Potências e Raízes

POTÊNCIAS E RAÍZES
Da mesma forma que a adição e a subtração, a multiplicação e a divisão, a potenciação
e a radiciação são operações inversas na Matemática, de forma que aplicando uma delas em
um determinado número, pode-se voltar ao mesmo número (teoricamente), aplicando a
operação inversa correspondente à primeira.
-POTENCIAÇÃO- Seja um número n natural e maior que 1: potência de base a e expoente n
é o produto de n fatores iguais a a. Representando a potência pela simbologia an , tem-se que:
an = a . a . a . ... . a (n fatores) (n natural e maior que 1)
POTÊNCIAS DE 2 POTÊNCIAS DE 3
21 = 2
31 = 3
22 = 4
32 = 9
23 = 8
33 = 27
24 = 16
34 = 81
25 = 32
35 = 243
26 = 64
36 = 729
27 = 128
28 = 256
29 = 512
210 = 1024
POTÊNCIAS DE 5
51 = 5
52 = 25
53 = 125
54 = 625
55 = 3125
POTÊNCIAS DE 6
61 = 6
62 = 36
63 = 216
QUADRADOS PERFEITOS
02 = 0
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81
102
112
122
132
142
152
162
172
182
192
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
100
121
144
169
196
225
256
289
324
361
202
212
222
232
242
252
262
272
= 400
= 441
= 484
= 569
= 576
= 625
= 676
= 729
...
302 = 900
402 = 1600
502 = 2500
602 = 3600
702 = 4900
802 = 6400
902 = 8100
1002 = 10000
5002 = 250000
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS
P1 ; am . an = am+n
exemplo: 24 . 27 = 211
P2 ; am : an = am - n
exemplo: 312 : 35 = 37
P3 ; (am )n
= am.n
exemplo: (26)2 = 212
P4 ; (a . b)n = an . bn
exemplo: 65 = (2 . 3)5 = 25 . 35
P5 ; (a : b)n = an : bn
exemplo: 4 : 9 = (2 : 3)2 = 22 : 32
P7 ; a1 = a
P8 ; 0n = 0
P10 ; a-n = 1 : an
P6 ; 1n = 1
P9 ; a0 = 1 (a  0)
(n  0)
( a  0)
SINAIS:
(+)PAR = (+)
(+)ÍMPAR = (+)
(–)PAR = (+)
(–)ÍMPAR = (–)
Exercícios - Calcule as potências:
a) 43 =
b) (–3)4 =
c) –34 =
d) (–1)3 =
e) (–1)4 =
f) (–1)2168 =
g) –13978 =
h) (–6)–3 =
i) –5–4 =
2
j) (  )  3 =
5
1
l ) ( )7 =
2
4
m)  ( ) 2 =
3
-RADICIAÇÃO- Seja a um número natural não-nulo; um número x é chamado raiz
enésima de a, se, e somente se, elevado ao expoente n, reproduz o número a. Ou seja: x é
raiz enésima de a  xn = a
exemplos:
7 é a raiz quadrada de 49, pois 72 = 49
3 é a raiz cúbica de 27, pois 33 = 27
Simbologia:
n
ax
n = índice da raiz
a = radicando
x = raiz enésima de a
n  2 n (A raiz quadrada de um número n desobriga a colocação do índice 2 no
Obs:
radical)
Conseqüências:
IMPAR
 ou   
Sendo n, natural e n >1:
n
11
PAR
  
ÍMPAR
 1  1
PAR
  
PAR
 1 
PROPRIEDADES DAS RAÍZES (Obedecidas as condições de existência)
3
2.3 7  3 14
P1 ;
n
a .n b  n a.b
exemplo:
P2 ;
n
a :n b  n
a
b
exemplo:
18 : 6 
P3 ;
mn
a  m.n a
exemplo:
3
an
exemplo:
( 5 )2  5 2  25  5
am.p
exemplo:
3
P4 ; ( a )n =
P5 ;
n
P6 ; a
am 
m
n

n.p
n
a
m
exemplo:
18
 3
6
10  6 10
2  3.4 24  12 16
3
45
 5 43
Não esquecer: “ Quem está por dentro, está por cima; quem está por fora, está por baixo ”.
CUIDADOS:
a)
2 3  5
b) 3 4 .4 7  12 28
c) 36 = 6
d) x2 = 36  x = 6 ou x = – 6
EXTRAÇÃO INSTANTÂNEA DE RAÍZES QUADRADAS
Vamos rever os quadrados perfeitos apresentados no início da teoria das potências:
Note que a terminação (unidade) desses números aparece apenas em 6 resultados: 0, 1, 4, 5, 6
ou 9. Analisando o esquema abaixo, podemos concluir que é possível determinar o algarismo das
unidades, e em algumas vezes, o das dezenas de uma raiz quadrada de um determinado número,
de acordo com a sua terminação.
terminação em x
terminação em x2
0
0
1
1
2
4
3
9
4
6
5
5
6
6
7
9
8
4
9
1
Note que só existem 6 terminações diferentes para os quadrados perfeitos, portanto é
fácil concluir que números terminados em 2 , 3 , 7 e 8 não possuem raiz quadrada exata.
Assim invertendo o raciocínio anterior temos:
QUADRADO PERFEITO TERMINADO EM:
0
1
4
5
6
9
RAIZ QUADRADA TERMINADA EM:
0
1
ou
9
2
ou
8
5
4
ou
6
3
ou
7
Assim podemos aplicar esses conhecimentos iniciais, para extrair rapidamente a raiz
quadrada de um número elevado como, por exemplo, 7396.
Verificando os quadrados perfeitos em intervalo de 10 unidades, encontramos 102 = 100 ,
202 = 400, 302 = 900 ... até chegarmos em 802 = 6400 e 902 = 8100. Note que 802 não
chegou no número solicitado (7396), porém 902 ultrapassou-o . Dessa forma, podemos concluir
que a raiz quadrada de 7396 será um número entre 80 e 90; porém como 7396 tem a
terminação 6, pela tabela acima, sua raiz quadrada deverá terminar em 4 ou em 6. Assim, só
existirão duas possibilidades para a raiz quadrada de 7396: 84 ou 86. Por uma simples
tentativa descobrimos que sua raiz quadrada vale 86.
E se um quadrado perfeito por maior que 10000 ? Precisamos lembrar que 100 2 = 10000,
portanto, sua raiz quadrada será maior que 100.
Determine a raiz quadrada dos números:
3364
11449
29929
5625
19321
45796
71289
44944