Probabilidade - UFMT

23/5/2011
Probabilidade
(Biometria)
Livro texto:
Genética na Agropecuária (Biometria)
RAMALHO, M.A.P., SANTOS, J.B., PINTO, C.A.B.P. 2ª ed. Lavras UFLA,
2000
Genética Básica On-Line
(Probabilidade)
Profº: Glauco Vieira de Oliveira
Probabilidade - INTRODUÇÃO:
Dado um acontecimento A, sendo nA o
número de casos favoráveis relativos à
sua realização e ñA o número de casos
contrários, a probabilidade de A pode
ser definida como:
P(A) =
OBS:
nA
(nA + ñA)
Exemplo
Teoria de Conjuntos
S={1, 2, 3, 4, 5, 6}
A={1, 2, 3}
A = ???
nA + ñA = todos eventos possíveis
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Probabilidade - PROPRIEDADES:
O CÁLCULO DA PROBABILIDADE DE UM
EVENTO “A” DEVE SATISFAZER AS
SEGUINTES PROPRIEDADES:
a) 0≤ P(A) ≤1
b) P(S) = 1, sendo S o conjunto de todos os
resultados possíveis ou universo
c) P( ) = 0
Exemplo
Características: Sexo e cor de olhos
Onde: A_ determina olhos castanhos e aa, olhos azuis.
Fenótipo
Descrição Probabilidade
Macho de olhos castanhos1
XY A_
P(XY) P(A_)
Macho de olhos azuis2
XY aa
P(XY) P(aa)
Fêmea de olhos castanhos3
XX A_
P(XX) P(A_)
Fêmeas de olhos azuis4
XX aa
P(XX) P(aa)
Símbolo adotado para Fenótipo: 1- MC; 2- MA; 3-FC; 4-FA
P(MC) = P(XY) P(A_) = ½ x 3/4 = 3/8
P(MA) = P(XY) P(aa) = ½ x ¼ = 1/8
P(FC) = P(XX) P(A_) = ½ x 3/4 = 3/8
P(FA) = P(XX) P(aa) = ½ x ¼ = 1/8
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Leis da Probabilidade
I. Lei da soma para eventos mutuamente
exclusivos
I. Quando não há elementos em comum
II. Quando há elementos em comum
II. Lei do Produto
II. para eventos independentes
III.para eventos dependentes (condicionais
ou ligados)
Leis da Probabilidade
I) Lei da soma para eventos mutuamente
exclusivos
•
•
Eventos mutuamente exclusivos são aqueles cuja
ocorrência de um elimina a possibilidade de ocorrência do
outro. Nesse caso, a probabilidade de ocorrência de um ou
outro evento é expressa por:
P(A ou B) = P(A) + P(B)
Exemplo: No casamento especificado, será estimada a
probabilidade de nascer um menino de olhos castanhos ou
uma menina de olhos azuis. Assim, tem-se:
P(A) = P(menino de olhos castanhos) = 3/8
Fenótipo P
•
P(B) = P(meninas de olhos azuis) = 1/8
•
•
P(A ou B) = P(A) + P(B)= 3/8 + 1/8 = 1/4
Obs: A fórmula acima se aplica a eventos que
NÃO possuem elementos em comum.
MC
3/8
MA
1/8
FC
3/8
FA
1/8
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I) Lei da soma para eventos mutuamente exclusivos
(2º caso: quando há elementos comuns aos dois
eventos)
•
•
Nesse caso, pode-se definir a seguinte expressão de probabilidade :
P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B)
•
Exemplo: No casamento especificado, será estimada a probabilidade de
nascer um menino ou uma criança de olhos azuis. Assim, tem-se:
•
•
•
P(A) = P(menino) = 1/2
P(B) = P(olhos azuis) = 1/4
P(A e B) = P(meninos de olhos azuis) = 1/8
Fenótipo
P
MC
3/8
MA
1/8
FC
3/8
P(A ou B) = P(A) + P(B ) - P(A e B) = 1/2 + 1/4 - 1/8
FA
1/8
•
A necessidade de subtrair a probabilidade de meninos de olhos azuis na
P(A ou B) pode ser constatada, pois tanto o valor P(menino) quanto
P(olhos azuis) inclui a possibilidade de sair menino de olhos azuis.
Conseqüentemente, essa probabilidade estaria sendo somada duas
vezes, caso não houvesse aquela subtração.
Lei da soma para eventos mutuamente exclusivos
(quando há elementos comuns aos dois eventos)
Exemplificando com jogos de dados
Esquematize e desenhe :
• O conjunto universo (S)
• Evento 1 (E1): nos menores que 4
• Evento 2 (E2): nos ímpares
– Calcule: P(E1 ou E2)
d) P(E1 ou E2) = P (E1) + P(E2) - P(E1 e E2)
= 3/6 + 3/6 -2/6 = 4/6=2/3
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Leis da Probabilidade
II.a) Lei do Produto para eventos independentes
• Dois eventos são independentes quando a probabilidade de
ocorrer B não é condicional à ocorrência de A.
A expressão que define a lei do produto para eventos
independentes é a seguinte:
P(A e B) = P(A) . P(B)
•
Exemplo: Em uma família será estimada a probabilidade de
nascer menino e ter olhos azuis.
(menino e olhos azuis) = P(menino) . P(olhos azuis) =(1/2)(1/4) =
1/8
Obs: A fórmula acima não se aplica a eventos
dependentes, correlacionados ou ligados
Leis da Probabilidade
II.b) Lei do Produto para eventos dependentes
(condicionais ou ligados)
• Nesse caso, tem-se a seguinte expressão de probabilidade:
•
P(A e B) = P(A) . P(B/A) = P(B) . P(A/B)
•
Será considerado agora o gene que determina o daltonismo na
espécie humana.
–
Trata-se de um gene ligado ao sexo, em que:
• Mulheres normais: XD XD ou XD Xd
• Mulheres daltônicas: Xd Xd
• Homens normais: XDY
• Homens daltônicos: XdY
Considerando o casamento entre uma
mulher normal, portadora, e um homem
normal, têm-se as descendências:
Gametas XD Y
XD
Xd
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Lei do Produto para eventos dependentes
• Conclui-se que:
–
–
–
P(menino) = P(menina) = ½
P(Normal) = ¾
P(Daltonismo) = ¼
Gametas ½ XD ½ Y
½ XD XDXD XDY
½ Xd XD Xd XdY
• Exemplo: No casamento especificado, será estimada a
probabilidade de nascer uma menina daltônica.
Verifica-se, nesse caso, que:
–
P(menina daltônica) ≠ P(menina) x P(daltônica)
• Ao contrário, tem-se:
–
P(menina daltônica) = P(menina) x
P(daltônica/menina) = ½ x 0 = 0
Propriedades da probabilidade
•
Considerando o cruzamento abaixo. Determine:
•
1) Fenótipo dois Pais
•
2) Complete o quadro
de cruzamento e
responda:
Verifique se há algum erro
no quadro. Identifique e
corrija
a)
b)
c)
d)
P (Menino ou criança de olhos azuis)
P (Criança daltônica ou olhos azuis)
P (Menina Daltonica)
P(Menina Normal)
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Propriedades da probabilidade
•
Considerando o cruzamento abaixo. Determine:
•
1) Fenótipo dois Pais
•
2) Complete o quadro
de cruzamento e
responda:
Verifique se há algum erro
no quadro. Identifique e
corrija
a)
b)
c)
d)
P (Menino ou criança de olhos azuis)
P (Criança daltônica ou olhos azuis)
P (Menina Daltonica)
P(Menina Normal)
Distribuição de Probabilidade
INTRODUÇÃO
Considere a seguinte questão:
Uma vaca deverá ter em sua vida útil 5 descendentes.
Pergunta-se:
a) A Probabilidade do 1º descendente ser macho?
b) A Probabilidade de o 1º e 2º filhotes serem fêmeas?
(pode ser escrito como: a Probabilidade de dois filhotes serem fêmeas)
c)
A Probabilidade de o 1º ser um filhote Macho e o 2º uma
Fêmea?
d) A Probabilidade de apenas o 1º descendente ser macho?
(subentende que os demais filhotes serão fêmeas)
e) A Probabilidade de nascer apenas 1 macho?
f) A Probabilidade de nascerem dois machos?
g) A Probabilidade de nascerem pelo menos dois machos?
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Distribuição de Probabilidade
Distribuição Binomial
Utilidade
Quando se deseja calcular a probabilidade de um
acontecimento composto por vários eventos.
Requisitos:
1) Os eventos que constituem o acontecimento devem
ser independentes
2) A ordem dos eventos do acontecimento não é
importante.
Assim a distribuição binomial pode responder as
questões “e”, “f” e “g”. (do slide anterior)
Distribuição Binomial
Exemplo Anterior
Uma vaca deverá ter em sua vida útil 5 descendentes
e) A Probabilidade de nascer apenas 1 macho?
Ordem dos descendentes
Probabilidade
1º
2º
3º
4º
5º
M
F
F
F
F
(1/2)5
F
M
F
F
F
(1/2)5
F
F
M
F
F
(1/2)5
F
F
F
M
F
(1/2)5
F
F
F
F
M
(1/2)5
Observação: O evento (1 macho) ocorre mais de uma vez.
Existe alguma fórmula que pode generalizar esta e outras ocorrências?
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Distribuição Binomial
Exemplo Anterior
Uma vaca deverá ter em sua vida útil 5 descendentes
e) A Probabilidade de nascer apenas 1 macho?
Ordem dos descendentes
Probabilidade
1º
2º
3º
4º
5º
M
F
F
F
F
(1/2)5
F
M
F
F
F
(1/2)5
F
F
M
F
F
(1/2)5
F
F
F
M
F
(1/2)5
F
F
F
F
M
(1/2)5
P (1M e 4F)=
5x(1/2)5 =
5/32
Observação: O evento (1 macho em 5 descendentes) ocorre mais
de uma vez. Existe alguma fórmula que pode generalizar esta e
outras ocorrências?
Distribuição Binomial
(Distribuição de uma probabilidade)
P(A)=p e P(ñA) =q;
de forma que: p+q=1
E ainda:
n1: nº de ocorrências favoráveis ao evento “A”
n2: nº de ocorrências favoráveis ao evento “ñA”
n: nº total de ocorrências, (neste caso, n=n1+ n2)
Assim: n1 está associado a probabilidade p e
n2 associado a probabilidade q
Obs:
P(S)=1 =[P(S)]2 = 12...=[P(S)]n = 1n = 1
(p+q)=1 = (p+q)2=12 ... (p+q)n=1n = 1
Ex: (p+q)2= p2+2pq+q2 → BINÔMIO DE NEWTON
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Distribuição Binomial
Distribuição de uma probabilidade
Considerando apenas dois nascimentos
h) A Probabilidade de os dois filhotes serem fêmeas?
i) A Probabilidade de se ter um filhote Macho e uma
fêmea?
Utilizando o binômio de newton
(p+q)2= p2+2pq+q2
questão ”h”
questão ”i”
p=q=1/2;
n=2 (nº total de descendentes)
Desenvolvendo resposta a) p2=(1/2)2=1/4
b) 2pq = 2(1/2) (1/2)=1/2
Distribuição Binomial
Distribuição de uma probabilidade
Expansão do binômio:
( p + q ) n = p n + C n1 p n −1q1 + C n2 p n − 2 q 2 + ... + Cnn −1 p1q n −1 + q n
Generalizando a distribuição binomial para um dado evento
P( E) =
n!
⋅ p n1 ⋅ q n 2
n1 !n 2 !
Esta fórmula pode ser generalizada para
distribuição multinomial
P (E ) =
n1
n2
nn
n!
⋅ p 1 ⋅ p 2 ... ⋅ p n
n 1 ! n 2 !... n n !
ni = número de
ocorrências do
evento i
N = número total
de ocorrências
pi = probabilidade
de ocorrência do
evento i
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Aplicação de uma Distribuição Binomial
Exemplo
Distribuição de dois descendentes de cada uma das 100
vacas de acordo com o sexo
Nº de vacas Sexo dos descendentes
24
2 fêmeas
54
1 macho e 1 fêmea
22
2 machos
Distribuição observada e esperada dos dois descendentes de cada
uma das 100 vacas de acordo com o sexo
Nº de vacas
Observadas
Sexo dos
descendentes
24
2 fêmeas
54
1 macho e 1 fêmea
22
2 machos
Probabilidade
¼
½
¼
Nº de vacas
Esperado
25
50
25
Distribuição Polinomial
Exemplo I
Rebanho de bovinos Shortorn (pelagem)
Genótipo/fenótipo:
B1B1= branco; B2B2=vermelho; B1B2=vermelho-branco
a) Qual a probabilidade de que entre 12 descendentes de
um cruzamento B1B2 x B1B2, três sejam brancos, três
vermelho-brancos e os demais vermelhos?
Resolução no quadro
b) E de que ocorra 3 brancos, 6 vermelho-brancos e 3
vermelhos?
Resposta: P(3B, 6VB e 3 V) = 7,05%
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23/5/2011
Distribuição Polinomial
Exemplo II
Cor e textura de sementes de milho
No cruzamento de um duplo heterozigoto temos em F2:
Proporções fenotípicas
Semente amarela lisa
Semente amarela e enrugada
Semente branca lisa
Semente branca e enrugada
9/16
3/16
3/16
1/16
a) Qual a probabilidade de que se tomar ao acaso 20
sementes de uma espiga F2 de milho e de se obter 11
sementes amarelas e lisas e 3 de cada um dos fenótipos
restantes? (Resolução no quadro)
Probabilidade de se Obter uma determinada
Combinação Genotípica
I) Qual o tamanho mínimo de uma população
segregante para se obter pelo menos um
indivíduo com o genótipo desejado?
II) E para o fenótipo?
Considerando:
C: Grau de certeza (0<c<1)
p: probabilidade de ocorrência do evento
n: nº mínimo de indivíduos
Observação
Fórmula:
log(1 − C )
n=
log(1 − p )
Faça um paralelo dos capítulos “cruzamentoteste” (programa G-Bol) e “Biometria” (Genética
na Agropecuária) e verifique a semelhança das
fórmulas utilizadas
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23/5/2011
Probabilidade de se Obter uma determinada
Combinação Genotípica
Exemplo
a) Considerando o exemplo II (sementes de milho), qual o
tamanho mínimo da geração F2 para que se tenha pelo
menos uma semente enrugada, considerando uma
probabilidade de 99% de que esta planta ocorra.
Resolução no quadro
n=
log(1 − C )
log(1 − p )
Probabilidade de se Obter Uma determinada
Combinação genotípica
III) Considerando que um caráter controlado
por um gene, dominância completa.
a) Em um cruzamento teste
i)
Quantos descendentes são necessários para que se
tenha 95% de certeza de que o genótipo submetido
ao cruzamento teste seja Homozigoto Dominante?
b) E se for autofecundação?
Resolução no quadro
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