Binômio de Newton Desenvolvimento de (x + y)n
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Binômio de Newton n Desenvolvimento de (x + y) Termo geral Coeficientes Expoentes Desenvolvimento de (x + y)n Observando as identidades (x + y)0 = 1(x + y)1 = 1 . x + 1 . y (x + y)2 = 1 . x2 + 2 . xy + 1 . y2 (x + y)3 = 1 . x3 + 3 . x2y + 3 . xy2 + 1 . Y3 nota-se que, nas parcelas de cada desenvolvimento: a) as potências de x aparecem com expoentes em ordem decrescente; b) as potências de y aparecem com expoentes em ordem crescente; c) os coeficientes numéricos coincidem com os elementos das linhas do Triângulo de Pascal. Teorema do Binômio de Newton a) Sendo x e y dois números reais e n um número natural, demonstra-se que: b) Utilizando o símbolo de somatório, pode-se também escrever: c) Número de parcelas: o desenvolvimento de (x + y)n tem n + 1 parcelas. 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 Cálculo dos coeficientes: Os coeficientes numéricos , , ,…, podem ser 0 𝑛 1 2 calculados pela definição de Número Binomial ou então podem ser obtidos diretamente de cada linha do Triângulo de Pascal. A maneira mais prática de calcular os coeficientes, porém, é lembrar que o primeiro é sempre igual a 1 e que os demais são obtidos a partir 𝑛 𝑛 𝑛−𝑘 do anterior pela Relação de Fermat, que é . = . 𝑘+1 𝑘+1 𝑘 c) Observando que (x – y)n = [x + (– y)n] e que (– y)0 = y0, (– y)1 = – y1, (– y)2 = y2, (– y)3 = – y3 etc., temos: Termo geral Podemos concluir que o termo de ordem k + 1 do desenvolvimento de (x + y)n feito segundo os expoentes decrescentes de x, é: É importante observar que, no desenvolvimento de (x + y)n, feito segundo expoentes crescentes de x, o termo de ordem k + 1 é: Soma dos coeficientes A soma dos coeficientes numéricos do desenvolvimento de (ax + by)n, com a e b constantes, obtém-se fazendo x = y = 1. A soma vale, portanto, (a . 1 + b . 1)n, ou seja, (a + b)n. Exercícios Resolvidos 1. quarto termo do desenvolvimento de (2x + y)8, feito segundo os expoentes decrescentes de x, é igual a: a) 56x5y3 b)36x3y5 c) 1792x5y3 Resolução 𝑪𝒐𝒎𝒐 𝑻𝒌+𝟏 𝑻𝟒 = 𝟖 𝟑 𝒏 𝒏−𝒌 𝒌 = 𝒏 . 𝒚 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 + 𝒚 𝒏 , 𝒕𝒆𝒎𝒐𝒔: 𝒌 𝟐𝒙 𝟓 . 𝒚𝟑 = 𝟓𝟔 . 𝟑𝟐𝒙𝟓 𝒚𝟑 = 𝟏𝟕𝟗𝟐𝒙𝟓 𝒚𝟑 1792x3y5 2240x4y4 1 2 2. 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑏𝑖𝑛ô𝑚𝑖𝑜 𝑥 − 3 𝑥 a) o termo médio. b) o termo independente de x. 10 , 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒: Resolução a) Como o desenvolvimento tem 10 + 1 = 11 termos, o termo médio é o sexto. 𝑻𝒌+𝟏 = 𝒏 𝒏−𝒌 𝒌 𝒙 𝒚 𝒌 𝟏𝟎 𝑻𝟔 = 𝟔 𝟏𝟎−𝟓 𝒙𝟐 𝟓 −𝒙−𝟑 𝒃) 𝑻𝒌+𝟏 = 𝟏𝟎 𝒌 𝟏𝟎−𝒌 𝒌=𝟒 𝒙𝟐 −𝟐𝟓𝟐𝒙−𝟓 = −𝒙−𝟑 𝒌 = = 𝟐𝟓𝟐 − 𝟓 𝒙 𝟏𝟎 𝟐𝟎−𝟐𝒌 𝒙 −𝟏 𝒌 𝒙−𝟑𝒌 = 𝒌 −1 𝑘 10 20−5𝑘 𝑥 = 𝑘 𝟐𝟎 − 𝟓𝒌 = 𝟎 Exercícios Propostos Nas questões de1 a 9, desenvolver: 1) 𝑥 + 𝑦 0 2) 𝑥 + 𝑦 1 3) 𝑥 + 𝑦 2 4) 𝑥 + 𝑦 3 5) 𝑥 + 𝑦 4 6) 𝑥 + 𝑦 5 7) 𝑥 − 𝑦 5 8) 𝑥 + 𝑦 6 9) 𝑥 − 𝑦 6 11) Calcular o quarto termo do desenvolvimento de (x + 2y)10, feito segundo os expoentes decrescentes de x. Solução 𝑻𝒌+𝟏 = 𝑻𝟒 → 𝒌 + 𝟏 = 𝟒 → 𝒌 = 𝟒 − 𝟏 → 𝒌 = 𝟑 𝟏𝟎! 𝟏𝟎.𝟗.𝟖.𝟕! 𝟏𝟎 = = = 𝟑!.𝟕! 𝟑.𝟐.𝟏.𝟕! 𝟑 𝟏𝟎.𝟗.𝟖 𝟑.𝟐 = 𝟏𝟎.𝟑.𝟒 𝟏 = 𝟏𝟐𝟎𝒙𝟕 𝟖𝒚𝟑 = 960 𝒙𝟕 𝒚𝟑 12)Calcular o termo de grau 9 no desenvolvimento de Solução: 𝑥2 + 1 12 𝑥3 𝑰) 𝑻𝒌+𝟏 𝟏𝟐 = 𝒌 𝒙 𝟐 𝟏𝟐−𝒌 𝟏𝟐 𝟐𝟒−𝟐𝒌 −𝟑𝒌 𝒙 𝒙 = 𝒌 𝟏 𝒌 𝒙𝟑 𝟏𝟐 𝟐𝟒 −𝟓𝒌 𝒙 𝒙 𝒌 𝑰𝑰) 𝟐𝟒 − 𝟓𝒌 = 𝟗 → 𝟐𝟒 − 𝟗 = 𝟓𝒌 ⟶ 𝟐𝟓 = 𝟓𝒌 ⟶ 𝒌 = 𝟓 𝟏𝟐! 𝟏𝟐. 𝟏𝟏. 𝟏𝟎. 𝟗! 𝟏𝟐 𝟗 𝑰𝑰𝑰) 𝑻𝟒 = 𝒙 = = = 𝟐. 𝟏𝟏. 𝟏𝟎. 𝒙𝟗 = 𝟐𝟐𝟎𝒙𝟗 𝟑 𝟑!. 𝟗! 𝟑. 𝟐. 𝟏. 𝟗!
