Militar Prof. Pacher Matemática 1

Militar
Prof. Pacher
Matemática
4 PG alternante
SÃO GEOMÉTRICA (PG)
a1
≠0
e q<0
DEFINIÇÃO:
Uma seqüência (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an) de números reais,
com a1=primeiro termo, a2=segundo termo, a3=terceiro
termo, assim sucessivamente até o último termo an, é uma
progressão geométrica (PG), se a divisão entre um termo
qualquer a partir do segundo, pelo seu antecessor
imediato, produzir um resultado (quociente) constante real,
denominado razão ( q ) da progressão geométrica.
q=
a2
a1
q=
a3
a2
q=
a4
a3
1
a 2 = a 1x q
a 3 = a 1 x q2
3
a4 = a1xq
a 5 = a 1 x q4
5
a6 = a1xq
e assim sucessivamente
a n = a 1 x q n-1
Podemos ter um termo de ordem n relacionado com
qualquer outro termo antecessor de ordem k. Neste caso a
fórmula do termo geral abrangente, é:
a n = a k x q n-k
an
an-1
EXERCÍCIO RESOLVIDO
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Verificar se a seqüência (2, 4, 8, 16, 32) é uma
progressão geométrica (PG).
Resolução
a
4
q= 2 = =2
a1 2
q=
A definição de progressão geométrica (PG), sugere que:
Generalizando para termo de ordem n (n = ao número de
termos da progressão), temos a fórmula geral:
.
.
.
q=
TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
(PG)
a3 8
= =2
a2 4
Resolução:
n-1
an = a1xq
a 10 = a 1 x(q) 10-1
9
a 10 = 3 x (2)
a 10 = 3 x 512
a 10 = 1536
a
16
q= 4 =
=2
a3
8
q=
01. Na seqüência (3, 6, 12, ...), calcular o décimo termos.
a5 32
=
=2
a 4 16
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA COM TRÊS TERMOS
A constante 2 obtida pela divisão, conforme mostra
quadro, define a seqüência como uma progressão
geométrica (PG) de razão 2.
Forma simplificada para a representação de uma
progressão geométrica com três termos em duas variáveis.
(
FÓRMULA GERAL DA RAZÃO ( q )
q=
an
an-1
CLASSIFICAÇÃO
GEOMÉTRICA
Para todo o n pertencente
aos naturais positivos
DE
UMA
PROGRESSÃO
a1 > 0 e q > 1 ou
a1 < 0 e 0 < q < 1
a1 > 0 e 0 < q < 1 ou
a1 < 0 e q > 1
q=1
Atualizada 05/05/2008
x
, x , x ⋅q )
q
SOMA DOS TERMOS
GEOMÉTRICA FINITA
DE
UMA
PROGRESSÃO
Sendo (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an ) uma progressão
geométrica e Sn a soma desses termos, Sn= a1+ a2+ a3+
a4+a5+ ... +an .
Segue a fórmula para o somatório de qualquer progressão
geométrica finita.
Seja q a razão de uma progressão geométrica (PG), temos
que:
1 PG estritamente
crescente
2 PG estritamente
decrescente
3 PG constante
r=a2/a1=6/ 3= 2
n
Sn =
a1 (q - 1)
q-1
n é igual ao número
de termos somados.
an é o último termo.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
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01. Calcular a soma dos 10 primeiros termos de
progressão geométrica ( 1, 2, 4, ...).
1
1
12
1
S∞ =
1
2
S∞ = 2
S∞ =
Resolução:
I) Dados para cálculo da soma: a1=1, n=10 e a10 não foi
fornecido, deverá ser calculado, veja item II.
II) Pela fórmula do termo geral,
a n = a 1 x q n-1
10-1
a 10 = a 1 x q
a 10 = 1 x (2) 9
a 10 = 1 x 512
a 10 = 512
r=a2/a1=2-1=2
TESTES
01. Complete as seqüências a seguir, mantendo a
formação lógica.
II) A soma dos 10 primeiros termos, S20.
Sn =
Matemática
a1 (qn - 1)
q-1
a) ( 2, 4, 8, 16, a5, a6, a7, a8 )
1× (210 - 1)
2 -1
1× (1024 - 1)
Sn =
2 -1
1023
Sn =
1
Sn = 1023
b) ( 729, 243, 81, 27, a5, a6, a7, a8 )
Sn =
SOMA DOS TERMOS
GEOMÉTRICA INFINITA
c) ( 3, 3, 3, 3, a5, a6, a7, a8 )
d) ( 2, -4, 8, -16, a5, a6, a7, a8 )
02. Determinar o décimo quarto termo da PG de razão –2
e décimo primeiro termo –2048.
DE
UMA
PROGRESSÃO
Sendo (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an ) uma progressão
geométrica de razão –1<q<1e Sn a soma desses termos,
Sn= a1+ a2+ a3+ a4+a5+ ... , temos uma forma simplificada
para o somatório de qualquer seqüência infinita em PG,
dada pela fórmula:
a
S∞ = 1
1- q
∞ = símbolo que
representa o infinito
EXERCÍCIO RESOLVIDO
03. Obter a razão de uma PG em que, a2+a4+a6=10 e
a3+a5+a7=30.
04. (BB) Numa PG, o quarto termo é 20% do terceiro
termo. Sabendo-se que a1 = 2.000, o valor de a5 é:
a) 20/3
b) 18/7
c) 16/5
d) 14/5
e) 12/7
05. A seqüência ( 4x, 2x+1, x-1,...) é uma PG, calcule o
valor de x.
01. Calcular a soma dos termos da progressão geométrica
( 1, 1/2, 1/4, ...).
06.(EPCAR) Se a soma dos n primeiros termos de uma
seqüência infinita é 4n2 + 6n, então a seqüência é uma
Resolução:
I) Dados para cálculo da soma: a1=1, n= ∞ e a razão não
foi fornecida, deverá ser calculado, veja item II.
II) Pela fórmula do termo geral,
q=
1
2
1
=
2
a1
1- q
Atualizada 05/05/2008
seqüência limitada.
progressão aritmética.
progressão geométrica de razão 8.
progressão geométrica decrescente.
07. A seqüência (x, 3, 7) é uma PA, e a seqüência ( x-1, 6,
y) é uma PG. Quais são os valores de x e y?
1
1
x1 =
2
2
II) A soma dos infinitos ( ∞ ) termos, S ∞ , é:
S∞ =
a)
b)
c)
d)
08. Calcule a soma dos 7 primeiros termos da PG (4, -12,
36,...).
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09. Determine o número que deve ser somado a 2, 4 e 7,
a fim de obtermos uma PG?
10. Calcule o número de termos da seqüência (2, 6,
18,...,4374)?
11. Recreações matemáticas já apareciam no papiro de
Ahmes (1650 A.C.). Aos fragmentos do problema 79 deste
papiro associa-se a posterior versão da poesia infantil:
“Quando ia a Sto Ives,
encontrei um homem com sete mulheres,
cada mulher tinha sete sacos,
cada saco tinha sete gatos,
cada gato tinha sete gatinhos.
to
Gatinhos, gatos, sacos e mulheres, quantos iam a S
Ives?”
(Do livro – História da matemática – Carl Boyer)
Matemática
16.(FAE-PR) Diz a lenda que um jovem hindu ofereceu ao
seu rei um jogo que inventou para ser praticado sobre um
tabuleiro: o xadrez. O jovem pediu sua recompensa em
grãos de trigo, na seguinte seqüência: 1 grão de trigo para
a primeira casa do tabuleiro, 2 pela segunda casa, 4 pela
terceira casa, 8 pela quarta casa e assim sucessivamente,
até a sexagésima quarta e última casa do tabuleiro. O rei
riu julgando ser insignificante o pedido, mas não pôde
atendê-lo quando soube da enorme quantidade de grãos
calculada por seus assessores! Supondo que se leve 1 s
para contar 3 grãos de trigo, qual o tempo necessário para
contar os grãos das dez primeiras casas do tabuleiro?
a) 17,2 s
b) cerca de 34 s
c) 5 min 41 s
d) 2 min 52 s
e) 17 min 3 s
17. (FCC) Numa PG, o quarto termo é 20% do terceiro
termo. Sabendo-se que a1 = 2.000, o valor de a5 é:
A resposta correta a esta questão é:
4
3
3
2
4
3
2
4
3
2
4
3
2
a) 20/3
b) 18/7
c) 16/5
d) 14/5
e) 12/7
2
a) 7 + 7 + 7 +7+1
b) 7 + 7 +7+1
c) ( 7 + 7 + 7 )7
x–4
, ...) é uma
3
progressão geométrica decrescente.
O quarto
termo dessa progressão é:
18. (FCC) A seqüência (x, x – 4,
d) ( 7 + 7 + 7 +7)7
e) 7 + 7 + 7 +7
12.(UFPR) Três pessoas se reuniram no dia 1º de janeiro
de 2004 para iniciar uma ação de voluntariado junto a
organizações de proteção ao meio ambiente. Em fevereiro,
cada uma daquelas pessoas tinha conseguido a adesão
de um novo voluntário. Observaram que tinham começado
a aplicar uma boa estratégia para aumentar o grupo de
voluntários e decidiram o seguinte: a cada mês, cada
voluntário traria um novo voluntário para participar do
grupo e, sempre que alguém desistisse, seria substituído.
Assim, o total de voluntários no mês de janeiro de 2005, já
incluídos os novos participantes do mês, será de:
12
a) 3x2
d) 212
12
b) 3+2
e) 311
11
c) 3x2
13. Uma indústria produziu 74.400 unidades de certo
produto num período de 5 anos. Supondo que a produção
tenha dobrado a cada ano, o número de unidades
produzidas nos dois primeiros anos, foi de:
a)
b)
c)
d)
a)2/3
b)4/9
c)1/3
d)2/9
e)1/9
19. Calcule a soma
3 3 3
S = 3 + + + + ...
2 4 8
20.(EPCAR) Se a soma dos n primeiros termos de uma
seqüência infinita é 4n2 + 6n, então a seqüência é uma
e)
f)
g)
h)
seqüência limitada.
progressão aritmética.
progressão geométrica de razão 8.
progressão geométrica decrescente.
21.(EPCAR) O valor de x na equação
7400
7200
4800
3600
9x
5
14.O financiamento de um carro foi feito nos seguintes
moldes. Sem entrada e a primeira mensalidade de R$
1,00, no segundo mês R$ 2,00, no terceiro mês R$ 4,00, e
assim por diante até um total de 12 prestações. Qual é o
custo final do carro.
15. Calcular a soma dos 8 primeiros termos da seqüência
(1, 3, 9,...).
Atualizada 05/05/2008
+
3x
5
+
x
5
+L =
27
é igual a
4
3
5
5
b)
2
4
c)
3
45
d)
8
a)
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22. (EXPCEX) Numa progressão geométrica (PG)
crescente de 5 termos, o primeiro e o último
correspondem, respectivamente, às raízes da equação x2 51x + 144 = 0. O valor da soma do segundo, terceiro e
quarto termos dessa PG é
a)12
b)24
c)28
d)36
e)42
23.(ACAFE-SC) O vazamento em um tanque de água
provocou a perda de 2 litros de água no primeiro dia.
Como o orifício responsável pela perda ia aumentando, no
dia seguinte o vazamento foi o dobro do dia anterior. Se
essa perda foi dobrando a cada dia, o número total de
litros de água perdidos, até o 100 dia, foi de:
a) geométrica de razão − 1 .
2
b) geométrica de razão −2.
c) geométrica de razão 1 .
2
d) aritmética de razão −2.
e) aritmética de razão − 1 .
2
27.(UFPR). Qual é a soma dos termos da progressão
2 2
2
, ,
, ...)?
geométrica ilimitada (2,
3 9 27
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
2046
1024
1023
2048
512
Matemática
5
4
3
53
27
8
3
28.(UFPR) Somando um mesmo número aos números 5, 7
e 6 nesta ordem, obtem-se uma P.G. O número somado é:
24. Durante uma feira agropecuária foi realizada uma
campanha para arrecadar alimentos para famílias pobres.
No primeiro dia foi arrecadado x Kg de alimentos, no
segundo dia o dobro de Kg do que foi arrecadado no
primeiro dia; no terceiro dia o triplo de Kg do que foi
arrecadado no primeiro dia; e assim sucessivamente. Ao
final de 20 dias foi arrecadado um total de 73 500 Kg. A
quantidade de Kg arrecada no primeiro dia foi de:
a) 150 Kg
b) 200 Kg
c) 250 Kg
d) 300 Kg
e) 350 Kg
25. (FCC-TRF) Na figura abaixo, tem-se uma sucessão
de figuras que representam números inteiros chamados
"números triangulares", em virtude de sua representação
geométrica.
a)
b)
c)
d)
e)
16/3
-19/317/3
-11/311/3
29.(UFV-MG) Uma bactéria de determinada espécie
divide-se em cada 2 horas. Depois de 24 horas, qual será
o número total de bactérias.
a) 1024
b) 24
c) 4096
d) 12
e) 16777216
30.(UF-MG) Os números 3, a e b são, nessa ordem,
termos consecutivos de uma progressão aritmética cuja
razão é positiva. Por sua vez, os números reais a, b e 8
são, nessa ordem termos de uma progressão geométrica.
Determinando a e b, obtemos respectivamente:
a) 9/2 e 6
b) 9 e 3
c) 3 e 9
d) 6 e 9
e) 9/2 e 3
(1)
(3)
(6)
(10)
(15)
etc
GABARITO
Nessas condições, se an é o termo geral dessa seqüência
de números triangulares, a soma a30 + a31 é igual a
a) 784
b) 841
c) 900
d) 961
e) 1 024
26. (FCC-TRF)
Para todo número inteiro e positivo n, an
= (−1)n . 2n−4 é o termo geral de uma progressão
4
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01
02
03
04
05
06
07
08
PROGRESSÃO
GEOMÉTRICA
a) 32, 64, 128, 256
b) 9, 3, 1, 1/3
c) 3, 3, 3, 3
d) 32, -64, 128, -256
16 384
3
C
-1/8
B
-1 e -18
2 188
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09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Matemática
2
8
E
A
B
4 095
3 280
C
C
D
B
B
B
E
A
E
D
B
C
B
C
A
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