I Lista de Exercícios de Análise - FTP da PUC

I Lista de Exercícios de Análise
1 – Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa:
a)Entre dois números racionais distintos quaisquer existem infinitos números racionais
b)Entre dois números racionais distintos quaisquer existem infinitos números reais
c)Entre dois números racionais distintos temos mais reais do que racionais
d)Entre dois racionais distintos temos tantos racionais quanto os números naturais
2 – Mostre que:
a) √2 .m, sendo m racional, é irracional.
b) √2 .m + n, sendo m e n racionais, é irracional.
c) x.m, sendo x irracional e m racional, é irracional.
b) x.m + n, x irracional e m e n racionais, é irracional.
3 – Mostre que a diagonal de um quadrado de lado l racional, é irracional
4 – Construa uma relação biunívoca entre os números pares e os racionais maiores que
0.
5 – Construa uma ordenação para os inteiros tais que a é antecessor de b se a < b , e
se a = b então a é antecessor de b se a for positivo. Com tal ordenação o conjunto dos
inteiros é bem-ordenado?
6 – Construa uma ordenação para os racionais positivos tais que p/q é antecessor a m/n
se (p+q) < (m+n) e se (p+q) = (m+n) então p/q é antecessor a m/n se p < q. De acordo
com esta ordenação, ordene:
1/3, 2, 3/5, 2/7, 1/8, 7/2, 3/7
5 – Considerando 1/3 e ¾ mostre que existem infinitos racionais entre eles (construa).
Mostre que o intervalo aberto ]1/3, 3/4[ não tem elemento mínimo nem máximo.
6 – Construa uma seqüência (crescente ou decrescente) de 4 números na base 3 sendo
que a cada novo número gerado temos um dígito acrescido depois da vírgula sendo
portanto uma melhor aproximação para o número √2 .
(Dica: Comece situando √2 , entre 1 e 2 e divida este intervalo em três partes iguais.
Localize √2 em quais das partes está, e agora subdivida esta nova parte em 3 partes
novamente. Assim sucessivamente).
7 – Faça o mesmo para a base 5.