Capítulo 6 Círculo de Mohr para tensões

Capítulo 6
Círculo de Mohr para
tensões
Resistência dos Materiais I – SLIDES 07
Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
[email protected]
6.4 Círculo de Mohr - Tensão no
plano

Consiste na solução gráfica das equações de
transformação de tensão no plano
 x' 
 x  y
 x' y'  


2
 x  y
2
 x  y
2
 cos 2    xy  sin 2 
 sin 2    xy  cos 2 
(6.1)
(6.2)
Permite a “visualização” das componentes de
tensão de acordo com a orientação do plano
em que agem.
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6.4 Círculo de Mohr - Tensão no
plano

Permite a “visualização” das componentes de tensão de
acordo com a orientação do plano em que agem.
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Dedução do Círculo de Mohr

As equações (6.1) e (6.2) podem ser reescritas:
 x' 
 x  y
2

 x  y
2
 cos 2    xy  sin 2 
  x  y    x  y 
  
  cos 2    xy  sin 2 
 x '  
 2   2 
 x' y'  
 x' y'
 x  y
2
 sin 2    xy  cos 2 
  x  y 
  sin 2    xy  cos 2 
 
 2 
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(6.1)
(6.10)
(6.2)
(6.11)
4
Dedução do Círculo de Mohr
Elevando ao quadrado as eqs. (6.10) e (6.11) e
somando-as, tem-se:
  x  y    x  y 
  
  cos 2    xy  sin 2 
 x '  
(6.10)


 x' y'
2
 
2

  x  y 
  sin 2    xy  cos 2 
 
 2 
2
(6.11)

  x   y 
  x  y 
2
   x ' y '  
   xy2
 x '  
 2 
 2 

2
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5
Dedução do Círculo de Mohr

A eq. anterior pode ser colocada em uma
forma mais compacta:
2

  x   y 
  x  y 
2
2











 x' 
x' y'
xy

 2 
2





2
 x'   med 2   x2' y '  R 2
 med
 x  y 

 
 2 
(6.12)
  x  y 
   xy2
R  
 2 
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2
6
Dedução do Círculo de Mohr
Se definirmos eixos coordenados com σ positiva para
a direita e τ positiva para baixo e então construirmos
o gráfico da eq. (6.12), veremos que essa equação
representa um círculo de raio R e centro no eixo σ no
ponto C(σmed,0).
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Dedução do Círculo de Mohr
Qual a orientação
dos eixos
positivos???
σ positiva
para a direita e
τ positiva para
baixo
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Dedução do Círculo de Mohr
 x'   med 2   x2' y '  R 2
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(6.12)
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Construção do Círculo de Mohr
1. Estabelecer um sistema de coordenadas com σ positiva
para a direita e τ positiva para baixo
2. Utilizar a convenção mostrada
ao lado para os valores positivos
de σ e de τ
3. Marcar o centro do círculo C, que está
localizado no eixo σ a uma distância de
σméd=(σx+ σy)/2 da origem
4. Marcar o ponto de referência A cujas coordenadas são
A(σx, τxy), referente ao ângulo θ=0º, ou seja, alinhado
com o eixo σx do estado de tensões dado
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Construção do Círculo de Mohr
 med
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Construção do Círculo de Mohr
5. Unir o ponto A ao centro
C, determinando a
hipotenusa CA, que
representa o raio R do
círculo. Um ponto G de
coordenadas (σy, -τxy),
diametralmente oposto
ao ponto A também pode
ser marcado
6. Traçar o círculo
utilizando o raio
encontrado
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Análise com o Círculo de Mohr


As tensões principais σ1 e σ2 são apresentadas pelos dois pontos B e D,
onde o círculo intercepta o eixo σ
As tensões principais agem nos planos definidos por 2θp1 e 2θp2 (sentido
anti-horário neste caso) da linha CA até a linha do CB
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Análise com o Círculo de Mohr




As componentes de tensão de cisalhamento máxima e
de tensão normal média são determinadas pelo círculo
com as coordenadas dos pontos E e F
O ângulo 2θs1 é determinado por trigonometria. Aqui a
rotação é em sentido horário (ver figura)
As componentes σx’ e τx’y’ num ponto qualquer P
atuantes em um plano definido por um ângulo θ, medido
no sentido anti-horário, são obtidos por trigonometria
Para localizar P, o ângulo θ de um plano (no sentido
anti-horário) é medido no círculo como 2θ (no mesmo
sentido anti-horário) da linha CA para CP
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Análise com o Círculo de Mohr
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Análise com o Círculo de Mohr
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
Exemplo 9.7 (Hibbeler)

A carga axial P produz o estado de tensão no material como mostra
a Figura 9.18a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Pela Figura:
x 
y 0
 xy  0
Centro do círculo:
 m ed 
 x  y
2

 0
2


2
As coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são A(σ,0).
Figura 9.18
O Raio do Círculo CA é R = σ/2.
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
Exemplo 9.7 (Hibbeler)

A carga axial P produz o estado de tensão no material como mostra
a Figura 9.18a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Pela Figura:
x 
y 0
 xy  0
Centro do círculo:
 m ed 
 x  y
2

 0
2


2
As coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são A(σ,0).
O Raio do Círculo CA é R = σ/2.
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
Exemplo 9.7 (Hibbeler)

A carga axial P produz o estado de tensão no material como mostra
a Figura 9.18a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Tensões principais (Pontos A e D):
1  
2  0
Tensão de cisalhamento máxima
e Tensão normal média:
Dadas pelo ponto E na figura:
 max 

2
 m ed 
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
2
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
Exemplo 9.7 (Hibbeler)

A carga axial P produz o estado de tensão no material como mostra
a Figura 9.18a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Por observação, o ângulo em sentido horário
2θs1 = 90º. Portanto, θs1 = 45º, de modo que o
eixo x’ está orientado a 45º em sentido horário
em relação ao eixo x.
Como E tem coordenadas positivas, então σmed
e τmax agem nas direções x’ e y’ positivas,
respectivamente.
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
Exemplo 9.8 (Hibbeler)

A carga de torção T produz o estado de tensão no eixo como mostra
a Figura 9.19a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Pela Figura:
x  0
y 0
 xy  
Centro do círculo:
 m ed 
 x  y
2

00
0
2
As coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são A(0,-τ).
Figura 9.19
O Raio do Círculo CA é R = τ.
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
Exemplo 9.8 (Hibbeler)

A carga de torção T produz o estado de tensão no eixo como mostra
a Figura 9.19a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Pela Figura:
x  0
y 0
 xy  
Centro do círculo:
 m ed 
 x  y
2

00
0
2
As coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são A(0,-τ).
O Raio do Círculo CA é R = τ.
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
Exemplo 9.8 (Hibbeler)

A carga de torção T produz o estado de tensão no eixo como mostra
a Figura 9.19a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Tensões principais (Pontos B e D):
1  
 2  
Tensão de cisalhamento máxima
e Tensão normal média:
Dadas pelo ponto A na figura:
 max  
 med  0
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
Exemplo 9.9 (Hibbeler)

As cargas combinadas no cilindro maciço produzem o estado de
tensão como mostra a Figura 9.20a. Determine as tensões
principais que agem no ponto.
Pela Figura:
 x  12 MPa  y  0
 xy  6 MPa
Centro do círculo:
 m ed 
 x  y
2
 12  0

 6 MPa
2
As coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são A(-12,-6).
Raio do Círculo eq. (6.12):
Figura 9.20a
R
 x'   med 2   x2' y '  8,49 MPa
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
Exemplo 9.9 (Hibbeler)

As cargas combinadas no cilindro maciço produzem o estado de
tensão como mostra a Figura 9.20a. Determine as tensões
principais que agem no ponto.
Pela Figura:
 x  12 MPa  y  0
 xy  6 MPa
Centro do círculo:
 med  6 MPa
As coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são A(-12,-6).
Raio do Círculo eq. (6.12):
R
 x'   med 2   x2' y '  8,49 MPa
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
Exemplo 9.9 (Hibbeler)

As cargas combinadas no cilindro maciço produzem o estado de
tensão como mostra a Figura 9.20a. Determine as tensões
principais que agem no ponto.
Tensões principais (Pontos B e D):
 1  8,49  6  2,49 MPa
 2  6  8,49  14,49 MPa
Orientação das tensões principais:
2 p 2
6
 tan
 45º  p 2  22,5º
12  6
1
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
Exemplo 9.10 (Hibbeler)

Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.21a,
determine a tensão de cisalhamento máxima e a orientação do
elemento sobre o qual ela age.
Centro do círculo:
 med
 20  90

 35 MPa
2
As coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são A(-20,60).
Figura 9.21a
Pela Figura:
 x  20 MPa  y  90 MPa
 xy  60 MPa
Raio do Círculo eq. (6.12):
R
 x'   med 2   x2' y '  81,4 MPa
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
Exemplo 9.10 (Hibbeler)

Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.21a,
determine a tensão de cisalhamento máxima e a orientação do
elemento sobre o qual ela age.
Centro do círculo:
 med
 20  90

 35 MPa
2
As coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são A(-20,60).
Raio do Círculo eq. (6.12):
R
 x'   med 2   x2' y '  81,4 MPa
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
Exemplo 9.10 (Hibbeler)

Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.21a,
determine a tensão de cisalhamento máxima e a orientação do
elemento sobre o qual ela age.
Tensão de cisalhamento máxima
e Tensão normal média:
Dadas pelos pontos E e F na figura:
 max  81,4MPa
 med  35MPa
Orientação do elemento:
 20  35 
2 s1  tan 
  42,5º
 60 
 s1  21,3º
1
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
Exemplo 9.11 (Hibbeler)

Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente
o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido antihorário em relação à posição mostrada na figura.
Centro do círculo:
 med
 8  12

 2 MPa
2
As coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são A(-8,-6).
Figura 9.22a
Pela Figura:
 x  8 MPa  y  12 MPa
 xy  6 MPa
Raio do Círculo eq. (6.12):
R
 x'   med 2   x2' y '  11,66 MPa
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
Exemplo 9.11 (Hibbeler)

Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente
o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido antihorário em relação à posição mostrada na figura.
Centro do círculo:
 med
 8  12

 2 MPa
2
As coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são A(-8,-6).
Raio do Círculo eq. (6.12):
R
 x'   med 2   x2' y '  11,66 MPa
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31

Exemplo 9.11 (Hibbeler)

Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente
o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido antihorário em relação à posição mostrada na figura.
Tensões no elemento a 30º
Como o elemento deve sofrer
rotação de 30º em sentido antihorário, deve-se traçar a linha
radial CP, 2(30º) = 60º em
sentido anti-horário, medida
em relação a CA (θ = 0º).
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
Exemplo 9.11 (Hibbeler)

Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente
o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido antihorário em relação à posição mostrada na figura.
Tensões no elemento a 30º
Coordenadas do Ponto P:
  tan 1
6
 30,96 º
10
  60º 30,96º  29,04º
 x '  2  11,66  cos 29,04  8,20 MPa
 x' y '  11,66  sin 29,04  5,66 MPa
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
Exemplo 9.11 (Hibbeler)

Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente
o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido antihorário em relação à posição mostrada na figura.
Tensões no elemento a 30º
 x '  8,20 MPa
 x' y '  5,66 MPa
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
Exemplo 9.11 (Hibbeler)

Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente
o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido antihorário em relação à posição mostrada na figura.
Tensões no elemento a -60º
Coordenadas
do Ponto Q:
 x '  2  11,66  cos 29,04  12,2 MPa
 x' y '  11,66  sin 29,04  5,66 MPa
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