto x
próximo de x0.
Voltando ao nosso problema, consideremos o ponto x0 como sendo , o ponto x
como sendo +, o valor de f(x0) como sendo x() e o valor de f(x) como sendo
x(+) = x  
Mostre que:
x    x  x '. 
x" 2
.  ....
2!
ou
x    x 
dx
1 d2x 2
.  .
.  ....
d
2! d2
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Graficamente, a integral acima é conforme a figura abaixo:
R.x|+
Área = quantidade de
ácido que deixa o tanque
pela corrente orgânica
R.x|

+
Figura 2.4. Representação da vazão de saída de ácido benzóico com o tempo, cuja
integral representa a saída no intervalo .
Apesar de não sabermos como R.x varia com o tempo, se consideramos um
intervalo de tempo  bem pequeno, poderemos considerar esta variação como sendo
linear. Isto tanto mais é verdade quanto menor o intervalo de tempo em questão.
Desta forma a área é dada por:
R.x|+
Área =
(base maior + base menor)*(h/2)
R.x|

+
Figura 2.5. Representação da vazão de saída de ácido benzóico com o tempo, cuja
integral representa a saída no intervalo  infinitesimal.
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Sendo assim a área é dada por:
 
 

dx
d 2 x 2
ÁREA  R. x  . 
.
 ...   R.x . 

d
 
 2
d2 2



dx  d 2 x 2
 ÁREA  R. x  . 
.
 ....


d 2 d2 4


Analogamente a quantidade de ácido que sai na fase aquosa é dada por:


dy  d 2 y 2
S. y  . 
.
 ....


d 2 d2 4


ACÚMULO: O acúmulo é dado pela variação da quantidade de ácido dentro de cada
fase do misturador, no intervalo entre  e +.
Em  a quantidade de ácido é dada por:
 Fase orgânica:
 kg ácido benzóico
V1(m3 tolueno ).x
 m3 tolueno


  V1.x


(kg ácido benzóico )
 Fase Aquosa:
 kg ácido benzóico
V2 (m3 água ).y

m3 água


  V2 .y


(kg ácido benzóico )
Em +, por um desenvolvimento do Teorema de Taylor, a quantidade de
ácido é dada por:
 Fase orgânica:


dx
d 2 x 2

V1. x  . 
.
 .....


d
d2 2


(kg ácido benzóico )
 Fase Aquosa:
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

dy
d 2 y 2
V2 . y  . 
.
 .....


d
d2 2


(kg ácido benzóico )
O acúmulo então é dado pela diferença entre a quantidade de ácido dentro do
tanque nos tempos + e .
 
  



dy
d 2 y 2
dx
d 2 x 2



V2 . y  . 
.
 .....  V2 .y  V1. x  . 
.
 .....  V1.x 


d
d
 
  

d2 2
d2 2


Que se reduz a:
  dy d 2 y 
    dx d 2 x 
 
V2 . 
.  ......  V1. 
.  ......
    d d2 2
 
  d d2 2
   
 
Substituindo estas parcelas na equação global do balanço e lembrando-se que a
geração é nula, tem-se que:
ENTRADA-SAÍDA=ACÚMULO
Ou seja:
 


 
dx  dx 2
dy  dy 2



R.c.  R. x 
. 
.
 ....  S. y 
. 
.
 ....
d 2 d 4
d 2 d  4


 
 
  dy d2 y 
    dx d2 x 
 
  V2 .
 2 .  ......   V1.
 2 .  ......
  d d 2
    d d 2
 
Dividindo por :
 



dx  dx 2
dy  dy 2
R.c  R. x 
. 
.
 ...  S. y 
. 
.
 ...
d  2 d 4
d 2 d  4
 



  dy d2 y 
   dx d2 x 

  V2 .
 2 .  .....    V1.
 2 .  ..... 
   d d 2

  d d 2
A equação acima é válida para um valor  pequeno, inclusive para um valor de
0. Neste caso:
R.c  R.x  S.y  V2 .
dy
dx
 V1.
d
d
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Repare que os termos de 2a ordem e acima forma eliminados no limite de 0.
Portanto, daqui por diante, apenas o primeiro termo da derivada da equação no Teorema
de Taylor será considerado, visto que os outros são eliminados.
Da relação de equilíbrio y=m.x tem-se que dy=m.dx. Portanto:
R.c  R.x  S.m.x  V2 .m.
dx
dx
dx
 V1.  R.c  x.R  S.m  
.V1  m.V2 
d
d
d
A solução da equação acima será apresentada a seguir de duas diferentes
maneiras:
1. A equação diferencial pode ser resolvida por uma equação diferencial ordinária
separável, chamando:
z  R.c  x.R  S.m   dz  dx.R  S.m  ou dx  
dz
R  S.m
Obtém-se então que:
z
R  S.m 
dz V1  m.V2 
dz
.
ou
 d.
V1  m.V2 
d R  S.m 
z
Se a derivada for como a que segue:
dy
h( x)
 f x, y  
dx
g( y)
Então:
hx .dx  gy.dy
Portanto:
 hx .dx   gy.dy  c  cons tan te
Onde c é a constante de integração:
Integrando a equação acima deve-se chegar a:
ln R.c  R  m.S.x  ln k  
R  m.S
R  m.S
.  ln k. R.c  R  m.S.x   
.
V1  m.V2
V1  m.V2
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Logo:
 R  m.S 
k. R.c  R  m.S.x  exp 
.
 V1  m.V2 
Onde k deverá ser determinado ela condição inicial, ou seja, quando =0:
x0 
V1.c
V1  m.V2
Substituindo o valor de k encontrado na equação e isolando x, encontra-se a
resposta do problema.
2. A equação diferencial pode também ser resolvida por fator de integração:
R.c  x.R  S.m  
R  S.m  
dx
dx
R.c
.V1  m.V2  
 x.
V1  m.V2  V1  m.V2 
d
d
Sendo a equação é do tipo:
dy
 Px .y  Qx 
dx
Esta equação é resolvida utilizando-se um fator de integração e compreende os
seguintes passos:
1o. Determina-se o fator de integração:

R x   exp  Px .dx

2o. Multiplica-se todos os termos da equação diferencial pelo fator integrante obtendo-se
que:
R x .
dy
d
R x .y  Qx .R x 
 Px .y.R x  
dx
dx
Logo, integrando, obtém-se que:
R x .y   Qx .R x dx  c
30. Isolando y:
y
 Qx .R x dx 
R x 
c
R x 
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Utilizando agora este processo de resolução para a nossa equação, tem-se que:
1o. O fator integrante é:
 R  m.S 
 R  m.S 
R   exp 
d  exp 

 V1  m.V2 
 V1  m.V2 
2o. Portanto:
 R  m.S. 
 R  m.S. 
R.c
x. exp 
. exp 
.d  C

V1  m.V2   V1  m.V2 
 V1  m.V2 
3o. Obtém-se então x:
R.c
x
x
 R  m.S. 
 V1  m.V2 .exp  V1  m.V2 .d
 R  m.S. 
exp 

 V1  m.V2 

C
 R  m.S. 
exp 

 V1  m.V2 
 R  m.S. 
R.c
 C. exp 

R  m.S
 V1  m.V2 
Com a condição inicial, para =0:
x  x0 
V1.c
V1  m.V2
Ambas as equações são iguais. Ao se substituir a condição inicial em ambos os
casos:
x
 R.c
 R  m.S. 
R.c
V1.c 
. exp 
 


R  m.S  R  m.S V1  m.V2 
 V1  m.V2 
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Repare que quando , obtém-se:
y
 R  m.S . 
m.V1 .c 
m.R.c  m.R.c
. exp 
 


R  m.S  R  m.S V1  m.V2 
 V1  m.V2 
Como o equilíbrio é instantâneo então:
x
R.c
R  m.S
Esta é a resposta do exercício do Módulo 1, com a concentração em regime
permanente, como era de se esperar. Observa-se ainda que a condição inicial foi
satisfeita, portanto:
Para   0  x 
V1.c
V1  m.V2
Aprendemos nesta aula que o Teorema de Taylor será de muita valia para
resolver as equações diferenciais obtidas em nossos modelos.
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