Grandeza
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Primeira Edição Análise Dimensional Notas de Aula Prof. Ubirajara Neves Fórmulas dimensionais 1 As fórmulas dimensionais são formas usadas para expressar as diferentes grandezas físicas em função das grandezas fundamentais. Seção 1 Introdução 1. Encontra-se uma equação que permita calcular a grandeza de interesse. Qualquer equação serve, desde que correta, é claro! 2. Colocam-se colchetes em todos os termos da equação, indicando que se deve trabalhar com as respectivas fórmulas dimensionais. Para a Mecânica, são consideradas grandezas fundamentais: • a massa (m) – M 3. Manipula-se algebricamente a expressão obtida, até que a mesma fique irredutível. Vejamos alguns exemplos. • o comprimento (l) – L • o tempo (t) – T Assim, na Mecânica, qualquer grandeza derivada X pode ser expressa em função dessas três grandezas, através da forma em que MxLyTz é a fórmula dimensional da grandeza X, indicada por [X], e x, y e z são as dimensões de X em relação a M, L e T, respectivamente. Para determinar a fórmula dimensional de uma grandeza derivada pode-se seguir as etapas: 2 Seção 2 Exemplos Usemos a equação para determinar o volume de um palelepípedo retângulo de base retangular, cujas arestas tenham comprimento a, b e c. . Logo, o volume é uma grandeza que apresenta três dimensões de comprimento. Área (A) Podemos usar a equação para o cálculo da área de um retângulo: Densidade (ρ) Pela definição de densidade (volumétrica): A = a ⋅ b, em que A é a área, a é a medida do comprimento de um lado, e b é a medida do comprimento do outro lado. Colocando-se colchetes em todos os termos: em que ρ é a densidade volumétrica, m é a massa e V é o volume. Façamos a análise dimensional: [A] = [a] ⋅ [b] = L ⋅ L = L2. Portanto, a fórmula dimensional de área é L2, que significa que a área é uma grandeza que tem duas dimensões de comprimento. Assim, a densidade é uma grandeza que apresenta uma dimensão de massa e três dimensões negativas de comprimento. Volume (V) Velocidade (v) Usemos a equação da velocidade média: 3 Podemos partir da equação da 2.ª lei de Newton para uma força resultante F: o que nos leva a concluir que velocidade é uma grandeza que possui uma dimensão de comprimento, uma dimensão negativa de tempo, e que não tem dimensão de massa. Note que a existência de uma dimensão negativa apenas significa que a grandeza em questão apresenta uma proporcionalidade inversa em relação àquela grandeza fundamental. Aceleração (a) Usando a equação da aceleração média: Momento linear (p) A partir da equação do momento linear, também conhecido como quantidade de movimento, obtemos: Note que a grandeza momento linear tem uma dimensão de massa, uma dimensão de comprimento e uma dimensão negativa de tempo. Trabalho (W) Pela definição de trabalho: Pressão (P) Sendo a pressão a razão entre a força e a área, temos: Torque (M) Para uma força F aplicada a uma distância d do ponto de apoio de um corpo extenso: Energia cinética (K) Partamos da equação para o cálculo da energia cinética de um corpo com massa m que se desloca a uma velocidade v: Força (F) 4 Não esqueça que g é a aceleração da gravidade. Observe que neste caso apareceu a expressão , ou seja, a fórmula dimensional de um numeral. Ora, numerais são adimensionais, isto é, apresentam dimensões zero. Então, Constante elástica (k) A partir da equação para determinar a força elástica, obtemos: Podemos generalizar e afirmar que a fórmula dimensional de um numeral, desde que não seja uma constante de proporcionalidade, é sempre 1. Assim, em que x é a deformação do corpo – uma mola, por exemplo. Observe como as grandezas trabalho, torque e energia cinética são dimensionalmente homogêneas, ou seja, têm a mesma fórmula dimensional. São, portanto, grandezas que apresentam as mesmas dimensões e que devem se relacionar de alguma forma, como será estudado posteriormente. Energia potencial gravitacional (UG) Sendo uma forma de energia, espera-se que tenha a mesma fórmula dimensional da energia cinética. Vejamos: Energia potencial elástica (UE) Pela definição da energia potencial elástica: Potência (Pot) Sendo a potência a razão entre a energia e o tempo, 5 R EVISÃO 1.1 Grandezas Pergunta 1 de 3 Das opções a seguir, qual não se refere a uma grandeza fundamental? A. Tempo B. Aceleração C. Comprimento D. Massa Verificar Resposta Homogeneidade dimensional 2 Aquela equação resultante de um longo processo de dedução estaria correta? Há alguma maneira de descartar a possibilidade de erro? É aí que entra o tema do presente capítulo. Seção 1 Usando a homogeneidade Substituindo as fórmulas dimensionais, obtemos: Para que uma equação seja válida é necessário que apresente uma homogeneidade dimensional. Em outras palavras, o primeiro e o segundo membros devem apresentar as mesmas fórmulas dimensionais. Observe que uma equação com essa característica pode estar certa; por outro lado, uma equação não dimensionalmente homogênea certamente estará errada. Tomemos como exemplo a seguinte situação: um estudante, ao resolver um problema de mecânica, chegou à equação Portanto, a equação encontrada pelo estudante é dimensionalmente homogênea, o que a torna uma equação possível. Não podemos garantir que esteja correta, mas diminuímos a chance de ela estar errada. em que F é a força, m é a massa, g é a aceleração da gravidade, v é velocidade e d é a distância em relação a um referencial. Analisemos essa equação quanto a suas dimensões: 8 Determinação de equações 3 Como fazemos para descobrir uma equação desconhecida? Analisando uma determinada grandeza, é possível, por análise dimensional, descobrir suas relações com outras grandezas. Seção 1 Determinando equações Podemos usar a análise dimensional para determinar equações desconhecidas. Vejamos dois exemplos interessantes. O período de oscilação de um pêndulo Um pêndulo de comprimento l, sujeito a um campo gravitacional g, oscila num plano com período T. Determinemos a equação que nos permita calcular o período de oscilação desse pêndulo, sabendo que isso depende do comprimento e da aceleração da gravidade local. Seja C uma constante numérica qualquer (não de proporcionalidade). Note que o resultado acima só será verdadeiro se: Com as duas últimas equações podemos montar um sistema e resolvê-lo: Resolvendo a segunda equação em relação a y, obtemos Com base no exposto, sabemos que a equação procurada terá a forma Substituindo na primeira equação, Façamos, então, a análise dimensional da equação acima: 10 Voltando para a equação inicial, podemos fazer: Então, Assim, IMPORTANTE! A determinação da constante numérica C não pode ser feita por análise dimensional, mas existem outros métodos para encontrá-la. Velocidade de queda de um corpo Sabendo que a velocidade v de queda de um corpo, desprezando-se a resistência do ar, depende da aceleração da gravidade g, da altura h e, possivelmente, da massa m, vamos determinar a equação para o cálculo dessa velocidade. Resolvendo a segunda equação em relação a x, obtemos Substituindo na primeira equação, chegamos a Então, 11 Note como a análise dimensional deixou claro que a velocidade de um corpo em queda livre não depende de sua massa. 12 Notas de Aula - Análise Dimensional O trabalho Notas de Aula - Análise Dimensional do prof. Ubirajara Neves foi licenciado com uma licença Creative Commons - Atribuição - Não Comercial - Sem Derivados 3.0 Não Adaptada. xiii Arestas Num sólido geométrico, o termo aresta refere-se à intersecção entre duas faces. Aresta Termos do Glossário Relacionados Arraste os termos relacionados até aqui Índice Buscar Termo Capítulo 1 - Exemplos Dimensões No contexto da análise dimensional, dimensão refere-se ao expoente associado a uma grandeza fundamental. Termos do Glossário Relacionados Grandezas fundamentais Índice Buscar Termo Capítulo 1 - Introdução Energia cinética É a energia mecânica associada ao movimento de um corpo. Assim, um corpo em repouso em relação a um certo referencial não possui energia cinética. Termos do Glossário Relacionados Arraste os termos relacionados até aqui Índice Buscar Termo Capítulo 1 - Exemplos Fórmula dimensional Expressão literal que mostra as grandezas fundamentais associadas a uma grandeza derivada, bem como suas dimensões. Termos do Glossário Relacionados Grandeza derivada, Grandezas fundamentais Índice Buscar Termo Capítulo 1 - Introdução Grandeza Tudo aquilo que pode ser medido, direta (grandeza fundamental) ou indiretamente (grandeza derivada). Termos do Glossário Relacionados Grandeza derivada, Grandezas fundamentais Índice Buscar Termo Capítulo 1 - Introdução Grandeza derivada Grandeza que resulta da associação de uma ou mais grandezas fundamentais e que não pode ser medida diretamente. Termos do Glossário Relacionados Grandeza, Grandezas fundamentais Índice Buscar Termo Capítulo 1 - Introdução Grandezas fundamentais Grandezas que podem ser medidas diretamente. São sete: • massa, • comprimento, • tempo, • temperatura termodinâmica, • quantidade de matéria, • intensidade de corrente elétrica, e • intensidade luminosa. Termos do Glossário Relacionados Grandeza, Grandeza derivada Índice Buscar Termo Capítulo 1 - Introdução Mecânica Ramo da Física que estuda os movimentos dos corpos. Termos do Glossário Relacionados Arraste os termos relacionados até aqui Índice Buscar Termo Capítulo 1 - Introdução Momento linear Grandeza vetorial que representa a quantidade de movimento associada a um corpo, em relação a um certo referencial. É obtida pelo produto da massa do corpo pela sua velocidade no referencial em questão. Termos do Glossário Relacionados Arraste os termos relacionados até aqui Índice Buscar Termo Capítulo 1 - Exemplos Oscilação Movimento periódico em torno de um ponto central. Termos do Glossário Relacionados Pêndulo Índice Buscar Termo Capítulo 3 - Determinando equações Palelepípedo Sólido geométrico cujas faces são paralelogramos paralelos. Termos do Glossário Relacionados Arraste os termos relacionados até aqui Índice Buscar Termo Capítulo 1 - Exemplos Pêndulo Corpo dotado de massa pendurado em apoio, que apresenta movimento oscilatório em torno de um ponto de equilíbrio. Termos do Glossário Relacionados Oscilação Índice Buscar Termo Capítulo 3 - Determinando equações Período Tempo necessário para que se execute uma oscilação completa. Termos do Glossário Relacionados Oscilação Índice Buscar Termo Capítulo 3 - Determinando equações Quantidade de movimento Mesmo que momento linear. Termos do Glossário Relacionados Momento linear Índice Buscar Termo Capítulo 1 - Exemplos Retângulo Quadrilátero com lados opostos paralelos. Termos do Glossário Relacionados Arraste os termos relacionados até aqui Índice Buscar Termo Capítulo 1 - Exemplos Torque Grandeza responsável pela variação do momento angular de um corpo. Termos do Glossário Relacionados Arraste os termos relacionados até aqui Índice Buscar Termo Capítulo 1 - Exemplos Trabalho Energia mecânica em trânsito entre dois corpos pela ação de uma força que provoca deslocamento. Termos do Glossário Relacionados Arraste os termos relacionados até aqui Índice Buscar Termo Capítulo 1 - Exemplos
