Cônicas (curvas planas) Circunferência: Definição: Conjunto de

Cônicas (curvas planas)
Circunferência:
Definição: Conjunto de todos os pontos P do plano tais que a distância ao ponto C (centro) é
equivalente ao raio r.
d(P, C) = r
Equação da circunferência de centro C(xc, yc) e raio r:
(x – xc)² + (y – yc)² = r²
Exemplos:
a) (x -1)²+ (y+2)² = 4
b) 5x² + 5y² - 10 = 0
Elipse:
Definição: Conjunto de todos os pontos P do plano tais que a soma das distâncias do ponto a cada
um dos focos é constante e equivalente a distância entre os vértices no eixo maior.
d(P, F1) + d(P, F2) = 2a
Equações da elipse de eixo maior medindo 2a, eixo menor 2b e distância entre os focos 2c:
Centrada na origem
Centrada em (xc, yc)
Eixo maior paralelo ao eixo x
Eixo maior paralelo ao eixo y
Numa elipse vale a relação: a² = b² + c²
Sempre temos a > b e a > c.
Exemplos:
a) 4x²+ 16y² = 16
b)
Parábola:
Definição: Conjunto de todos os pontos P do plano tais que a distância de tal ponto ao foco é
equivalente à distância do mesmo ponto à reta diretriz r.
d(P, F) = d(P, r)
Equações da parábola cuja distância entre o foco e reta diretriz é 2p:
Vértice na origem
Centrada em (xc, yc)
Concavidade para cima
Concavidade para baixo
Concavidade para a direita
Concavidade para a esquerda
Exemplo: y² = x
Hipérbole:
Definição: Conjunto de todos os pontos P do plano tais que a diferença das distâncias do ponto a
cada um dos focos é constante e equivalente a distância entre os vértice no eixo transverso.
|d(P, F1) - d(P, F2)| = 2a
Equações da hipérbole de eixo transverso medindo 2a, eixo conjugado medindo 2b e distância entre
os focos 2c:
Centrada na origem
Centrada em (xc, yc)
Eixo transverso paralelo ao
eixo x
Eixo transverso paralelo ao
eixo y
Numa hipérbole vale a relação: c² = a² + b²
Sempre temos c > a e c > b.
O sinal de menos sempre está na frente no termo que indica o eixo conjugado.
Como traçar uma hipérbole:
- Posicione os vértices do eixo transverso;
- Posicione os extremos do eixo conjugado;
- Monte um retângulo. As assíntotas da hipérbole são as retas suporte das diagonais desse
retângulo.
Exemplos:
a) 13x² - 10y² = 5
b) –
Quando as cônicas não estão no formato padrão podemos utilizar o completamento de quadrados
para chegar nesse formato.
Lembrando que:
(x + m)² = x² + 2mx + m²
e
(x – m)² = x² - 2mx + m²