DE 46 – Trigonometria aplicada a situações

PA_Matematica_9_DE46
Trigonometria aplicada a situações-problema
Atividade 1: O que você já sabe
Professor, o objetivo desta atividade é introduzir a revisão das razões
trigonométricas. Para tanto, é apresentado aos alunos uma situação-problema
representada em um triângulo-retângulo. Leia a tarefa junto com os alunos e
estipule um tempo para que eles debatam e exponham seus argumentos sobre as
seguintes questões:
• Você saberia dizer por que esta forma geométrica é um triângulo retângulo?
• Como você encontraria as razões trigonométricas desta figura?
Após o debate, abra o pop-up ‘razões trigonométricas’ e revise com os alunos os
conceitos de razões trigonométricas.
Atividade 2: Razões trigonométricas
O objetivo desta atividade é ensinar aos alunos como encontrar os valores das
razões trigonométricas de um triângulo na calculadora científica do Windows. Antes
de dar início à explicação passo a passo sobre como proceder na calculadora,
instigue a participação da turma perguntando como é possível encontrar os ângulos
agudos do triângulo apresentado.
Espera-se que os alunos percebam, no decorrer da explanação na calculadora, que
o triângulo retângulo tem lados de 6 cm, 8 cm e 10 cm, e que é um triângulo que
possui ângulos de aproximadamente 37º e 53º.
Por fim, os alunos deverão concluir que as razões trigonométricas são iguais nos
triângulos apresentados na Atividade 1 e nesta atividade, porque os ângulos
correspondentes nos dois triângulos são congruentes, ou seja, elas se referem a
um mesmo ângulo.
Instigue o debate e, no final, solicite à turma que abra o pop-up ‘valores das razões
trigonométricas’ para que possam conferir a resposta:
Os valores são iguais nos dois triângulos, pois essas figuras geométricas são
semelhantes, já que os lados correspondentes são proporcionais. Portanto,
possuem as mesmas medidas de ângulos.
Atividade 3: Tabela de razões trigonométricas
Esta atividade apresenta um breve histórico do matemático e astrônomo Hiparco de
Niceia, considerado por muitos estudiosos como o criador da trigonometria. A
história de onde e de como surgiram as razões trigonométricas é essencial para que
os alunos percebam que essas razões surgiram da necessidade de fazer cálculos em
diversos campos do conhecimento, como na Astronomia, Cartografia, Ciências
Naturais e Física.
Abra o slide-show e leia o texto junto com a turma, de forma a despertar o
interesse dos alunos para os cálculos trigonométricos ao utilizar a Tabela de razões
trigonométricas, que substitui a calculadora. Em seguida, volte à pagina da DE e
apresente a tabela aos alunos, clicando no pop-up ‘encontrar’.
Depois, estabeleça um tempo para que os alunos resolvam, em grupo, o exercício
proposto, no qual eles deverão responder à seguinte questão:
“Qual razão trigonométrica pode ser utilizada?”
Esta tarefa traz a autocorreção na página da DE, por isso estimule os alunos a
resolvê-la.
Gabarito:
A razão é o seno de C.
Em seguida, leia com os alunos a conclusão. Desse modo, eles saberão qual é o
valor de AB/CA.
Depois, oriente os alunos a encontrarem, na Tabela de razões trigonométricas, o
ângulo cujo seno é igual a 0,423. Após essa etapa, eles deverão responder à
questão abaixo, que apresenta a autocorreção no corpo da DE.
“Qual é o ângulo cujo seno é 0,423?”
Gabarito:
É o ângulo de 25º.
Atividade 4: Tira-teima!
Para finalizar esta DE, oriente o acesso ao ícone das Questões OnLine e a
resolução de algumas atividades. Estabeleça um tempo para que eles concluam as
atividades e auxilie-os no que for necessário, aproveitando o momento para
elucidar possíveis dúvidas.
Questões OnLine (gabarito)
1. Nos triângulos retângulos abaixo encontre o que se pede com o auxílio da Tabela
de razões trigonométricas (veja a tabela no fim desta página):
a) A medida do ângulo B
a) Cos B = cateto adjacente = 20 cm = 0,689,
hipotenusa
29 cm
Olhando a tabela, o valor aproximado é 0,691; então B = 46º
b) As medidas dos ângulos agudos
b) Tg C = cateto oposto = 7 cm = 0,583
cateto adjacente 12 cm
Olhando a tabela, o valor aproximado é 0,577; então C = 30º
Tg B = cateto oposto = 12 cm = 1,714 ,
cateto adjacente 7 cm
Olhando a tabela, o valor aproximado é 1, 732; então B = 60º
c) A medida do cateto AB
c) Cos 40º = cateto adjacente = AC = 0,766
hipotenusa
16 cm
Então AC = 16 . 0,766 , AC = 12,25 cm (aproximadamente).
2. Resolva as situações-problema a seguir utilizando a Tabela de razões
trigonométricas:
a) A figura a seguir representa o perfil de uma escada cujos degraus têm todos a
mesma extensão, além da mesma altura. Se AB = 2 m e BCA mede 30º, determine
a medida da extensão de cada degrau:
(Fonte: Vunesp 1992).
Vamos calcular seno de 30º, que está no vértice C,
seno 30º = AB = 2 m, assim, 1 = 2m ,
AC
x
2
x
então AC = x = 4 m.
Os segmentos AC e AB serão divididos em 6 partes iguais; assim podemos escolher
um dos pequenos triângulos retângulos da figura e aplicar o Teorema de Pitágoras:
2=1
6 3
4=2
6 3
2
Chamemos a extensão de y:
2
1
4
4 1
3
3
1
2
2
2
2
2
m
   y     y   y    y   y
9
9
9 9
9
3
 3
3
b) Uma pipa é presa a um fio esticado que forma um ângulo de 45º com a paralela
que parte da mão do menino. O comprimento do fio é de 100 m. Determine a
altura da pipa em relação ao menino.
Seno de 45º = h
100
2
h
100. 2
100.1,42

h
h
 71m
2
100
2
2
c) Uma escada de 2 m de comprimento está apoiada no chão numa parede vertical.
Se a escada faz 30º com a horizontal, determine a distância do topo da escada com
o chão.
Gabarito:
Seno 30º = h
2
1=h
2 2
h=1m