Aprofundamento para o 3º ano EM

Gravitação
1) (FP) Considere as seguintes informações:
1. A Terra é uma esfera homogênea de massa M e raio R cuja
aceleração da gravidade na superfície é 10 m/s2.
2. Um satélite artificial orbita em torno da Terra em movimento
circular uniforme de quatro horas, a uma altura R do equador
terrestre.
3. Um planeta P é uma esfera homogênea de massa 2M e raio 2R.
Use as seguintes aproximações no
1) 2 = 10; 2) G x M = 4 . 1014;
3) (24 x 3600)2 = 7,5 . 109; 4) (75) (1/3) = 4,2; 5) R = 6.400 km
a) Determine a aceleração da gravidade na superfície do planeta P.
b) Determine a altura em relação ao equador de um satélite geoestacionário.
c) Determine o período de um satélite que orbita em torno do equador do
planeta P a uma altura 2R.
2) (Unicamp 00) Satélites de comunicações são retransmissores de ondas
eletromagnéticas. Eles são operados normalmente em órbitas cuja velocidade
angular T é igual à da Terra, de modo a permanecerem imóveis em relação às
antenas transmissoras e receptoras. Essas órbitas são chamadas de órbitas
geoestacionárias. Dados T , o raio da Terra RT e a aceleração da gravidade na
superfície da Terra g, determine a distância R entre o satélite e o centro da Terra
para que ele se mantenha em órbita geoestacionária.
3) (Fuvest 02) Um astrônomo, ao estudar uma estrela dupla E1-E2, observou que
ambas executavam um movimento em torno de um mesmo ponto P, como se
estivessem ligadas por uma barra imaginária. Ele mediu a distância D entre elas e
o período T de rotação das estrelas, obtendo T = 12 dias. Observou, ainda, que o
raio R1, da trajetória circular de E1, era três vezes menor do que o raio R2, da
trajetória circular de E2. Observando essas trajetórias, ele concluiu que as massas
das estrelas eram tais que M1 = 3 M2. Além disso, supôs que E1 e E2 estivessem
sujeitas apenas à força gravitacional entre elas. A partir das medidas e das
considerações do astrônomo:
Escreva a expressão da massa M1 da estrela E1, em função de T, D e da constante
universal da gravitação G.
4) (Fuvest 03) Alienígenas desejam observar o nosso planeta. Para tanto, enviam à
Terra uma nave N, inicialmente ligada a uma nave auxiliar A, ambas de mesma
massa. Quando o conjunto de naves se encontra muito distante da Terra, sua
energia cinética e sua energia potencial gravitacional são muito pequenas, de
forma que a energia mecânica total do conjunto pode ser considerada nula.
Enquanto o conjunto é acelerado pelo campo gravitacional da Terra, sua energia
cinética aumenta e sua energia potencial fica cada vez mais negativa, conservando
a energia total nula. Quando o conjunto N-A atinge, com velocidade V0 (a ser
determinada), o ponto P de máxima aproximação da Terra, a uma distância R0 de
seu centro, um explosivo é acionado, separando N de A. A nave N passa a
percorrer, em torno da Terra, uma órbita circular de raio R0, com velocidade VN
(a ser determinada). A nave auxiliar A, adquire uma velocidade VA (a ser
determinada). Suponha que a Terra esteja isolada no espaço e em repouso.
Determine, em função de M, G e R0,
a) a velocidade V0 com que o conjunto atinge o ponto P.
b) a velocidade VN, de N, em sua órbita circular .
c) a velocidade VA, de A, logo após se separar de N.
5) (UNICAMP 97) O planeta Mercúrio tem massa M(Mercúrio) = 0,040M(Terra) e
diâmetro d(Mercúrio) = 0,40d(Terra). Nessas expressões M(Terra) e d(Terra) são
a massa e o diâmetro da Terra, respectivamente.
a) Qual seria, em Mercúrio, o peso da água contida em uma caixa de 1000 litros?
b) Um satélite da Terra em órbita circular de 40000km de raio tem período igual a
24 horas. Qual seria o período de um satélite de Mercúrio em órbita circular de
mesmo raio?
6) (UNICAMP 98) Um míssil é lançado horizontalmente em órbita circular rasante
à superfície da Terra. Adote o raio da Terra R= 6400km e, para simplificar, tome 3
como valor aproximado de 
a) Qual é a velocidade de lançamento?
b) Qual é o período da órbita?
7) (UNICAMP 98) A figura a seguir representa exageradamente a trajetória de um
planeta em torno do Sol. O sentido do percurso é indicado pela seta. O ponto V
marca o início do verão no hemisfério sul e o ponto I marca o início do inverno. O
ponto P indica a maior aproximação do planeta ao Sol, o ponto A marca o maior
afastamento. Os pontos V, I e o Sol são colineares, bem como os pontos P, A e o
Sol.
a) Em que ponto da trajetória a velocidade do planeta é máxima? Em que ponto
essa velocidade é mínima? Justifique sua resposta.
b) Segundo Kepler, a linha que liga o planeta ao Sol percorre áreas iguais em
tempos iguais. Coloque em ordem crescente os tempos necessários para realizar os
seguintes percursos: VPI, PIA, IAV, AVP.
8)(FP) Dois planetas A e B giram em órbitas circulares em torno da mesma estrela
com trajetórias de raios R1 e R2 (R2>R1).
a) Qual dos dois possui maior velocidade escalar em relação à estrela?
b) Qual dos dois possui maior velocidade angular em relação à estrela?
c) Qual dos dois possui maior aceleração escalar em relação à estrela?
d) Qual dos dois possui maior período?
e) O que eles possuem em comum?
f) Sendo R2 = 2 R1 e o período do planeta A igual à “1 ano A”, qual o ano do
planeta B em anos A?
9) (FP) Se o planeta A da questão 1, tem órbita de raio R, seu período é “1 ano A”
e a estrela em torno do qual ele orbita tem massa M, qual o período de um planeta
C, que orbita em uma circunferência raio 2R em torno de uma estrela de massa
2M?
10) (Unicamp 07) Em agosto de 2006, Plutão foi reclassificado pela União
Astronômica Internacional, passando a ser considerado um planeta-anão. A
terceira Lei de Kepler diz que T2 = Ka3, onde T é o tempo para um planeta
completar uma volta em torno do Sol, e a é a média entre a maior e a menor
distância do planeta ao Sol. No caso da Terra, essa média é aT = 1,5 x 1011m,
enquanto que para Plutão aP = 60 1011m. A constante K é a mesma para todos os
objetos em órbita em torno do Sol. A velocidade da luz no vácuo é igual a 3,0 x
108m/s.
Dado:
a) Considerando-se as distâncias médias, quanto tempo leva a luz do Sol para
atingir a Terra? E para atingir Plutão?
b) Quantos anos terrestres Plutão demora para dar uma volta em torno do Sol?
Expresse o resultado de forma aproximada como um número inteiro.
11) (Unicamp 08) Observações astronômicas indicam que as velocidades de
rotação das estrelas em torno de galáxias são incompatíveis com a distribuição de
massa visível das galáxias, sugerindo que grande parte da matéria do Universo é
escura, isto é, matéria que não interage com a luz. O movimento de rotação das
estrelas resulta da força de atração gravitacional que as galáxias exercem sobre
elas.
A curva no gráfico abaixo mostra como a força gravitacional
,que uma galáxia de massa M exerce sobre uma estrela externa à galáxia, deve
variar em função da distância r da estrela em relação ao centro da galáxia,
considerando-se m = 1,0 x 1030kg para a massa da estrela. A constante de
gravitação G vale 6,7 10–11m3kg–1 s–2.
a) Determine a massa M da galáxia.
b) Calcule a velocidade de uma estrela em órbita circular a uma distância r = 1,6 x
1020m do centro da galáxia.
12) (Fuvest 07) Recentemente Plutão foi “rebaixado”, perdendo sua classificação
como planeta. Para avaliar os efeitos da gravidade em Plutão, considere suas
características físicas, comparadas com as da Terra, que estão apresentadas, com
valores aproximados, no quadro abaixo.
a) Determine o peso, na superfície de Plutão (PP), de uma massa que na superfície
da Terra pesa 40N (PT = 40N).
b) Estime a altura máxima H, em metros, que uma bola, lançada verticalmente
com velocidade V, atingiria em Plutão. Na Terra, essa mesma bola, lançada com a
mesma velocidade, atinge uma altura hT = 1,5m.
13) (Unicamp 10) Em 2009 foram comemorados os 40 anos da primeira missão
tripulada à Lua, a Missão Apollo 11, comandada pelo astronauta norte-americano
Neil Armstrong. Além de ser considerado um dos feitos mais importantes da
história recente, esta viagem trouxe grande desenvolvimento tecnológico.
a) A Lua tem uma face oculta, erroneamente chamada de lado escura, que nunca é
vista da Terra. O período de rotação da Lua em torno de seu eixo é de cerca de 27
dias. Considere que a órbita da Lua em torno da Terra é circular, com raio igual a
r = 3,8 x 108m. Lembrando que a Lua sempre apresenta a mesma face para um
observador na Terra, calcule a sua velocidade orbital em torno da Terra.
b) Um dos grandes problemas para enviar um foguete à Lua é a quantidade de
energia cinética necessária para transpor o campo gravitacional da Terra, sendo
que essa energia depende da massa total do foguete. Por este motivo, somente é
enviado no foguete o que é realmente essencial. Calcule qual é a energia necessária
para enviar um tripulante de massa m = 70kg à Lua. Considere que a velocidade
da massa no lançamento deve ser V = (2gRT ) 0,5 para que ela chegue até a Lua,
sendo g a aceleração da gravidade na superfície na Terra e RT = 6,4 x 106m o raio
da Terra.
Gabarito
1) a) 5m/s2 b) 35600 km c) 8 hs 2) R = ((g R2T/ 2T))1/3 3) M1 = (D/ GT2)
4) a) Vo = (2GM/ Ro)0,5 b) VN = (GM/Ro)0,5 c) VA = (2(2)0,5 -1) (GM/Ro)0,5
5) a) 2500N b) 120hs 6) a) 8000m/s b) 80 min 7) a) em P e em A respectivamente b)
TVPI < TPIA = TAVP < TIAV 8) a) A b) A c) A d) B e) T2/ R3 f) 2,8 9) 2 anos A
10) a) 20.000s b) 256 anos 11) a) 1,5 x 1040 Kg b) 8 x 104 m/s 12) a) 2N b) 30m 13)
a) 977 m/s b) 4,48 x 109 J