Mecânica
(Professor: Sidclei)
3. MOVIMENTO UNIFORMEMENTE
VARIADO (M.U.V) (unidades 05 e 06)
A partir de agora, passaremos a estudar um tipo de movimento em que a velocidade não é
mais constante. No MUV passa a existir a aceleração constante, isso significa que a
velocidade varia de uma forma uniforme. Poderíamos citar como exemplo desse tipo de
movimento corpos em queda, desprezando a influência do ar , um carro freando ao ver os
sinal vermelho ou as pás de um ventilador, ao ser ligado ou desligado.
Então, o MUV é aquele em que o móvel sofre variações de velocidades iguais em
intervalos de tempos iguais, movimentos nos quais a velocidade escalar do corpo
aumenta ou diminui, em relação ao tempo, de maneira uniforme, ou seja, os corpos
movimentam-se com aceleração escalar constante.
Nestas condições, podemos dizer que a aceleração escalar média coincide com o valor
da aceleração escalar instantânea e podemos chamá-la simplesmente de aceleração
escalar (a).
Se a trajetória for uma reta, temos o Movimento Retilíneo Uniformemente
Variado (MRUV)
Veja um exemplo de um MRUV, um motociclista acelerando numa
pista de corrida.

Principal característica:
Aceleração escalar constante – Isto quer dizer que a velocidade escalar do móvel varia
uniformemente no tempo, ou seja, de “quantidades” iguais em tempos iguais. Se, por
exemplo, um móvel apresenta uma aceleração escalar constante de 2m/s2, isso significa
que a velocidade dele varia 2m/s a cada segundo.
Movimento acelerado
Movimento retardado
movimento acelerado: v e α têm o mesmo sinal.
Movimento retardado: v e α têm sinais contrários.
v>0; α>0
v>0; α<0
v<0; α<0
v<0; α>0
O módulo da velocidade diminui com o tempo
O módulo da velocidade aumenta com o tempo
Diferente do Movimento Uniforme, o Movimento Uniformemente Variado possui velocidade escalar média
variável, e aceleração constante (a = cte) e diferente de zero (a ≠ 0).
Função horária da velocidade do
MUV
Determinaremos, agora, a expressão que relaciona velocidade e tempo no MRUV. Para
isso faremos algumas considerações iniciais.
Observe o esquema abaixo:
- móvel parte com velocidade inicial Vo no instante t = 0;
- Num instante t qualquer ele estará com velocidade v.
Demontração
Partindo da definição da aceleração:
Aplicando as observações descritas acima, temos:
Simplificando a expressão, temos que:
Isolando a velocidade v, fica:
Portanto a Função da velocidade no MRUV é dada por:
v = velocidade em um instante
qualquer ( m/s)
vo = velocidade inicial (m/s)
a = aceleração (m/s2)
t = tempo (s)
Velocidade escalar média do MUV
No movimento uniformemente variado, a velocidade escalar média (VM) para um dado
intervalo de tempo é igual à média aritmética entre as respectivas velocidades escalares
instantâneas, logo:
Função horária dos espaços do M.U.V
Seja s0 a posição inicial do móvel e v0 a velocidade inicial no instante de tempo t0 = 0.
Considere também s e v como sendo a posição e a velocidade do móvel no instante de
tempo t.
Demontração
Partindo da definição da velocidade
média do muv:
Substituindo a função horária da
velocidade
de onde tiramos a equação horária do MUV dada pela
equação
ou
s = posição em um instante qualquer (m)
so = posição no instante inicial (m)
vo = velocidade inicial (m/s)
t = tempo (s)
a = aceleração (m/s2)
Equação de Torricelli
Temos até agora duas funções que nos permitem saber a posição do móvel e a sua
velocidade em relação ao tempo. Torna-se útil encontrar uma equação que possibilite
conhecer a velocidade de um móvel sem saber o tempo. A equação de Torricelli
relaciona a velocidade com o espaço percorrido pelo móvel. Para o MUV pode-se
relacionar velocidade, aceleração e espaço percorrido isolando-se a variável tempo na
função horária da velocidade e substituindo na função horária dos espaços.
onde obtém-se a equação de
Torricelli
v = velocidade em um instante
qualquer (m/s)
vo = velocidade inicial (m/s)
a = aceleração (m/s2)
 s = distância percorrida (m)
Resumindo as equações do MUV
Gráficos do Movimento Uniformemente
Variado(MUV)
A utilização de gráficos é uma poderosa arma para interpretação de dado.Em física,
utilizaremos os gráficos para mostrar a evolução no tempo de grandezas como espaço,
velocidade e aceleração.
a) Gráficos do Espaço em função do Tempo (s x t)
Como vimos anteriormente, A função horária dos espaços no MUV é
dada por,
que é uma função do 2o grau (y = ax2 + bx+ c), cuja representação
gráfica é uma parábola e a sua concavidade depende do sinal da aceleração,como
veremos a seguir:
Gráfico da função s = f(t)
a) Para a > 0
Esse gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima, pois a
aceleração é maior do que zero (a > 0).
Movimento retilíneo iniciado em espaço escalar positivo, contra a orientação da
trajetória, indicando velocidade escalar negativa decrescente até o ponto de
inversão(vértice da párabola),neste intervalo de tempo a velocidade possui sinal
negativo (v < 0, a > 0), portanto o movimento é retrógrado e retardado. A partir
dele, o espaço escalar e a velocidade voltam a crescer, e a velocidade possui sinal
positivo (v > 0, a > 0), portanto o movimento é progressivo e acelerado. Durante
todo o movimento a aceleração escalar é positiva.
Observação:
O vértice da parábola representa o instante em que o móvel inverte o sentido de
seu movimento (pára “V = 0” para começar a voltar), ou seja, quando o
movimento passa de retrógrado para progressivo.
b) Para a < 0
Nesse caso a parábola tem concavidade voltada para baixo, pois a aceleração é
menor do que zero (a < 0).
Movimento retilíneo iniciado em espaço escalar negativo, a favor da orientação da
trajetória, indicando velocidade escalar positiva decrescente até o ponto de
inversão(vértice da párabola), neste intervalo de tempo a velocidade possui sinal
positivo (v > 0, a < 0), portanto o movimento é progressivo e retardado. A partir
dele, o espaço escalar decresce e a velocidade volta a crescer em módulo(v < 0, a <
0)portanto o movimento é retrógrado e acelerado. Durante todo o movimento a
aceleração escalar é negativa.
Observação:
O vértice da parábola representa o instante em que o móvel inverte o sentido de
seu movimento (pára “V = 0” para começar a voltar), ou seja, quando o
movimento passa de progressivo para retrógrado.
Resumindo:
Movimento acelerado
- |v| => aumenta.
- a e v possuem o mesmo sinal.
contrários
Movimento retardado
- |v| => diminui.
- a e v possuem sinais
b) Gráficos da velocidade em função do Tempo (v x t)
Função horária da velocidade v = f(t).
A função horária da velocidade é uma função do 1º grau, representada por:
Por ser uma função de primeiro grau, a representação gráfica dessa função é uma reta
que depende do sinal da aceleração,como veremos a seguir:
a) Para a > 0
Nesse caso a > 0, o gráfico da função é uma reta crescente.
b) Para a < 0.
Aqui a < 0, assim, o gráfico é uma reta decrescente.
c) Gráficos da aceleração em função do Tempo (a
x t)
No Movimento Uniformemente Variado, a aceleração é constante e diferente de zero,
logo, a função da velocidade é uma função constate, e o gráfico que representa essa
função é uma reta paralela ao eixo dos tempos.
Se a > 0 a reta é paralela ao eixo dos tempos e acima da origem.
a < 0 a reta é paralela ao eixo dos tempos e abaixo da origem.
Se
Resumo dos gráficos do MUV:
Lembre-se que os gráficos não mostram as trajetórias dos móveis. Eles apenas
representam as equações (funções) do movimento.
Interpretações gráficas do MUV
a) Gráfico espaço x tempo
Para um movimeto uniformemente variado, a tangente de inclinação da reta que corta a
parábola no gráfico de espaço por tempo ("s x t") indica o valor da velocidade naquele
instante. No gráfico acima a inclinação crescente indica velocidade positiva, inclinação
decrescente indica velocidade negativa e no ponto de inversão, como a inclinação é
nula, a velocidade também será.
b) Gráfico velocidade escalar x tempo
b.1)No gráfico velocidade x tempo, a declividade da reta v = f (t) mede a
aceleração escalar
Para um movimento representado, a tangente da inclinação do gráfico fornece
o valor da aceleração (constante). Neste caso a inclinação é positiva (crescente)
indicando aceleração positiva. Outra possibilidade seria a inclinação decrescente,
indicando aceleração negativa.
b.2) No gráfico velocidade x tempo, a área sob o gráfico mede o
deslocamento escalar.
No mesmo gráfico de velocidade mostrado anteriormente, poderíamos calcular a área
abaixo dele até o eixo dos tempos, correspondente a um trapézio. Este valor
corresponde à variação de espaço do móvel durante o movimento.
c) Gráfico aceleração escalar x tempo
No gráfico aceleração x tempo, a área sob o gráfico mede a variação da
velocidade escalar.
No gráfico de aceleração, podemos calcular a área abaixo dele até o eixo dos
tempos, correspondente a um retângulo. Este valor corresponde à variação de
velocidade do móvel durante o movimento
Resumindo : No gráfico de espaço, a tangente da inclinação fornece a velocidade, no
gráfico de velocidade a tangente da inclinação fornece a aceleração, no gráfico de
aceleração, a área até o eixo dos tempos fornece a variação de velocidade e no
gráfico de velocidade, novamente, a área até o eixo dos tempos fornece a variação
de espaço do movimento. Veja esquema abaixo:
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