Campos Magnéticos Produzidos por Correntes

Aula-09
Campos Magnéticos
Produzidos por Correntes
Curso de Física Geral F-328
2o semestre, 2013
Lei de Biot - Savart
Assim
 como o campo elétrico


dEproduzido por cargas é:
idl
r
⊗
dB

1 dq
1 dq ,
dE =
rˆ =
r
2
3
4πε 0 r
4πε 0 r


r
dE
distribuição
de maneira análoga,
o
campo
de corrente

magnético dB produzido por cargas
distribuição
de carga
em movimento (correntes) é:
 

 µ0 idl × r
µ0 idl × rˆ ,
dB =
=
3
2
4
π
r
4
π
r


onde dl é um elementode comprimento sobre a linha de corrente, r é
um vetor que vai de idl até o ponto P e
−7 T ⋅ m
− 6 T ⋅ m é a permeabilidade do vácuo.
µ0 = 4π ×10
≈ 1,26 ×10
A
A

Campo B num ponto P qualquer
z
C

idl θ

r
y
x

⊗
P dB

 µo idl ×rˆ
dB =
4π r 2


µ0 idl × rˆ
B=∫
2
4
π
r
C
(Lei de Biot-Savart)
Campo magnético de um fio retilíneo
longo com corrente i
 
 µo idl ×r
se reduz a:
Neste caso, a lei de Biot-Savart dB=
3
4π r
µo i dz senθ µo i dz sen β
β = π - θ ∴ sen θ = sen β )
(
dB =
=
2
2
4π
Mas:
r
4π
r
z
cotg β = → dz = − R cosec2 β dβ
R
R
sen β = ⇒ r 2 = R 2cosec2 β
r
Integrando-se:
− µ 0i
µ0 i
B=
sen
β
d
β
=
2π R π∫
2π R

dl
β
z
0

r

dB

B
i

Sentido do campo B : dado pela regra
da mão direita ou regra do saca-rolhas
(ver figura)
2
i
µ 0i (fio semiB=
4π R infinito)
Campo magnético de um fio infinito
As linhas de campo magnético são linhas a partir das quais
pode-se visualizar a configuração do campo magnético de uma
dada distribuição de correntes no espaço. Como vimos, no
entorno de um fio longo transportando uma corrente, elas são da
forma:
i

B

dl
i=0
corrente “entrando” no papel

Observe que as linhas de B são fechadas.

B de uma corrente em um arco circular
•  Calcular o campo magnético no ponto O.
 
•  Para os segmentos A A′ e C C ′ da figura, o produto dl × r é nulo
(vetores paralelos e antiparalelos)
 
•  No arco AC , d l e r são perpendiculares.
i
Neste caso:
µ 0iϕ ,
B=
4π R
r̂
ϕ
onde ϕ é o ângulo central
subentendido pelo arco. Se ϕ = 2π :
µ 0i
(campo no centro de uma espira)
B=
2R

dl
i
Força entre dois fios condutores paralelos

A corrente do fio a gera um campo B a na posição do fio b:



µ 0 ia
µ0 ia dla × rˆ
B
=
eˆϕ
Ba = ∫
a
2
2π d
4π
r
a

O fio b, na presença de Ba , fica sujeito a uma uma força dada por:
  µ i i 

µ i i
dFba = ib dlb × Ba = 0 a b dlb × eˆϕ = 0 a b dl b ( − rˆ) (de atração, neste caso)
2π d
2π d
A força sobre um comprimento Lb do fio b vale:

µ0 ia ib Lb
Fba =
( − rˆ) ou
2π d
Fba µ 0 ia ib
=
Lb
2π d
(módulo da força por unidade de comprimento)

ia dla
d
ia
Esta expressão possibilita a definição do ampère.

Fba ê
ϕ


r ib dlb
ib

Ba
Campo magnético de uma bobina
O campo de uma bobina não tem simetria suficiente para ser
calculado pela lei de Ampère. Usaremos a lei de Biot-Savart para

calcular B em pontos do eixo central da espira.
dB

dB



Temos: dB( z ) = dB|| + dB⊥

||

Como a soma vetorial dos dB⊥ se anula:
B( z ) = ∫ d B|| = ∫ dB cosα
µ0i dl
0
dB =
sen
(
90
)
2
4π r
R
R
r 2 = R 2 + z 2 e cos α = =
r
R2 + z 2
dB

r

dl
Substituindo essas três relações na integral de B(z) tem-se:
2
µ0iR
µ
i
R
0
B( z )=∫dB|| =
dl
B
(
z
)
=
∫
4π ( R 2 + z 2 ) 3/2 espira
2( R 2 + z 2 ) 3/2
z
Campo magnético de uma bobina
Vimos:
B( z ) =
µ0iR 2
2( R 2 + z 2 ) 3/2
≈
Para pontos afastados ( z >> R ):
µ 0i R
B( z ) ≈
2z3
i
2
Lembrando
que π R = A é a área da

espira e µ = i Anˆ é o seu momento de dipolo
2
magnético:
µ0 iA
B( z ) =
2π z 3
i

B


µ0 µ
B( z ) =
2π z 3
(a bobina se comporta como um ímã – ver semelhança das linhas)
Circuitação de um campo vetorial

•  Cada linha de B é uma
 curva fechada.
•  A determinação de B pode ser feita em termos da sua
circuitação. 
 
Circuitação de B ao longo de um contorno C : ∫ B ⋅ dl

θ B
i
C

r
C

dl
dϕ
θ

r

B
dl cosθ

µ 0i
Intensidade de B : B=
2π r
∫
C
 
B ⋅ dl = Bdl cosθ
∫
C
Mas, da figura: rdϕ = dl cos θ
µ0 i
µ0i
∫C Bdl cosθ = ∫ Br dϕ = ∫ 2π r r dϕ = 2π ∫ dϕ = µ0i
A lei de Ampère
 
∫ B ⋅dl = µoienv (lei de Ampère)
C
Da figura ao lado tem-se:

dl
ienv = i1 − i2 ⇒ ∫ Bdl cosθ = µo (i1 − i2 )
Então:
C
C
 
∫ B ⋅dl = µo (i1 − i2 )
sentido de
integração
sentido de
integração
C
A lei de Ampère é geral, mas a sua
utilidade no cálculo do campo magnético
devido a uma distribuição de correntes
depende da simetria da distribuição.

B
C
Campo magnético de um fio infinito
 
Lei de Ampère: ∫ B⋅dl =µ 0 i

 
C
Em C, B é paralelo a dl e B =uniforme ∴
µ0 i
 
µ
i ⇒ B=
B
dl
=
B
⋅
2
π
r
=
B
⋅
d
l
=
0
∫
∫
2π r
C
r
C
i
i

B

dl
i=0
a bússola aponta sempre
na mesma direção (norte
geográfico)
a bússola aponta
na

direção de B resultante
limalhas de ferro nas
proximidades do fio

B

dl
Campo magnético de um fio cilíndrico
longo com corrente

B possui simetria cilíndrica em torno do fio e a mesma
intensidade em todos os pontos a uma distância r do centro.
Curva 1 ( r>R ):
 
∫1 B ⋅ dl = ∫1 Bdl cosθ = µ0 i0


o
θ
=
0
⇒ cos θ =1
d
l
é
paralelo
a
B
∫ Bdl cosθ = B ∫ dl
1
B(2π r ) = µ0i0
= B ⋅ 2π r
µ0 i 0 (fora do fio)
B=
2π r
i0

dl
Campo magnético de um fio cilíndrico
longo com corrente
Curva 2 ( r<R ):
∫ Bdl cosθ = B ∫ dl
i0
= B ⋅ 2π r
2
A corrente envolvida pela curva 2
(de raio r) é:

dl
π r2
ienv = i0
π R2
π r2
µ 0 i0
B( 2π r ) = µ0ienv = µ0i0
⇒
B=
r
2
2
πR
2π R
(dentro do fio)

O sentido de B é dado pela regra da mão direita.

Gráfico da intensidade de B de um fio
cilíndrico longo com corrente
•  Para r ≤ R :
µ 0 i0
B=
r
2
2π R
•  Para r ≥ R :
µ 0 i0
B=
2π r
dentro
fora
Solenoides e Toroides
•  Um fio longo enrolado formando uma bobina em espiral é
chamado de solenoide.
•  O campo magnético do solenoide é a soma vetorial dos campos
produzidos por cada uma das voltas do fio que o forma.
≈
Solenoide esticado
Solenoide compacto
ímã
Campo de um solenoide
O campo no interior de um solenoide é praticamente uniforme. As figuras
abaixo mostram um solenoide ideal e um solenoide real. Em ambos os casos os
campos fora do solenoide são muito fracos, em comparação com os do interior.
Aplicando-se a lei de Ampère à curva abcd:
  b  c  d  a 
∫ B⋅dl = ∫ B⋅dl + ∫ B⋅dl + ∫ B⋅dl + ∫ B⋅dl = Bh = µ0ienv
C
a
b
c
d
Havendo n espiras por unidade comprimento no solenoide:
ienv = nhi0
B = nµ0i0
Campo de um toroide
A figura mostra o enrolamento de um
 toroide de N voltas,
transportando uma corrente i. O campo B é diferente de zero apenas
no interior do toroide. Sua intensidade varia com r.
Aplicando-se a lei de Ampère para
a curva tracejada em azul, tem-se:
 
∫ B⋅dl =µ0i N
∫
C
B=
 
B ⋅ dl = B(2π r )
C
Nµ0 i
2π r

dl

B
i
i
( toroide )
N
≈ n , esta expressão é parecida à do campo
Note que como
2π r
magnético de um “solenoide enrolado”.
Lista de exercícios do Capítulo 29
Os exercícios sobre Lei de Ampère estão na página da disciplina :
(http://www.ifi.unicamp.br).
Consultar: Graduação à Disciplinas à F 328-Física Geral III
Aulas gravadas:
http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi)
ou
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)
F328 – 1S20123
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