Física da Computação e daInformação aulas parte 1.pps

Física da Computação e da
Informação
Ivan S. Oliveira & Roberto S. Sarthour
Grupo de Computação Quântica
por RMN
Bibliografia
• Quantum Computation and Quantum
Information, M.A. Nielsen e I.L. Chuang
(Cambridge Press 2002)
• The Physics of Quantum Information, D.
Bouwmeester, A. Ekert e A. Zeilinger (Springer
2001)
• Explorations in Quantum Computing, C.P.
Williams e S.H. Clearwater (Springer & Telos
1998)
• Feynman Lectures on Computation
Breve Histórico
1854 – George Boole - “An investigation into the
laws of thought, on which are
founded the mathematical theories of logic and probabilities”.
1938 – Claude Shannon – “A symbolic analysis of relay
and switching circuits”.
1936 – Alan Turing – “On computable numbers,
with an application to the entscheidungsproblem”.
1948 – Claude Shannon – “A mathematical theory
of communication”
Tecnologia Revolucionária
Computação “Matemática”
1928 – David Hilbert – “Existe algum procedimento puramente
“mecânico” capaz de resolver qualquer problema matemático?”
1936 – Turing – “Sim, existe. Uma
Máquina de Turing!”
Um computador moderno é uma realização física de uma
máquina de Turing. Não há nenhum
problema
que seja solucionável em um computador real,
Máquinas
deconhecido
Turing
e que não possa ser resolvido em uma máquina de Turing!
1. Uma fita infinita, dividida em células;
2. Uma cabeça de leitura e gravação;
3. Um conjunto de símbolos que formam
um alfabeto;
4. Um conjunto de instruções que
especificam as ações e os
estados da máquina.
0
1
1
0
0
1
Quanto é 3 + 5?
Alfabeto: {*, <espaço>}
Representação: 3 = ***, 5 = *****
Resultado = ******** = 8
Entrada: *** *****
Estados da
máquina
1
Ação para
leitura = *
Ação para
leitura = esp.
MOVER PARA A
DIREITA.
PERMANECER EM 1
ESCREVA * E VÁ PARA
2
2
MOVER PARA A
DIREITA.
PERMANECER EM 2
VOLTAR UMA CÉLULA
E IR PARA 3.
3
APAGAR E PARAR
Chaves (ou portas) Lógicas
RESULTADO IMPORTANTE: QUALQUER AÇÃO
COMPUTACIONAL PODE SER CONSTRUÍDA A PARTIR DE
UM CONJUNTO UNIVERSAL DE CHAVES LÓGICAS!
CONTROLE
ALVO
SAÍDA
0
0
0
AND, OR e NOT formam um conjunto universal de chaves lógicas.
0 conjunto. 1
1
NAND (sozinha) forma outro
CONTROLE
ALVO
SAÍDA
1
0
1
1
1
0
Chaves lógicas - 2
MEIO-SOMADOR
SOMADOR INTEIRO
Termodinâmica, Estatística e
Conhecimento
“Durante muito tempo a computação foi considerada uma área da matemática
pura. Porém, computadores são objetos físicos e consequentemente estão
sujeitos às leis da Física. São as leis da Física que dizem o que computadores
podem ou não fazer, e não regras matemáticas.”
David Deutsch
Estatística de 4 Moedas
3
1
1
 2  2  1
8
4
16
4/16 = 1/4
4/16 = 1/4
6/16 = 3/8
1/16
1/16
Informação e Entropia
Entropia é a grandeza física ligada à informação.
Definição de Shannon:
S   pk log 2 ( pk )
k
Para o caso das moedas:
3
1
1
 3
1
 1 
S    log 2    2  log 2    2  log 2    2,03
4
16
8
4
 16 
8
Este número é a quantificação da ignorância!
Exemplo...
Entropia associada a um jogo de cara-ou-coroa com uma moeda não-viciada:
1
pcara  pcoroa 
2
1
1 1
1
S   log 2  log 2  1
2
2 2
2
Se a moeda for tendenciosa:
1
1
  ; pcoroa   
2
2
2 2
1

log      1 
ln( 2)
2

2 2
S  1
ln( 2)
pcara 
Entropias e mais Entropias
Sejam X e Y variáveis aleatórias com distribuição de probabilidades p(x,y). Define-se
a entropia conjunta de X e Y como:
S ( X , Y )   p( x, y ) log[ p( x, y )]
x, y
A entropia conjunta mede a incerteza sobre o par (X,Y). Se S(Y) é a entropia relacionada somente à Y, define-se a entropia condicional S(X|Y) como:
S ( X | Y )  S ( X , Y )  S (Y )
Medida da informação sobre X, condicionada à informação sobre Y.
E a informação mútua S(X:Y) :
S ( X : Y )  S ( X )  S (Y )  S ( X , Y )
Medida da informação
comum a X e Y.
Propriedades e mais Propriedades
1) S ( X : Y )  S (Y )
A informação comum a X e Y não pode ser maior
do que a informação sobre Y (ou X).
2) S ( X )  S ( X , Y )
A incerteza sobre X não pode superar a incerteza
sobre X e Y.
3) S ( X , Y )  S ( X )  S (Y )
A desinformação sobre o par não pode superar
a soma das desinformações individuais.
Consequentemente:
4) S ( X )  S (Y )  S ( X , Y )  S ( X : Y )  0
Termodinâmica e Entropia
Entropia é a grandeza física ligada à desordem.
Entropia alta
Entropia baixa
Reversibilidade e Entropia
Entropia é a grandeza física ligada à reversibilidade e
fluxo de calor.
TA  TB
TA
DQ
TB
DQ
DS 
T
 DQ
DS A 
TA
 DQ
DS B 
TB
 DS A  DS B  0
Informação e Entropia 2
O aumento de entropia corresponde à perda de informação.
Entropia alta
Entropia baixa
“2 + 2” tem mais informação do que “4”!!
Entropia baixa
Entropia alta
Estatística, Entropia e
Termodinâmica
pk = probabilidade de que um nível “k”
esteja ocupado.
En
S  k B  pk ln( pk )
k
En-1
Maximização
E2
E1
E0
e  E k / k BT
pk 
 E k / k BT
e

Termodinâmica
A  U  TS
k
BOA TARDE, ATÉ AMANHÃ!
Resumo
1. Computadores são realizações físicas de máquinas de Turing. Não existe
problema que possa ser resolvido em um computador, que não possa
também o ser em uma máquina de Turing;
2. Portas lógicas são operações sobre bits. Qualquer operação lógica pode
ser decomposta na ação de um conjunto de portas lógicas universais;
3. A representação física de bits e circuitos lógicos torna os computadores
sujeitos às leis da Física.
4. A entropia é a quantidade física ligada à informação e também à ordem
dos sistemas termodinâmicos. Entropia alta significa desordem e falta de
informação.
5.A Física Estatística dá uma fundamentação microscópica para a termodinâmica.
A partir do princípio da maximização da entropia (para sistemas em equilíbrio)
deriva-se as funções termodinâmicas a partir de considerações microscópicas
sobre o sistema.
Computação, Reversibilidade e
Entropia
Perda de bits = perda de
informação => aumento de
entropia => irreversibilidade.
No. de bits se conserva
informação se conserva
reversibilidade.
A computação clássica é IRREVERSÍVEL!
1973...um ano importante para a
computação
Naquele ano, um físico da IBM (Charles Bennett) demonstrou ser possível
implementar a computação clássica com operações inteiramente reversíveis.
A conseqüência mais importante deste resultado foi o surgimento da
Computação Quântica!
a
b
c
A porta NAND
a
b
c
a’
b’
c’
Porta de Toffoli
é uma porta
0
0
0
0
0
0
TRANSFORMAÇÕES UNITÁRIAS EM MQ
clássica universal
SÃO OPERAÇÕES REVERSÍVEIS.
AQUI
APARECE
0
0
1
0
0
1
a’
A NOÇÃO DE COMPUTAÇÃO QUÂNTICA!
0 1 0
0 1 0
1 0 0
1 0 0
b’
0 1 1
0 1 1 É possível fazer
1 0 1
1 0 1
computação
c’
1 1 0
1 1 1 clássica reversível!
1 1 1
1 1 0
1871 - O Demônio de Maxwell viola
Segunda Lei da Termodinâmica?!
Entropia diminui sem realização de trabalho!?
TA = TB
TA < TB
ENTROPIA MÁXIMA
ENTROPIA MENOR
1961 – O Princípio de Landauer
Até aquele ano, acreditava-se que qualquer ação computacional exigia
gasto de energia. Rolph Landauer, também da IBM, mostrou que não!
O que gasta energia é o ato de apagar informação!
DE  k BT log( 2)
DS  k B log( 2)
Energia mínima para apagar 1 bit.
Aumento mínimo na entropia ao se
apagar 1 bit.
Charles Bennett usou o Princípio de Landauer para, em 1987, resolver o
problema do demônio de Maxwell, pondo fim a mais de 100 anos de discussão!
O demônio precisa apagar informação na sua memória sobre a energia das
Moléculas, e isso aumenta a entropia!
Fenômenos Naturais como
processos Computacionais
processamento
saída
entrada
Computação
Física
computador
sistema
computação
experimento
entrada
estado inicial
programa
leis da física
saída
estado final
Mecânica Quântica para
pedestres...
Mecânica clássica:
d 2r
Fm 2
dt
F  kr;
Mm
F  G 3 r, etc.
r
r (t ), p(t ), L(t ), E
Mecânica Quântica:
i
  (t )
t
H  T V
 H  (t )
 (t )  e iHt /   (0)
O (t )   (t ) O  (t )
 (t )   cn (t )  n
n
Limites físicos da computação - 1
1. Qual o tempo mínimo para inverter 1 bit de informação?
m
DE  
Aqui vamos nós...
μ  I
h
DE  Dt 
2
B
dμ
 μ
dt

Dt 

Equação clássica de
movimento
H  μ  B  I  B
1
H  (B) I x    x
2
1 0 1

H    
2 1 0
Autoenergias:
1
E    
2
Limites físicos da computação – 2
A cozinha quântica
1
   
0
0
   
1
1 1 0 

I Z  
2  0  1
1
Iz   
2
1
Ix   
2
Evolução
 (t )  e
i
HDt

 (t0 )  e
i
Dt
2
x

  Dt 
 Dt  
 (t )  cos
 I  i sin 
 x  
 2  
  2 
Tempo mínimo para inverter 1 bit:
Dt
2


2

 Dt 

O tempo mínimo para inverter
1 bit é aquele dado pelo
Princípio de Incerteza
Limites físicos da computação – 3
Energia: grandeza física associada à velocidade de processamento.
Entropia: grandeza física associada à capacidade de memória.
Laptop “supremo”: 1 kg de massa confinada em um volume de 1 litro.
1) Limite de velocidade:
E  mc 2
h
DE  Dt 
2
2
1 mc
50

 10 Hz
Dt
h
2) Limite de memória:
S ( E ,V )
I
 1031bits
k B ln( 2)
O laptop supremo opera com
Uma velocidade de 1050 operações
lógicas por segundo, em 1031 bits.
Computador-Buraco Negro
(socorro!)
A Lei de Moore - 1
Ano da publicação!
4004
8008
8080
8086
Intel 286
Intel 386
Intel 486
Pentium
Pentium II
Pentium III
Pentium 4
Ano do
lançamento
1971
1972
1974
1978
1982
1985
1989
1993
1997
1999
2000
Número de
transistores
2 250
2 500
5 000
29 000
120 000
275 000
1 180 000
3 100 000
7 500 000
24 000 000
42 000 000
Lei de Moore - 2
Modelo do
processador
Lei de Moore - 3
CLÁSSICO
QUÂNTICO!
1973 – Charles Bennett: computação (clássica) reversível;
1982 – Paul Benioff: computador quântico;
1984 – Protocolo BB84;
1985 - David Deutsch: uso do paralelismo quântico para
resolver problemas matemáticos rapidamente;
1994 - Peter Shor: fatoração de números grandes em tempo
polinomial;
1996 – Primeiro teste experimental do BB84 sobre 23 km;
1997 - Lov Grover: algoritmo de busca em tempo quadrático;
1997 - Neil Gershenfeld & Isaac Chuang: uso da RMN em CQ;
- Teleporte com fótons;
1998 - Jones & Mosca: primeira demonstração experimental do algoritmo
de Deutsch com RMN;
- Chuang, Gershenfeld e Kubinec: demonstração
experimental do algoritmo de Grover por RMN;
- Nielsen, Knill e Laflamme: demonstração do teleporte quântico
usando RMN;
2001 - Vandesypen, Chuang e outros: demonstração do algoritmo de
Shor por RMN;
2002 - Novas propostas para elevar o número de q-bits acima de N = 100!
2004 – Teleporte com átomos.
H
I
S
T
Ó
R
I
A
Computação Quântica: novos
recursos computacionais
• Princípio Fundamental: estados quânticos podem existir em superposições de
autoestados.
 
 
0
0
0 1
1 2
0010111  1110011  000011 0  
1
2
N /2
1