AAF Prof. Cláudio Serra Matemática Aula 06 1

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Prof. Cláudio Serra
Matemática
Aula 06
MÚLTIPLOS E DIVISORES
ASPECTOS CONCEITUAIS
1.
Um conjunto possui 18 elementos. Quais as possibilidades existentes para se dividir esse conjunto
em grupos com quantidades iguais de elementos?
As possibilidades estão apresentadas na tabela abaixo:
1 grupo com 18 elementos
2 grupos com 9 elementos em cada grupo
3 grupos com 6 elementos em cada grupo
6 grupos com 3 elementos em cada grupo
9 grupos com 2 elementos em cada grupo
18 grupos com 1 elemento em cada grupo
O conjunto dos divisores de 18 é D(18)={1,2,3,6,9,18}.
2.
Forma explícita utilizada para escrever o conjunto de todos os múltiplos de um número natural n.
O conjunto dos números naturais é N={0,1,2,3,4,5,...}. Se n é um número para o qual queremos obter os
múltiplos, então a multiplicação de n por cada elemento de N será: M(n)={0,n,2n,3n,4n,...}.
3.
4.
5.
Para obter os divisores de um número natural a, basta saber quais os elementos que, multiplicados entre si,
têm por resultado o número a.
O elemento do conjunto dos números naturais que é divisor de todos os números é o número 1.
Em termos matemáticos, se um número natural maior do que 1 for divisível somente por 1 e por si mesmo, então
ele será chamado número primo.
6. Colocando os números primos por ordem crescente temos que os primeiros elementos
são:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61,
67, 71, 73, 79, 83, 89, 97...
1.
Por convenção, 1 não é considerado um número primo.
2.
Decomposição em fatores primos
Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores.
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Decomposição
24
24
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3
do
número
24
=
=
num
x
4
2
x
2
produto:
6
6
x
No
produto
2
x
2
x
2
x
3
todos
os
fatores
são
primos.
3
Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é 2 x
3.
De um modo geral, chamamos de fatoração de
que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos.
•
um
número
natural,
maior
Regra prática para a fatoração
Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse
dispositivo:
1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;
2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor
primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o
quociente 1.
A figura ao lado mostra a fatoração do número 630.
Então
3.
Na
630
=
2
x
2
630 = 2 x 3 x 5 x 7.
3
x
3
x
utilizando
os
5
x
7.
fatores
primos.
Determinação dos divisores de um número
prática determinamos todos os divisores de
Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90:
um
número
seus
1º) decompomos o número em fatores primos;
2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque
ele é divisor de qualquer número;
3º) multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos
divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado
de cada fator primo;
2
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4º) os divisores já obtidos não precisam ser repetidos.
Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
4.
5.
b d f
Se um número natural N pode ser decomposto em fatores primos na forma
N = a .c .e , então o
número de divisores positivos de N é dado por (b+1)(d+1)(f+1)
estes são os 1000 primeiros números primos; encontram-se destacados os chamados “primos gêmeos” , que
têm diferença igual a 2 :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131,
137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269,
271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421,
431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587,
593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743,
751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919,
929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063,
1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217,
1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367,
1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499,
1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637,
1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801,
1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979,
1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113,
2129, 2131, 2137, 2141, 2143, 2153, 2161, 2179, 2203, 2207, 2213, 2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267, 2269, 2273, 2281,
2287, 2293, 2297, 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377, 2381, 2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417,
2423, 2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477, 2503, 2521, 2531, 2539, 2543, 2549, 2551, 2557, 2579, 2591, 2593, 2609,
2617, 2621, 2633, 2647, 2657, 2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2687, 2689, 2693, 2699, 2707, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731,
2741, 2749, 2753, 2767, 2777, 2789, 2791, 2797, 2801, 2803, 2819, 2833, 2837, 2843, 2851, 2857, 2861, 2879, 2887, 2897,
2903, 2909, 2917, 2927, 2939, 2953, 2957, 2963, 2969, 2971, 2999, 3001, 3011, 3019, 3023, 3037, 3041, 3049, 3061, 3067,
3079, 3083, 3089, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167, 3169, 3181, 3187, 3191, 3203, 3209, 3217, 3221, 3229, 3251, 3253,
3257, 3259, 3271, 3299, 3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329, 3331, 3343, 3347, 3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407,
3413, 3433, 3449, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469, 3491, 3499, 3511, 3517, 3527, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547, 3557, 3559,
3571, 3581, 3583, 3593, 3607, 3613, 3617, 3623, 3631, 3637, 3643, 3659, 3671, 3673, 3677, 3691, 3697, 3701, 3709, 3719,
3727, 3733, 3739, 3761, 3767, 3769, 3779, 3793, 3797, 3803, 3821, 3823, 3833, 3847, 3851, 3853, 3863, 3877, 3881, 3889,
3907, 3911, 3917, 3919, 3923, 3929, 3931, 3943, 3947, 3967, 3989, 4001, 4003, 4007, 4013, 4019, 4021, 4027, 4049, 4051,
4057, 4073, 4079, 4091, 4093, 4099, 4111, 4127, 4129, 4133, 4139, 4153, 4157, 4159, 4177, 4201, 4211, 4217, 4219, 4229,
4231, 4241, 4243, 4253, 4259, 4261, 4271, 4273, 4283, 4289, 4297, 4327, 4337, 4339, 4349, 4357, 4363, 4373, 4391, 4397,
4409, 4421, 4423, 4441, 4447, 4451, 4457, 4463, 4481, 4483, 4493, 4507, 4513, 4517, 4519, 4523, 4547, 4549, 4561, 4567,
4583, 4591, 4597, 4603, 4621, 4637, 4639, 4643, 4649, 4651, 4657, 4663, 4673, 4679, 4691, 4703, 4721, 4723, 4729, 4733,
4751, 4759, 4783, 4787, 4789, 4793, 4799, 4801, 4813, 4817, 4831, 4861, 4871, 4877, 4889, 4903, 4909, 4919, 4931, 4933,
4937, 4943, 4951, 4957, 4967, 4969, 4973, 4987, 4993, 4999, 5003, 5009, 5011, 5021, 5023, 5039, 5051, 5059, 5077, 5081,
5087, 5099, 5101, 5107, 5113, 5119, 5147, 5153, 5167, 5171, 5179, 5189, 5197, 5209, 5227, 5231, 5233, 5237, 5261, 5273,
5279, 5281, 5297, 5303, 5309, 5323, 5333, 5347, 5351, 5381, 5387, 5393, 5399, 5407, 5413, 5417, 5419, 5431, 5437, 5441,
5443, 5449, 5471, 5477, 5479, 5483, 5501, 5503, 5507, 5519, 5521, 5527, 5531, 5557, 5563, 5569, 5573, 5581, 5591, 5623,
5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659, 5669, 5683, 5689, 5693, 5701, 5711, 5717, 5737, 5741, 5743, 5749, 5779, 5783,
5791, 5801, 5807, 5813, 5821, 5827, 5839, 5843, 5849, 5851, 5857, 5861, 5867, 5869, 5879, 5881, 5897, 5903, 5923, 5927,
5939, 5953, 5981, 5987, 6007, 6011, 6029, 6037, 6043, 6047, 6053, 6067, 6073, 6079, 6089, 6091, 6101, 6113, 6121, 6131,
6133, 6143, 6151, 6163, 6173, 6197, 6199, 6203, 6211, 6217, 6221, 6229, 6247, 6257, 6263, 6269, 6271, 6277, 6287, 6299,
6301, 6311, 6317, 6323, 6329, 6337, 6343, 6353, 6359, 6361, 6367, 6373, 6379, 6389, 6397, 6421, 6427, 6449, 6451, 6469,
6473, 6481, 6491, 6521, 6529, 6547, 6551, 6553, 6563, 6569, 6571, 6577, 6581, 6599, 6607, 6619, 6637, 6653, 6659, 6661,
6673, 6679, 6689, 6691, 6701, 6703, 6709, 6719, 6733, 6737, 6761, 6763, 6779, 6781, 6791, 6793, 6803, 6823, 6827, 6829,
6833, 6841, 6857, 6863, 6869, 6871, 6883, 6899, 6907, 6911, 6917, 6947, 6949, 6959, 6961, 6967, 6971, 6977, 6983, 6991,
6997, 7001, 7013, 7019, 7027, 7039, 7043, 7057, 7069, 7079, 7103, 7109, 7121, 7127, 7129, 7151, 7159, 7177, 7187, 7193,
7207, 7211, 7213, 7219, 7229, 7237, 7243, 7247, 7253, 7283, 7297, 7307, 7309, 7321, 7331, 7333, 7349, 7351, 7369, 7393,
7411, 7417, 7433, 7451, 7457, 7459, 7477, 7481, 7487, 7489, 7499, 7507, 7517, 7523, 7529, 7537, 7541, 7547, 7549, 7559,
7561, 7573, 7577, 7583, 7589, 7591, 7603, 7607, 7621, 7639, 7643, 7649, 7669, 7673, 7681, 7687, 7691, 7699, 7703, 7717,
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7723, 7727, 7741, 7753, 7757, 7759, 7789, 7793, 7817, 7823, 7829, 7841, 7853, 7867, 7873, 7877, 7879, 7883, 7901, 7907,
7919
6.
7.
número composto é aquele que tem mais de 2 divisores;
Número perfeito é todo aquele igual à soma dos seus divisores, exceto o próprio. Exemplo:
28
=
Os
quatro
14
primeiros
+
7
perfeitos:
+
6,
4
28,
+
496,
2
8128,
+
33550336,
1.
...
São bastante raros. O décimo perfeito tem mais de 50 dígitos! Todos terminam em 6 ou 8.
Mínimo Múltiplo Comum
Diz-se que um número m é múltiplo comum dos número a e b se m é múltiplo de a e também é múltiplo de b, ou
seja.
m=k×a e m=w×b
onde k e w números naturais.
Exemplos: Múltiplos comuns
(a) 24 é múltiplo comum de 6 e 8.
(b) 15 é múltiplo comum de 3 e 5.
Determinaremos agora todos os números que tem 18 como múltiplo comum, o que é o mesmo que obter todos os
divisores naturais de 18.
18
é
múltiplo
comum
de
1
e
18
pois
18=1x18
18
é
múltiplo
comum
de
2
e
9
pois
18=2x9
18 é múltiplo comum de 3 e 6 pois 18=3x6
O número 18 é múltiplo comum de todos os seus divisores, logo:
D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9,18 }
Agora obteremos os múltiplos comuns dos números a e b. Para isso denotaremos por M(a) o conjunto dos múltiplos
de a, por M(b) o conjunto dos múltiplos de b e tomaremos a interseção entre os conjuntos M(a) e M(b).
Exemplo: Múltiplos comuns de 3 e 5.
M(3)={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...}
M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,...}
M(3) M(5)={0,15,30,45,...}
Como estamos considerando 0 (zero) como número natural, ele irá fazer parte dos conjuntos de todos os múltiplos
de números naturais e será sempre o menor múltiplo comum, mas por definição, o Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
de dois ou mais números naturais é o menor múltiplo comum a esses números que é diferente de zero. Logo, no
conjunto:
M(3) M(5)={0, 15, 30, 45, ...}
o Mínimo Múltiplo Comum entre 3 e 5 é igual a 15.
Ao trabalhar com dois números a e b, utilizamos a notação MMC(a,b) para representar o Mínimo Múltiplo Comum
entre os números naturais a e b, lembrando sempre que o menor múltiplo comum deve ser diferente de zero. Por
exemplo:
M(4)={0,4,8,12,16,20,24,...}
M(6)={
0,
6,
12,
18,
24,
...}
MMC(4,6)=min {12,24,36,...}=12
O conjunto dos múltiplos do MMC(a,b) é igual ao conjunto dos múltiplos comuns de a e b. Por exemplo, se a=3 e
b=5:
M(3)={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,...}
M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,...}
M(3) M(5)={0,15,30,45,...}
M(15)={0,15,30,45,60,...}
Observe que M(15)=M(3)
M(5)
Método prático para obter o MMC
4
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Do ponto de vista didático, o processo acima é excelente para mostrar o significado do MMC mas existe um método
prático para realizar tal tarefa sem trabalhar com conjuntos.
1.
2.
Em um papel faça um traço vertical, de forma que sobre espaço livre tanto à direita como à esquerda do traço.
À esquerda do traço escreva os números naturais como uma lista, separados por vírgulas, para obter o
MMC(a,b,c,...). Por exemplo, tomaremos 12, 22 e 28 do lado esquerdo do traço vertical e do lado direito do
traço poremos o menor número primo que divide algum dos números da lista que está à esquerda. Aqui
usamos o 2.
12
22
28
| 2
|
|
3. Dividimos todos os números da lista da esquerda, que são múltiplos do número primo que está à direita do traço,
criando uma nova lista debaixo da lista anterior com os valores resultantes das divisões (possíveis) e com os números
que não foram divididos.
12
22
28
| 2
6
11
14
|
|
|
1.
2.
Repetimos a partir do passo 3 até que os valores da lista que está do lado esquerdo do traço se tornem
todos iguais a um.
12
22
28
| 2
6
11
14
| 2
3
11
7
| 3
1
11
7
| 7
1
11
1
| 11
1
1
1
| 924
O MMC é o produto dos números primos que colocamos do lado direito do traço e neste caso:
MMC(12,22,28)=924.
Exemplo: Obtemos o MMC dos números 12 e 15, com a tabela:
12 15 |
|
|
e depois dividimos todos os números da lista da esquerda pelos números primos (quando a divisão for possível),
criando novas listas sob as listas anteriores. O MMC(12,15)=60 é o produto de todos os números primos que
colocamos do lado direito do traço.
12 15 | 2
6
15
| 2
3
15
| 3
1
5
| 5
1
1
| 60
Máximo Divisor Comum
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Para obter o Máximo Divisor Comum devemos introduzir o conceito de divisor comum a vários números naturais. Um
número d é divisor comum de outros dois números naturais a e b se, d divide a e d divide b simultaneamente. Isto
significa que devem existir k1 e k2 naturais tal que:
a = k1 × d e b = k2 × d
Exemplos: Divisores comuns.
(a) 8 divide 24 e 56, pois 24=3x8 e 56=7x8.
(b) 3 divide 15 e 36, pois 15=5x3 e 36=12x3.
Observação: Um número d é divisor de todos os seus múltiplos. O conjunto dos divisores comuns de dois números é
finito, pois o conjunto dos divisores de um número é finito. O conjunto dos divisores de um número natural y, será
denotado por D(y).
Obteremos agora os divisores comuns aos números 16 e 24, isto é, obteremos a interseção entre os conjunto D(16)
e D(24).
D(16)={
1,
2,
4,
8,
16
}
D(24)={
1,
2,
3,
4,
6,
8,
12,
24
}
D(16) D(24)={1, 2, 4, 8}
Ocorre que o menor divisor comum entre os números 16 e 24, é 1, assim não interessa o menor divisor comum mas
sim o maior divisor que pertence simultaneamente aos dois conjuntos de divisores.
Denotaremos por MDC(a,b), o Máximo Divisor Comum entre os números naturais a e b. Por exemplo, tomemos os
conjuntos de divisores D(16)={1,2,4,8,16} e D(24)={1,2,3,4,6,8,12,24}, então:
MDC(16,24)=max( D(16)
D(24))=8
Método prático para obter o MDC
De forma similar ao cálculo do MMC(a,b), temos também um procedimento prático para determinar o MDC(a,b) entre
dois números naturais, pois encontrar conjuntos de divisores para cada número pode ser trabalhoso. Para introduzir
este método, determinaremos o MDC entre os números 30 e 72, a título de exemplo.
1.
Construímos uma grade com 3 linhas e algumas colunas, pondo os números dados na linha do meio. Na
primeira coluna coloque o maior deles e na segunda coluna o menor.
72 30
2.
Realizamos a divisão do maior pelo menor colocando o quociente no espaço sobre o número menor na primeira
linha e o resto da divisão no espaço logo abaixo do maior número na terceira linha.
2
72 30
12
3.
Passamos o resto da divisão para o espaço localizado à direita do menor número na linha central.
2
72 30 12
12
4.
Realizamos agora a divisão do número 30, pelo resto obtido anteriormente que é 12. Novamente, o
quociente será colocado sobre o número 12 e o resto da divisão ficará localizado abaixo do número 30.
2
2
72 30 12
12 6
6
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Realizamos agora a (última!) divisão do número 12, pelo resto obtido anteriormente que é 6. De novo, o
quociente será posto sobre o número 6 e o resto da divisão ficará localizado abaixo do número 12.
2
2
2
72 30 12 6
12 6
6.
0
Como o resto da última divisão é 0 (zero), o último quociente obtido representa o MDC entre 30 e 72, logo
denotamos tal fato por:
MDC(30,72) = 6
Relação entre o MMC e MDC
Uma relação importante e bastante útil entre o MMC e o MDC é o fato que o MDC(a,b) multiplicado pelo MMC(a,b) é
igual ao produto de a por b, isto é:
MDC(a,b)
×
MMC(a,b)
=
a
×
b
MDC(12,15) × MMC(12,15)=12 × 15
Esta relação é útil quando precisamos obter o MMC e o MDC de dois números, basta encontrar um deles e usar a
relação acima.
MMC e MDC
( Método alternativo)
Para se obter o mmc ou o mdc de números inteiros, procede-se, inicialmente, a sua decomposição em fatores primos.
O mmc ( mínimo múltiplo comum) é obtido pelo produto dos FATORES COMUNS E NÃO COMUNS, elevados aos
MAIORES EXPOENTES.
O mdc (máximo divisor comum) é obtido pelo produto dos FATORES COMUNS elevados aos MENORES EXPOENTES.
Exemplo : A = 23.34.5.72
5 2
B = 2 .5
2
C = 2.3
5 4 2 2
mmc (A,B,C) = 2 .3 .5 .7
mdc (A,B,C) = 2
Regra de três simples direta
Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais.
Para resolver problemas, tomaremos duas grandezas diretamente proporcionais X e Y e outras duas grandezas W e
Z também diretamente proporcionais, de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.
X
W
=K e
=K
Y
Z
assim
X W
=
Y Z
Exemplo: Na extremidade de uma mola (teórica!) colocada verticalmente, foi pendurado um corpo com a massa de
10Kg e verificamos que ocorreu um deslocamento no comprimento da mola de 54cm. Se colocarmos um corpo com
15Kg de massa na extremidade dessa mola, qual será o deslocamento no comprimento da mola? (Kg=quilograma e
cm=centímetro).
Representaremos pela letra X a medida procurada. De acordo com os dados do problema, temos:
Massa do corpo (Kg)
Deslocamento da mola (cm)
10
54
15
X
As grandezas envolvidas: massa e deslocamento, são diretamente proporcionais. Conhecidos três dos valores no
problema, podemos obter o quarto valor X, e, pelos dados da tabela, podemos montar a proporção:
10 54
=
15 X
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Observamos que os números 10 e 15 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela e os números 54 e X
também aparecem na mesma ordem direta que apareceram na tabela anterior e desse modo 10·X=15·54, logo
10X=810, assim X=81 e o deslocamento da mola será de 81cm.
Regra de três simples inversa
Uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais para obter uma
proporção.
Na resolução de problemas, consideremos duas grandezas inversamente proporcionais A e B e outras duas
grandezas também inversamente proporcionais C e D de forma que tenham a mesma constante de
proporcionalidade K.
A·B=K e C·D=K
segue que
A·B=C·D
logo
D
A
=
C B
Exemplo: Ao participar de um treino de Fórmula 1, um corredor imprimindo a velocidade média de 180 Km/h fez um
certo percurso em 20s. Se a sua velocidade média fosse de 200 Km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo
percurso? (Km/h=quilômetro por hora, s=segundo). Representaremos o tempo procurado pela letra T. De acordo
com os dados do problema, temos:
Velocidade (Km/h)
Tempo (s)
180
20
200
T
Relacionamos grandezas inversamente proporcionais: velocidade e tempo em um mesmo espaço percorrido.
Conhecidos três valores, podemos obter um quarto valor T.
T
180
=
200 20
Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela, enquanto que os números 20 e T
aparecem na ordem inversa da ordem que apareceram na tabela acima.
Assim 180.20=200.X, donde segue que 200X=3600 e assim X=3600/200=18. Se a velocidade do corredor for de 200
Km/h ele gastará 18s para realizar o mesmo percurso.
Regra de três composta
Regra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas diretamente proporcionais, inversamente
proporcionais ou uma mistura dessas situações.
O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas, sendo que a
primeira linha indica as grandezas relativas à primeira situação enquanto que a segunda linha indica os valores
conhecidos da segunda situação.
Se A1, B1, C1, D1, E1, ... são os valores associados às grandezas para uma primeira situação e A2, B2, C2, D2, E2,
... são os valores associados às grandezas para uma segunda situação, montamos a tabela abaixo lembrando que
estamos interessados em obter o valor numérico para uma das grandezas, digamos Z2 se conhecemos o
correspondente valor numérico Z1 e todas as medidas das outras grandezas.
Situação
Grandeza Grandeza Grandeza Grandeza Grandeza
Grandeza
Grand...
1
2
3
4
5
?
Situação 1 A1
B1
C1
D1
E1
…
Z1
Situação 2 A2
B2
C2
D2
E2
…
Z2
Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, resolvemos a proporção:
A1 · B1 · C1 · D1 · E1 · F1 …
Z1
=
Z2 A2 · B2 · C2 · D2 · E2 · F2 …
Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, exceto a segunda grandeza (com a letra
B, por exemplo) que é inversamente proporcional à grandeza Z, resolvemos a proporção com B1 trocada de posição
com B2:
Z1 A1 · B2 · C1 · D1 · E1 · F1 …
=
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Z2 A2 · B1 · C2 · D2 · E2 · F2 …
As grandezas que forem diretamente proporcionais à grandeza Z são indicadas na mesma ordem (direta) que
aparecem na tabela enquanto que as grandezas que forem inversamente proporcionais à grandeza Z aparecerão na
ordem inversa daquela que apareceram na tabela.
Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas: A, B, C, D e Z, sendo a primeira A e a terceira C diretamente
proporcionais à grandeza Z e as outras duas B e D inversamente proporcionais à grandeza Z, deveremos resolver a
proporção:
Z1 A1 · B2 · C1 · D2
=
Z2 A2 · B1 · C2 · D1
Observação: O problema difícil é analisar de um ponto de vista lógico quais grandezas são diretamente
proporcionais ou inversamente proporcionais. Como é muito difícil realizar esta análise de um ponto de vista geral,
apresentaremos alguns exemplos para entender o funcionamento da situação.
Exemplos:
1.
Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças de uma mercadoria. Quantas peças dessa
mesma mercadoria serão produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, se essas máquinas funcionarem
durante 9 dias?
Vamos representar o número de peças pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos
organizar a tabela:
No. de máquinas (A) No. de dias (B) No. de peças (C)
5
6
400
7
9
X
A grandeza Número de peças (C) servirá de referência para as outras grandezas. Analisaremos se as
grandezas Número de máquinas (A) e Número de dias (B) são diretamente proporcionais ou inversamente
proporcionais à grandeza C que representa o Número de peças. Tal análise deve ser feita de uma forma
independente para cada par de grandezas.
Vamos considerar as grandezas Número de peças e Número de máquinas. Devemos fazer uso de lógica
para constatar que se tivermos mais máquinas operando produziremos mais peças e se tivermos menos
máquinas operando produziremos menos peças. Assim temos que estas duas grandezas são diretamente
proporcionais.
Vamos agora considerar as grandezas Número de peças e Número de dias. Novamente devemos usar a
lógica para constatar que se tivermos maior número de dias produziremos maior número de peças e se
tivermos menor número de dias produziremos menor número de peças. Assim temos que estas duas
grandezas também são diretamente proporcionais.
Concluímos que todas as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, logo, basta resolver a
proporção:
5×6
400
=
x
7×9
que pode ser posta na forma
400
30
=
x
63
Resolvendo a proporção, obtemos X=840, assim, se as 7 máquinas funcionarem durante 9 dias serão
produzidas 840 peças.
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2.
Um motociclista, rodando 4h por dia, percorre em média 200 Km em 2 dias. Em quantos dias esse
motociclista irá percorrer 500 Km, se rodar 5 h por dia? (h=hora, Km=quilômetro).
Vamos representar o número de dias procurado pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos
organizar a tabela:
Quilômetros (A)
Horas por dia (B)
No. de dias (C)
200
4
2
500
5
X
A grandeza Número de dias (C) é a que servirá como referência para as outras grandezas. Analisaremos se
as grandezas Quilômetros (A) e Horas por dia (B) são diretamente proporcionais ou inversamente
proporcionais à grandeza C que representa o Número de dias. Tal análise deve ser feita de uma forma
independente para cada par de grandezas.
Consideremos as grandezas Número de dias e Quilômetros. Usaremos a lógica para constatar que se
rodarmos maior número de dias, percorreremos maior quilometragem e se rodarmos menor número de dias
percorreremos menor quilometragem. Assim temos que estas duas grandezas são diretamente
proporcionais.
Na outra análise, vamos agora considerar as grandezas Número de dias e Horas por dia. Verificar que para
realizar o mesmo percurso, se tivermos maior número de dias utilizaremos menor número de horas por dia
e se tivermos menor número de dias necessitaremos maior número de horas para p mesmo percurso. Logo,
estas duas grandezas são inversamente proporcionais e desse modo:
200×5
2
=
X
500×4
que pode ser posta como
2
1000
=
X
2000
Resolvendo esta proporção, obtemos X=4, significando que para percorrer 500 Km, rodando 5 h por dia, o
motociclista levará 4 dias.
QUESTÕES ASSOCIADAS
AOS TEMAS
QUESTÃO 01
Considere dois conjuntos numéricos : o conjunto M dos múltiplos positivos de 24 e o conjunto P, integrado pelos divisores de
48.
É certo afirmar que a interseção dos conjuntos M e P tem:
a)
b)
c)
d)
e)
nenhum elemento
um elemento
dois elementos
três elementos
mais de três elementos
QUESTÃO 02
O número de divisores positivos de 360 que não são primos é igual a:
a)
b)
c)
d)
10
19
20
21
22
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e)
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QUESTÃO 03
Na Páscoa, um comerciante de ovos de Páscoa fez a seguinte promoção:
1 ovo = R$ 6,00
2 ovos = R$ 11,00
3 ovos = R$ 15,00
4 ovos = R$ 18,00
Um cliente realizou uma compra sob certas circunstâncias.
Os valores em reais que ele pagou pela compra de 11 ovos e 177 ovos, respectivamente,
são:
a)
b)
c)
d)
e)
66 e 1062
66 e 997
62 e 798
51 e 798
45 e 654
QUESTÃO 04
Uma amiga me deu seu telefone. Ao ligar, a mensagem que ouvi foi “esse número de telefone não existe”.
Conferindo o código DDD e o número, percebi que o último algarismo da direita estava duvidoso. Lembrei-me então que os
dois últimos algarismos formavam um número divisível por 3 e por 4.
Como o penúltimo algarismo era 6, concluí que o último algarismo, certamente, era
(A) 0. (B) 2. (C) 4. (D) (E) 8.
QUESTÃO 05
Considere-se o número 1.549.01A , no qual A representa um algarismo.
Se este número é múltiplo de 4, o maior valor que A pode assumir é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) 8
QUESTÃO 06
O produto dos 100 primeiros números ímpares resulta num grande valor que termina com o algarismo:
a)
b)
c)
d)
e)
zero
um
três
cinco
sete
QUESTÃO 07
Uma cidade tem quatro igrejas e cada igreja tem um relógio.
O relógio da igreja A bate a cada hora, o da igreja B bate a cada
2 horas, o da igreja C bate a cada 3 horas e o relógio da igreja D
bate a cada 5 horas.
Todos os relógios estavam parados e foram acionados,
simultaneamente, a zero hora do dia 10 de outubro de 2005.
Com base nos dados descritos, podemos concluir que os quatro
relógios baterão juntos, pela primeira vez:
a)
b)
c)
d)
e)
no dia 10/10/05 – 20 horas
no dia 10/10/05 – 22 horas
no dia 11/10/05 – 6 horas
no dia 11/10/05 – 18 horas
no dia 11/10/05 – 22 horas
QUESTÃO 08
Eliseu completa cada volta de uma pista oficial em 1 min e 10 seg.
Fred completa a mesma volta em 1 min e 20 seg.
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Partindo juntos da largada, o número de voltas dadas por Fred e Eliseu ao cruzarem juntos o ponto de partida, respectivamente, é
(A) 7 e 8.
(D) 8 e 7.
(B) 6 e 7.
(E) 8 e 6.
(C) 7e 6.
QUESTÃO 09
Um laboratório recebeu o seguinte pedido de três farmácias :
FARMÁCIA
A
B
C
Nº DE VIDROS
130
195
390
O laboratório deseja remeter os três pedidos em n pacotes iguais, de tal forma que n seja o menor possível.
Determine o valor de n.
QUESTÃO 10
A figura mostra, num único plano, seis ângulos marcados em torno do ponto P.
Admita, por hipótese, que você marque três únicos ângulos, ,
e , em torno de
um determinado ponto, toda a figura em um mesmo plano.
As medidas, em graus, desses três ângulos são números diretamente proporcionais a
2, 4 e 6, respectivamente.
Com base nos dados apresentados é VERDADEIRO afirmar que:
a)
a soma das medidas dois menores ângulos é igual a medida do ângulo
raso;
b) a soma das medidas dos dois menores ângulos vale 100o;
o
c) o maior dos ângulos mede 100
d) o maior dos ângulos mede 150o
e) a medida do ângulo é DIFERENTE de 120o
QUESTÃO 11
Numa reportagem publicada no jornal Folha de S. Paulo (06.01.02) sobre dicas de como
limpar manchas nas paredes internas de uma residência, a empresa Tintas Coral sugere
uma receita caseira que deve ser feita com 10 partes de água, 5 de álcool e 1 de
detergente multiuso. Se uma diarista deseja preparar 4 litros dessa receita, deverá usar
de álcool, em litros, o correspondente a:
a) 1
b) 1,25
c) 1,5
d) 1,75
QUESTÃO 12
Uma empresária, mãe de três filhos ( Jonas, Júlio e Jairo, com 2, 3 e 4 anos de idade,
respectivamente) comunicou à uma advogada da empresa que destinaria aos seus filhos uma
poupança que totalizava R$ 130.000,00.
O valor total, determinou a empresária, deveria ser dividido pelos filhos em partes inversamente
proporcionais às suas idades, visto que, por razões naturais, o mais novo deles deveria ter gastos
maiores com educação, por exemplo.
A advogada fez a divisão do valor e creditou, em contas de poupança, o valor relativo à cada um dos
meninos, tendo concluído que:
a) coube a Jonas o total de R$ 50.000,00
b) coube a Júlio o total de R$ 40.000,00
c) coube a Jairo o total de R$ 25.000,00
d) a somas dos valores referentes a Jonas e Jairo totalizou R$ 100.000,00
e) a soma dos valores referentes a Júlio e Jairo totalizou R$ 80.000,00
QUESTÃO 13
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Um motorista viajando a uma velocidade média de 100 km/h percorre um certo trajeto em 6 h.
Na volta, ao manter uma velocidade média de 80 km/h, ele faz o mesmo percurso no seguinte
número de horas:
a) 7,0
b) 7,5
c) 8,0
d) 8,5
e) 9,0
QUESTÃO 14
Trinta operários fazem o reparo de um viaduto em 20 dias trabalhando 8 horas por dia.
O número de operários que seriam necessários para que a mesma obra fosse feita em 40 dias, trabalhando 6 horas por dia,
é:
a) 15
b) 20
c) 25
d) 30
e) 60
QUESTÃO 15
Uma companhia de ônibus realiza viagens entre as cidades de Corumbá e
Bonito. Dois ônibus saem simultaneamente, um de cada cidade, para
percorrerem o mesmo trajeto em sentido oposto. O ônibus 165 sai de Corumbá e
percorre o trajeto a uma velocidade de 120 km/h. Enquanto isso, o 175 sai de
Bonito e faz a sua viagem a 90 km/h. Considerando que nenhum dos dois
realizou nenhuma parada no trajeto, podemos afirmar que:
I - Quando os dois se cruzarem na estrada, o ônibus 175 estará mais perto de
Bonito
do
que
o
165.
II - Quando os dois se cruzarem na estrada, o ônibus 165 terá andado mais
tempo do que o 175.
QUESTÃO 16
Doze operários, em 90 dias, trabalhando 8 horas por dia, fazem 36m de certo tecido. Podemos afirmar que, para fazer 12m
do mesmo tecido, com o dobro da largura, 15 operários, trabalhando 6 horas por dia levarão:
a) 72 dias
b) 85 dias
c) 96 dias
d) 50 dias
e) 64 dias
QUESTÃO 17
Uma obra será executada por 13 operários ( de mesma capacidade de trabalho ) trabalhando
durante 11 dias com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos 8 dias do início da obra 3
operários adoeceram e a obra deverá ser concluída pelos operários restantes no prazo estabelecido
anteriormente. Qual deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários restantes nos dias que
faltam para a conclusão da obra no prazo previsto ?
a) 7 horas e 42 minutos
b) 7 horas e 44 minutos
c) 7 horas e 46 minutos
d) 7 horas e 48 minutos
e) 7 horas e 50 minutos
QUESTÃO 18
Do: Gerente de Lote – 03W
Para : Coordenador de Projeto – Contrato 045/02/2005
Data : 18 de abril de 2005 – 09h 42min
Classificação : Normal
Memorando 0125/GL3W - SP
Caro Irineu:
Apesar do tempo, que não colaborou de segunda (bem cedo) até o final do dia de sextafeira, conseguimos dar conta, nestes dias, dos 270 metros do muro divisório com o estádio.
Atualizada 26/08/2008
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
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AAF
Prof. Cláudio Serra
Matemática
Aula 06
Todos os vinte profissionais que vc me enviou (só tinha esses mesmo) mostraram-se motivados e apresentaram
produtividades bem próximas; tivemos, neste período, que manter a jornada diária de oito horas de trabalho.
Gostaria de informações sobre a nova etapa do cronograma.
Abraços.
Roberto T. S.
Do: Coordenador de Projeto – Contrato 045/02/2005
Para : Gerente de Lote – 03W
Data : 19 de abril de 2005 – 07h
Classificação : Normal
Memorando 0097/CORPRO045
Amigo Roberto,
Parabéns pelo desempenho, mas as notícias que tenho não são tão boas assim.
Precisaremos completar o muro até a margem do rio; são duzentos metros de continuação do que vc fez, mais
duzentos e cinco metros em linha reta, até o Rio do Pó.
Precisarei, para esta etapa, retirar do seu canteiro 14 dos pedreiros que mandei, infelizmente.
E tem mais, eles só poderão trabalhas das 7 às 11 da manhã, todos os dias.
Parece que vai continuar a chover.......
Sua equipe consegue vencer esta nova etapa em 30 dias corridos de trabalho ? Responda urgente !
Abraço forte.
o
Eng Irineu S. R.
Acima estão reproduzidos dois memorandos que transitaram num grande canteiro de obras.
Desta forma, e mantidas as condições de trabalho, podemos concluir que a resposta do Roberto foi:
a) negativa, pois eles levariam mais de 45 dias para concluir a nova etapa;
b) negativa, pois eles levariam entre 39 e 44 dias para concluir a nova etapa;
c) negativa, pois eles levariam entre 31 e 38 dias para concluir a nova etapa;
d) negativa, pois eles levariam entre 20 e 40 dias para concluir a nova etapa;
e) afirmativa
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