Apostila_8ºANO_E_9ºANO

CENTRO EDUCACIONAL C.C.G.
MATERIAL DE APOIO: SÉRIES: 8°ANO E 9º ANO / Primeira fase - Nível 2
OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2009
Instruções:





Leia os exercícios com muita atenção.
Tente resolvê-los sozinho.
Em caso de dúvidas procure pelo gabarito comentado (no final da apostila).
Caso a dúvida prossiga, procure seu professor.
Procure fazer e refazer todos os exercícios.
A 1ª prova será dia 6 de junho (sábado) na própria escola. Acreditamos em você!
1. (2005) Uma loja de sabonetes realiza uma promoção com o anúncio "Compre um e leve
outro pela metade do preço”. Outra promoção que a loja poderia fazer oferecendo o mesmo
desconto percentual é
A) "Leve dois e pague um”
B) "Leve três e pague um”
C) "Leve três e pague dois”
D) "Leve quatro e pague três”
E) "Leve cinco e pague quatro”
2. (2005) Devido a um defeito de impressão, um livro de 600 páginas apresenta em branco
todas as páginas cujos números são múltiplos de 3 ou de 4. Quantas páginas estão
impressas?
A) 100
B) 150
C) 250
D) 300
E) 430
3. (2005) Figuras com mesma forma representam objetos de mesma massa. Quantos
quadrados são necessários para que a última balança fique em equilíbrio?
?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
4. (2005) O desenho ao lado mostra um pedaço de papelão que será dobrado e colado nas
bordas para formar uma caixa retangular. Os ângulos nos cantos do papelão são todos retos.
Qual será o volume da caixa em cm3?
A) 1 500
B) 3 000
20 cm
40 cm
15 cm
C) 4 500
D) 6 000
E) 12 000
5. (2005) Em certa cidade, acontece um fato interessante. Dez por cento dos Baianos
dizem que são Paulistas e dez por cento dos Paulistas dizem que são Baianos.
Todos os outros Paulistas e Baianos assumem a sua verdadeira origem. Dentre os
Paulistas e Baianos, 20%
dizem que são Paulistas. Que percentual os realmente Paulistas representam dentre os
Paulistas e Baianos?
A) 12,5%
B) 18%
C) 20%
D) 22%
E) 22,5%
1
6. (2005) Um professor de Inglês dá aula particular para uma classe de 9 alunos, dos
quais pelo menos um é brasileiro. Se o professor escolher 4 alunos para fazer uma
apresentação, terá no grupo pelo menos dois alunos de mesma nacionalidade; se
escolher 5 alunos, terá no máximo três alunos de mesma nacionalidade. Quantos
brasileiros existem na classe?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
7. (2008) Quantos dos números abaixo são maiores que 10?
3 11 , 4 7 , 5 5 , 6 3 , 7 2
A) 1
8.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
C) 212.3 6
D) 6 12
E) 12
1212 é igual a:
A) 6 6
B) 12 2
3
12
9. (2008) Uma grande empresa possui 84 funcionários e sabe-se que cada funcionário fala pelo
menos uma das línguas entre Português e Inglês. Além disso, 20% dos que falam Português
também falam Inglês e 80% dos que falam Inglês também falam Português. Quantos
funcionários falam as duas línguas?
A) 12
B) 14
C) 15
D) 16
E) 18
10. (2008) Edmilson, Carlos e Eduardo ganharam um total de R$150,00 lavando carros. Eles
ganharam quantidades diferentes de dinheiro. Como eles são muito amigos decidiram dividir o
dinheiro ganho em partes iguais. Para isto, Edmilson deu metade do que ganhou para dividir em
partes iguais entre Carlos e Eduardo, porém, Carlos tinha muito dinheiro e, portanto, deu R$
10,00 a cada um dos outros dois. Finalmente, para que cada um tivesse a mesma quantidade de
dinheiro, Eduardo deu R$ 2,00 a Edmilson. Quanto Eduardo ganhou antes da divisão?
A) R$ 76,00
B) R$ 51,00
C) R$ 23,00
D) R$ 50,00
E) R$ 100,00
11. (2008) De quantas maneiras podemos dividir R$ 10,00 em moedas de 10 centavos e de 25
centavos, se pelo menos uma moeda de cada valor tem que ser usada?
A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
E) 19
12. (2008) Soninha tem muitos cartões, todos com o mesmo desenho em uma das faces. Ela vai
usar cinco cores diferentes (verde, amarelo, azul, vermelho e laranja) para pintar cada uma das
cinco partes do desenho, cada parte com uma cor diferente, de modo que não haja dois cartões
pintados da mesma forma. Na figura abaixo, por exemplo, os cartões são iguais, pois um deles
pode ser girado para se obter o outro. Quantos cartões diferentes Soninha conseguirá produzir?
A) 16
B) 25
C) 30
D) 60
2
E) 120
13. (2008) Uma classe tem 22 alunos e 18 alunas. Durante as férias, 60% de todos os alunos
dessa classe foram prestar trabalho comunitário. No mínimo, quantas alunas participaram desse
trabalho?
A) 1
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
14. (2008) O grupo A da última Copa do Mundo de futebol terminou com os seguintes
resultados:
Equipe
Áustria
Brasil
Camarões
Dinamarca
Número de Pontos
7
5
4
0
Sabe-se que Áustria e Camarões levaram apenas 1 gol, cada um. Além disso, Brasil e
Dinamarca marcaram apenas 1 gol, cada um, enquanto que Áustria marcou 3 gols. Qual o
resultado da partida Áustria  Dinamarca?
Observação: no grupo, cada seleção joga com as demais exatamente uma vez e, em cada
partida, o time vencedor ganha 3 pontos, o perdedor não ganha nem perde pontos e, em caso de
empate, cada time ganha 1 ponto.
A) 1  0
B) 2  1
C) 2  0
D) 0  0
E) Nada se pode afirmar.
15. (2008) Tenho um cubo de madeira, com três faces vermelhas e três faces azuis. O cubo é
cortado em 333 = 27 cubos menores. Quantos destes cubos menores têm, pelo menos, uma
face vermelha e outra azul?
A) 6
B) 12
C) 14
D) 16
E) depende de quais faces do cubo são vermelhas e quais são azuis.
16. (2007) Na figura, o lado AB do triângulo eqüilátero
ABC é paralelo ao lado DG do quadrado DEFG. Qual é o
valor do ângulo x?
A) 80o
B) 90o
C) 100o
D) 110o
o
E) 120
G
A
F
x
D
B
C E
17. (2007) Em uma prova de olimpíada, 15% dos estudantes não resolveram nenhum problema,
25% resolveram pelo menos um problema, mas cometeram algum erro, e os restantes, 156
estudantes, resolveram todos os problemas corretamente. O número de estudantes que
participaram da olimpíada foi:
A) 200
B) 260
C) 93
D) 223
E) 300
18. (2007) As seguradoras de automóveis A e B cobram um valor anual (prêmio) mais um valor
que o usuário deve pagar em caso de acidente (franquia). Jean quer fazer um seguro para seu
automóvel e recebeu as seguintes propostas das seguradoras:
Seguradora A: Prêmio anual de R$ 1500,00 e franquia de R$ 1400,00
Seguradora B: Prêmio anual de R$ 1700,00 e franquia de R$ 700,00
Para valer a pena Jean contratar a Seguradora A, ele não deve se acidentar com o carro por pelo
menos N anos. O valor de N é:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
3
19. (2007) Determine em qual dos horários abaixo o ângulo determinado pelos ponteiros de um
relógio é o menor.
A) 02h30
B) 06h20
C) 05h40
D) 08h50
E) 09h55
20. (2007) A figura abaixo é formada por três quadrados de lado 1 e um retângulo que os
contorna.
A área do retângulo é:
A) 3 2
B) 4 2
C) 6
D) 6 2
E) 8
21. (2006) São dadas duas tiras retangulares de papel com 20 cm
de comprimento, uma com 5 cm de largura e outra com 11 cm de
largura. Uma delas foi colada sobre a outra, perpendicularmente, de
modo a formar a figura ilustrada ao lado. O perímetro dessa figura,
em centímetros é:
A) 50
B) 60
C) 80
D) 100
E) 120
90
22. (2006) A soma de três números naturais consecutivos é igual ao produto desses três
números. A soma dos quadrados desses números é:
A) 14
B) 15
C) 18
D) 24
E) 36
23. (2006) No fim de 1994, Neto tinha a metade da idade de sua avó. A soma dos anos de
nascimento dos dois é 3844. Em 2006 Neto fará:
A) 55 anos
B) 56 anos
C) 60 anos
D) 62 anos
E) 108 anos
24. (2006) O número de quadrados que podem ser construídos com vértices nos pontos da
figura abaixo é:
A) 18
B) 14
C) 9
D) 20
E) 10
25. Seis amigos planejam viajar e decidem fazê-lo em duplas, cada uma utilizando um meio de
transporte diferente, dentre os seguintes: avião, trem e carro. Alexandre acompanha Bento.
4
André viaja de avião. Carlos não acompanha Dário nem faz uso do avião. Tomás não anda de
trem. Qual das afirmações a seguir é correta?
A) Bento vai de carro e Carlos vai de avião.
B) Dário vai de trem e André vai de carro.
C) Tomás vai de trem e Bento vai de avião.
D) Alexandre vai de trem e Tomás vai de carro.
E) André vai de trem e Alexandre vai de carro.
26. (2006) Ludmilson percebeu que para numerar as páginas de um livro, consecutivamente, a
partir da página 2, foram usados 2006 algarismos. O número de páginas do livro de Ludmilson
é:
A)701
B) 702
C) 703
D) 704
E) 705
27. (2006) Num relógio digital, as horas são exibidas por meio de quatro algarismos. Por
exemplo, ao mostrar 00:00 sabemos que é meia-noite e ao mostrar 23:59 sabemos que falta um
minuto para meia-noite. Quantas vezes por dia os quatro algarismos mostrados são todos pares?
A) 60
B) 90
C) 105
D) 180
E) 240
28. (2006) O professor Piraldo aplicou uma prova para seus cinco alunos e, após corrigi-las,
digitou as notas em uma planilha eletrônica que calcula automaticamente a média das notas à
medida que elas são digitadas. Piraldo notou que após digitar cada nota a média calculada pela
planilha era um número inteiro. Se as notas dos cinco estudantes são, em ordem crescente, 71,
76, 80, 82 e 91, a última nota que Piraldo digitou foi:
A) 71
B) 76
C) 80
D) 82
E) 91
29. (2006) Samuel possui três irmãos a mais do que irmãs. O número de irmãos de Samila,
irmã de Samuel, é igual ao dobro do número de suas irmãs. O número de filhos (homens e
mulheres) que possui o pai de Samuel e Samila é:
A) 10
B) 13
C) 16
D) 17
E) 20
30. (2006) A figura a seguir representa um Tangram, quebra-cabeças chinês formado por 5
triângulos, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Sabendo que a área do Tangram a seguir é 64 cm2,
qual é a área, em cm2, da região sombreada?
A) 7,6
B) 8
C) 10,6
D) 12
5
E) 21,3
GABARITO COMENTADO
1. (D) Pela promoção, quem levar 2 unidades paga pelo preço de 1,5 unidade, logo quem levar
4 unidades paga pelo preço de 3 unidades, ou seja, leva quatro e paga três
2. (D) Em 600 números inteiros consecutivos positivos, há
600
 200 múltiplos de 3 e
3
600
 150 múltiplos de 4; entretanto, alguns desses números aparecem duas vezes nessa
4
contagem, pois são múltiplos dos dois números, ou seja, são múltiplos de 12. Como há
600
 50 desses múltiplos, concluímos que o número de páginas com defeito é
12
200  150  50  300 .
3. (D) Na primeira balança temos 3 triângulos + 1 círculo = 6 quadrados. Na segunda, vemos 2
triângulos + 4 círculos = 8 quadrados, ou seja, 1 triângulo + 2 círculos = 4 quadrados.
Logo, 4 triângulos + 3 círculos = (3 triângulos + 1 círculo) + (1 triângulo + 2 círculos) = 6
quadrados + 4 quadrados = 10 quadrados.
4. (B) A caixa terá dimensões 20 cm  15 cm  10 cm. Logo, seu volume será igual a 20  15 
10 = 3000 cm2.
20 cm
40 cm
10 cm
15 cm
5. (A) Se P é a fração de Paulistas, entre os Paulistas e Baianos, temos 0,9P + 0,1(1- P) = 0,2.
Logo, 0,8 P = 0,1, ou seja, P = 0,125 = 12,5%.
6. (C) Suponha que haja alunos de 4 ou mais nacionalidades entre os 9 alunos da classe. Se
escolhermos um aluno de cada nacionalidade não haverá dois alunos de mesma nacionalidade, o
que é um absurdo. Logo há alunos de no máximo 3 nacionalidades.
Da mesma forma, entre os 9 alunos não há 4 de mesma nacionalidade, pois se houvesse
poderíamos formar um grupo de 5 alunos com mais de 3 alunos de mesma nacionalidade.
Logo há no máximo 3 alunos de cada nacionalidade.
Como há 9 alunos, no máximo 3 nacionalidades e no máximo 3 alunos por nacionalidade,
há exatamente 3 nacionalidades e 3 alunos de cada nacionalidade. Em particular, há 3
alunos brasileiros.
7. (C) Os quadrados dos números são respectivamente: 99, 112, 125, 108 e 98. Destes, apenas o
primeiro e o último são menores que o quadrado de 10 que é 100. Assim, os três números do
meio são maiores que 10.
8. (C)
1212  12 6  (2 2  3) 6  212  36
9. (D) Seja P o número de funcionários que falam Português e I o número de funcionários que
falam Inglês. É fácil ver que,
20
20
.P 
.I  I  P  4 I .
100
100
6
Além disso, 4 I  I 
duas línguas é
20
.I  84  I  20. Com isso, o número de funcionários que falam as
100
20
.4 I  16.
100
10. (C)
Edmilson
x
x
2
Eduardo
y
Carlos
z
x
4
x
z
4
x
 10
2
x
y   10
4
x
z   20
4
y
A quantidade final de cada é R$ 50,00, então
x
 12
2
x
y  8
4
x
z   20
4
x
 12 = 50, então x  76. E com isso, Eduardo
2
tinha inicialmente R$ 23,00.
1000  25 y
, onde x e y são, respectivamente,
10
as quantidade de moedas de 10 centavos e de 25 centavos. Para que x seja um valor inteiro
positivo basta que y seja qualquer número par entre 2 e 38. Logo, temos 19 maneiras
11. (E) Temos que 10 x  25 y  1000  x 
diferentes.
12. (C) ou (D) ambas devem ser consideradas como resposta correta.
(C) Escolhendo uma cor para o quadrado do centro (como o azul do exemplo), sobram 4 cores
diferentes para pintar cada uma das quatro partes restantes do desenho, cada parte com uma cor
diferente, e isso pode ser feito de
4  3  2 1
 6 maneiras de modo que não haja dois cartões
4
pintados da mesma forma. Pode-se verificar que há 4 maneiras iguais de se pintar os cartões,
pois ao serem giradas, obtém-se a mesma. Como há 5 maneiras de escolher uma cor para o
quadrado do centro, Soninha conseguirá produzir 5  6  30 cartões diferentes.
(D) Se considerarmos que a diagonal com quadradinhos pretos é distinta da outra, então só
precisamos dividir por 2. Logo Soninha conseguirá 60 cartões diferentes.
13. (B) Total de alunos: 40. Com isso,
60
.40  24 alunos. Como temos 22 alunos então pelo
100
menos 2 alunas participarão do trabalho.
14. (B) Como cada time joga três vezes, podemos concluir que:
 Dinamarca perdeu todos os jogos.
 Camarões ganhou um jogo, empatou uma vez e perdeu o outro.
 Brasil ganhou um jogo e empatou outras duas vezes.
 Áustria ganhou dois jogos e empatou outro.
Assim, Brasil venceu a Dinamarca. Como o Brasil marcou apenas um gol, o único resultado
possível para esse jogo é 1  0. Além disso, os outros jogos do Brasil foram empates, logo o
resultado foi 0  0 em ambos. Da mesma forma, podemos concluir que o Camarões venceu a
Dinamarca por 1  0. Ou seja, o único gol que a Dinamarca marcou deve ter sido contra a
Áustria.
7
Por outro lado, sabemos que a Áustria venceu o Camarões e que o Camarões levou apenas um
gol. Logo, o resultado desse jogo foi 1  0. Finalmente, como a Áustria marcou três gols, o jogo
Áustria contra Dinamarca foi 2  1.
15. (E) Se o cubo tiver um vértice cujas três faces adjacentes são todas azuis, então estas faces
conterão um total de 19 cubinhos com pelo menos uma face azul. Destes, devemos descontar os
7 cubinhos (do canto destacado) que não têm face vermelha. Neste caso, exatamente 19 – 7 = 12
cubinhos têm pelo menos uma face de cada cor.
Por outro lado, se o cubo não tiver três faces azuis incidindo num mesmo vértice, teremos duas
faces opostas e uma face lateral azul, o mesmo acontecendo para as faces vermelhas. Neste
caso, supondo que as faces superior, inferior e frontal sejam azuis, há 5 cubos que não possuem
cor vermelha: os 3 cubos dos centros das faces azuis e os 2 cubos que dividem face com essas
faces centrais. Como o mesmo ocorre para as faces vermelhas e há 26 cubos com pelo menos
uma face pintada (de vermelho ou azul), neste caso há 26  5  5 = 16 cubos com pelo menos
uma face de cada cor.
16. (E) Como o triângulo ABC é eqüilátero, o ângulo interno  mede 60o. Se DG é paralelo a
AB , então o ângulo entre DG e AC é 60o ou 180o – 60o = 120o. Sendo x o maior ângulo entre
esses dois segmentos, x = 120o.
17. (B) Os 156 estudantes que resolveram todos os problemas corretamente correspondem a
100% – 25% – 15% = 60% do total. Logo, o número total de estudantes é (600/100). 156 = 260.
18. (B) Se o primeiro acidente é sofrido no ano N + 1, Jean gasta 1500(N + 1) + 1400 com a
seguradora A e 1700(N + 1) + 700 com a seguradora B. Para que A seja mais favorável,
devemos ter 1500(N + 1) +1400 < 1700(N + 1) + 700 ou seja N > 2,5. Logo, Jean deve ficar
pelo menos 3 anos sem sofrer acidentes.
19. (E) Para medir o ângulo entre os ponteiros, basta obter as posições dos dois ponteiros.
Fazendo isso para cada um dos horários, lembrando que o ângulo entre dois números
consecutivos do relógio é 30º:
 02h30: o ponteiro maior está sobre o 6 e o menor está exatamente na metade entre o 2 e
o 3. Logo o ângulo entre eles será 3,5  30º  105º .
12
11
1
2
10
9
3
8
4
5
7
6
8

06h20: o ponteiro maior está sobre o 4 e o menor está 1/3 de hora depois do 6. Logo o
1

ângulo é  2    30º  70º .
3

11
12
1
2
10
9
3
8
4
5
7
6

05h40: o ponteiro maior está sobre o 8 e o menor está 1/3 de hora antes do 6. Logo o
1

ângulo é  2    30º  70º .
3

11
12
1
2
10
9
3
8
4
7

5
6
08h50: o ponteiro maior está sobre o 10 e o menor está 1/6 de hora antes do 9. Logo o
 1
ângulo é 1    30º  35º .
 6
12
11
1
2
10
9
3
8
4
7

5
6
09h55: o ponteiro maior está sobre o 11 e o menor está 1/12 de hora antes do 10. Logo o
1

ângulo é 1    30º  32,5º .
 12 
12
11
1
2
10
9
3
8
4
7
5
6
20. (B) A soma dos outros lados tem que ser maior que
5 3
. Logo, o perímetro deve ser
2
maior que 5 3 =8,66..., o que mostra que o menor perímetro inteiro possível é 9.
21. (C) Traçando-se retas paralelas aos lados, verificamos que o perímetro da figura é o mesmo
que o de um quadrado de lado 20 cm , ou seja, 80 cm.
22. (A) Sejam n – 1, n e n + 1 os três números inteiros consecutivos. Temos
(n  1)  n  (n  1)  (n  1)  n  (n  1)  3n  n(n2  1)  n2  1  3  n2  4  n  2
9
Portanto os números são 1, 2, 3 e a soma dos quadrados dos três números consecutivos é
12  22  32  14 .
23. (C) Se x era a idade de Neto no final de 1994, então o ano em que nasceu é 1994 – x ; de
forma análoga, o ano em que sua avó nasceu é 1994 – 2x. Assim, temos
1994  x   1994  2x   3844  3988  3x  3844  3x  144  x  48 . Portanto,
Neto completa em 2006 a idade de  2006 1994  48  12  48  60 anos.
24. (D)
(veja as figuras acima)
Contagem:
9 quadradinhos 1  1
4 quadrados 2  2, mas cada um dele tem um inscrito, então o total é 4  2 = 8
1 quadrado 3  3, mas com 2 quadrados inscritos, então o total é 3
Total: 9 + 8 + 3 = 20
25. (D) Se Alexandre não vai de carro e acompanha Bento, que não vai de avião, então ambos
vão de trem. Carlos não acompanha Dário e não anda de avião, logo é companheiro de Tomás,
que não anda de trem; assim, ambos vão de carro. André, que viaja de avião, é companheiro de
Dário; logo, ambos vão de avião. Portanto, Alexandre vai de trem e Tomás vai de carro.
26. (E) 2 a 9 – 8 números – 8 algarismos
10 – 99 – 90 números – 180 algarismos
Ainda restam 1818 algarismos e portanto ainda conseguimos formar 606 números de 3
algarismos. Assim, o livro de Ludmilson tem 9 + 90 + 606 = 705 páginas.
27. (C) As horas possíveis são 00, 02, 04, 06, 08, 20 e 22, totalizando 7 possibilidades. Para
cada uma dessas horas, os minutos podem ser 00, 02,04,06,08,..., 40, 42, ..., 48, etc, num total
de 3 5  15 possibilidades. Portanto, o número de vezes em que o relógio exibe apenas
algarismos pares é 7 15  105 .
28. (C) A soma de todas as notas é 71 + 76 + 80 + 82 + 91 = 400. A média de k números é
inteira quando a soma dos k números é divisível por k. Assim, como 400 é divisível por 4 e a
soma das quatro primeiras notas deve ser divisível por 4, o último número a ser digitado é
múltiplo de 4, ou seja, é 76 ou 80.
Se o último número é 76, a soma dos outros quatro números é 400 – 76 = 324, que é múltiplo de
3. Seguindo um raciocínio análogo ao anterior, obtemos que o penúltimo número a ser digitado
é múltiplo de 3. Mas nenhum dos cinco números é múltiplo de 3, absurdo.
Logo o último número é 80 (de fato, podem ocorrer as “ordens de digitação” 76, 82, 91, 71, 80 e
82, 76, 91, 71, 80).
29. (C) Seja H o número de filhos homens e M o número de filhas mulheres. As afirmações são
equivalentes à H – 1 = M + 3 e H = 2(M – 1). Resolvendo o sistema, temos: M = 6 e H = 10,
logo a quantidade de filhos é 16.
10
30. (D) Colocando o Tangram sobre uma malha quadriculada, a região sombreada ocupa 3
quadradinhos da malha e sua área é, portanto,
3
 64  12 cm2.
16
11
3
da área do Tangram, ou seja,
16