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Probabilidades
 Conjuntos
Se B é subconjunto próprio de A, escreve-se:
B

A
(B implica A).
Notações de conjuntos para representar
relações entre acontecimentos
Relação entre
conjuntos
Acontecimento certo
Acontecimento
impossível
O acontecimento A
não ocorre
Ocorre o
acontecimento A e
ocorre o
acontecimento B
Ocorre o
acontecimento A ou
ocorre o
acontecimento B ou
ocorrem ambos
Se C ocorre, então D
também ocorre (C
implica a realização
de D)
Os acontecimentos E e
F são incompatíveis
Reunião e interseção de conjuntos
S
Notação de
conjuntos
A
Ω, S, E
Ø
B
A
U
A
A

B

{
x
:
x

A

x

B
}
A

B
(
A

B
)

#
A

#
B

#
(
A

B
)
Nota: #
S
A

B
A
B
A∩B
C

D
E

F


Cardinal de um conjunto
A

B

{
x
:
x

A

x

B
}
Conjuntos disjuntos (incompatíveis)
Ao número de elementos de um conjunto
chama-se cardinal do conjunto e representa-se
pelo símbolo # (“cardinal”).
A e B são conjuntos disjuntos se A∩B=Ø.
S
A
A={1, 2, 7}; #A=3
Igualdade entre os conjuntos
(
A

B
)

(
x

A

x

B
)
Subconjunto de um conjunto
(
A

B
)

(
x

A

x

B
)
S
B
B
A
Diagrama de Venn
B
Propriedades das operações com
conjuntos
Propriedade
comutativa
Propriedade
associativa
Elemento
neutro
Elemento
absorvente
Idempotência
Leis de De Morgan
Seja A e B dois subconjuntos quaisquer:

B

A

B

B

A

B
e A
A

B

B

A A

B

B

A A
A

B
)

C

A

(
B

C
)
(
A

B
)

C

A

(
B

C
) (
A



A
A

S

A
A

S

S
A




A

A
A
A

A
A
 Termos e conceitos probabilísticos
Experiência determinista
As experiências deterministas ou causais caracterizamA

(
B

C
)

(
A

B
)

(
A

C
)
A

(
B

C
)

(
A

B
)

(
A

C
) se por produzirem o mesmo resultado, desde que
sejam repetidas sob as mesmas condições (i.e.:lançar
uma pedra ao mar e verificar que vai ao fundo; furar
Complementar de um conjunto
um balão cheio de ar e verificar que rebenta).
Propriedade
distributiva
O complementar de um conjunto A representase A .
S
A
A



x
:
x

A
1.º - A

A

S
2.º - A

A


3.º - A
As experiências aleatórias ou casuais caracterizam-se
pela impossibilidade de prever o resultado que se
obterá, ainda que as experiências sejam realizadas sob
as mesmas condições (i.e.: lança um dado e observar a
face que fica voltada para cima; tirar um carta de um
baralho e verificar se sai vermelha).
Conjunto de resultados
4.º - AA
Complementar de um conjunto
relativamente a outro
Seja A e B dois conjuntos.
O complementar de B relativamente a A
representa-se por A\B e tem-se:
A
\
B

{
x
:
x

A

x

B
}
S
A
Experiência aleatória
B
Só se realiza se e só se A se realiza sem que B
se realize.
Ao conjunto formado por todos os resultados possíveis
de uma experiência aleatória chama-se conjunto de
resultados ou espaço amostral e representa-se por S,
U ou Ω (i.e.: no lançamento de um dado, S={1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}).
Acontecimento
A qualquer subconjunto de S chamamos
acontecimento.
Acontecimento de uma experiência aleatória é cada
um dos subconjuntos do conjunto de resultados.
Acontecimento elementar – Se o resultado de uma
experiência consta de um só elemento do conjunto de
resultados (i.e.: A={8}).
Acontecimento composto - Se o resultado de uma
experiência consta de dois ou mais elementos do
conjunto de resultados (i.e.: B={1, 3, 5, 7}). Lançar
dois dados, um dado e uma moeda, retirar de um saco
mais de uma bola são experiências compostas porque
envolvem mais do que uma experiência simples. As
tabelas de dupla entrada são úteis para
identificar todas as probabilidades de saídas
quando se trata de duas experiências simples. O
diagrama de árvore usa-se para o mesmo efeito
mas pode ser utilizado para duas ou mais
experiências.
Acontecimento certo – Se o resultado de uma
experiência consta de todos os elementos do
conjunto de resultados (i.e.: C={1, 2, 3, 4, 5,
6}=S).
Acontecimento impossível – Se o resultado de
uma experiência não tem qualquer elemento do
conjunto de resultados (i.e.: D=Ø).
 Definição frequencista de
probabilidade
Lei dos grandes números
Ao número à volta do qual estabiliza a frequência
relativa de um acontecimento quando o número de
repetições da experiência cresce consideravelmente
chama-se probabilidade do acontecimento.
Designemos por p(A) a probabilidade do
acontecimento A.
A relação entre frequência relativa e a probabilidade
de um acontecimento permite desde já estabelecer as
seguintes conclusões:
Acontecimentos incompatíveis e
acontecimentos contrários – dois
1.º - 0 ≤ p(A) ≤ 1
acontecimentos, X e Y, dizem-se incompatíveis
2.º - p(acontecimento certo) = p(S) = 1
se a sua verificação simultânea for o

Y

 3.º - p(acontecimento impossível) = p(Ø) = 0
acontecimento impossível, ou seja, X
4.º - Se A e B são dois acontecimentos quaisquer do
(a realização de um acontecimento não implica
mesmo espaço amostral S ,
a realização do outro).
p
(
A

B
)

p
(
A
)

p
(
B
)

p
(
A

B
)
S
X
5.º - Se A e B são incompatíveis,
p
(
A

B
)

p
(
A
)

p
(
B
)
Y
(
A
)

1

p
(
A
)
6.º - p
 Lei de Laplace
No caso dos acontecimentos A e B, além de

B


serem incompatíveis ( A
), verifica-se
A

B
que
é o acontecimento certo

B

S
(A
). Por esta razão também se chama
a A e B acontecimentos contrários (a
interseção é um acontecimento impossível e a
reunião é um acontecimento certo).
S
A
B
B é o acontecimento contrário de A e
representa-se por A .
Se os acontecimentos elementares são equiprováveis,
a probabilidade de um acontecimento A é igual ao
quociente entre o número de casos favoráveis ao
acontecimento e o número de casos possíveis. Ou seja:
n
d
c
ú
f
e
a
m
a
a
a
s
o
n
c
v
A
o
t
e
o
o
p
(
A
)

n
d
c
ú
f
e
a
m
a
s
v
o
 Definição axiomática de probabilidade
Axiomas são proposições, sugeridas pela nossa
intuição ou experiência, que não se demonstra e se
aceitam como verdadeiras.
Provar ou demonstrar uma proposição é mostrar,
usando raciocínios lógicos, que ela resulta de outras
consideradas verdadeiras.
Teoremas são proposições que se demonstram
a partir dos axiomas ou de outras proposições
já demonstradas.
Axiomas das probabilidades (Axiomática
de Kolmogorov)
Axioma 1 – A probabilidade de qualquer
acontecimento A do conjunto de resultados S é
um número não negativo.
p
(
A
)

0
,
A

S
Axioma 2 – A probabilidade do acontecimento
certo é 1.
P(S) = 1, S é o acontecimento certo
Axioma 3 – A probabilidade da reunião de dois
acontecimentos incompatíveis (disjuntos) é
igual à soma das probabilidades desses
acontecimentos.
(
A
)

p
(
A

B
)

p
(
A

B
)
Teorema 5 - p

A

p
(
A
\
B
)

p
(
A
)

p
(
B
)
Teorema 6 - B

A

p
(
B
)

p
(
A
)
Teorema 7 - B
(
A
)

p
(
B
)

p
(
A

B
)

1

p
(
A

B
)
Teorema 8 - p
 Probabilidade condicionada
(acontecimentos dependentes)
Representa-se por p(A|B) a probabilidade de
ocorrência de A, na hipótese de B se ter realizado, e
tem-se (probabilidade de A sabendo que B ocorre):
p
(
A

B
)
p
(
A
|B
)

,
p
(
B
)

0
p
(
B
)
(
A

B
)

p
(
B
)

p
(
A
|
B
)
1.º - p
(
A

B
)

p
(
A
)

p
(
B
|
A
)
2.º - p
p
(
A

B
)

p
(
A
)

p
(
B
),
s
(
A

B
)
e


 Probabilidade condicionada e
axiomática
Teorema 1 – a probabilidade de um
acontecimento impossível é zero.
p(Ø) = 0
Teorema 2 – a probabilidade de qualquer
acontecimento A é um número do intervalo [0,
1].
0

p
(
A
)

1
,
A

S
Teorema 3 – a probabilidade do acontecimento
contrário de A ( A ) é igual à diferença entre 1 e
a probabilidade de A.
p
(
A
)

1

p
(
A
)
A

,
S

S, B

Se
Sendo S o conjunto de resultados, A
p(B)>0, p(A|B) satisfaz os 3 axiomas da teoria das
probabilidades se:
1.º - p(A|B) ≥ 0
2.º - p(S|B) = 1
3.º - Se A
1eA
2 são acontecimentos incompatíveis, isto

A


é, se A
, então:
1
2
p
[
A

A
)
(
|
B
]

p
(
A
|
B
)

p
(
A
|
B
)
1
2
1
2
 Acontecimentos independentes
Dois acontecimentos são independentes quando a
probabilidade de realização de um deles não interfere
na probabilidade da realização do outro.
(Exemplos: lançamentos consecutivos de 2
p
(
A

B
)

p
(
A
)

p
(
B
)

p
(
A

B
)
dados/moedas; tirar consecutivamente bolas/cartas,
com reposição.)
Teorema 4 – probabilidade da reunião de dois
acontecimentos
Dois acontecimentos são independentes se e só
se:
p
(
A
|
B
)

p
(
A
)
p
(
A

B
)

p
(
A
)

p
(
B
)
 Teorema das probabilidades
totais
Notação
Notação
X
N
xi
Descrição
Variável aleatória
Nº de elementos da população
Valores que pode tomar a variável X
fri
Frequência relativa de x i , em %
fi
Frequência absoluta de x i
pi
Probabilidade de x i
Média
Desvio-padrão
Variância
μ, x
σ
p
(
A
)

p
(
A
|
B
)

p
(
B
)

p
(
A
|
B
)

p
(
B
)
2
ou
Chama-se distribuição de probabilidades de uma
X à aplicação que a cada valor x i da
variável X faz corresponder a respetiva probabilidade
pi .
p
(
A
)

p
(
A
|
B
)

p
(
B
)

p
(
A
|
B
)

p
(
B
)

.

p
(
A
|
B
)

p
(
.
B
)
.
1
1
2
2
n
n
variável
aleatória
 Teorema de Bayes
Dada uma variável aleatória X, discreta, que assume
finito de valores distintos
x
,
x
,x
.
,.
x
.
.,
.
,
,.
então
as probabilidades
1
2
i
n
p
P
(
X

x
)
, i = 1, …, n, devem satisfazer as
i
i
seguintes condições:
p
(
A

B
)
p
(
B
|
A
)

p
(
A
|
B
)

p
(
B
)

p
(
A
|
B
)

p
(
B
)

.

p
(
A
|
B
)

p
(
.
B
)um número
.
1
1
2
2
n
n
 Variável aleatória e distribuição
de probabilidades
Uma variável aleatória é uma variável cujo
valor é um resultado numérico associado ao
resultado de uma experiência aleatória. Pode
ser discreta ou contínua:
Variável aleatória discreta – pode assumir
um número finito ou infinito numerável de
valores. Dados obtidos por contagem (i.e.: nº
de pessoas atendidas num hospital).
Variável aleatória contínua – pode assumir
um número infinito não numerável de valores.
Dados obtidos através de aparelhos de medida
(i.e.: temperatura).
1.º - 0 ≤ p i ≤ n, i = 1, …, n
n
2.º -
p 1
i
i1
Amostra
População
Variável estatística X que toma
valores
x
,
x
,
1
2
Variável aleatória X
que toma
x
.
,
.
x
.
.
.
,
.
, valores
i
n
x
,
x
,x
.
,.
x
.
.,
. ,
12
i
n.
Média aritmética
Valor médio ou
esperança
n
x
n

x
i
i
1
N
i
n

x
fi

i
i
1
Variância amostral
n
2
x
n

i
i
2
i
1


x2
x2
f i x2 r
i
N
n
(x
x
)2
n
i
i

(xi x)2f i

N
i
1
i
1
n

xi p
i
r
i
1
Variância
populacional
2
2
2


x
p


i
i
n
i
1
n
r
Ou

(
x

)
p

n
2
2
i
1
Desvio-padrão amostral
 
2
i
Desvio-padrão
populacional
 2
i
 Modelo binomial (variáveis discretas)
Distribuição binomial
Designa-se por modelo de distribuição
binomial uma experiência aleatória com as
seguintes características:
1.º - É constituída por n provas idênticas.
2.º - Em cada prova apenas são possíveis dois
resultados: sucesso ou insucesso.
3.º - Os resultados das provas são
independentes uns dos outros.
4.º - A probabilidade de sucesso p não varia de
prova para prova.
À variável aleatória X, que representa o número
de sucessos nas n provas, chama-se variável
aleatória com distribuição binomial de
parâmetros n e p.
Representa-se por B (n, p).
A variável X pode tomar os valores 1, 2, …, n.
Se X tem distribuição binomial de parâmetros n
e p, a probabilidade para qualquer valor X = r
da variável aleatória X é dada por:
nr
n

r
P
(
X

r
)

C
p

(
1

p
)
r
Provas de Bernoulli
Sucessão de experiências aleatórias
independentes, em cada uma das quais se
observa ou não, a realização de um
determinado acontecimento A, com
probabilidade P(A)=p, constante de
experiência para experiência
A distribuição binomial é um modelo
probabilístico aplicável em problemas onde se
consideram repetidas provas de Bernoulli.
O problema das provas repetidas consiste na
determinação da probabilidade de que em n
realizações de uma dada experiência determinado
acontecimento se verifique k vezes.
n kn

k
p
(
x

k
)

C
p
.
q
k
x = k – acontecimento
n – nº de vezes que a experiência se repete
k – nº de vezes de sucesso
p – probabilidade de sucesso
q – probabilidade de insucesso
 Modelo normal (variável contínua)
Uma distribuição normal é caracterizada pela média μ
e pelo desvio-padrão σ. Representa-se por N(μ,σ). A
curva normal é em forma de sino e denomina-se por
Curva de Gauss.
Características da curva normal
1.º - É simétrica relativamente ao valor médio μ da
variável.

f
(

x
)

f
(

x
)

x

,

0
0
0
2.º - Tem um máximo para x = μ.
3.º - Quanto maior for o desvio-padrão σ, mais
achatada é a curva.
4.º - A área compreendida entre a curva e o eixo Ox é
igual a 1.
5.º - A probabilidade de que a variável tome valores no
intervalo [ xi , xj ] é igual à área compreendida entre o
eixo Ox, o gráfico da função densidade e as retas
xxi e xxj .



6.º - A concavidade da curva muda de sentido para
x


e
x


( x1ex2 são abcissas dos
1
2
pontos de inflexão).
7.º - O eixo das abcissas é assimptota da curva.
Provas repetidas
8.º - A área abaixo da curva distribui-se em
intervalos da seguinte forma:


Chama-se fatorial de um número natural n e
representa-se por n! ao produto:
n
!

n
(
n

1
)(
n

2
)

.

3

2
.

1
.




x

;
x

[

6
,
2
%
8
6
*]
NOTA: 0!=1
x

2
;
x

2
[

9
,
4
%
5
4
*]
x

3
;
x

3
[

9
,
7
%
9
4
*]
Permutações
x
2

x

x
x

x
2

Chama-se permutação de n elementos a todas as
sequências diferentes que é possível obter com os n
elementos. O número dessas sequências representa-se
!
por Pn (permutação de n). P
n n
Arranjos sem repetição (arranjos simples)
 Cálculo combinatório
Princípio geral da multiplicação (“A e B”)
Por cada alternativa, existem n alternativas
diferentes.
Consideremos um processo constituído por k
etapas. Se existirem n 1 maneiras de realizar a
primeira etapa e se, para cada uma destas,
existirem n 2 maneiras de realizar a segunda
etapa, e assim sucessivamente, até à k-ésima
etapa, então todo o processo pode ser realizado

n

n

.
n
.
.
de n
maneiras
diferentes.
1
2
3
k
Princípio geral da adição (“A ou B”)
As várias formas de realizar algo.
Se para realizar um processo existirem k
alternativas que se excluem duas a duas, e se
existirem n 1 maneiras de realizar a primeira
alternativa, n 2 maneiras de realizar a segunda,
…, n k maneiras de realizar a k-ésima, então o
processo pode ser realizado de
n

n

n

.
n
.
.
maneiras
diferentes.
1
2
3
k
Dados n elementos quaisquer, chama-se arranjos sem
repetição de n elementos escolhidos arbitrariamente
entre os n dados. O número de todas estas sequências
A

n
(
n

1
)
n

2
)

(
.

(
n

p
.

1
)
designa-se por n
n, .
p
p  N e n≥p
n
!
1.º - nA
p
(np
) !
2.º - nA
n P
n
Arranjos com repetição (arranjos completos)
,a
,.
a
.
.,
Dados n elementos diferentes, a
, chama-se
1
2
n
arranjos com repetição dos n elementos p a p a
todas as sequências de p elementos, sendo estes
diferentes ou não, que se podem formar escolhendo os
p elementos entre os n dados. O número total de
p
sequências representa-se por nA
p' n
Combinações sem repetição (tiragens simultâneas)
n
C p ou   é o número de subconjuntos com p
 p
elementos que se podem definir num conjunto com n
elementos.
n
Fatorial de um número natural n
n
Cp 
n
Ap
p!
n
!
C
, n, p N0 e n≥p
p
p
!
(n

p
) !
n
1.º - Em cada linha são iguais os termos equidistantes
dos extremos:
n
n
C

C
p
n

p
n

C
1.º - nC
p
n

p
n
n

1
C

C

C
2.º - n
p
p

1
p

1
2.º - A soma de dois números consecutivos de uma
linha é igual ao número que na linha seguinte figura
entre eles:
n
n
n

1
C

C

C
p

1
p
p  Regra de Stiefel
3.º - A soma de todos os elementos da n-ésia linha é
igual a 2 n :
n
C

C

1
3.º - n
0
n
Síntese
Arranjos com
repetição
Arranjos sem
repetição
Permutações
Combinações
A
ordem
influi?
Pode haver
repetição?








n
n
C

C

.

C
.

2
.
n
n n
0 1
Entram todos
os elementos
da
sequência?
Combinatória
n
p
A
p' n


-
n
!
A
p
(np
) !
n
P
!
n n
n
!
n
C
p
p
!
(n

p
) !
 Binómio de Newton
n
n
n
n
n

1
n
n

2
2
n
n

1
n
n
(
a

b
)

C
a

C
a
b

C
a
b

.

C
a

.
C
b
.
0
1
2
n

1
n
Ou
n
n
n
n

pp
(
a

b
)

C
a
b

p
p

0
 Triângulo de Pascal
Observações
)n tem n+1 termos.
1.º - O desenvolvimento de (ab
2.º - O termo de ordem p é T p , sendo:
1
1
1
1
2
1
1
3
1
3
4
6
n
n

p

1
p

1
n
n

pp
T

C
a
b

C
a
b
ou T
p
p

1
p

1
p
1
4
1
1 5
10 10
5 1
1 6 15 20 15 6
1
……………………………………
O binómio de Newton é uma forma rápida de
)n.
simplificar expressões do tipo (ab
Corresponde aos valores de:
0
C0
1
1
C0
2
3
4
5
6
C0
C0
6
C1
3
4
C0
5
C0
C0
C1
6
C2
C2
6
2
C1
3
C1
4
C2
5
C3
C3
6
C2
3
C2
4
C1
5
C1
2
C3
4
C3
5
C4
C4
6
C4
5
C5
C5
6
C6
……………………………………………
Propriedades