Lista08C2 - Monitoria - (11-03

Universidade Federal do Pará
Cálculo II - Projeto Newton - 2015/4
Professores: Jerônimo e Juaci
8a Lista de exercı́cios para monitoria
1. Se f (x, y) = xy, encontre o vetor gradiente ∇f (3, 2) e use pra encontrar a reta tangente à curva
de nı́vel f (x, y) = 6 no ponto (3, 2).
Solução:
Seja
f (x, y) = xy,
Então,
fx = y
e
fy = x
Ou seja,
∇f (x, y) = hy, xi
Logo
∇f (3, 2) = h2, 3i
Para encontrarmos a equação da reta tangente a curva de nı́vel f (x, y) = 6, ou seja, em (3, 2).
Resolveremos a equação
a(x − x0 ) + b(y − y0 ),
pois hx − x0 , y − y0 i · ha, bi = 0
onde ha, bi = ∇f (x0 , y0 )
Daı́, temos que
hx − 3, y − 2i · h2, 3i = 0
1
Portanto a equação da reta tangente é
2
2x + 3y = 12 ⇒ y = − x + 4
3
2. O paraboloide z = 6 − x − x2 − 2y 2 intercepta o plano x = 1 em uma parábola. Determine as
equações paramétricas para a reta tangente a essa parábola no ponto (1, 2, −4).
Solução:
Se z = f (x, y), segue da interpretação geométrica das derivadas parciais que a inclinação da
reta tangente a parábola é dada por fy (1, 2). Derivando a função z = 6 − x − x2 − 2y 2 , obtemos
∂z/∂y = −2 · 2y ⇒ ∂z/∂y = −4y. Logo, quando x = 1 e y = 2, obtemos ∂z/∂y = −8. Assim, a
inclinação é dada por fy (1, 2) = −8. Portanto a equação da reta tangente no ponto (1, 2, −4) é dada
por z − (−4) = −8(y − 2), x = 1. Tomando t = y − 2 como parâmetro, obtemos a seguinte equação
paramétrica para esta reta: y = t + 2, x = 1 e z = −8t − 4.
3. Encontre uma equação do plano tangente e da reta normal à superfı́cie xy + yz + zx = 5 no ponto
(1, 2, 1).
Solução:
Considere a função F (x, y, z) = xy +yz +zx. Então, deve-se encontrar a equação do plano tangente
a superfı́cie de nı́vel F (x, y, z) = 5 no ponto (1, 2, 1). A equação de tal plano é dada por
Fx (1, 2, 1) · (x − 1) + Fy (1, 2, 1) · (y − 2) + Fz (1, 2, 1) · (z − 1) = 0.
Como,
Fx (x, y, z) = y + z
Fy (x, y, z) = x + z
Fz (x, y, z) = y + x
a equação do plano tangente é dada por
3 · (x − 1) + 2 · (y − 2) + 3 · (z − 1) = 0 ⇒ 3x + 2y + 3z − 10 = 0
A reta normal tem direção do vetor gradiente ∇F (1, 2, 1) e passa pelo ponto (1, 2, 1). Assim, se t
é um parâmetro, a equação paramétrica de tal reta é dada por
(x, y, z) = t · ∇F (1, 2, 1) + (1, 2, 1) ⇒ (x, y, z) = t · (3, 2, 3) + (1, 2, 1).
2
4. Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva formada pela intersecção do parabolóide z = x2 + y 2 com o elipsóide 4x2 + y 2 + z 2 = 9 no ponto (−1, 1, 2).
Solução:
Considerando F (x, y, z) = z − x2 − y 2 e G(x, y, z) = 4x2 + y 2 + z 2 , então a reta tangente vai ser perpendicular a ambos os vetores ∇F (−1, 1, 2) e ∇G(−1, 1, 2), ou seja o vetor v = ∇F (−1, 1, 2) x ∇G(−1, 1, 2)
será paralelo à reta tangente.
Calculando os vetores gradiente temos ∇F (x, y, z) = (−2x, −2y, 1) e ∇G(x, y, z) = (8x, 2y, 2z),
aplicando no ponto (−1, 1, 2), ∇F (−1, 1, 2) = (2, −2, 1) e ∇G(−1, 1, 2) = (−8, 2, 4).
j k i
Logo o vetor v = 2 −2 1 = −10i − 16j − 12k
−8 2 4 5. Encontre os pontos do hiperbolóide x2 + 4y 2 − z 2 = 4, onde o plano tangente é paralelo ao plano
2x + 2y + z = 5.
Solução:
Considerando o hiperbolóide como uma superfı́cie de nı́vel da função F (x, y, z) = x2 + 4y 2 − z 2 ,
então um vetor normal à superfı́cie no ponto (x0 , y0 , z0 ) é ∇F (x0 , y0 , z0 ) = (2x0 , 8y0 , −2z0 ). Um vetor
normal ao plano 2x + 2y + z = 5 é (2, 2, 1). Para os planos serem paralelos, os vetores normais tem
que ser paralelos, logo (2x0 , 8y0 , −2z0 ) = k(2, 2, 1), ou seja, x0 = k, y0 = 41 k e z = − 21 k.
Da equação do hiperbolóide x20 + 4y02 − z02 = 4 ⇒ k 2 + 41 k 2 − 41 k 2 = 4 ⇒ k 2 = 4 ⇒ k = ±2.
Sendo assim existem dois pontos onde o plano tangente ao hiperbolóide x2 +4y 2 −z 2 = 4 é tangente
ao plano 2x + 2y + z = 5. Esses pontos são (2, 21 , −1) e (−2, − 12 , 1).
6. Em quais pontos a reta normal que passa pelo ponto (1, 2, 1) no elipsoide 4x2 + y 2 + 4z 2 = 12
intercepta a esfera x2 + y 2 + z 2 = 102?
Solução:
Seja F (x, y, z) = 4x2 + y 2 + 4z 2 − 12. Então a superfı́cie de nı́vel F (x, y, z) = 0 corresponde ao
elipsoide. Como ∇F (x, y, z) = (8x, 2y, 8z), o vetor ∇F (1, 2, 1) = (8, 4, 8) é normal ao elipsoide no
ponto (1, 2, 1). Logo, a equação paramétrica da reta que passa por este ponto é dada por
(x, y, z) = (8t + 1, 4t + 2, 8t + 1).
Substituindo na equação da esfera, temos
(8t + 1)2 + (4t + 2)2 + (8t + 1)2 = 102
128t2 + 32t + 2 + 16t2 + 16t + 4 = 102
3
144t2 + 48t − 96 = 0
3t2 + t − 2 = 0
Que nos mostra que as interseções ocorrem quando t = −1 ou t = 2/3. Os pontos correspondentes a
estes valores de t são, respectivamente, (−7, −2, −7) e (19/3, 14/3, 19/3).
7. Determine a derivada direcional da função f (x, y) no ponto p na direção do vetor v,
Sendo f (x, y) =
x2
x
, p = (1, 2), v = h4, 2i .
+ y2
Solução:
A derivada direcional de uma função diferenciável de duas variáveis, na direção de um vetor unitário
→
−
u , é dada por
−
Du f (x, y) = ∇f (x, y) · →
u
onde ∇f (x, y) = hfx , fy i.
Seja f (x, y) =
x2
x
, então
+ y2
fx =
x2 + y 2 − 2x2
y 2 − x2
=
(x2 + y 2 )
(x2 + y 2 )2
fy =
−2yx
(x2 + y 2 )2
ou seja,
∇f (x, y) =
y 2 − x2
(x2 + y 2 )2
−
−
Seja também →
v = h4, 2i, temos então que, →
u =
→
−
u =
−2yx
p
(x2 + y 2 )2
→
−
√
√
v
−
, como k →
v k= 16 + 4 = 2 5, logo
→
−
k v k
2 1
√ ,√
5 5
4
Desta forma, segue que
−
Du f = ∇f (1, 2) · →
u =
4 −4
,
25 25
√
2 1
6
1
5
5
· √ ,√
= √ − √ = √ =
25
5 5
25 5 25 5
25 5
8. Determine as direções em que a derivada direcional de f (x, y) = x4 e−xy no ponto (0, 2) tem valor
1.
Solução:
Calculando fx e fy , temos
fx = −y 2 e−xy
e
fy = e−xy (1 − xy)
Disso, temos que
∇f (x, y) = −y 2 e−xy , e−xy (1 − xy)
Sendo então ∇f (2, 0) = h0, 1i.
Como queremos ∇f (2, 0).~u = 1,onde ~u = ha, bi é um vetor unitária, resolveremos então este produto escalar.
Logo
h0, 1i · ha, bi = 1
⇒
b=1
Sendo ~u um vetor unitário, segue que
k~uk =
p
a2 + b2 = 1
5
Ou seja,
a=0
Portanto
~u = h0, 1i
√
9. Determine a derivada direcional de f (x, y, z) = x2 y + x 1 + z, no ponto (1, 2, 3) na direção de
v = 2i + j − 2k.
Solução:
Como a direção não está indicada por um vetor unitário, a derivada direcional será calculada pela
sequinta expressão:
Dv f (x0 , y0 , z0 ) = ∇f (x0 , y0 , z0 ) ·
√
v
||v||
1 + z, x2 , 2√x1+z ). Calculando no ponto (1, 2, 3), temos
p
∇f (1, 2, 3) = (6, 1, 14 ). A norma de v será ||v|| = 22 + 12 + (−2)2 = 3. Logo a derivada direcional
O gradiente de f , será ∇f = (2xy +
será:
Dv f (1, 2, 3) =
1
6, 1,
4
·
(2, 1, −2)
25
=
3
6
10. A segunda derivada direcional de f (x, y) é
Du2 f (x, y) = Du [Du f (x, y)].
Se u = (a, b) é um vetor unitário e f tem derivadas parciais de segunda ordem contı́nuas, que expressão
define Du2 f (x, y)?
Solução:
Tem-se
Du f (x, y) = u · ∇f (x, y) = (a, b) · (fx , fy ) = afx + bfy .
Logo,
Du2 f (x, y) = Du [Du f (x, y)]
= u · ∇Du f
= (a, b) · (afxx + bfyx , afxy + bfyy )
= a(afxx + bfyx ) + b(afxy + bfyy )
= fxx a2 + 2fxy ab + fyy b2
6
Pois, como as parcias de segunda ordem são contı́nuas, fxy = fyx .
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