Aula6_Sistemas Lineares

• Discussão sobre sistemas lineares.
Profª Cristiane Cozin – [email protected]
Aula 6 – Sistemas Lineares
 Tipos de Sistemas Lineares:
 Vimos pelos exemplos anteriores que podemos ter várias
situações para um sistema linear.
 Vejamos o que acontece a um sistema de uma equação a
uma incógnita: ax=b;


b
a
) Se a  0, temos que
2o ) Se a = b = 0, temos que qualquer número real é solução da
equação.
3o ) Se a = 0 e b  0, ficamos com 0.x = b e a equação não tem
solução.
 1o
x
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 Tipos de Sistemas Lineares:
 No caso em que temos um sistema com duas equações e
duas incógnitas, temos uma interpretação geométrica
bastante simples das situações colocadas anteriormente.
ax  by  c

a1 x  b1 y  c1
(1)
(2)
 As equações (1) e (2) podem ser interpretadas como duas
retas no plano e temos as seguintes interpretações
geométricas:

1o ) Solução Única: Retas se interceptam num único ponto.
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 Tipos de Sistemas Lineares:

2o ) Infinitas Soluções: Retas coincidentes:

3o ) Não existe solução: Retas Paralelas:
 Observação: Interpretação análoga pode ser dada a
um sistema de 3 equações e três incógnitas. Neste
caso cada equação representa um plano no espaço.
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 Tipos de Sistemas Lineares:
 Para Sistemas Lineares:
a11 x1  a12 x 2 ... a1n x n  b1
a x  a x ... a x  b
 21 1
22 2
2n n
2
S
.............................................
a m1 x1  a m2 x 2 ... a mn x n  bm



Uma única solução e neste caso dizemos que o sistema é
possível ( compatível, consistente ) e determinado.
Infinitas soluções e neste caso dizemos que ele é possível e
indeterminado.
Nenhuma solução e neste caso dizemos que o sistema é
impossível (incompatível, inconsistente).
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 Tipos de Sistemas Lineares:
 Regra Geral:

determinado (solução única)
possível 
Sistema 
indeterminado (infinitas soluções)
impossível (sem solução)

 Existe um número associado a uma matriz, através do
qual podemos identificar em qual das três situações
anteriores se enquadra um sistema linear, bastando para
isto analisar a matriz, reduzida por linhas, associadas ao
sistema.
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 Tipos de Sistemas Lineares:
 Definição: Dada uma matriz Amxn , seja Bmxn tal que, A
~ B e B é linha reduzida à forma escada. O posto de A,
que denotaremos por p (ou p(A)) é o número de linhas
não nulas de B.
 Exemplos:

1)
 0 0 2 1 2 0

 

A   1 2 1   0 0 1   B. Temos p(A)=2.
 2 4 2  0 0 0

 


2)
1 1 1 1   1 0 0 0 

 

A  1 1 2 2   0 1 0 0   B. Temos p(A)=3.
1 6 3 3   0 0 1 1 

 

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 Tipos de Sistemas Lineares:
 Seja S um sistema de m equações e n incógnitas:



S admite solução se, e somente se, o posto da matriz ampliada
é igual ao posto da matriz dos coeficientes, pa = pc = p.
Se as duas matrizes têm o mesmo posto e p = n, então a
solução será única.
Se as duas matrizes têm o mesmo posto e p < n , então o
sistema é indeterminado. Podemos então escolher n – p
incógnitas e escrever as outras p incógnitas em função destas.
Dizemos que n – p é o grau de liberdade do sistema.
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 Tipos de Sistemas Lineares:
 Exemplo: Supondo que as matrizes a seguir são as
matrizes ampliadas de sistemas de equações, analise se
os sistemas correspondentes são possíveis e
determinados, possíveis e indeterminados ou
impossíveis.

1)
1

0
0

0
0

0 0 0 1

0 1 2 3
0 0 0 1

0 0 0 0
1 0 0 1 
2)
2

0
0

0

4
1
1
2
4
0
1
2
4

2
1

2 
3)
1 0 1 1


0 1 0 1
 0 0 0 2


4)
 2 4 4 4


0 1 0 1
 0 0 1 0


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 6ª Lista de Exercícios:
 1) Usando o método de Gauss, discuta em função de k o
seguinte sistema:
y  x  k  0

 x  2 y  3z  2
x  3y  2z  7

 2) Determine o valor de c para que o sistema abaixo seja
possível e indeterminado:
 x  2 y  3z  1

3x  y  2 z  2
 x  8z  5 y  c

Aula 6 – Sistemas Lineares
 6ª Lista de Exercícios:
 3) Dado o sistema S, determine:
 x  y  z  1

 x  3 y  az  3
 x  ay  3z  2




a) Os valores de a para que S seja possível e determinado.
b) Os valores de a para que S seja possível e indeterminado.
c) Os valores de a para que S seja impossível.
Aula 5 – Sistemas Lineares
 6ª Lista de Exercícios - Respostas:
 1) Se k  5 o sistema é impossível e se k = 5 o sistema é
possível e indeterminado.
 2) Qualquer valor de c  0.
 3)



a)  a  1 e a  3.
b) Não existe a.
c) a = 1 e a = 3.