B = BI = B.(AC) = (BA).C = IC = C

COLÉGIO SANTO ANTONIO MARIA ZACCARIA
Lista de Exercícios – Segundo ano – MATRIZES – Professores.: André Luis e Carolina
Seguem algumas propriedades das operações
com matrizes.
1) Sejam A = (aij), B = (bij) e C = (cij) matrizes
mn;  e  números reais:
(i) A + B = B + A
(ii) (A + B) + C = A + (B + C)
(iii) 0mn | A; 0  A  A  0  0 ; 0 = (xij) | xij = 0,
i |1m e j |1n (matriz nula)
(iv) A,  ( A) | A  ( A)  ( A)  A  0
(v) (A + B) = A + B
(vi) ( + )A = A + A
(vii) ()A = (A)
(viii) I.A = A

2 4 


A   3  1
5
2  32

t
PROPRIEDADES
Sejam A = (aij) , B = (bij) matrizes e ,  números
reais:
(i) (At)t = A
(ii) (A)t = At
(iii) (A + B)t = At + Bt
(vi) (A.B)t = Bt.At
TRAÇO
n
Seja A = (aij) uma matriz nn; tr(A) =
a
i 1
Obs.:
Sejam A = (aij) e B = (bij) matrizes mn;
A – B = A + (-B)
PRODUTO DE MATRIZES
Sejam A = (aij) uma matriz mp e B = (bij)
uma matriz pn; A.B = C tal que
C = (cij) é uma matriz mn e cij 
p
a
k 1
ik
 bkj
Ex.:
2 3 5 

A = 
e B=
 4  1 2  23
2 3 5 

Ex.: A = 
 4  1 2  23
1
3 2  3 


2 3 1 
0 5 2 

 33
c11 = 2.3 + 3.2 + 5.0 = 12,
c12 = 2.2 + 3.3 + 5.5 = 38,
c13 = 2.(-3) + 3.1 + 5.2 = 7
c21 = 4.3 + (-1).2 + 2.0 = 10,
c22 = 4.2 + (-1).3 + 2.5 = 15,
c23 = 4.(-3) + (-1).1 + 2.2 = -9
7
 12 38

logo: A.B = 
10 15  9  23
PROPRIEDADES
Sejam A, B e C matrizes e ,  números
reais:
(i) Amp ; Bpn  (A).(B) = (A.B)
(ii) Amp ; Bpq ; Cqn  A.(B.C) = (A.B).C
(iii) Amp ; Bpn ; Cpn  A.(B + C) = A.B + A.C
(iv) Apn ; Bmp ; Cmp  (B + C).A = B.A + C.A
MATRIZ TRANSPOSTA
Seja A = (aij)mxn uma matriz. A transposta de A
é a matriz At = (aji)nxm
ii
Obs.:
Em outras palavras o traço de uma matriz é a
soma dos elementos de sua diagonal principal,
logo só temos traço em matrizes quadradas.
Ex.:
2 3 1


A = 4 1
2   tr(A) = 2 + 1 + 5 = 8
3 2 5 


PROPRIEDADES
Sejam A= (aij) e B = (bij) matrizes nn:
(i) tr(A) = tr(At)
(ii) tr(A) = .tr(A)
(iii) tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
(iv) tr(AB) = tr(BA)
MATRIZ INVERSA
Seja A = (aij) uma matriz nn. Caso exista, a
matriz A-1 é a matriz que obedece a seguinte
propriedade: A.A-1 = A-1.A = In, onde In é a matriz
identidade
TEOREMA
Seja A = (aij) uma matriz nn. A inversa de A,
caso exista, é única.
Demonstração:
com efeito,sejam B e C inversas de A;
B = B.I = B.(A.C) = (B.A).C = I.C = C
Obs.:
Se uma matriz A = (aij) admite inversa, então a
matriz é dita regular, caso não admita inversa a
matriz é dita singular.
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Lista de Exercícios – Segundo ano – MATRIZES – Professores.: André Luis e Carolina
PROPRIEDADES
Sejam A = (aij) e B = (bij) matrizes nn e
inversíveis:
(i) (A-1)-1 = A
(ii) (At)-1 = (A-1)t
(iii) (A)-1 =
1 1
A

(iv) (AB)-1 = B-1.A-1
Parte 1
1
3 .
A adição da transposta de A com o produto de B
por C é:
a) impossível de se efetuar, pois não existe o
produto de B por C.
b) impossível de se efetuar, pois as matrizes são
todas de tipos diferentes.
c) impossível de se efetuar, pois não existe a soma
da transposta de A com o produto de B por C.
d) possível de se efetuar e o seu resultado é do
tipo 2 x 3.
e) possível de se efetuar e o seu resultado é do
tipo 3 x 2.
2)
(UNIRIO)
O
produto
das
a b 
c d 
A
e B

 é tal que:
b a 
d c 
 ac bd 
ad bc 
a) AB  
b) AB  


bd ac 
bd ac 
matrizes
ac  bd 
abcd abcd
c) BA  
d) BA  


bd  ac
abcd abcd
e) A . B = B . A, para quaisquer valores de a, b, c,
d.
3) (CESGRANRIO) Na área de Informática, as
operações com matrizes aparecem com grande
freqüência.
Um
programador,
fazendo
levantamento dos dados de uma pesquisa, utilizou
as matrizes:
1 3 2 
5 2 1


A
 ; B  2 1 2 ; C  A  B.
3
1
4


1 1 1
O elemento C23 da matriz C é igual a:
a) 18 b) 15 c) 14 d) 12 e) 9
4) (UFF) Toda matriz de ordem 2 x 2, que é igual a
sua transposta, possui:
a) pelo menos dois elementos iguais.
b) os elementos da diagonal principal iguais a zero
c) determinante nulo
d) linhas proporcionais
e) todos os elementos iguais a zero
5) (UFRJ) Considere as matrizes
19941994 19941994 
 1  1
A
e B

 . Sejam
19941994 19941995 
 1 1 
A2 = A . A e B2 = B . B
Determine a matriz C = A2 – B2 – (A + B) (A – B).
Exercícios de vestibular:
1) (UNIRIO) Considere as matrizes:
5
3
 4

A   2 1  , B    e C   2
 3
 0  1
2
6)
(UERJ
e
UNIRIO)
Multiplicando-se
0 1 0 
a 
b 




A  0 0 1 por X  b  , obtemos AX   c  , que
1 0 0
 c 
a 
é uma permutação dos elementos de X. Existem
cinco outras matrizes da mesma ordem da matriz
“A”, com apenas elementos 0 e 1, que,
multiplicadas por X, formam as outras permutações
dos elementos de X. A soma destas cinco matrizes
é:
a)
d)
1

2

2

2
1
2
2

1

1

1
2
2
2

2

1 
2

2

2
b)
2

1

2

1
2
2
1
2
2

1

2
e) 
1
2

2

1 
2

1

2
c)
2

2

1

1
2
2
2

1

2
GABARITO
0
1) D 2) E 3) D 4) A 5) 
 1
Parte 2
1
6) C
0 
1) (UFRJ - específica) As faculdades A e B
oferecem somente cursos de Medicina e
Engenharia. A tabela a seguir apresenta as
percentagens dos alunos que concluíram seus
cursos em 1995, distribuídos segundo sua
faculdade e seu curso.
Medicina
Engenharia
Fac. A
40%
60%
Fac. B
30%
70%
Sabe-se que esses alunos estão atualmente
empregados ou desempregados, de acordo com
os índices abaixo:
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Lista de Exercícios – Segundo ano – MATRIZES – Professores.: André Luis e Carolina
empregado
desempregado
70%
30%
Engenharia 20%
80%
Medicina
A tabela abaixo deve apresentar as percentagens
dos alunos que concluíram seus cursos em 1995,
porém distribuídos por faculdade e situação
ocupacional (empregados/desempregado).
empregado
desempregado
Fac. A
X
Y
Fac. B
Z
W
Determine o valor de W.
2) (UFF – 1ª fase) Um dispositivo eletrônico, usado
em segurança, modifica a senha escolhida por um
usuário, de acordo com o procedimento descrito
abaixo. A senha escolhida S1S2S3S4 deve conter
quatro dígitos, representados por S1, S2, S3 e S4.
Esses dígitos são, então, transformados nos
dígitos M1, M2, M3 e M4, da seguinte forma:
M 
S 
 M1 
S 

  P 1  e  3   P 3  , onde P é a
M2 
 S2 
M4 
 S4 
0 1
 . Se a senha de um usuário já
matriz 
1 0
modificada é 0110, isto é M1=0, M2=1, M3=1 e
M4=0, pode-se dizer que a senha escolhida pelo
usuário foi:
a) 0011
b) 0101
c) 1001
d) 1010
e) 1100
3) (UFF – 1ª fase) Em uma plantação, as árvores
são classificadas de acordo com seus tamanhos
em três classes: pequena (P), média (M) e grande
(G). Considere, inicialmente, que havia na
plantação p 0 árvores da classe P, m0 da classe M
e g 0 da classe G. Foram cortadas árvores para
venda. A fim de manter a quantidade total de
árvores que havia na floresta, foram plantadas k
mudas (pertencentes à classe P). Algum tempo
após o replantio, as quantidades de árvores das
classes P, M e G passaram a ser,
respectivamente, p1 , m1 e g 1 , determinadas
segundo a equação matricial:
0   p 0  k 
 p1  0,8 0
m   0,2 0,9
0 .m0   0
 1 
 g1   0 0,1 0,95  g 0  0
3
Observando-se que p1 + m1 + g 1 = p 0 + m0 + g 0 ,
pode-se afirmar que k é igual a:
a) 5% de g 0 b) 10% de g 0 c)15% de g 0
d) 20% de g 0 e) 25% de g 0
4) Que condição deve ser satisfeita pelas matrizes
quadradas de mesma ordem A e B para que valha
 A  B2  A 2  2 AB  B 2 .
5)
(PUC)
Se
2 1 
 ,
A  
 3  1
  1 2

B  
 1 0
e
 4  1
 , então determine a matriz X, de ordem
C  
2 1 
X A B X
2, tal que

C.
2
3
6) Analise a afirmativa: “Se A e B são matrizes tais
que são possíveis os produtos AB e BA, então, AB
e BA são matrizes quadradas”.
7) (UFRJ – não específica) Antônio, Bernardo e
Cláudio saíram pra tomar chope, de bar em bar,
tanto no sábado quanto no domingo. As matrizes a
seguir resumem quantos chopes cada um
consumiu e como a despesa foi dividida.
 4 1 4
S  0 2 0 e D 
3 1 5
 5 5 3
0 3 0


2 1 3
S refere-se às despesas de sábado e D às de
domingo. Cada elemento a ij nos dá o número de
chopes que i pagou para j, sendo Antônio o
número 1, Bernardo o número 2 e Cláudio o
número 3 ( a ij representa o elemento da linha i e
coluna j de cada matriz). Assim, no sábado,
Antônio pagou 4 chopes que ele próprio bebeu, 1
chope de Bernardo e 4 de Cláudio (primeira linha
da matriz S).
a) Quem bebeu mais chopes?
b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para
Antônio?
8) (UNIRIO) O valor de a tal que  11 2 7 2  seja
 5 2  3 2
3 7 
a matriz inversa de 
 é:
 a 11
a) –1 b) 3 c) 1/5 d) 2 e) 5
COLÉGIO SANTO ANTONIO MARIA ZACCARIA
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p
 2 3
 1  1 0 


9) As matrizes 1  3 1 e  0  1  1 são




 q
 1  1 m 
2  1
inversas. Calcule m, p e q.
4
4) Sejam A, B matrizes n x n, tais que A2 = 0,
B2 = 0 e (A + B)2 = 0. Mostre que (AB)k = 0..,
k  2.
5) Considere duas matrizes A e B do tipo 2 x 2.
Calcule tr(AB-BA).
0 1 0 
10) Se A  0 0 1 , então, A3 é igual a:
0 0 0
a) matriz nula, de ordem 3 x 3
b) A
c) a matriz identidade de ordem 3 x 3
0 0 1 
1 1 1 


d) 0 0 0 e) 0 0 0
0 0 0
0 0 0
6) Considere duas matrizes A e B do tipo 2 x 2
t
quaisquer. Prove que  AB   B t At .
7)
Seja
 1 1
 .
A  
0
1


Calcule
S  A  A 2  A3 ...  A100 .
 0 1
 ?
11) Existe matriz X 2x2 tal que X 2  
 0 0
Justifique.
GABARITO
 28 1 
 6)
1) 65% 2) C 3) A 4) AB = BA 5) 
 23 3 
Verdadeira 7) a) Cláudio b) 2 8) E
9) p  q  1, m  3 10) A 11) Não
APROFUNDAMENTO:
1 2 
2 1 
 e B = 
 duas
1) Seja A = 
y 
1 4 
x
matrizes. Se B é a inversa de A, então
determine x + y.
0
3
2 1
 , P = 
 e B =
Dadas A = 
5 
0  2
3
1  a 10 

 . Determine os valores de a e b, tais
13  75 b 
que
B = PAP-1.
2) Define-se distância entre duas matrizes A =
(aij) e B = (bij) quadradas e de mesma ordem
n pela fórmula:
d(A, B) = max | aij  bij |, i, j |1n . Assim, determine
a distância entre as matrizes:
1 2 
5 6
 e B = 

A = 
3 4
 7 8
3) Seja A uma matriz qualquer m x n. Prove
que AtA é simétrica.
8) Considere matrizes A e B do tamanho 10x10
tais que
A²=0, B²=0 e (A+B)²=0.
a) Prove que AB = -BA
b) Calcule (AB)³. (Lembre que X³ = X.X.X)
1 1 1


9) Sendo A  1 1 1 , calcule A 4 em função de
1 1 1
A.
Assinale V (verdadeiro) ou F (falso) nas afirmativas
abaixo e justifique sua escolha.
a) Se A (m x n) e B (p x q) são matrizes tais que
AB e BA existem, então AB e BA são quadradas.
b) Se A e B são matrizes 3 x 3, então A² - B² =
(A+B)(A-B).
10) Marcel tem 3 filhos, que ele chamou de filho 1,
filho 2, filho 3. Ele resolveu montar uma matriz
tal que aij é igual à diferença de idade
A  aij
 
3x3
entre o filho i e o filho j (nesta ordem). É possível
 0 11 3 


termos A  11 0 7 ?


 3 7 0 


 3 6
11) Considere A  
.
 2 4 
a) Sabendo que x é um número real tal que
A2  x  A , determine o valor de x.
b) Determine o valor da soma
A  A2  A3  A4  ...  A999  A1000 . (Não vale
“jogar” quanto vale cada potência. Tente explicar,
usando o item a, porque cada potência é o que é)