Continuidade - Professores da UFF

CAPíTULO 3
Continuidade
1. Limites de Funções
3.1
Definição
. Sejam V e W espaços normados e seja f : V → W .
Dizemos que f (x) → z , quando x → y quando dado > 0, existe δ > 0 tal
que
kx − ykV ≤ δ ⇒ kf (x) − zkW < .
Escrevemos também
lim f (x) = z.
Teorema
x→y
3.1
.
Temos
lim f (x) = z
x→u
se, e somente se,
lim f (xn ) = z,
n→∞
para toda sequência xn tal que
lim xn = y.
n→∞
3.2
Sejam f , g : V → Rn tais que limx→y f (x) = A e
limx→y g(x) = B, então
limx→y (f + g)(x) = A + B;
limx→y (f · g)(x) = A · B;
Teorema
.
(1)
(2)
2. Funções Contínuas
3.2
Definição
. Seja f : E ⊂ V → W , onde V e W são espaços normados. Dizemos que f é contínua em y ∈ E se, para todo > 0, existe δ > 0
tal que
kx − ykV ≤ δ ⇒ kf (x) − f (y)kW ≤ .
Se f for contínua em todo x ∈ E , diremos que f é contínua.
se,
Proposição
3.1
.
Temos que f : E ⊂ V → w é contínua se, e somente
lim f (x) = f (y).
Teorema
3.3
3.4
.
x→y
Composição
Teorema
. Seja f : E ⊂ V → W . Então, f é contínua se, e somente
se, para todo aberto G ⊂ W , temos que f −1 (G) é aberto.
23
24
3. CONTINUIDADE
Suponha que f é contínua e que G ⊂ W seja aberto.
Tome y ∈ G com f (x) = y. Como G é aberto, então existe uma bola
B (y) ⊂ G. Tomando = r na denição de continuidade, temos que existe
δ > 0 tal f (B (x)) ⊂ G. Portanto f (G) é aberto. Reciprocamente, seja
> 0 e y = f (x). Então, B (y) é um conjunto aberto. Assim f (B (y)) é
aberto e contém x. Mas então x deve ser ponto interior, i.e., existe δ > 0 tal
que B (x) ⊂ f (B (y)) e, portanto se kz −xk < δ temos kf (z)−f (x)k <
.
3.1 f : E ⊂ V → W é contínua se, e somente se, para todo
fechado F ⊂ W , temos que f (F ) é fechado.
3.2 coordendas
3.1 Da desigualdade triangular inversa:
Demonstração.
r
−1
δ
−1
−1
δ
Corolário
w
V
.
−1
Proposição
Exemplo
.
.
|kxk − kyk| ≤ kx − yk,
temos que a norma é sempre uma função contínua de V .
3. Continuidade e Compacidade
3.5 Seja f : V → W , e seja K ⊂ V compacto. Então, f (K)
3.2 Seja f : V → R contínua e K ⊂ V compacto. Então
f (K) é fechado e limitado. Em particular, f é limitada em K .
3.3 Seja f : V → R contínua e K ⊂ V compacto. Então
Teorema
é compacto.
.
Corolário
n
.
Proposição
.
existem m = inf f (K) e M = sup f (K) e também existem x, y ∈ K tal que
f (x) = m e f (x) = M .
Pelo corolário 3.2, f (K) é limitado, portanto m e M
existem. Como f (K) é fechado, m, M ∈ f (K).
3.6 Seja f : X ⊂ V → Y ⊂ W , contínua, com X compacto,
f bijetora. Então f
é contínua.
Basta mostrar que f é uma aplicação aberta.
De fato, seja G ⊂ X aberto. Então X − G ⊂ X é fechado e, portanto,
compacto. Mas então f (X − G) é compacto, portanto fechado. Logo Y −
f (X − G) é aberto. Mas, como f é bijetora. Então Y − f (X − G) = f (G).
Portanto f é uma aplicação aberta e o resultado segue.
3.7 Seja f : X ⊂ V → W , contínua, com X compacto.
Então f é uniformemente contínua.
3.8 Seja E ⊂ R, um conjunto não-compacto em R .
(1) Existe uma função contínua em E que não é limitada.
(2) Existe uma função contínua, limitada em E, que não tem máximo.
(3) Se E for limitado, existe uma função contínua que não é uniformeDemonstração.
Teorema
.
−1
Demonstração.
Teorema
.
Teorema
.
mente contínua.
n
5. CONTINUIDADE E CATEGORIA DE BAIRE
25
4. Continuidade e Conexidade
3.9
Teorema
. Seja f : V → W contínua e seja E ⊂ V um conjunto
conexo. Então, f (E) é conexo.
Suponha que f (E) não seja conexo. Então existem C
e D abertos em f (E) não vazios e disjuntos tais que f (E) = C ∪ D. Sejam
A = E ∩ f (C) e B = E ∩ f (D). Então A e B são abertos não vazios e
A ∩ B = ∅, logo E não pode ser conexo.
3.10 Seja f : X ⊂ V → R contínua, com X conexo. Suponha
Demonstração.
−1
−1
Teorema
.
que f (x) = a e f (y) = b, com b > a. Então, ∀c ∈ (a, b), existe z ∈ X tal
que f (z) = c.
agem de f . Sejam
Demonstração.
Suponha que exista c ∈ (a, b) que não esteja na im-
e = f ((c, ∞)).
Como f é contínua, então A e B são abertos e temos x ∈ A e y ∈ B.
Finalmente, temos A ∩ B = ∅. Logo X = A ∪ B o que contraria o fato de X
ser conexo.
A = f −1 ((−∞, c))
−1
5. Continuidade e Categoria de Baire
3.3
Dizemos que uma família de funções F denidas num
espaço métrico X é dita pontualmente limitada, se ∀x ∈ X , existe Mx tal
que |f (x)| ≤ Mx .
Definição
.
3.11 (Princípio da Limitação Uniforme)
Teorema
. Seja F uma família
de funções reais contínuas denidas num espaço métrico completo X completo. Suponha que F seja pontualmente limitada. Então existe um aberto
G e uma constante M tal que |f (x)| ≤ M , ∀f ∈ F e ∀x ∈ G.
Para cada inteiro m, sejam
E
= [x | |f (x)| ≤ m] e E = ∩ E .
Como f é contínua, E é fechado. Para cada x ∈ V , existe um m tal que
|f (x)| ≤ m, para todo f ∈ F . Assim, x ∈ E e, portanto:
Demonstração.
m
m,f
F
m,f
m
m
V =
∪∞
m=1 Em .
Como V é um espaço normado completo, pelo Teorema da Categoria de
Bair pelo menos um conjunto E tem que ser denso em lugar algum. Como
E também é fechado, tem que conter uma bola aberta G. Mas, para todo
x ∈ G, temos |f (x)| ≤ m.
3.12 Sejam X e Y espaços métricos, com Y completo e seja
m
m
Teorema
.
E ⊂ X . Seja f : E → Y uma função contínua. Então, f pode ser estendida
continuamente para f ∗ : E ∗ → Y , onde E ⊃ E ∗ e E ∗ é um Gδ .
26
3. CONTINUIDADE
No que se segue, vamos denotar uma vizinhança de
por e por a métrica de Y . Vamos denotar também por diam(U ) =
. Assim, seja
G = [x ∈ X | ∃U com U ∩ E 6= ∅, diam(f (U ∩ E)) < 1/n] .
Então G é aberto e E ⊂ G . Seja E = ∩ G . Assim, E é um G .
Por outro lado, seja x ∈ E . Então, para cada n ∈ N, existe U tal que
U ∩ E 6= ∅ e diam(f (U ∩ E)) < 1/n. Escolha x ∈ U ∩ E . Então a
sequência [f (x )] é Cauchy, pois d(f (x ), f (x )) ≤ 1/n, i, j ≥ n. Como Y é
completo, seja y o limite desta sequência e dena f (x) = y. Observe que
y independe da sequência escolhida, visto que se (z ) for outra sequência
escolhida de maneira análoga, então d(f (x ), f (z )) ≤ 1/n. Em particular,
se x ∈ E temos f (x) = x e f é contínua.
Demonstração.
x
Ux
d
supx,y∈U d(x, y)
n
x
n
n
x,n
∗
n
∗
∗
n
δ
x,n
x,n
n
n
i
j
x,n
∗
n
∗
n
∗
n
6. Exercícios
(1) Seja f uma função contínua denida num espaço métrico. Mostre
que
¯
f (Ē) ⊂ f (E).
Dê um exemplo onde a inclusão é própria.
(2) Seja f uma função contínua real denida num espaço métrico. seja
Z(f ) o conjunto de zeros de f . Mostre que Z(f ) é fechado.
(3) Sejam f, g : X → Y , X eY espaços métricos. Seja E ⊂ X denso.
Mostre que f (X) é denso.. Mostre que se f (x) = g(x), ∀x ∈ E,
então f = g em X .
(4) Seja f : E ⊂ R → R, contínua com E fechado.
(a) Mostre que existe g : R → R contínua, tal que g| = f .
(b) Mostre que o resultado é falso, se E não for fechado.
(c) Mostre que o resultado continua válido, se f tomar valores em
R .
(5) Seja f : E ⊂ X → Y , X e Y espaços métricos. O gráco de
f é conjunto de pontos (x, f (x)) em X × Y Suponha que E seja
compacto. Mostre que f é contínua se, e somente se, seu gráco for
compacto.
(6) Dena f, g : R → R por f (0, 0) = g(0, 0) = 0 e, para (x, y) 6= (0, 0),
dena
xy
xy
e
g(x, y) =
f (x, y) =
x +y
x +y
(a) Mostre que f é limitada em R .
(b) Mostre que g é ilimitada em qualquer vizinhança de (0, 0).
(c) Mostre que f é descontínua em (0, 0).
(d) Mostre que as restrições de f e g a qualquer reta de R são
contínuas.
E
n
2
2
2
2
4
2
6
2
2
6. EXERCÍCIOS
27
(7) Seja um f uma função real e uniformemente contínua denida em
E ⊂ R, E limitado. Mostre que f é limitada em E . Mostre que o
resultado não é verdadeiro, se f não for limitado.
(8) Mostre que a denição de continuidade uniforme é equivalente a
seguinte: dado > 0, existe δ > 0 tal que
diam(E) < δ ⇒ diam(f (E)) < .
(9) Seja f : X → Y , uniformemente contínua, X e Y espaços métricos.
Mostre que, se (x ) for uma sequência de Cauchy em X , então
(f (x )) é uma sequência de Cauchy em Y .
(10) Um função uniformemente contínua de uma função uniformemente
contínua e uniformemente contínua. Enuncie este resultado precisamente e demonstre-o.
(11) Seja f : E ⊂ X → R, uma função uniformente contínua, com E um
subconjunto denso de um espaço métrico X .
(a) Mostre que existe uma única extensão contínua de f para X .
(b) O resultado continua valendo se trocarmos a imagem de f de R
para R ? Para qualquer espaço métrico compacto? Para qualquer espaço métrico completo? Para qualquer espaço métrico?
(12) Dizemos que f : X → Y é uma aplicação aberta, se f (V ) for aberto
em Y para todo aberto V de X . Seja f : R → R uma aplicação
aberta e contínua. Mostre que f é monotônica.
(13) Seja E um subconjunto não-vazio de um espaço métrico X . Dena
a distância de x em X até E por
n
n
n
ρE (x) = inf d(x, z).
z∈E
(a) Prove que ρ (x) = 0 se, e somente se x ∈ Ē.
(b) Mostre que |ρ (x) − ρ (y)| ≤ d(x, y), ∀x, y ∈ X . Conclua que
ρ é uniformemente contínua.
(14) Sejam K e F dois conjuntos disjuntos de um espaço métrico X ,
com K compacto e F fechado. Mostre que existe δ > 0, tal que
d(x, y) > δ , ∀x ∈ K e y ∈ F . Mostre que o resultado falso se ambos
forem apenas fechados.
(15) Sejam A e B dois conjuntos fechados não-vazios em um espaço
métrico X . Seja
E
E
E
E
f (x) =
ρA (x)
ρA (x) + ρB (x)
(a) Mostre que f é contínua com imagem contida em [0, 1].
(b) Mostre que A = f (0) e que B = f (1). Conclua que qualquer conjunto fechado num espaço métrico é o conjunto de
zeros de alguma função real contínua denida em X .
(c) Sejam V = f ([0, )) e W = f (( , 1]).
(i) Mostre que V e W são abertos disjuntos de X .
−1
−1
1
2
−1
−1
1
2
28
3. CONTINUIDADE
(ii) Mostre que A ⊂ V e B ⊂ W . Em particular, conclua
que pares de conjuntos fechados disjuntos em um espaço
métrico X podem ser cobertos por pares de abertos disjuntos.
(16) Seja C um conjunto convexo de R . Dizemos que f : C → R é uma
função convexa, se
n
f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y),
∀x, y ∈ C.
Suponha que f : C → R seja convexa.
(a) Seja I uma n-célula contida em C . Mostre que f é limitada
em I . Se C for aberto, conclua que f é limitada em C .
(b) Mostre que o máximo de f numa n-célula tem que ser atingido
em algum dos vértices.
(c) Seja C um conjunto aberto. Mostre que, se f é convexa, então
f é contínua.
(d) Seja g : R → R uma função convexa monotonicamente crescente. Mostre g ◦ f é convexa.
(17) Dados A, B ⊂ R , defnimos A + B como o conjunto de todas as
somas x + y, com x ∈ A e y ∈ B.
(a) Seja K compacto e F fechado, subconjuntos do R . Mostre
que K + F é fechado.
(b) Seja F = Z e seja F = αZ, onde α é irracional. Então
(i) F e F são subconjuntos reais fechados.
(ii) F + F é denso em R; portanto não pode ser fechado.
(18) Sejam X , Y e Z espaços métricos, com Y compacto. Seja f : X →
Y e seja g : Y → Z uma aplicação injetora. Seja h = g ◦ f .
(a) Mostre que, se h for uniformemente contínua, então f é uniformemente contínua.
(b) Mostre que f é contínua, se h for contínua.
(c) Mostre que a compacidade de Y não pode ser omitida, mesmo
se X e Z forem compactos.
(19) Seja A ⊂ E, onde E é conexo e A não é vazio. Mostre que se A for
aberto e fechado em E então A = E.
(20) Seja (C ) uma coleção de conjunto conexos num espaço métrico.
Suponha que a interseção de quaisquer dois conjuntos da coleção
seja não vazia. Seja G = ∪ C . Então G é conexo.
(21) Seja A um conjunto conexo num espaço métrico. Seja B tal que
A ⊂ B ⊂ Ā. Então B é conexo.
(22) Dizemos que X é conexo por caminhos, se dado x, y ∈ X , existe
f : [0, 1] → X contínua, com f (0) = x e f (1) = y .
(a) Mostre que todo conjunto conexo por caminhos é conexo.
(b) Seja X = ((x, y)|x = 0, −1 ≤ y ≤ 1) ∪ ((x, y)|y = sen(1/x)).
Mostre que X é conexo, mas não é conexo por caminhos.
(c) Seja G um conjunto conexo em R . Mostre que G é conexo
por caminhos.
n
n
1
2
1
2
1
2
α
α
α
n
6. EXERCÍCIOS
29
(23) Seja E um subconjunto de um espaço métrico X e f : E → Y uma
aplicação contínua, onde Y é um espaço métrico completo. Mostre
que f pode ser estendida a uma função contínua f : E → Y , onde
E é um G contendo E .
(24) Seja f uma função contínua real denida em R. Mostre que o
conjunto de pontos onde f é contínua é um G .
(25) Seja < f > uma sequência de funções contínuas denidas em R.
Mostre que o conjunto de pontos onde esta sequência converge é
um F .
(26) Seja E um subconjunto denso de um espaço métrico e suponha que
E seja homeomorfo a um espaço métrico completo. Então E é um
G .
∗
∗
δ
δ
n
σδ
δ
∗