Medidas de Pos. Central

ESTATÍSTICA BÁSICA
46
Medidas de Tendência Central
O objetivo deste capítulo é apresentar as medidas de tendência central mais importantes.
Uma medida de tendência central é um valor no centro ou no meio de um conjunto de
dados. As medidas de tendência central mais utilizadas são: a média aritmética, a
mediana e a moda.
1. Média Aritmética
A média aritmética de um conjunto de dados é a soma de todos os dados dividido
pelo número deles. Ë dada pela fórmula:
x
x
i
n
1.1 Média aritmética para dados brutos
Conjunto:3, 12, 3, 10, 9, 8, 5, 4, 7
3  12  3  10  9  8  5  4  7
9
61
x
 6,78
9
x
1.2 Média aritmética para dados agrupados (em distribuição de freqüência)
Se dispusermos de um conjunto de valores que se repetem:
x1 x1 x1
...
x2 x2 x2 x2 . . .. x3 x3 x3 . . . xn xn xn . . . xn
o cálculo da média aritmética será efetuado considerando-se o número de vezes
que eles se repetem (freqüência)
Por exemplo, seja x = {5,5,5,5,3,3,3,2,2,2,2,1,1)
a média aritmética será:
x
5  5  5  5  3  3  3  2  2  2  2 11
ou
13
x
5 x 4  3x3  2 x 4  1x 2 39

= 3.
43 4 2
13
Generalizando,
x
x f
f
i
i
i
47
ESTATÍSTICA BÁSICA
O cálculo da média aritmética de dados repetidos pode ser melhor visualizado a
partir de uma tabela.
Assim, considerando o exemplo a seguir,
xi
5
3
2
1
Σ
fi
4
3
4
2
12
xi.fi
20
9
8
2
39
x
x f
f
i
i
=
i
5 x 4  3x3  2 x 4  1x 2 39

 3,0
43 4 2
13
1.3 Média aritmética para dados agrupados em classes
Para dados agrupados com intervalos de classe: Estaturas dos alunos da Escola
FECEA, 3a série, turma de 2005
Estaturas (cm) N0 de alunos (fi)
150 ├── 155
5
155 ├── 160
4
160 ├── 165
19
165 ├── 170
18
170 ├── 175
14
175 ├── 180
12
180 ├── 185
4
∑
76
Inicialmente, deve-se abrir uma coluna contendo os pontos médios das classes das
estaturas. E outra, contendo os produtos xi.fi
Estaturas (cm)
150 ├──
155 ├──
160 ├──
165 ├──
170 ├──
175 ├──
180 ├──
∑
x
x f
f
i
i
155
160
165
170
175
180
185
i
=
N0 de alunos
(fi)
5
4
19
18
14
12
4
76
12.634,50
= 166,24 cm
76
Ponto médio
(xi)
152,5
157,5
162,5
167,5
172,5
177,5
182,5
xi . fi
627,50
630,00
3087,50
3015,00
2415,00
2130,00
730,00
12.634,50
ESTATÍSTICA BÁSICA
48
2. Outras medidas de posição
Além da média, serão estudadas outras medidas de posição: moda, mediana, quartis,
decis e percentis.
2.1 Média geométrica
Média geométrica de um conjunto de valores é definida como a raiz n-ésima do
produto desse conjunto de valores.
2.1.1 Média geométrica simples (dados brutos)
Seja X = {x1, x2, ..., xn}. A média geométrica é definida pela seguinte expressão:
xg =
n
x1.x2 ...xn  n
n
x
i
i 1
Exemplo: Seja X = {3, 5, 7, 9}. Determine a média geométrica do conjunto X.
x g  4 3x5x7 x9  4 945  5,54
2.1.2 Média geométrica para dados agrupados
Se dispusermos de um conjunto de valores que se repetem:
x1 x1 x1
...
x2 x2 x2 x2 . . .. x3 x3 x3 . . . xn xn xn . . . xn
o cálculo da média geométrica será feito considerando-se o número de vezes
que cada elemento se repete (freqüência)
Por exemplo, seja x = {5,5,5,5,3,3,3,2,2,2,2,6,6)
a média geométrica será:
xg  4342 54 * 33 * 24 * 62 13 9.270.000  3,435
2.1.3 Média geométrica para dados agrupados em classes
Pode-se calcular a média geométrica adota-se a seguinte expressão:
 7

  f i log xi 

x g   i 1
  fi 


cuja média geométrica será
 7

  f i log xi 

x g  anti log  i 1
  fi 


49
ESTATÍSTICA BÁSICA
Para dados agrupados com intervalos de classe: Estaturas dos alunos de uma
escola de ensino médio, 3a série.
Estaturas (cm) N0 de alunos (fi)
150 ├── 156
5
156 ├── 162
4
162 ├── 168
19
168 ├── 174
18
174 ├── 180
14
180 ├── 186
12
186 ├── 192
4
∑
76
Estaturas (cm)
150 ├──
156 ├──
162 ├──
168 ├──
174 ├──
180 ├──
186 ├──
∑
156
162
168
174
180
186
192
N0 de alunos
(fi)
5
4
19
18
14
12
4
76
Ponto médio
(xi)
153
159
165
171
177
183
189
-
log xi
fi log xi
2,18469 10,92345
2,20139 8,80556
2,21748 42,13212
2,23300 40,19400
2,24797 31,47158
2,26245 27,14940
2,27646 9,10584
169,78195
 7

  f i log xi  169,78195 

log x g   i 1
  2,2339730
76
  f i  


logo, x g  antilog 2,2339730 = 171,38 cm
2.2 Média harmônica
É definida como o inverso da média aritmética dos inversos dos valores
2.2.1 Média harmônica simples (dados brutos)
Seja X = {x1, x2, ..., xn}. A média harmônica é definida pela seguinte expressão:
xh 
N
1

i 1 xi
n
Exemplo: Seja X = {3, 5, 7, 9}. Determine a média harmônica do conjunto X.
50
ESTATÍSTICA BÁSICA
xh 
N
1

i 1 xi
=
n
4
1 1 1 1
  
2 5 7 9

4
 4,193
601
630
2.2.2 Média harmônica com dados agrupados
Se dispusermos de um conjunto de valores que se repetem:
x1 x1 x1
x2 x2 x2 x2 . . .. x3 x3 x3 . . . xn xn xn . . . xn
...
o cálculo da média harmônica será feito considerando-se o número de vezes
que cada elemento do conjunto se repete(freqüência)
n
xh 
f
i 1
n
i
fi
x
i 1
i
Por exemplo, seja x = {5,5,5,5,3,3,3,2,2,2,2,6,6)
a média harmônica será:
n
xh 
f
i 1
n
i
fi
x
i 1

i
13
 3,1452
4 3 4 2
  
5 3 2 6
2.2.3 Média harmônica para dados agrupados em intervalo de classes
Exemplo: Estaturas dos alunos de uma escola de ensino médio, 3a série.
Estaturas (cm)
150 ├──
156 ├──
162 ├──
168 ├──
174 ├──
180 ├──
186 ├──
∑
156
162
168
174
180
186
192
N0 de alunos
(fi)
5
4
19
18
14
12
4
76
Ponto médio
(xi)
153
159
165
171
177
183
189
-
n
xh 
f
i 1
n
fi
x
i 1
i
i

76
 171,14 cm
0,444083
fi / xi
0,032679
0,025157
0,115151
0,105263
0,079096
0,065573
0,021164
0,444083
ESTATÍSTICA BÁSICA
51
2.3 Moda
Valor que ocorre com maior freqüência em um conjunto de dados.
2.3.1 Dados não agrupados
Valor que se repete com maior freqüência.
Exemplo: conjunto de dados: 3,3,3,3,4,4,5,5,6,7,7,7
Moda (Mo) = 3
Exemplo: dados: 3,4,4,4,,5,6,7,7,7,8,9
Mo = 4 e 7 (bimodal)
Exemplo: dados: 1,2,5,6,8,9,10
Mo = não existe (amodal)
2.3.2 Dados agrupados (sem intervalo de classe)
Uma vez agrupado os dados é possível determinar a moda observando o valor da
variável de maior freqüência.
xi fi
5 3
3 3
2 4
1 2
Mo = 2, pois tem maior freqüência
2.3.3 Dados agrupados em intervalos de classe
A classe que apresenta maior freqüência é denominada classe modal.
a) método do ponto médio da classe modal.
Dado a distribuição:
Estaturas (cm)
N0 de alunos
(fi)
150 ├── 155
5
155 ├── 160
4
160 ├── 165
19
165 ├── 170
18
170 ├── 175
14
175 ├── 180
12
180 ├── 185
4
∑
76
A classe modal está no intervalo entre 160 e 165, pois tem maior freqüência
(19). Assim, moda é o ponto médio da classe modal:
Mo =
160  165
= 162,5 cm ou seja, o ponto médio da classe modal.
2
b) Método de Czuber:
1
M0 = l i 
.hi onde,
1   2
ESTATÍSTICA BÁSICA
52
li = limite inferior da classe
hi = amplitude da classe
1 = diferença entre a freqüência da classe modal e a imediatamente anterior
2 = diferença entre a freqüência da classe modal e a imediatamente posterior
A classe de maior freqüência é a 3a. Então,
l3 = 160
1 = 19 – 4 = 15
2 = 19 – 18 = 1
Portanto: M0 = 160 
15
.5 = 164,69
15  1
c) Dados agrupados em intervalos de classe com amplitude desigual
A tabela a seguir mostra o tempo (em semanas) em que uma imobiliária
levou para comercializar as lojas do seu arquivo de vendas. Calcule a moda.
Salário
080 ├── 180
180 ├── 250
250 ├── 300
300 ├── 500
N0 de empregados
70
140
140
60
Observe que as amplitudes das classes são diferentes. Nesse caso é preciso
calcular as “densidades” das classes: f  h para identificação da classe modal
(aquela com maior densidade)
Salário
080 ├── 180
180 ├── 250
250 ├── 300
300 ├── 500
fi
fi /h
70 70 100 = 0,7
140 140  70 = 2,0
140 140  50 = 2,8
60 60  200 = 0,3
Classe modal: 3a classe (250 ├── 300 )
Aplicando a fórmula de Czuber, onde
Li = 250
1 = 2,8 – 2,0 = 0,8
2 = 2,8 – 0,3 = 2,5
h = 50
0,8
Mo  250 
.50  262,12
0,8  2,5
53
ESTATÍSTICA BÁSICA
Então, o salário modal é 262,12
2.4 Mediana
É o valor central de um conjunto de valores ordenados, ou melhor, é a medida que
divide esse conjunto em duas partes iguais.
2.4.1 Dados não agrupados
Dado um conjunto qualquer de valores, o primeiro passo é ordenar esses valores.
Depois deve-se contar o número de elementos que compõem este conjunto de
dados.
n 1
 a ordem do elemento mediano será dado pela fórmula:
, onde n =
2
número de elementos do conjunto.
Ex.: X = { 2, 5, 7, 9, 11, 15, 22 }
7 1
Ordem do elemento mediano:
= 4 (quarto elemento)
2
O valor 4 é a posição do elemento mediano no conjunto de valores
fornecidos, que no exemplo corresponde ao valor “9”. Me = 9.
 Se o número de elemento for par, a mediana será dada pela média aritmética
dos dois valores centrais da série.
Ex: x = { 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21 }
8 1
Ordem do elemento mediano:
= 4,5
2
Os valores 10 e 12 são os dois valores centrais da série. A mediana será a
10  12
média aritmética deles, isto é: Md =
= 11.
2
2.4.2 Para dados agrupados sem intervalo de classes
O procedimento do cálculo da mediana é análogo ao item anterior, lembrando,
contudo, que agora temos a freqüência correspondente a cada variável e a
freqüência acumulada (Fi) dos dados.
Exemplo 1:
xi
2
4
5
7
8
∑
fi
2
5
8
6
4
25
Fi
2
7
15
21
25
Cálculo da ordem do elemento mediano:
25  1
= 13 (décimo terceiro
2
elemento)
Pela freqüência acumulada verificamos que o 130 elemento dos valores da
tabela corresponde ao número 5. Então, Md = 5.
Pode-se verificar mais facilmente esse resultado, dispondo os valores com
dados não agrupados:
54
ESTATÍSTICA BÁSICA
{2, 2, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7 ,7, 7, 7, 8, 8, 8, 8}
130 elemento
do conjunto
2.4.3 Dados agrupados em intervalos de classe
Em primeiro lugar deve-se encontrar o intervalo de classe em que está
compreendida a mediana (classe mediana). Depois recorremos a uma fórmula
que permitirá encontrar o valor da mediana.
  fi

 Fi ant  

.h
Md = Li   2
f i classe




Onde
Li = limite inferior da classe mediana
fi = freqüência ou tamanho da amostra
Fi = freqüência acumulada da classe anterior a classe mediana
h = amplitude da classe mediana
Exemplo: A tabela, a seguir, retrata o resultado de uma prova de matemática,
aplicada em uma instituição educacional.
Notas
0 ├── 02
2 ├── 04
4 ├── 06
6 ├── 08
8 ├── 10
Total
fi
Fi
27 27
16 43
34 77
17 94
16 110
110 -
Cálculo da classe mediana
f i 110

 55 (posiçãoentre o 550).
2
2
Classe mediana: 4 ├── 06 (3a)
Em que:
Li = 4
Fi (ant) = 43
fi classe = 34
h=2
Valor de ordem da classe =
Cálculo da Mediana
 110

 2  43 
 12 
Md = 4  
.2  4   .2 = 4 + 0,7 = 4,7
 34 
 34 


55
ESTATÍSTICA BÁSICA
2.5 Separatrizes
Assim como a mediana, que divide uma distribuição em duas partes iguais, existem
medidas estatísticas que dividem a mesma distribuição em quatro, dez ou cem
partes iguais. O cálculo de tais medidas é semelhante, operacionalmente, ao da
mediana.
2.5.1 Quartil
Divide um conjunto ordenado de valores em quatro partes iguais.
0%
25%
Q1
50%
75%
Q2
Q3
100%
 Quartil inferior (Q1)
É o valor de ordem que divide uma distribuição em duas partes, tal que 25%
dos valores sejam menores que ele e 75% dos valores sejam maiores que
ele.
 Quartil mediano (Q2)
É o valor de ordem idêntico a mediana, isto é, divide uma distribuição em
duas partes, tal que 50% dos valores sejam menores que ele e 50% dos
valores sejam maiores que ele..
 Quartil superior (Q3)
É o valor de ordem que divide uma distribuição em duas partes, tal que 75%
dos valores sejam menores que ele e 25% dos valores sejam maiores que
ele..
 Intervalo interquartil (Q3 – Q1)
Ë o intervalo entre o quartil superior (Q3) e o quartil inferior (Q1), medindo
a dispersão da metade central das observações.
Intervalo interquartil = Quartil superior – Quartil inferior
Determinação de Q1
n
4
b) Identifica-se a classe Q1 pela freqüência acumulada (Fac)
c) Aplica-se a fórmula
a) Calcula-se
ESTATÍSTICA BÁSICA
n

  FQ1ant .h
4
 .
Q1 = LQ1  
f Q1classe
onde
LQ1 = limite inferior da classe Q1
fQ1 = freqüência da classe Q1
FQ1 = freqüência acumulada da classe anterior a classe Q1
h = amplitude da classe Q1
n = fi = soma das freqüências de classe
Determinação de Q3
3.n
4
b) Identifica-se a classe Q3 pela freqüência acumulada
c) Aplica-se a fórmula
a) Calcula-se
n

  FQ 3 ant .h
4
 .
Q3 = LQ 3  
f Q 3 classe
onde
LQ3 = limite inferior da classe Q3
fQ3 = freqüência da classe Q3
FQ3 = freqüência acumulada da classe anterior a classe Q3
h = amplitude da classe Q3
n = fi = soma das freqüências de classe
Determinação de Q2
Determina-se Q2 do mesmo modo que a Mediana.
Intervalo Interquartil: Q3 – Q1
Exemplo:
Dada a distribuição a seguir, determinar os quartis (Q1 e Q3) e Q2 (mediana).
Classes Fi
6
7 ⊢17
Fac
6
17⊢27
15
21
classe Q1
27⊢37
20
41
classe Q2
56
57
ESTATÍSTICA BÁSICA
37⊢47
10
51
47⊢57

5
56
Solução:
n = 56
Q1 = ?
n 56

 14 
4 4
classe Q3
56
Q2 = ?
n 56

 28 
2 2
Q3 = ?
3n 168

 42 
4
4
Pela freqüência acumulada (Fac) identifica-se as classes Q1, Q2 (Md) e Q3
Fórmulas:
Para Q1 tem-se:
lQ1 = 17
n = 56
FQ1 = 6
h = 10
fQ1 = 15
 56

  6 .10
 4

 22,33
Q1 = 17 
15
Para Q2 tem-se:
lQ2 = 27
n = 56
FQ1 = 21
h = 10
fQ1 = 20
 56

  21.10
2

 30,5
Q2 = Md = 27  
20
Para Q3 tem-se:
lQ3 = 37
n = 56
FQ3 = 41
h = 10
fQ3 = 10
 3.56

 41.10

 4

 38
Q3 = 37 
10
Intervalo Interquartil: Q3 – Q1 = 38 – 22,33 = 15,67
O intervalo interquartil mede a dispersão dos 50% dos valores centrais de um
58
ESTATÍSTICA BÁSICA
conjunto de dados. Seu valor não é afetado pelos 25% dos valores inferiores e
25% dos valores superiores de um conjunto de dados.
Pode-se afirmar que nessa distribuição, tem-se:
25%
7
25%
22,33
25%
30,5
25%
38
57
logo,
22,33 separam 25% dos elementos
30,5 separam 50% dos elementos
38
separam 75% dos elementos
15,67 representam 50% dos elementos entre o 10 quartil e o 30 quartil.
2.5.2 Decil
São os valores que separam uma série em 10 partes iguais
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
D1
D2
D3
D4
D5
D6
D7
D8
D9
A fórmula nesse caso é semelhante as separatrizes anteriores
i.n
, em que i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9
10
b) Identifica-se a classe Di pela freqüência acumulada (Fac)
a) Calcula-se
c) Aplica-se a fórmula
 i.n

  Fi ant .h
10
 .
Di = LDi  
f Di classe
onde
lDi = limite inferior da classe Di, i = 1, 2, 3, ..., 9
n = tamanho da amostra
h = amplitude da classe
FDi = freqüência da classe Di
f = soma das freqüências anteriores à classe Di
2.5.3 Percentil ou Centil
São os valores que separam uma série em 100 partes iguais
59
ESTATÍSTICA BÁSICA
0% 1% 2% 3% . . . . 50% . . . . 97% 98% 99% 100%
P1
P2
P3
P50
P97
P98
P99
O cálculo é feito da seguinte maneira:
i.n
a) Calcula-se
, em que i = 1, 2, 3, ..., 97,98, 99
100
b) Identifica-se a classe Pi pela freqüência acumulada (Fac)
c) Aplica-se a fórmula
 i.n

 FPi ant .h

100
 .
Pi = LPi  
f Pi classe
Onde
LPi = limite inferior da classe Pi, i = 1, 2, 3, ..., 98,99
n = tamanho da amostra
h = amplitude da classe
fPi = freqüência da classe Pi
FPi ant = freqüência acumulada anterior à classe Pi
Exemplo:
Determinar o 40 Decil e o 720 Percentil da seguinte distribuição;
Classes
4 ⊢9
Fi
8
Fac
8
9⊢14
12
20
classe D4
14⊢19
17
37
classe P72
19⊢24

3
40
40
Cálculo D4:
in 4.40

 16 
10 10
Classe D4:
Identifica-se D4 pela Fac
lD4 = 9
n = 40
f = 8
h=5
FD4 = 12
60
ESTATÍSTICA BÁSICA
 4.40 
 8 .5

10

  12,33
D4 = 9 
12
Cálculo P72:
in
72.40

 28,8 
100 100
Classe P72:
Identifica-se P72 pela Fac
lP72 = 14
n = 40
f = 20
h=5
FP72 = 17
 72.40

 20 .5

100
  16,59
P72 = 14  
17
Logo, o valor 12,33 divide a amostra em duas partes: uma com 40% dos
elementos e outra com 60% dos elementos. O valor 16,89 indica que 72% da
distribuição estão abaixo desse valor e 28% acima.
3. Construção de dados agrupados em classes de freqüências
Considere uma amostra do QI de 50 alunos de uma escola:
110
115
107
109
119
120
94
105
110
111
129
101
103
131
124
141
141
133
111
106
101
93
121
114
118
107
103
91
132
102
107
121
126
104
119
121
118
127
119
101
119
122
135
113
101
115
128
123
116
118
10 passo – Construir o rol dos dados, isto é, a colocação dos dados iniciais em
ordem (no caso crescente)
A tabulação pode ser feita de vários modos
Nesse exemplo colocamos os dados da tabela em ordem crescente.
91
104
111
119
126
93
105
113
119
127
94
106
114
119
128
101
107
115
120
129
101
107
115
121
131
101
107
116
121
132
101
109
118
121
133
102
110
118
122
135
103
110
118
123
141
103
111
119
124
141
61
ESTATÍSTICA BÁSICA
Ou podemos utilizar o Método Ramos-e-folhas
9
10
11
12
13
14
1, 3, 4
1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 9
0, 1, 1, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 8, 8, 9, 9, 9
0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9
1, 2, 3, 5
1, 1
20 passo: determinar a amplitude total (A).
A = Maior medida – menor medida = 141 – 91 = 50
A = 50
30 passo: determinação do número de classes (k)
Processos:
a) Tabela estatística
N 5 10 25 50 100 200 500 1000
K 2 4 6 8 10 12 15 15
N = número de dados
Para N = 50, a tabela estatística determina 8 intervalos de classe
b) Fórmula de Struges: K = 1 + 3,22 log n
No exemplo, pela fórmula de Struges, tem-se K = 1 + 3,22 log 50 = 6,47  7
c) Método da raiz: K = n
Pelo método da raiz encontra-se
50 = 7,07
Os resultados são semelhantes. Optaremos por utilizar a tabela estatística.
N = 50  k = 8 classes
40 passo: determinação da amplitude de classe (h = A  K)
No exemplo: h = 50  8 = 6,25  7
Classes Intervalos de classes
1
91  98
2
98  105
3
105  112
4
112  119
5
119  126
6
126  133
7
133  140
8
140  147
Total
Histograma: em sala (quadro)
fi
3
8
10
8
11
6
2
2
50
Fi
3
11
21
29
40
46
48
50
%
6
16
20
16
22
12
4
4
100
xi
94,5
101,5
108,5
115,5
122,5
129,5
136,5
143,5
62
ESTATÍSTICA BÁSICA
Exercícios:
1. Os salários-hora de 5 funcionários de uma Cia. são: 75, 90, 142, 88, 100.
determinar:
d) a média dos salários-hora
e) o salário-hora mediano
2. O número de carros vendidos por cada um dos 10 vendedores, de um negócio de
automóveis, durante um mês foi de: 2, 4, 7, 10,10, 10, 12, 12, 14 e 15. Determinar:
a) média b) mediana c) moda
3. Qual das quantidades calculadas no exercício anterior melhor descreve o volume
“típico”de vendas?
4. Dada a distribuição de freqüência a seguir, calcule
f) média aritmética b) moda c) mediana
Estaturas (cm)
150 ├──
155 ├──
160 ├──
165 ├──
170 ├──
175 ├──
180 ├──
155
160
165
170
175
180
185
N0 de
alunos
(fi)
5
4
19
18
14
12
4
Ponto médio
(xi)
xi . fi
5. Dada a distribuição a seguir, calcule a média, moda e mediana.
Classe
Fi
0 ├── 02
2
2 ├── 04
7
4 ├── 06
19
6 ├── 08
26
8 ├── 10
30
10 ├── 12
35
6. Calcular a média, a mediana e a moda para os montantes de empréstimos para a
tabela a seguir
Montante ($) N0 de empréstimos
300 – 600
13
700 – 1099
11
1100 – 1499
6
1500 – 1899
5
1900 – 2299
3
2300 – 2699
1
2700 – 3099
1
63
ESTATÍSTICA BÁSICA
7. A seguir estão dadas as notas(em créditos) de 50 alunos
60 85 33 52 65 77 84 65 74 57
71 35 81 50 35 64 74 47 54 68
80 61 41 91 55 73 59 53 77 45
41 55 78 48 69 85 67 39 60 76
94 98 66 66 73 42 65 94 88 89
Pede-se
a) determinar a amplitude total da amostra
b) amplitude das classes
c) quis as classes? (inicie pelo 30)
d) freqüência absoluta das classes
e) freqüências relativas
f) pontos médios das classes
g) freqüência acumulada
h) histograma
i) polígono de freqüência
j) gráfico da freqüência acumulada
k) média
l) moda – processo gráfico
m) mediana – pelo gráfico do item j
n) 10 e 30 quartis – pelo gráfico do item j
o) 70 decil e 550 percentil pelo gráfico.
8. Sendo:
Idade
0
n
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
10⊢14
15
14⊢18
28
18⊢22
40
22⊢26 26⊢30
30
20
30⊢34 34⊢38
15
10
38⊢42
5
Determinar a média
Calcular a medida que separa 50% dos elementos
Determinar a moda (fórmula de Czuber)
Calcular o 30 decil
Determinar a medida que separa ¼ dos elementos
Calcular o percentil 80
Qual a porcentagem das pessoas maiores de idade?
9. Um pesquisador aborda 30 transeuntes ao acaso e pergunta-lhes a idade. O resultado
é dado pela tabela:
35 26 39 25 39 22 42 40 30 22
21 40 16 32 39 21 28 39 18 37
23 14 27 44 30 32 21 15 26 43
a) Resumir as informações sob forma de distribuição de freqüência.
Dados log 30 = 1,48
b) Apresentar os dados sob forma de histograma
c) Calcular a média, o desvio padrão e o coeficiente de variação.
10. Considere a população de empregados da Cia. BETA.
a) Retirar uma amostra aleatória simples de 60 funcionários da empresa,
registrando os valores das rendas familiares.
ESTATÍSTICA BÁSICA
64
b) Construir uma tabela de distribuição de freqüências
c) Calcular e interpretar todas as medidas de tendência central
d) Calcular e interpretar todas as medidas de dispersão
e) Preparar um relatório que explique as rendas familiares dos empregados da
empresa BETA.
11. Dada a mostra de 60 rendas ( em milhares) de dada região geográfica:
07 08 05 04 03 02 09 09 06 03 15 01 13 14 04 03 06 06 10 07
12 13 14 08 02 15 05 04 10 02 01 03 08 10 11 13 14 15 16 08
08 09 05 03 02 03 03 04 04 04 05 07 08 09 01 12 13 14 16 10
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
Agrupar os elementos em classes. Sendo K = 6 e h = 3.
Construir o histograma
Calcular a média
Calcular e interpretar a mediana
Determinar e interpretar o 30 quartil
Determinar e interpretar o 40 decil
Determinar e interpretar o 470 percentil
Determinar a medida que separa 25% das rendas
Determinar a variância
Determinar o desvio padrão
Calcular o coeficiente da variação.
Constatar as regras de distribuição do desvio padrão.