Experimentos Aleatórios

Experimentos Aleatórios
Ao se lançar um dado, não podemos prever qual o número que irá
ocorrer. Da mesma forma, quando lançamos uma moeda não
podemos prever se ocorrerá cara ou coroa. Experimentos desse tipo
são chamados aleatórios.
De modo geral, experimentos aleatórios são aqueles cujos resultados
não podem ser previstos quando, em idênticas condições, são
repetidos várias vezes.
Espaço Amostral
Espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto de
todos
os
resultados
possíveis
desse
experimento.
Indicaremos tal conjunto por E.
a. No lançamento de uma moeda, os resultados possíveis são
cara (K) e coroa (C). O espaço amostral é:
E = {K, C}
b. No lançamento de um dado, o espaço amostral é:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
c. No lançamento de duas moedas, uma após a outra.
E = {(K, K), (K, C), (C, K), (C, C)}
d. Ao extrairmos uma bola de uma urna contendo bolas
brancas, vermelhas e pretas.
E = {B, V, P}
e. No lançamento de dois dados, um após o outro.
E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3) ... (5, 6), (6, 6)}
São 36 os pares que constituem E.
Evento
Todo subconjunto de um espaço amostral de um experimento
aleatório
é
um
evento.
Os eventos de um só elemento são chamados eventos elementares.
O espaço E é o evento certo e Ø é o evento impossível.
Exemplos:
a. No lançamento de uma moeda, já vimos que E = {K, C}.
Temos os eventos:
1.
2.
3.
4.
A = {K} : ocorrência de cara (evento elementar)
B = {C} : ocorrência de coroa (evento elementar)
E = {K, C} : ocorrência de cara ou coroa (evento certo)
Ø : ocorrência de nem cara nem coroa (evento
impossível)
b. No lançamento de dois dados, alguns dos eventos são:
1. A = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)} : Ocorrência de soma 4.
2. B = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5, (6, 6)} :
ocorrência de resultados iguais nos dois lançamentos.
Probabilidade
Probabilidade de um evento A num espaço E (não vazio) é a razão
entre o número de elementos do evento A e o número de elementos
do
espaço
amostral,
isto
é,
P(A) =
Em outras palavras, P(A) é a razão entre o número de resultados
favoráveis ao evento e o número de resultados possíveis.
Como 0 < n(A) < n(E), então
, ou seja, 0 < P(A) < 1 Se A é o evento certo, então P(A) = P(E) = 1
Se A é o evento impossível, P(A) = P(Ø) = 0
Obs: Supomos que os eventos elementares têm a mesma
probabilidade?
Página 2 - Probabilidade
Exercício No lançamento de um dado, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
determine a probabilidade de ocorrência dos eventos:
a.
b.
c.
d.
A: ocorrência de número maior que 2.
B: ocorrência de número ímpar.
C: ocorrência de número 6.
D: ocorrência de número 7.
Solução:
a. A = {3, 4, 5, 6}; P(A) =
b. B = {1, 3, 5}; P(B) =
c. C = {6}; P(C) =
d. D = Ø P(D) =
Exercício
No lançamento de dois dados, simultaneamente, calcule a
probabilidade dos eventos.
a) A: ocorrência de soma 6.
b) B: ocorrência de números iguais.
Solução:
O
espaço amostral é E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3)...(6, 6)}
n(E) = 6 x 6 = 36
a) A = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}
P(A) =
b) B = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
P(B) =
Exercício
Ao se retirar uma carta de um baralho, qual a probabilidade de
ocorrer uma dama?
Solução:
O espaço amostral tem 52 elementos (um baralho tem cinqüenta e
duas cartas).
O evento em foco (ocorrência de uma dama) tem 4 elementos; logo,
a probabilidade procurada é:
De acordo com os exemplos vistos, pode- se concluir que, sendo n(
S)=n:
a. a probabilidade do evento certo é igual a 1:
P(S)=1
b. A probabilidade do evento impossível é igual a zero:
P()=0
c. A probabilidade de um evento E qualquer
número real P ( E ) , tal que :
( E  S ) é um
0≤P(E)≤1
d. a probabilidade de um evento elementar E qualquer é ,
lembrando que n( E ) = 1:
P( E ) = 1 / n
EVENTOS COMPLEMENTARES
Sabemos que um evento pode ou não ocorrer, consideremos p a
probabilidade dele ocorrer ( sucesso ) e q a probabilidade de que ele
não ocorra ( insucesso), para um mesmo evento existe sempre a
relação:
p+q=1q=1–p
EVENTOS INDEPENDENTES
Dois eventos são ditos independentes, quando a ocorrência de um
não afeta a probabilidade de existência do outro. Sendo dois eventos
considerados independentes, então a probabilidade de que eles
ocorram simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de
ocorrência de cada um. Se p1 é a probabilidade de que ocorra o
primeiro evento e p2 é a probabilidade do segundo evento então, a
probabilidade de ocorrência simultânea dos eventos é
P = p1 x p2
Ex. No lançamento de dois dados a probabilidade de ocorrência do
número 3 no primeiro dado é 1/6 e a probabilidade de ocorrência de
4 no segundo dado é também de 1/6. Logo, a probabilidade de
ocorrer 3 no primeiro e 4 no segundo é igual a :
P = 1/6 x 1/6 = 1/ 36.
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos
quando a realização de um exclui a possibilidade de ocorrência do( s )
outro ( s ).
Por exemplo, se considerarmos o lançamento de uma moeda o
evento “cara” e o evento “coroa” são mutuamente exclusivos. A
probabilidade de um ou outro ocorrer é igual à soma das
probabilidades de cada um, ou seja,
P = p1 + p2 .
Questões
1. Determine a probabilidade de cada evento:
a. Um número par aparecer no lançamento de um dado;
b. Uma figura aparecer ao se retirar uma carta de um baralho de 52
cartas.
c. Uma carta de ouro aparecer ao se retirar uma carta de um baralho
de 52 cartas.
2. Dois dados são
probabilidade de :
a.
b.
c.
d.
lançados
simultaneamente.
Determine
a soma ser menor que 4.
A soma ser 9.
O primeiro resultado ser maior que o segundo.
A soma ser menor ou igual a 5.
3. Uma moeda é lançada duas vezes. Calcule a probabilidade de:
a. não ocorrer cara nenhuma vez;
b. obter-se cara na primeira ou na segunda vez.
4. No lançamento simultâneo de dois dados distintos e não viciados,
qual a probabilidade de se obter a soma dos pontos igual a 7 ?
5. Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retiradas
aleatoriamente 2 peças, calcule:
a. a probabilidade de ambas serem defeituosas;
b. a probabilidade de ambas não serem defeituosas;
c. a probabilidade de ao menos uma, não ser defeituosa.
a