Teste2_170105

Mecânica dos Meios Contínuos
Ano Lectivo 2004/2005
2º Teste
17 de Janeiro de 2005
Duração: 2 horas
Observações:
Não podem ser consultados quaisquer elementos de estudo para além do formulário
fornecido.
Resolver os problemas em grupos de folhas separados. Identificar todas as folhas.
Na resolução dos problemas justificar convenientemente todas as passagens indicando
se necessário quais os conceitos teóricos utilizados.
Problema 1 (8 valores)
Um elemento estrutural com E = 30 GPa,  = 0,25 e  = 10-5/ºC está submetido a uma
dada solicitação, tendo-se medido uma extensão volumétrica 10-3 e uma distorção
12 = 10-3.
(3,5) a) Sabendo que o estado de tensão é plano (33 = 0) e que 11 = 22, determine as
componentes dos tensores das deformações e das tensões no corpo.
(1,5) b) Posteriormente submeteu-se o corpo a uma variação de temperatura T tal que,
sobreposta à solicitação inicial, deu origem a um estado de deformação plano. Determine
o valor da variação de temperatura ocorrida e os tensores das tensões e das deformações
finais.
(1,5) c) Indique em que condições um estado duplo de tensão é também um estado duplo de
deformação.
(1,5) d) Deduza as equações de Navier e mostre que, na ausência de forças de massa e no caso
do material acima indicado, estas se reduzem a:
uj,kk = -2 uk,kj
Problema 2 (5 valores)
O escoamento de um fluido Newtoniano isotrópico é caracterizado pelo seguinte campo
de acelerações (em coordenadas Eulerianas):
a1 = 10 (x1 + x2) ,
a2 = - 10 (x1 + x2) ,
a3 = 0
(xi em [m], ai em [m/s2]).
(1,5) a) Sabendo que a parcela convectiva da aceleração é nula e que, para t = 0 v = 0,
determine as componentes da velocidade na descrição Euleriana. Verifique que a parcela
convectiva da aceleração é mesmo nula.
(2,0) b) Sabendo que a pressão termodinâmica é igual a 5 N/m2 calcule as componentes do
tensor das tensões e a tensão normal média no instante t = 10 s ( =  = 0.001 Pa.s).
(1,5) c) Indique em que condições se obtém a tensão normal média igual à pressão
termodinâmica num fluido Newtoniano isotrópico.
Problema 3 (7 valores)
Uma viga em consola de comprimento L e secção rectangular com altura igual a 2a e
espessura unitária, está sujeita na sua extremidade livre a uma força F (conhecida)
aplicada sob a forma de uma força de superfície t2. Esta viga está em estado plano de
tensão (eixos x1, x2). Na ausência de forças de massa (X1 = X2 = 0) propõe-se como
solução para este problema de elasticidade o campo de tensões plano:
σ11 = A (x1 – L) x2,
σ22 = 0,
σ12 = B + C x22
em que A, B e C são constantes.
(1,0) a) Qual deverá ser o valor de t2 nos pontos R e S?
(3,0) b) Calcule o valor das constantes A, B e C para que as equações de equilíbrio estático
sejam satisfeitas em todos os pontos.
(1,0) c) Desenhe a distribuição das tensões na secção PQ.
(2,0) d) Indique o significado físico das equações de compatibilidade e mostre que o campo
de tensões proposto é a solução exacta do problema.
Nota: Não examine as condições na extremidade PQ
x2
Resultante F
x2
R
P
F
Xi = 0; e = 1
x1
Q
S
x3
a
a
t2
1