Disciplina: Cálculo I Cód.: 1200003 Obs.: Média Final (M) = (1ª

Disciplina: Cálculo I
Cód.: 1200003
Obs.:
Média Final (M) = (1ª. Avaliação x 2 + 2ª. Avaliação x 3 + 3ª. Avaliação x 4)/9
Se M  7  Aprovação
Se 3,5  M < 7  Prova Final (PF)
Se M < 3,5  Reprovação.
Para ser aprovado com PF a nova média deve ser maior ou igual a cinco, considerando a seguinte fórmula:
Média Final (com PF) = (7 x M + 3 x PF)/10
Obs2.: Atendimento aos alunos (com Prof. Brandão): Todas as terças-feiras nos seguintes horários: Manhã: De 11:00
às 13:00 e Tarde/Noite: De 17:00 às 19:00
1ª. Lista de Exercícios
1ª. Avaliação – Estimativa: 08/04/2009
Conteúdo: Funções e limites
01). A tabela abaixo mostra a temperatura das águas do Oceano Atlântico (ao nível do Equador) em função da
profundidade:
Profundidade (m)
0
100
500
1.000
3.000
Temperatura (oC)
27
21
7
4
2,8
Admitindo linearidade entre duas medições consecutivas, qual a temperatura prevista para a profundidade de 400m ?
E para uma profundidade p qualquer?
02). Duas funções importantes em finanças são: Receita total: RT = P x Q e Custo total: CT = CF + CVU x Q, onde:
P = preço de venda unitário; CF = custo fixo; CVU = custo variável unitário e Q = quantidade produzida e vendida.
Certa metalúrgica produz uma peça, para a qual são conhecidos os seguintes dados mensais:
P = $ 5.000,00; CF = $ 100.000,00; CVU = $ 2.000,00 e lucro L = RT – CT = 800.000,00.
A fim de enfrentar seus concorrentes, decide reduzir em 20% o preço de venda unitário, mas pretende obter o
mesmo lucro, através do aumento em Q de… (em %).
03). Qual a notação que representa a função real assim definida: “Em uma conta de luz paga-se um valor fixo de R$
1,34, correspondendo à taxa de iluminação pública, e, por cada kwh consumido, paga-se R$ 0,92.” Considere y o
valor a se pagar e x o consumo em kwh.
04). Para produzir um objeto, uma firma gasta R$1,20 por unidade. Além disso, há uma despesa fixa de R$ 4.000,00,
independente da quantidade produzida. O preço de venda é de R$ 2,00 por unidade. Qual é o número mínimo de
unidades, a partir da qual a firma começa a ter lucro?
05).equação de oferta (Eo) é uma função econômica que relaciona o preço de venda unitário (p) com a quantidade
(x) oferecida pelo produtor. Equação de demanda (Ed) é uma função econômica que relaciona preço de venda
unitário (p) com a quantidade (x) demandada pelo consumidor.
Considere:
Eo = 2x + p – 10 = 0
Ed = p² - 8x – 5 = 0.
Determinar o ponto de equilíbrio (PE) entre as funções.
Obs.:
1). O PE é dado por um par de valores (x, p) que satisfaz as duas equações.
2). Em Economia, só interessam valores positivos de x e de p.
06). Calcular o seno e o cosseno dos seguintes ângulos: 30º, 45º, 60º, 120º, 315º.
Obs.: Não precisa demonstrar... sen(a  b) = sen(a).cos(b)  sen(b).cos(a).
Qual é a expressão equivalente para o cos(a  b)?
07). Para que valor(es) de x  R a função real f(x) = x² + x + 3 produz imagem igual a 5?
08). Qual é o domínio de f(x) =
3  x ? E de g(x) =
1

x
1
x 1
?
09). A inversa da função f(x) = x/(x + 2) é...
10). Calculando: f(g(0)) + g(f(1)), sendo: f(x) = x² e g(x) = x, temos...
11). O custo de produção de p unidades de um produto é dado por c(p) = p² + 2p reais e o número de unidades
produzidas, em função do tempo t, é dado por p(t) = 2t + 1, t em horas. Qual é o custo (em R$) na 5a hora?
12). A função f(x) =
x 2  1 está bem definida para valores de x da forma...
13). O domínio da função real dada por
1 x
é...
x4
14). Sejam f(x) = x² + 2x e g(x) = x + 1. Então f(g(x)) é igual a...
15). Sejam f e g funções reais definidas por f(x) = x – 4t e g(x) = x² - t. Se f(g(1)) = 16, então t vale...
16). Seja f uma função real definida por f(x) = ax + b e tal que f(f(x)) = x + 1, para todo x real, então a e b valem,
respectivamente...
17). Se f é uma função tal que f(1) = 3 e f(x + y) = f(x) + f(y) para quaisquer x e y reais, então f(1235) é:
18).Seja f uma função de variável real tal que f(x + y) = f(x).f(y), para quaisquer x e y reais. Se f(1) = 2, determine
f(5000).
19) Funcionários do departamento de engenharia de trânsito de um município resolveram efetuar um levantamento
sobre o número de pessoas que saíam do município por uma determinada rodovia. Para tal, dividiram o problema em
duas etapas: o número de veículos que deixavam a cidade por minuto e quantas pessoas havia em cada veículo.
Quanto ao número de veículos por minuto, concluíram que, em média, 08 veículos deixavam a cidade por minuto,
ou seja, v(t) = 8t, onde t indica o número de minutos. Já o número de pessoas por veículo obedecia à lei de formação
p(v) = 3v + 1, sendo v o número de veículos e p o número de pessoas.
Em média, após 08 minutos, quantas pessoas devem ter saído da cidade pela rodovia observada?
20). O valor de a que torna verdadeira a equação 2ª.4ª + 1.8a + 2 = 16a + 3 é...
21). Qual é a metade de 2²²?
22). Uma alga cresce de modo que, em cada dia, ela cobre uma superfície de área igual ao dobro da coberta no dia
anterior. Se esta alga cobre a superfície de um lago em 100 dias, em quantos dias duas algas da mesma espécie
cobrem a superfície do mesmo lago?
23). Estima-se que a população da terra cresça exponencialmente, conforme a função P = B.ekt onde p é a população
em função do tempo t, B é a população inicialmente observada, k é uma constante de proporcionalidade e a base e é o
número de Euler. Sabe-se que em 1975 a população da terra era em torno de 4 bilhões e, em 2000, ultrapassou os 6
bilhões de habitantes. Qual a população estimada para o ano 2025 (em bilhões)?
24). Determine a menor solução inteira da inequação (4/3)4x + 7 > (27/64)2 – x
25). Só existe log(2x – 4) 3 se...
26). Para determinar uma escala para a medição de um terremoto, Richter usou a fórmula:
M = log A + 3.log 8.dt – 2, 92
Em que M é a magnitude do terremoto, A, em mm, é a amplitude do terremoto medida em um sismógrafo e dt é o
intervalo, em segundos, entre ondas de um sismógrafo.
Se certo terremoto teve uma amplitude de 23 mm cuja duração entre ondas foi de 24 segundos, sua magnitude está
entre:
Dados: log 23 = 1,36; log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48.
27). Considere a função f(n) = c(1 + i)n. Então f(n) – f(n – 1) vale...
28). Construa o gráfico de f(a) = 2ª bem como de f(a) = (½)ª. O que podemos concluir?
29). O valor de um carro diminui 20% ao ano. Se R$ 20.000,00 é o valor atual do carro, em quantos anos valerá R$
10.400,00? (Use, após interpretar, a função da questão 27)
30). Em Química, define-se o pH de uma solução como o logaritmo decimal do inverso da respectiva concentração de
H3O+. O cérebro humano contém um fluido cuja concentração de H3O+ é 4,8x10-8 (em média). Então o pH desse
fluido:
31). Considere um círculo de raio igual a x cm, se um quadrado está inscrito neste círculo, determine a área A do
quadrado em função de x. E como seria a área caso o quadrado estivesse circunscrito?
32). Dado um pedaço de papelão quadrado com 8 cm de lado, tira-se de cada canto do papelão, quadrados com x
cm de lados e os bordos são dobrados de modo que forme uma caixa sem tampa. Determine:
(a) O volume V da caixa em função de x;
(b) A área S da caixa em função de x.
Nos exercícios abaixo, faça o gráfico da função indicada:
 x 2  1
se  2  x  2 e x  1;
34. g(x)   1  x

x se x  2, 1 e 2
 x 2 se  2  x  0

36. P(x)   x se 0  x  1 ;
 1 se 1  x  2
0 se x  1
;
33. f (x)  
1 se x  1
35.
2

p(x)   x  21 se x  1 ou x  1;
 1  x se  1  x  1
37.
m(x)  1  x2 ;
38.
s(x)  [x  1]. (função maior inteiro)
Nos exercícios que se seguem, para cada uma das funções dadas, (i) faça o gráfico, (ii) verifique se o
limite indicado existe observando o gráfico e (iii) caso o limite exista, dê o seu valor:
 2 se x  1
f (x)  
 2 se x  1, lim f (x);
x1

1 se x  2

40. g(x)   2
, lim g(x);
x

2
se x  2 x 2


lim F(x)
  1 se x  2
x 2

1 se x  2
, e
41. F(x)  
 x2  4
F(x);
 x  2 se x  2 e 2 xlim
2
39.
 x3  x
 x 2  x se

42. G(x)  
3 se
 x2
 2x se

2
2
3
43. A equação y  x  x
x  1e x  0
1 x  3
, lim G(x), lim G(x) e lim G(x).
x 0
x 3
x 1
x 3
define duas funções de x, uma com y  0 e outra com
cada uma dessas funções, verifique se é possível definir os seguintes limites:
(a) lim f (x);
(b) lim f (x);
(c) lim
x 1
(d)
(g)
lim f (x);
(e)
lim f (x);
(h)
x 0
x 1
x 1
x 1
lim f (x);
(f)
lim f (x);
(i)
x 0
x 1
44). Considere o limite quando “x” tende para “a” de p(x)/q(x) em cada caso:
a) p(x) = x² - 4, q(x) = x³ - 8 e a = 2;
b) p(x) = x² - 4, q(x) = x² - 5x + 6 e a = 2;
c) p(x) = x² - x – 12, q(x) = x² - 5x + 6 e a = 3;
d) p(x) = x – 1, q(x) = x – 1 e a = 1;
y  0 . Chamando de f
f (x);
lim f (x);
x 0
lim f (x).
x 1